Blog Koma - Hallow sahabat koma, bagaimana kabarnya hari ini? Semoga baik-baik saja ya.
Pada artikel ini kita akan membahas Kongruensi (Modulo) Olim Matik SMP. Materi yang dibahas pada artikel ini merupakan materi dasar yang bisa
digunakan untuk menyelesaikan bentuk-bentuk soal olimpiade matematika yang berkaitan dengan Kongruensi (Modulo) Olim Matik SMP Level SMP Pemula.
Tentuk masih ada banyak
lagi berkaitan Kongruensi (Modulo) pada materi olim matik SMP yang bisa sahabat koma pelajari sendiri untuk menambah kemampuannya dalam
menyelesaikan soal-soal aljabar. Untuk menambah wawasan tentang Kongruensi (Modulo) ini, terdapat beberapa contoh soal yang bisa dicoba dan
soal-soal Latihan.
_olim_matik_smp_blog_koma.png)
Kembali ke Daftar Isi Olimpiade Matik SMP
Demikian pembahasan materi Kongruensi (Modulo) Olim Matik SMP dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan materi ini. Setiap artikel akan diupdate secara bertahap. Jika ada kritik dan saran, atau koreksi dari isi artikel di halaman ini, mohon bantuannya untuk menuliskannya di kolom komentar di bagian bawah setiap artikel. Ini sangat membantu untuk memperbaiki kualitas dari artikel di blog koma. Semoga bermanfaat. Terimakasih.
_olim_matik_smp_blog_koma.png)
5. Kongruensi (Modulo)
A). Pengertian Kongruensi
Misalkan $a, b$ bilangan bulat dan $m$ suatu bilangan bulat positif, $a$ kongruen dengan $b$ modulo $m$, dinotasikan $a \equiv b \pmod m$, jika $a$ dan $b$ memiliki sisa yang sama ketika dibagi dengan $m$ (dapat diartikan sebagai $m$ membagi $a - b$). Jika sisa pembagiannya berbeda, maka $a$ tidak kongruen dengan $b$ modulo $m$, dinotasikan $a \not\equiv b \pmod m$ (artinya $m$ tidak membagi $a - b$).
$$a \equiv b \pmod m$$
Dibaca: "$a$ kongruen dengan $b$ modulo $m$"
Artinya:
- $a$ dan $b$ memiliki sisa yang sama saat dibagi $m$.
- $m$ habis membagi $a - b$ atau $m$ habis membagi $b - a$.
- $a$ dibagi $m$ bersisa $b$ atau $b$ dibagi $m$ bersisa $a$.
Jika tidak memenuhi syarat di atas, maka kita sebut tidak kongruen, ditulis: $a \not\equiv b \pmod m$.
Catatan Istilah Diagramatik:
$a \mid b \quad \longrightarrow \quad a \text{ habis membagi } b$
$a \mid b \quad \longrightarrow \quad a \text{ habis membagi } b$
Contoh Keabsahan Pernyataan:
- a). $25 \equiv 10 \pmod 3 \quad \longrightarrow \quad$ BENAR karena $3 \mid (25-10)$
- b). $19 \equiv 7 \pmod 5 \quad \longrightarrow \quad$ SALAH karena $5 \nmid (19-7)$
- c). $36 \equiv 1 \pmod 5 \quad \longrightarrow \quad$ BENAR karena $5 \mid (36-1)$
- d). $47 \equiv 3 \pmod 4 \quad \longrightarrow \quad$ BENAR karena $4 \mid (47-3)$
Penulisan Lain Dari Modulo:
Bentuk kongruensi dapat diubah menjadi bentuk persamaan linier biasa dengan syarat nilai $a > b$:
$$a \equiv b \pmod m \quad \longrightarrow \quad a = m \cdot k + b$$
Dimana: $m = \text{Pembagi}, \quad k = \text{Hasil}, \quad b = \text{Sisa}$
