2. Persamaan Linier
A). Persamaan Linier Satu Variabel (PLSV)
Persamaan linier satu variabel berbentuk $ax + b = 0$, dengan $a, b \in \mathbb{R}$ dan $a \neq 0$.
Keterangan:
- $x$ disebut variabel
- $a$ disebut koefisien dari $x$
- $b$ disebut konstanta
B). Persamaan Linier Dua Variabel (PLDV)
Persamaan linier dua variabel berbentuk $ax + by + c = 0$, dengan $a, b, c \in \mathbb{R}$ dan $a \neq 0, b \neq 0$.
Keterangan:
- $x, y$ disebut variabel
- $a$ disebut koefisien dari $x$
- $b$ disebut koefisien dari $y$
- $c$ disebut konstanta
C). Penyelesaian Persamaan Linier
Penyelesaian persamaan adalah nilai variabel yang memenuhi persamaan tersebut.
Untuk menentukan penyelesaian persamaan, kita menggunakan sifat-sifat berikut:
- a). Penambahan atau pengurangan bilangan kedua ruas persamaan tidak mengubah penyelesaian persamaan itu.
- b). Perkalian atau pembagian bilangan tidak nol pada kedua ruas persamaan tidak akan mengubah penyelesaian persamaan tersebut.
Bentuk $px = q$ memiliki tiga kemungkinan solusi yaitu:
- Memiliki solusi tunggal jika $p \neq 0$.
- Memiliki solusi banyak jika $p = 0$ dan $q = 0$.
- Tidak memiliki solusi jika $p = 0$ dan $q \neq 0$.
Contoh Soal & Solusi Khusus
Contoh 1: Tentukan nilai $x$ yang memenuhi persamaan berikut:
- a). $2x - 1 = 7$
- b). $4x + 5 = 25$
- c). $3x + 5 = 21 - x$
- d). $2x + 7 = 4x + 35$
- e). $\frac{3}{5}\left[\frac{5}{3}\left(\frac{1}{4}x + 1\right) + 5\right] - \frac{1}{2} = x$
- a). $2x = 7 + 1 \Rightarrow 2x = 8 \Rightarrow x = 4$
- b). $4x = 25 - 5 \Rightarrow 4x = 20 \Rightarrow x = 5$
- c). $3x + x = 21 - 5 \Rightarrow 4x = 16 \Rightarrow x = 4$
- d). $2x - 4x = 35 - 7 \Rightarrow -2x = 28 \Rightarrow x = -14$
- e). Kalikan ke dalam kurung siku:
$\left(\frac{3}{5} \cdot \frac{5}{3}\right)\left(\frac{1}{4}x + 1\right) + \left(\frac{3}{5} \cdot 5\right) - \frac{1}{2} = x$
$\left(\frac{1}{4}x + 1\right) + 3 - \frac{1}{2} = x \Rightarrow \frac{1}{4}x + \frac{7}{2} = x$
$\frac{7}{2} = x - \frac{1}{4}x \Rightarrow \frac{7}{2} = \frac{3}{4}x \Rightarrow x = \frac{7}{2} \cdot \frac{4}{3} = \frac{14}{3}$
Contoh 2: Diketahui $a$, $b$, dan $c$ adalah bilangan konstanta positif. Tentukan solusi dari persamaan linier berikut!
$$ \frac{x-a-b}{c} + \frac{x-b-c}{a} + \frac{x-c-a}{b} = 3 $$Contoh 3: Berapakah nilai $a$ dan $b$ yang menyebabkan persamaan linier berikut tidak memiliki penyelesaian!
$$ ax + b - \frac{5x+2ab}{5} = \frac{1}{4} $$- Syarat $p = 0$: $a - 1 = 0 \Rightarrow a = 1$
- Substitusi $a = 1$ ke sisa persamaan: $b - \frac{2(1)b}{5} \neq \frac{1}{4} \Rightarrow \frac{3}{5}b \neq \frac{1}{4} \Rightarrow b \neq \frac{5}{12}$
Contoh 4: Tentukan bilangan bulat $k$ agar persamaan linier $11x - 2 = kx + 15$ mempunyai solusi bilangan asli untuk $x$, dan tentukan solusi tersebut!
