Metode Pemfaktoran Olim SMP

         Blog Koma - Hallow sahabat koma, bagaimana kabarnya hari ini? Semoga baik-baik saja ya. Pada artikel ini kita akan membahas Metode Pemfaktoran Olim Matik SMP. Materi yang dibahas pada artikel ini merupakan materi dasar yang bisa digunakan untuk menyelesaikan bentuk-bentuk soal olimpiade matematika yang berkaitan dengan Metode Pemfaktoran Olim Matik SMP Level SMP Pemula. Tentuk masih ada banyak lagi berkaitan Metode Pemfaktoran pada materi olim matik SMP yang bisa sahabat koma pelajari sendiri untuk menambah kemampuannya dalam menyelesaikan soal-soal aljabar. Untuk menambah wawasan tentang Metode Pemfaktoran ini, terdapat beberapa contoh soal yang bisa dicoba dan soal-soal Latihan.

6. Metode Pemfaktoran

Berikut adalah beberapa metode pemfaktoran yang bisa digunakan:

1). Distributif

• $xm + ym = m(x + y)$
• $xm - ym = m(x - y)$
• $xm + ym + zm = m(x + y + z)$

2). Menggunakan Rumus Aljabar

1. $x^2 - y^2 = (x + y)(x - y)$
2. $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$
3. $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$
4. $x^4 - y^4 = (x^2 + y^2)(x^2 - y^2)$
5. Identitas Sophie Germain:
   $$x^4 + 4y^4 = [(x + y)^2 + y^2][(x - y)^2 + y^2]$$
6. Melengkapkan kuadrat sempurna:
   • $x^2 + 2xy + y^2 = (x + y)^2$
   • $x^2 - 2xy + y^2 = (x - y)^2$
7. $x^{2n} - y^{2n} = (x^n + y^n)(x^n - y^n)$
8. Untuk $n$ bilangan asli: $$x^n - y^n = (x - y)(x^{n-1} + x^{n-2}y + x^{n-3}y^2 + \dots + x^2 y^{n-3} + xy^{n-2} + y^{n-1})$$ Misalkan:
   • $x^4 - y^4 = (x - y)(x^3 + x^2 y + xy^2 + y^3)$
   • $x^5 - y^5 = (x - y)(x^4 + x^3 y + x^2 y^2 + xy^3 + y^4)$

3). Bentuk $ax^2 + bx + c$ dengan $a \neq 0$

$$ax^2 + bx + c = \frac{(ax+p)(ax+q)}{a}$$

Dengan $p + q = b$ dan $p \cdot q = a \cdot c$

4). Segitiga Pascal untuk Penjabaran

Bentuk segitiga pascal:

Contoh penjabaran bentuk aljabar metode pascal:

• $(x + y)^0 = 1$
• $(x + y)^1 = x + y$
• $(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$
• $(x + y)^3 = x^3 + 3x^2 y + 3xy^2 + y^3$
• $(x + y)^4 = x^4 + 4x^3 y + 6x^2 y^2 + 4xy^3 + y^4$
• $(x + y)^5 = x^5 + 5x^4 y + 10x^3 y^2 + 10x^2 y^3 + 5xy^4 + y^5$

Misalkan:

$$(x + 1)^3 = x^3 + 3x^2 + 3x + 1$$

Contoh Soal & Solusi

Contoh 1:

Faktorkan bentuk $64x^6 - 729y^{12}$!

Solusi:

Gunakan rumus selisih kuadrat $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$, lalu dilanjutkan dengan selisih dan jumlah kubik: $$\begin{aligned} 64x^6 - 729y^{12} &= (8x^3)^2 - (27y^6)^2 \\ &= (8x^3 - 27y^6)(8x^3 + 27y^6) \\ &= \left((2x)^3 - (3y^2)^3\right)\left((2x)^3 + (3y^2)^3\right) \\ &= (2x - 3y^2)(4x^2 + 6xy^2 + 9y^4)(2x + 3y^2)(4x^2 - 6xy^2 + 9y^4) \end{aligned}$$

Contoh 2:

Faktorkan masing-masing bentuk berikut:
a). $x^2 + x - 6$
b). $2x^2 - 10x + 8$

Solusi:

a). Cari dua bilangan jika dikali hasilnya $-6$ dan jika dijumlah hasilnya $1$ (yaitu $3$ dan $-2$): $$x^2 + x - 6 = (x + 3)(x - 2)$$ b). Keluarkan faktor $2$ terlebih dahulu: $$2x^2 - 10x + 8 = 2(x^2 - 5x + 4) = 2(x - 1)(x - 4)$$

Contoh 3:

Faktorkan bentuk $2a^3 + 6a^2 + 6a + 18$.