Contoh Perubahan Bentuk:
- a). $21 \equiv 1 \pmod 5 \quad \longrightarrow \quad 21 = 5 \cdot k + 1$
- b). $30 = 7k + 2 \quad \longrightarrow \quad 30 \equiv 2 \pmod 7$
B). Sifat-Sifat Bilangan Modulo
Untuk bilangan bulat $a, b, c, d$ dan bilangan bulat positif $m$, berlaku sifat-sifat modulo berikut:
- $a \equiv a \pmod m$
- Jika $a \equiv b \pmod m$, maka $b \equiv a \pmod m$
- Jika $a \equiv b \pmod m$ dan $b \equiv c \pmod m$, maka $a \equiv c \pmod m$
- Jika $a \equiv b \pmod m$ dan $c \equiv d \pmod m$, maka:
- a). $(a + c) \equiv (b + d) \pmod m$
- b). $(a - c) \equiv (b - d) \pmod m$
- c). $ac \equiv bd \pmod m$
- Jika $a \equiv b \pmod m$, maka:
- a). $(a + c) \equiv (b + c) \pmod m$ atau $a - c \equiv b - c \pmod m$
- b). $ac \equiv bc \pmod m$
- c). $a^n \equiv b^n \pmod m$
- $(am + b)^n \equiv b^n \pmod m$ (Usahakan nilai $b = \pm 1$)
- Fermat's Little Theorem (FLT):
Untuk $a, p$ bilangan bulat positif, $p$ bilangan prima, berlaku:
- a). $a^p \equiv a \pmod p$
- b). $a^{p-1} \equiv 1 \pmod p$ jika $FPB(a, p) = 1$ ($a$ dan $p$ relatif prima)
Contoh Soal Sederhana Masing-masing Sifat
1). Sifat 1: Reflexive
Contoh: $2 \equiv 2 \pmod 7$, $\quad 5 \equiv 5 \pmod 3$, $\quad 100 \equiv 100 \pmod 9$, $\quad -3 \equiv -3 \pmod{10}$
2). Sifat 2: Symmetric
a). Jika $7 \equiv 4 \pmod 3$ maka $4 \equiv 7 \pmod 3$
b). Solusi Nilai Variabel: $2 \equiv x \pmod 5 \rightarrow x = \dots\dots ?$
Jawab:
$x \equiv 2 \pmod 5 \rightarrow x = 5k + 2$ dengan $k$ bilangan bulat.
Maka himpunan nilai $x = \{ \dots, -8, -3, 2, 7, 12, \dots \}$
$x \equiv 2 \pmod 5 \rightarrow x = 5k + 2$ dengan $k$ bilangan bulat.
Maka himpunan nilai $x = \{ \dots, -8, -3, 2, 7, 12, \dots \}$
3). Sifat 3: Transitive
Jika $25 \equiv 16 \pmod 3$ dan $16 \equiv 4 \pmod 3$, maka $25 \equiv 4 \pmod 3$.
Hubungan berantai sisa terkecil: $25 \equiv 4 \pmod 3$ dan $4 \equiv 1 \pmod 3 \rightarrow 25 \equiv 1 \pmod 3$.
Dengan kata lain: $25 \equiv 16 \pmod 3 \equiv 1 \pmod 3$
4). Sifat 4: Operasi Dua Kongruensi
Diketahui $25 \equiv 4 \pmod 3$ dan $16 \equiv 1 \pmod 3$, maka:
- a). Penjumlahan: $25 + 16 \equiv 4 + 1 \pmod 3 \rightarrow 41 \equiv 5 \pmod 3 \equiv 2 \pmod 3$
- b). Pengurangan: $25 - 16 \equiv 4 - 1 \pmod 3 \rightarrow 9 \equiv 3 \pmod 3 \equiv 0 \pmod 3$
- c). Perkalian: $25 \times 16 \equiv 4 \times 1 \pmod 3 \rightarrow 400 \equiv 4 \pmod 3 \equiv 1 \pmod 3$
5). Sifat 5 & Perpaduannya
Diketahui $25 \equiv 1 \pmod 3$, maka berdasarkan sifat eksponen dan operasi konstan:
$\bullet$ $25 + 7 \equiv 1 + 7 \pmod 3$ $\rightarrow$ $32 \equiv 8 \pmod 3 \equiv 2 \pmod 3$
$\bullet$ $25 \times 4 \equiv 1 \times 4 \pmod 3$ $\rightarrow$ $100 \equiv 4 \pmod 3 \equiv 1 \pmod 3$
$\bullet$ $25^{125} \equiv 1^{125} \pmod 3$ $\rightarrow$ $25^{125} \equiv 1 \pmod 3$
Contoh Kasus Soal: Tentukan sisa jika $29^{2025}$ dibagi $7$?