- Kemungkinan 1: $11 - k = 1 \Rightarrow k = 10$, sehingga diperoleh solusi $x = 17$.
- Kemungkinan 2: $11 - k = 17 \Rightarrow k = -6$, sehingga diperoleh solusi $x = 1$.
Contoh 5: Terdapat persamaan $ax + 4 = 3x - b$ memiliki lebih dari satu solusi untuk variabel $x$. Tentukan nilai dari $(4a + 3b)^{2025}$!
- $a - 3 = 0 \Rightarrow a = 3$
- $-b - 4 = 0 \Rightarrow b = -4$
Contoh 6: Solusi dari persamaan $3a - x = \frac{x}{2} + 3$ adalah $4$. Tentukan nilai dari $(-a)^2 - 2a$!
Contoh 7: Wahyu mempunyai satu bundel tiket piala dunia untuk dijual. Pada hari pertama terjual 10 lembar tiket, hari kedua terjual setengah dari tiket yang tersisa dan pada hari ketiga terjual 5 lembar tiket. Bila tersisa 2 lembar tiket, maka banyak tiket dalam satu bundel adalah ...
- Hari pertama: Terjual $10$, sisa tiket = $T - 10$
- Hari kedua: Terjual setengah dari sisa, sehingga sisa terbarunya = $\frac{1}{2}(T - 10)$
- Hari ketiga: Terjual $5$ lembar, sisa akhir = $\frac{1}{2}(T - 10) - 5$
Soal Latihan
1). Dalam bujur sangkar ajaib seperti pada gambar, jumlah angka pada setiap baris, kolom dan diagonal adalah sama. Berapakah jumlah tiga angka dari sembarang barisnya?
| $2x$ | 3 | 2 |
| -3 | ||
| 0 | $x$ |
2). Uang sebesar Rp2.000,00 dapat dinyatakan dengan beberapa koin 50 rupiahan, 100 rupiahan, 200 rupiahan, dan/atau 500 rupiahan. Diketahui ternyata bahwa uang tersebut terdiri tepat dua koin 500 rupiahan, dan dua jenis koin lainnya. Dengan mengikuti aturan tersebut, banyak cara yang mungkin untuk menyatakan uang sebesar Rp2.000,00 dengan koin-koin tersebut adalah ...
3). Setiap kotak Piramid di bawah akan diisi dengan bilangan. Mula-mula yang harus diisikan adalah kotak-kotak pada alas piramid. Kotak di atasnya diperoleh dari menjumlahkan bilangan-bilangan yang ada di dalam dua kotak di bawahnya. Andaikan dasar piramid hendak diisi bilangan-bilangan 7, 12, 5, 4, dan 9, berapakah nilai terbesar yang mungkin dari bilangan pada kotak teratas.
4). Jumlah dua bilangan bulat yang berbeda adalah 14. Jika hasil bagi kedua bilangan tersebut adalah juga bilangan bulat, maka salah satu bilangan yang mungkin adalah ...
5). Perhatikan gambar 5. Jika bilangan pada daerah persegi tidak diarsir diperoleh dengan menjumlahkan dua bilangan pada persegi tidak diarsir di bawah dan terhubung dengannya, maka nilai $x$ adalah ...
| $6x$ | ||||||
| 1 | $x$ | 6 | 8 |
gambar 5
6). Misalkan $a$ dan $b$ bilangan bulat sehingga $a(a + b) = 34$. Nilai terkecil $a - b$ adalah ...
7). Anto mempunyai 20 lembar seribuan, 4 lembar lima ribuan dan 2 lembar sepuluh ribuan. Jika $x$, $y$, dan $z$ adalah banyaknya seribuan, lima ribuan, dan sepuluh ribuan, maka banyak cara berbeda sehingga jumlahnya dua puluh ribu rupiah adalah ...