Solusi:

Gunakan metode pengelompokan suku (grouping): $$\begin{aligned} 2a^3 + 6a^2 + 6a + 18 &= 2(a^3 + 3a^2 + 3a + 9) \\ &= 2 \cdot \left[ a^2(a + 3) + 3(a + 3) \right] \\ &= 2(a^2 + 3)(a + 3) \end{aligned}$$

Contoh 4:

Ketika tuan Felix dihadapkan dengan soal berbentuk: $$\sqrt{2374 \times 2375 \times 2376 \times 2377 + 1}$$ Dia tidak mengalikan satu persatu bilangan-bilangan yang ada, yang dia lakukan adalah menjumlahkan $2374$ dengan kuadrat dari $2375$. Benarkah jawabannya? Bisakah jawabannya dipertanggungjawabkan untuk setiap bentuk dengan pola seperti ini?

Solusi:

Misalkan $n = 2374$. Perkalian 4 bilangan berturut-turut ditambah 1 adalah: $$P = n(n+1)(n+2)(n+3) + 1$$ Kelompokkan suku pertama dengan terakhir, dan suku kedua dengan ketiga: $$P = [n(n+3)][(n+1)(n+2)] + 1 = (n^2 + 3n)(n^2 + 3n + 2) + 1$$ Misalkan $k = n^2 + 3n$, maka: $$P = k(k + 2) + 1 = k^2 + 2k + 1 = (k + 1)^2$$ Sehingga akar kuadratnya adalah: $$\sqrt{P} = k + 1 = n^2 + 3n + 1$$ Sekarang periksa cara Tuan Felix (yaitu $n + (n+1)^2$): $$n + (n+1)^2 = n + (n^2 + 2n + 1) = n^2 + 3n + 1$$ Ternyata hasil penjabaran Tuan Felix sama persis dengan penyederhanaan aljabar! Jadi jawabannya BENAR dan dapat dipertanggungjawabkan secara umum untuk setiap perkalian 4 bilangan bulat berurutan ditambah 1.

Contoh 5:

Hasil dari $\sqrt{1 + \frac{15}{4}\sqrt{1 + \frac{15}{4}\sqrt{1 + \frac{15}{4}\sqrt{1 + \dots}}}}$ adalah ...?

Solusi:

Misalkan nilai seluruh bentuk tersebut adalah $x$: $$x = \sqrt{1 + \frac{15}{4}x}$$ Kuadratkan kedua ruas: $$x^2 = 1 + \frac{15}{4}x \implies 4x^2 - 15x - 4 = 0$$ Faktorkan persamaan kuadrat tersebut: $$(4x + 1)(x - 4) = 0$$ Maka $x = -\frac{1}{4}$ atau $x = 4$. Karena nilai bentuk akar tidak mungkin negatif, maka jawabannya adalah $4$.

Contoh 6:

Hitunglah nilai $1 + \frac{12}{1 + \frac{12}{1 + \frac{12}{1 + \dots}}}$?

Solusi:

Misalkan seluruh bentuk pecahan berulang tersebut nilainya $x$: $$x = 1 + \frac{12}{x}$$ Kalikan kedua ruas dengan $x$ (dengan $x \neq 0$): $$x^2 = x + 12 \implies x^2 - x - 12 = 0$$ Faktorkan persamaan kuadrat tersebut: $$(x - 4)(x + 3) = 0$$ Maka $x = 4$ atau $x = -3$. Karena pecahan berulang bernilai positif ini tidak menghasilkan bilangan negatif, maka nilainya adalah $4$.

Soal Latihan

1). Salah satu faktor dari $17^3 - 5^3$ adalah ...

A). 5

B). 13

C). 399

D). 17

E). 273

2). Untuk bilangan real $a$ dan $b$ didefinisikan operasi $*$ dengan aturan sebagai berikut:

$$a * b = (a \times b) + (a + b)$$ Dimana simbol $\times$ dan $+$ berturut-turut artinya perkalian dan penjumlahan bilangan biasanya. Tentukan nilai $a$ yang memenuhi ketentuan $a * a = 3$.