Jawab:
Kita tahu secara mendasar bahwa $29 \equiv 1 \pmod 7$.
Sehingga: $29^{2025} \equiv 1^{2025} \pmod 7 \equiv 1 \pmod 7$.
Jadi, $29^{2025}$ dibagi $7$ menghasilkan sisa 1.
Kita tahu secara mendasar bahwa $29 \equiv 1 \pmod 7$.
Sehingga: $29^{2025} \equiv 1^{2025} \pmod 7 \equiv 1 \pmod 7$.
Jadi, $29^{2025}$ dibagi $7$ menghasilkan sisa 1.
Perpaduan Antara Sifat 4 dan 5 (Manipulasi Kelipatan):
$$a \equiv b \pmod m \quad \longrightarrow \quad a \equiv b \pm m \cdot c \pmod m$$ Hal ini sangat berguna untuk mengubah sisa negatif atau menyederhanakan sisa besar dengan batasan sisa pembagian $z$ yaitu: $0 \le \text{sisa} < z$.
$$a \equiv b \pmod m \quad \longrightarrow \quad a \equiv b \pm m \cdot c \pmod m$$ Hal ini sangat berguna untuk mengubah sisa negatif atau menyederhanakan sisa besar dengan batasan sisa pembagian $z$ yaitu: $0 \le \text{sisa} < z$.
- $x \equiv -3 \pmod 7 \rightarrow x \equiv -3 + 7 \times 1 \pmod 7 \equiv 4 \pmod 7$ (Sisa pembagian adalah 4)
- $y \equiv 15 \pmod 4 \rightarrow y \equiv 15 - 4 \times 3 \pmod 4 \equiv 3 \pmod 4$ (Sisa pembagian adalah 3)
6). Sifat 6: Metode Substitusi Basis
Contoh a). Berapakah sisa dari $25^{2025}$ jika dibagi 3?
Jawab:
$25^{2025} \equiv (8 \times 3 + 1)^{2025} \pmod 3 \equiv 1^{2025} \pmod 3 \equiv 1 \pmod 3$.
Jadi sisanya adalah 1.
$25^{2025} \equiv (8 \times 3 + 1)^{2025} \pmod 3 \equiv 1^{2025} \pmod 3 \equiv 1 \pmod 3$.
Jadi sisanya adalah 1.
Contoh b). Berapakah sisa dari $19^{2025}$ jika dibagi 5?
Jawab:
Kita dapat menuliskan $19 = 3 \times 5 + 4$ atau $19 = 4 \times 5 - 1$. Pilih sisa $-1$ agar mudah dipangkatkan.
$19^{2025} \equiv (4 \times 5 - 1)^{2025} \pmod 5 \equiv (-1)^{2025} \pmod 5$
Karena pangkatnya ganjil, $(-1)^{2025} = -1$.
Kembalikan ke rentang positif: $-1 + 5 \times 1 = 4 \pmod 5$.
Jadi sisanya adalah 4.
Kita dapat menuliskan $19 = 3 \times 5 + 4$ atau $19 = 4 \times 5 - 1$. Pilih sisa $-1$ agar mudah dipangkatkan.
$19^{2025} \equiv (4 \times 5 - 1)^{2025} \pmod 5 \equiv (-1)^{2025} \pmod 5$
Karena pangkatnya ganjil, $(-1)^{2025} = -1$.
Kembalikan ke rentang positif: $-1 + 5 \times 1 = 4 \pmod 5$.