8). Jika jumlah dua bilangan positif adalah 24, maka nilai terkecil dari jumlah kebalikan bilangan-bilangan tersebut adalah ...
9). Diberikan tabel bilangan berikut.
| -7 | $x$ | -8 |
| $2y$ | -5 | -4 |
| $x - 2$ | -10 | $y$ |
Jika diketahui bahwa jumlah masing-masing baris, kolom, dan diagonal adalah sama, maka nilai $x + y$ adalah ...
10). Persegi Antimagic ukuran 4 x 4 adalah susunan persegi panjang dari bilangan-bilangan 1 sampai dengan 16 sedemikian sehingga jumlah dari setiap empat baris, empat kolom, dan dua diagonal utamanya merupakan sepuluh bilangan bulat berurutan. Diagram berikut ini menunjukkan sebagian dari persegi Antimagic ukuran 4 x 4. Berapakah nilai dari *.
| * | 14 | ||
| 9 | 3 | 7 | |
| 12 | 13 | 5 | |
| 10 | 11 | 6 | 4 |
11). Jika $\frac{3a - 2b + 4c}{4a - b + c} = 1$, maka nilai $\frac{6c}{a+b}$ adalah ...
12). Carilah semua bilangan bulat positif $n$ sehingga $\frac{1}{n} = 0,abcabcabc... = 0,\overline{abc}$ (merupakan bilangan desimal berulang tak berhenti) dengan $a$, $b$, dan $c$ adalah angka-angka yang berbeda dari 0 sampai dengan 9.
13). Sejumlah siswa mengikuti ujian seleksi OSN tahun 2010 tingkat provinsi, ternyata didapatkan data bahwa sebanyak 64 siswa yang lulus adalah wanita, $\frac{3}{5}$ peserta yang lulus adalah laki-laki. Sedangkan jumlah peserta laki-laki lulus adalah 4 kali lebih banyak daripada jumlah peserta laki-laki yang tidak lulus, serta jumlah peserta yang tidak lulus adalah 40 siswa. Berapa persenkah jumlah peserta wanita yang mengikuti ujian seleksi tersebut?
14). Diketahui Budi adalah seorang siswa laki-laki dan Wati adalah seorang siswa perempuan. Saat ini mereka duduk di kelas IX pada suatu sekolah. Mereka mencatat banyak siswa kelas IX di sekolah mereka. Wati mencatat, $\frac{3}{20}$ dari total siswa di kelas IX adalah laki-laki. Sedangkan menurut catatan Budi, $\frac{1}{7}$ dari total siswa kelas IX selain dirinya adalah laki-laki. Banyak siswa laki-laki kelas IX di sekolah mereka adalah ...
15). Jika $1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \frac{1}{16} + \frac{1}{25} + \dots = a$, maka $\frac{1}{9} + \frac{1}{25} + \frac{1}{49} + \dots = \dots$
16). Jika $a, b,$ dan $c$ adalah bilangan positif dan $abc = 1$, maka tentukan nilai $x$ yang memenuhi persamaan: $$ \frac{2ax}{ab+a+1} + \frac{2bx}{bc+b+1} + \frac{2cx}{ca+c+1} = 1 $$
17). Terdapat tiga bilangan genap berurutan $a, b, c$ yang membuat $\frac{a}{b} + \frac{a}{c} + \frac{b}{a} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} + \frac{c}{b}$ menjadi sebuah bilangan bulat. Berapakah bilangan bulat itu?
Demikian pembahasan materi Persamaan Linier Olim Matik SMP dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan materi ini. Setiap artikel akan diupdate secara bertahap. Jika ada kritik dan saran, atau koreksi dari isi artikel di halaman ini, mohon bantuannya untuk menuliskannya di kolom komentar di bagian bawah setiap artikel. Ini sangat membantu untuk memperbaiki kualitas dari artikel di blog koma. Semoga bermanfaat. Terimakasih.