3). Misalkan $m$ dan $n$ adalah bilangan bulat dan $0 < m < n$. Jika $\frac{1}{m} + \frac{1}{n} = \frac{1}{3}$, maka $\frac{1}{m} - \frac{1}{n} = \dots$

A). $\frac{2}{3}$

B). $\frac{1}{6}$

C). $-\frac{1}{6}$

D). $-\frac{2}{3}$

E). $\frac{5}{6}$

4). Semua pasangan bilangan real $(x, y)$ yang memenuhi $x^2 + y^2 = 2x - 4y - 5$ adalah ...

5). Semua pasangan bilangan bulat $(a, b)$ yang memenuhi $2^a = b^2 - 1$ adalah ...

6). Jika $m$ dan $n$ adalah bilangan bulat positif sehingga $m^2 + 2m + 3n = 33$, maka banyak bilangan $n$ yang memenuhi adalah ....

A). 7

B). 6

C). 5

D). 4

E). 3

7). Jika selisih dua bilangan adalah 2 dan selisih kuadrat dua bilangan itu adalah 6, maka hasil tambah dua bilangan itu adalah ...

8). Semua pasangan bilangan asli $m$ dan $n$ yang memenuhi persamaan $\frac{2}{m} + \frac{3}{n} = 1$ adalah ...

9). Bilangan 45 dapat dinyatakan sebagai selisih dari bilangan kuadrat yakni $a^2 - b^2$, dengan $a$ dan $b$ adalah bilangan asli. Semua pasangan bilangan asli $a$ dan $b$ yang memenuhi $a^2 - b^2 = 45$ adalah ...

10). Jika $P$ dan $Q$ keduanya adalah bilangan positif ganjil dan memenuhi $\frac{1}{P} + \frac{4}{Q} = \frac{3}{5}$, maka selisih $P$ dan $Q$ adalah ...

11). Semua pasangan bilangan bulat $x$ dan $y$ yang memenuhi persamaan $y^2(x + 1) = 1576 + x^2$ adalah ...

12). Diketahui $a$ dan $x$ adalah dua bilangan bulat positif yang memenuhi persamaan $\frac{1}{a} + \frac{1}{2a} + \frac{1}{3a} = \frac{1}{x^2 - 2x}$. Nilai terkecil dari $a + x$ adalah ...

13). Pasangan $(x, y, z)$ dengan $x, y, z \in \mathbb{Z}$, memenuhi persamaan berikut:

$$\begin{aligned} 2x + y + xy &= 2 \\ y + 3z + yz &= 7 \\ 2x + 3z + xz &= 30 \end{aligned}$$ Berapakah nilai dari $\sqrt{x^3 + 10y^3 + z^3}$?

14). Untuk setiap pasangan bilangan $a$ dan $b$, didefinisikan $a \otimes b = a - b + ab$. Bilangan asli $x$ dikatakan mitra bilangan asli $n$ jika terdapat bilangan asli $y$ yang memenuhi $x \otimes y = n$. Sebagai contoh, 7 adalah mitra dari 13 karena terdapat bilangan asli 1 sehingga $7 \otimes 1 = 7 - 1 + 7 \cdot 1 = 6 + 7 = 13$.

Tentukan semua mitra dari 2008.

15). Bentuk sederhana dari

$$\sqrt{\left(\frac{17x^2 - 71x - 12}{2x^2 - 7x + 3} : \frac{17 - 88x + 15}{2x^2 + 7x - 4} : \frac{3x^2 - 48}{x^2 - 2x - 3}\right) \times \frac{24x^3 - 120x^2}{2x + 2}}$$

16). Jika $\frac{(y-x)^2}{z-x} - \frac{(y-z)^2}{z-x} = y - z$, dan $x \neq z$, maka nilai $y$ sama dengan ...

17). Banyak bilangan bulat positif $n$ yang memenuhi bilangan kuadrat sempurna $n^4 + n^3 + 1$ adalah ...

18). Jika $\frac{x^3 + 3x^2 y}{x + 3y} - \frac{27y^3 + 9xy^2}{3y + x} = x + 3y$, maka nilai $x = \dots$?

Kembali ke Daftar Isi Olimpiade Matik SMP

       Demikian pembahasan materi Metode Pemfaktoran Olim Matik SMP dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan materi ini. Setiap artikel akan diupdate secara bertahap. Jika ada kritik dan saran, atau koreksi dari isi artikel di halaman ini, mohon bantuannya untuk menuliskannya di kolom komentar di bagian bawah setiap artikel. Ini sangat membantu untuk memperbaiki kualitas dari artikel di blog koma. Semoga bermanfaat. Terimakasih.