Jadi sisanya adalah 4.
7). Sifat 7: Aplikasi Teorema Kecil Fermat (FLT)
Mengingat Kembali Sifat Eksponen:
$a^{m+n} = a^m \times a^n \quad$ dan $\quad a^{m \times n} = (a^m)^n = (a^n)^m$
$a^{m+n} = a^m \times a^n \quad$ dan $\quad a^{m \times n} = (a^m)^n = (a^n)^m$
Contoh Kasus: $10^{602}$ dibagi $7 \rightarrow \text{sisa} = \dots\dots ?$
Jawab:
Angka $7$ adalah bilangan prima dan $FPB(10, 7) = 1$. Berdasarkan aturan FLT:
$$10^{7-1} \equiv 1 \pmod 7 \implies 10^6 \equiv 1 \pmod 7$$ Uraikan pangkat komponen soal berdasarkan kelipatan 6:
$602 = 6 \times 100 + 2$
$$10^{602} = 10^{6 \times 100 + 2} = (10^6)^{100} \times 10^2 \pmod 7$$ $$\equiv (1)^{100} \times 100 \pmod 7 \equiv 1 \times 100 \pmod 7$$ Sederhanakan angka 100 terhadap modulo 7 ($100 = 14 \times 7 + 2$):
$$100 \equiv 2 \pmod 7$$ Jadi, sisa pembagian $10^{602}$ oleh $7$ adalah 2.
Angka $7$ adalah bilangan prima dan $FPB(10, 7) = 1$. Berdasarkan aturan FLT:
$$10^{7-1} \equiv 1 \pmod 7 \implies 10^6 \equiv 1 \pmod 7$$ Uraikan pangkat komponen soal berdasarkan kelipatan 6:
$602 = 6 \times 100 + 2$
$$10^{602} = 10^{6 \times 100 + 2} = (10^6)^{100} \times 10^2 \pmod 7$$ $$\equiv (1)^{100} \times 100 \pmod 7 \equiv 1 \times 100 \pmod 7$$ Sederhanakan angka 100 terhadap modulo 7 ($100 = 14 \times 7 + 2$):
$$100 \equiv 2 \pmod 7$$ Jadi, sisa pembagian $10^{602}$ oleh $7$ adalah 2.
Kumpulan Contoh Soal Tambahan & Solusi Lengkap
Contoh 1: Berapakah sisa pembagian $3^{19}$ dibagi 14?
Jawab:
Cari pangkat dari 3 yang mendekati kelipatan 14: $3^3 = 27 = 2 \times 14 - 1 \rightarrow 3^3 \equiv -1 \pmod{14}$.
Pecah eksponen: $19 = 3 \times 6 + 1$.
$$3^{19} = (3^3)^6 \times 3^1 \equiv (-1)^6 \times 3 \pmod{14} \equiv 1 \times 3 \pmod{14} \equiv 3 \pmod{14}$$ Jadi, sisanya adalah 3.
Cari pangkat dari 3 yang mendekati kelipatan 14: $3^3 = 27 = 2 \times 14 - 1 \rightarrow 3^3 \equiv -1 \pmod{14}$.
Pecah eksponen: $19 = 3 \times 6 + 1$.
$$3^{19} = (3^3)^6 \times 3^1 \equiv (-1)^6 \times 3 \pmod{14} \equiv 1 \times 3 \pmod{14} \equiv 3 \pmod{14}$$ Jadi, sisanya adalah 3.
Contoh 2: Tentukan sisa pembagian $2^{2005}$ oleh 13?
Jawab:
Cara I (Substitusi Basis): $2^6 = 64 = 5 \times 13 - 1 \rightarrow 2^6 \equiv -1 \pmod{13}$.
Bagi pangkatnya: $2005 = 6 \times 334 + 1$.
$$2^{2005} = (2^6)^{334} \times 2^1 \equiv (-1)^{334} \times 2 \pmod{13} \equiv 1 \times 2 \equiv 2 \pmod{13}$$
Cara II (Menggunakan FLT): Karena 13 prima, $2^{12} \equiv 1 \pmod{13}$.
Bagi pangkatnya dengan 12: $2005 = 12 \times 167 + 1$.
$$2^{2005} = (2^{12})^{167} \times 2^1 \equiv (1)^{167} \times 2 \equiv 2 \pmod{13}$$ Jadi, sisanya adalah 2.
Cara I (Substitusi Basis): $2^6 = 64 = 5 \times 13 - 1 \rightarrow 2^6 \equiv -1 \pmod{13}$.
Bagi pangkatnya: $2005 = 6 \times 334 + 1$.
$$2^{2005} = (2^6)^{334} \times 2^1 \equiv (-1)^{334} \times 2 \pmod{13} \equiv 1 \times 2 \equiv 2 \pmod{13}$$
Cara II (Menggunakan FLT): Karena 13 prima, $2^{12} \equiv 1 \pmod{13}$.
Bagi pangkatnya dengan 12: $2005 = 12 \times 167 + 1$.
$$2^{2005} = (2^{12})^{167} \times 2^1 \equiv (1)^{167} \times 2 \equiv 2 \pmod{13}$$ Jadi, sisanya adalah 2.
Contoh 3: Sisa pembagian $7^{100}$ jika dibagi 9 adalah ...?
Jawab:
Cari pangkat terkecil: $7^3 = 343 = 38 \times 9 + 1 \rightarrow 7^3 \equiv 1 \pmod 9$.
$$7^{100} = (7^3)^{33} \times 7^1 \equiv (1)^{33} \times 7 \equiv 7 \pmod 9$$ Jadi, sisanya adalah 7.
Cari pangkat terkecil: $7^3 = 343 = 38 \times 9 + 1 \rightarrow 7^3 \equiv 1 \pmod 9$.
$$7^{100} = (7^3)^{33} \times 7^1 \equiv (1)^{33} \times 7 \equiv 7 \pmod 9$$ Jadi, sisanya adalah 7.
Contoh 4: Sisa pembagian $15^{2025}$ dibagi 23 adalah ...?
Jawab:
Menggunakan FLT karena 23 prima: $15^{22} \equiv 1 \pmod{23}$.
Bagi eksponen: $2025 = 22 \times 92 + 1$.
$$15^{2025} = (15^{22})^{92} \times 15^1 \equiv 1^{92} \times 15 \equiv 15 \pmod{23}$$ Jadi, sisanya adalah 15.
Menggunakan FLT karena 23 prima: $15^{22} \equiv 1 \pmod{23}$.
Bagi eksponen: $2025 = 22 \times 92 + 1$.
$$15^{2025} = (15^{22})^{92} \times 15^1 \equiv 1^{92} \times 15 \equiv 15 \pmod{23}$$ Jadi, sisanya adalah 15.
Konsep Khusus: Menentukan Digit Terakhir
Menentukan $n$ digit terakhir sama saja dengan mencari sisa pembagian nilai terhadap $10^n$.
- 1 Digit Terakhir (Satuan) $\rightarrow$ Uji Modulo $10$
- 2 Digit Terakhir (Puluhan & Satuan) $\rightarrow$ Uji Modulo $100$
- 3 Digit Terakhir $\rightarrow$ Uji Modulo $1000$
Contoh 5: Tentukan bilangan satuan dari $23^{2012}$?
Jawab:
Mencari digit satuan berarti mencari sisa modulo 10.
$23 \equiv 3 \pmod{10} \rightarrow 23^{2012} \equiv 3^{2012} \pmod{10}$.
Kita tahu bahwa $3^2 = 9 \equiv -1 \pmod{10}$.
$$3^{2012} = (3^2)^{1006} \equiv (-1)^{1006} \pmod{10} \equiv 1 \pmod{10}$$ Jadi, angka satuannya adalah 1.
Mencari digit satuan berarti mencari sisa modulo 10.
$23 \equiv 3 \pmod{10} \rightarrow 23^{2012} \equiv 3^{2012} \pmod{10}$.
Kita tahu bahwa $3^2 = 9 \equiv -1 \pmod{10}$.
$$3^{2012} = (3^2)^{1006} \equiv (-1)^{1006} \pmod{10} \equiv 1 \pmod{10}$$ Jadi, angka satuannya adalah 1.
Contoh 6: Tentukan digit terakhir dari $223^{12} - 44^{15}$?
Jawab:
Digit terakhir berarti ditinjau dalam $\pmod{10}$.
1) Suku pertama: $223 \equiv 3 \pmod{10} \implies 223^{12} \equiv 3^{12} \pmod{10}$.
Karena $3^2 = 9 \equiv -1 \pmod{10}$, maka: $3^{12} = (3^2)^6 \equiv (-1)^6 \equiv 1 \pmod{10}$.
2) Suku kedua: $44 \equiv 4 \pmod{10} \implies 44^{15} \equiv 4^{15} \pmod{10}$.
Pola satuan dari perpangkatan basis 4 bersifat siklis ganjil-genap ($4^1=4, 4^2=6, 4^3=4, \dots$). Karena pangkat 15 ganjil, maka $4^{15} \equiv 4 \pmod{10}$.
Gabungkan kedua hasil: $1 - 4 = -3 \pmod{10}$.
Sesuaikan nilai sisa ke rentang positif: $-3 + 10 = 7 \pmod{10}$.
Jadi, digit terakhir dari operasi tersebut adalah 7.
Digit terakhir berarti ditinjau dalam $\pmod{10}$.
1) Suku pertama: $223 \equiv 3 \pmod{10} \implies 223^{12} \equiv 3^{12} \pmod{10}$.
Karena $3^2 = 9 \equiv -1 \pmod{10}$, maka: $3^{12} = (3^2)^6 \equiv (-1)^6 \equiv 1 \pmod{10}$.
2) Suku kedua: $44 \equiv 4 \pmod{10} \implies 44^{15} \equiv 4^{15} \pmod{10}$.
Pola satuan dari perpangkatan basis 4 bersifat siklis ganjil-genap ($4^1=4, 4^2=6, 4^3=4, \dots$). Karena pangkat 15 ganjil, maka $4^{15} \equiv 4 \pmod{10}$.
Gabungkan kedua hasil: $1 - 4 = -3 \pmod{10}$.
Sesuaikan nilai sisa ke rentang positif: $-3 + 10 = 7 \pmod{10}$.
Jadi, digit terakhir dari operasi tersebut adalah 7.
Contoh 7: Tentukan angka puluhan dari $7^{2020}$?
Jawab:
Mencari dua digit terakhir berarti menggunakan $\pmod{100}$.
Mari cari pola perpangkatan $7 \pmod{100}$:
$7^1 = 7$
$7^2 = 49$
$7^3 = 343 \equiv 43 \pmod{100}$
$7^4 = 43 \times 7 = 301 \equiv 1 \pmod{100}$
Karena $7^4 \equiv 1 \pmod{100}$, maka kelipatan pangkat 4 akan selalu bersisa 1.
$$7^{2020} = (7^4)^{505} \equiv 1^{505} \equiv 1 \pmod{100}$$ Dua digit terakhir dari bilangan tersebut adalah $01$.
Pertanyaan menanyakan angka puluhan, maka angka puluhannya adalah 0.
Mencari dua digit terakhir berarti menggunakan $\pmod{100}$.
Mari cari pola perpangkatan $7 \pmod{100}$:
$7^1 = 7$
$7^2 = 49$
$7^3 = 343 \equiv 43 \pmod{100}$
$7^4 = 43 \times 7 = 301 \equiv 1 \pmod{100}$
Karena $7^4 \equiv 1 \pmod{100}$, maka kelipatan pangkat 4 akan selalu bersisa 1.
$$7^{2020} = (7^4)^{505} \equiv 1^{505} \equiv 1 \pmod{100}$$ Dua digit terakhir dari bilangan tersebut adalah $01$.
Pertanyaan menanyakan angka puluhan, maka angka puluhannya adalah 0.
Contoh 8: Tentukan sisa pembagian $(1 + 2 + 3 + 4 + \dots + 2020)^{2021}$ dibagi oleh 9?
Jawab:
Hitung terlebih dahulu total deret aritmatika di dalam kurung menggunakan rumus $S_n = \frac{n(n+1)}{2}$:
$$S = \frac{2020 \times 2021}{2} = 1010 \times 2021$$ Sekarang, cari nilai sisa masing-masing faktor pembentuk terhadap $\pmod 9$ (menggunakan sifat jumlah digit):
$1010 \rightarrow 1+0+1+0 = 2 \implies 1010 \equiv 2 \pmod 9$
$2021 \rightarrow 2+0+2+1 = 5 \implies 2021 \equiv 5 \pmod 9$
Maka nilai dasar dalam kurung adalah:
$S \equiv 2 \times 5 = 10 \equiv 1 \pmod 9$.
Terakhir, hitung nilai perpangkatan deret tersebut:
$$S^{2021} \equiv 1^{2021} \equiv 1 \pmod 9$$ Jadi, sisa pembagian deret besar tersebut oleh 9 adalah 1.
Hitung terlebih dahulu total deret aritmatika di dalam kurung menggunakan rumus $S_n = \frac{n(n+1)}{2}$:
$$S = \frac{2020 \times 2021}{2} = 1010 \times 2021$$ Sekarang, cari nilai sisa masing-masing faktor pembentuk terhadap $\pmod 9$ (menggunakan sifat jumlah digit):
$1010 \rightarrow 1+0+1+0 = 2 \implies 1010 \equiv 2 \pmod 9$
$2021 \rightarrow 2+0+2+1 = 5 \implies 2021 \equiv 5 \pmod 9$
Maka nilai dasar dalam kurung adalah:
$S \equiv 2 \times 5 = 10 \equiv 1 \pmod 9$.
Terakhir, hitung nilai perpangkatan deret tersebut:
$$S^{2021} \equiv 1^{2021} \equiv 1 \pmod 9$$ Jadi, sisa pembagian deret besar tersebut oleh 9 adalah 1.
Soal Latihan
-
Berapa digit terakhir dari $(2002)^{2002}$?
- A). 4
- B). 2
- C). 8
- D). 0
- E). 1
- $2^{13}$ jika dibagi dengan $13$ akan memberikan sisa ...
- Angka satuan dari $1^{2008} + 3^{2008} + 5^{2008} + 7^{2008} + 9^{2008} + 11^{2008} + 13^{2008}$ adalah ...
- Tentukan sisa pembagian $20^{50}$ jika dibagi oleh $7$?
- Berapakah sisa pembagian $3^{2021}$ dibagi $41$?
- Hitunglah sisa dari $7^{2013}$ dibagi $41$?
- Tentukan sisa pembagian $2^{70} + 3^{70}$ dibagi $13$?
- Tentukan dua digit terakhir dari $(507^{19} - 41)^{10}$?
- Tentukan digit terakhir dari $9^{1003} - 7^{902} + 3^{801}$?
- Sisa pembagian $1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 + \dots + 100^3$ dibagi oleh $7$ adalah ...?
- Tentukan nilai terkecil bilangan bulat positif $k$ sehingga $2^{69} + k$ habis dibagi $127$.
- Tentukan sisa pembagian $2005^{2007^{2009}}$ dibagi $7$.
- Tentukan bilangan bulat positif terkecil $n$ sehingga $1000 \le n \le 2000$ dan $1111^n + 2222^n + 3333^n + 4444^n$ habis dibagi oleh $10$.
- Tentukan empat digit terakhir dari $7^{128}$.
Demikian pembahasan materi Kongruensi (Modulo) Olim Matik SMP dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan materi ini. Setiap artikel akan diupdate secara bertahap. Jika ada kritik dan saran, atau koreksi dari isi artikel di halaman ini, mohon bantuannya untuk menuliskannya di kolom komentar di bagian bawah setiap artikel. Ini sangat membantu untuk memperbaiki kualitas dari artikel di blog koma. Semoga bermanfaat. Terimakasih.
