4. FPB dan KPK
A). Faktorisasi Prima
(i). Faktorisasi tunggal
Setiap bilangan bulat $N$ dengan $N \neq 0$, bilangan $N$ selalu dapat dinyatakan sebagai perkalian bilangan prima yaitu:
$$N = p_1^{k_1} \times p_2^{k_2} \times p_3^{k_3} \times \dots \times p_n^{k_n} \quad \dots \dots (1)$$Keterangan:
- $k_i$ adalah bilangan cacah
- $p_i$ adalah bilangan prima
- $i$ adalah bilangan asli
Bentuk (1) di atas disebut faktorisasi prima yang dapat kita tentukan dengan bantuan pohon faktor.
(ii). Banyak pembagi positif
Dari bentuk (1) di atas, banyaknya pembagi positif (banyak faktor positif) dari bilangan $N$ adalah:
$$(k_1 + 1) \times (k_2 + 1) \times (k_3 + 1) \times \dots \times (k_n + 1) \quad \dots \dots (2)$$B). Faktor Persekutuan terBesar (FPB)
(i). Pengertian FPB
Suatu bilangan $d$ disebut faktor persekutuan terbesar (greater common divisor/GCD) dari bilangan $a$ dan $b$ jika:
- (1). $d$ membagi habis $a$ dan $b$ ($d|a$ dan $d|b$)
- (2). Untuk setiap bilangan $e$ pembagi habis $a$ dan $b$, maka $e|d$.
Selanjutnya, faktor persekutuan terbesar $d$ dari bilangan $a$ dan $b$ dinotasikan:
$$\text{FPB}(a, b) = d \text{ atau } \text{GCD}(a, b) = d$$(ii). Pengertian Relatif Prima
Dua buah bilangan bulat $a$ dan $b$ disebut relatif prima (relative prime) jika $\text{FPB}(a, b) = 1$.
(iii). Sifat berkaitan FPB (Identitas Bezout)
Jika $a$ dan $b$ dua buah bilangan bulat dan $\text{FPB}(a, b) = d$, maka terdapat bilangan bulat $m$ dan $n$ sehingga $d = ma + nb$.
(iv). Cara menentukan FPB
Ada beberapa cara untuk menentukan FPB yaitu cara mendaftar, cara tabel, faktorisasi prima, Algoritma Euclid, dan lainnya. Kita akan membahas dua cara terakhir.
a). Menentukan FPB dengan faktorisasi prima
Misalkan terdapat dua buah bilangan bulat yaitu $a$ dan $b$ yang kita ubah kedalam bentuk faktorisasi primanya,
$$a = p_1^{k_1} \times p_2^{k_2} \times p_3^{k_3} \times \dots \times p_n^{k_n}$$ $$b = p_1^{m_1} \times p_2^{m_2} \times p_3^{m_3} \times \dots \times p_n^{m_n}$$Maka $\text{FPB}(a, b) = p_1^{\min(k_1, m_1)} \times p_2^{\min(k_2, m_2)} \times p_3^{\min(k_3, m_3)} \times \dots \times p_n^{\min(k_n, m_n)}$.
Min artinya minimum (nilai terkecil).
b). Menentukan FPB dengan Algoritma Euclid
*). Teorema Euclid
Misalkan $a$ dan $b$ adalah bilangan bulat dengan syarat $b > 0$. Jika $a$ dibagi dengan $b$, maka terdapat dua buah bilangan bulat unik $q$ (quotient) dan $r$ (remainder), sedemikian sehingga $a = b.q + r$ dengan $0 \le r < b$.
*). Cara mencari FPB $(a, b)$ dengan $a > b$ yaitu:
$$ \begin{align*} a &= bq_1 + r_1, \quad &0 \le r_1 < b \\ b &= r_1q_2 + r_2, \quad &0 \le r_2 < r_1 \\ r_1 &= r_2q_3 + r_3, \quad &0 \le r_3 < r_2 \\ &\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots & \\ r_{n-2} &= r_{n-1}q_n + r_n, \quad &0 \le r_n < r_{n-1} \\ r_{n-1} &= r_nq_{n+1} + 0, \quad & \end{align*} $$Maka $\text{FPB}(a,b) = r_n$
- 18 dan 30
- 10 dan 45
- 24 dan 36
a). 18 dan 30 ($30 > 18$)
$30 = 18 \cdot 1 + 12$
$18 = 12 \cdot 1 + 6$
$12 = 6 \cdot 2 + 0$
Sisa terakhir sebelum 0 adalah 6. Maka $\text{FPB}(18, 30) = \mathbf{6}$.
b). 10 dan 45 ($45 > 10$)
$45 = 10 \cdot 4 + 5$
$10 = 5 \cdot 2 + 0$
Sisa terakhir sebelum 0 adalah 5. Maka $\text{FPB}(10, 45) = \mathbf{5}$.
c). 24 dan 36 ($36 > 24$)
$36 = 24 \cdot 1 + 12$
$24 = 12 \cdot 2 + 0$
Sisa terakhir sebelum 0 adalah 12. Maka $\text{FPB}(24, 36) = \mathbf{12}$.
C). Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK)
(i). Pengertian KPK
Suatu bilangan positif $d$ disebut kelipatan persekutuan terkecil (least common multiple / LCM) dari bilangan $a$ dan $b$ jika:
- (1). $d$ kelipatan dari $a$ dan $b$ ($a|d$ dan $b|d$).
- (2). Untuk setiap bilangan $e$ kelipatan dari $a$ dan $b$, maka $d|e$.
Selanjutnya dinotasikan:
$$\text{KPK}(a, b) = d \text{ atau } \text{LCM}(a, b) = d$$(ii). Cara menentukan KPK dengan faktorisasi Prima
Misalkan terdapat dua buah bilangan bulat yaitu $a$ dan $b$ yang kita ubah kedalam bentuk faktorisasi primanya,
$$a = p_1^{k_1} \times p_2^{k_2} \times p_3^{k_3} \times \dots \times p_n^{k_n}$$ $$b = p_1^{m_1} \times p_2^{m_2} \times p_3^{m_3} \times \dots \times p_n^{m_n}$$Maka $\text{KPK}(a, b) = p_1^{\max(k_1, m_1)} \times p_2^{\max(k_2, m_2)} \times p_3^{\max(k_3, m_3)} \times \dots \times p_n^{\max(k_n, m_n)}$.
Maks artinya maksimum (terbesar).
D). Hubungan FPB dan KPK
Perhatikan bentuk berikut:
$$a = p_1^{k_1} \times p_2^{k_2} \times p_3^{k_3} \times \dots \times p_n^{k_n}$$ $$b = p_1^{m_1} \times p_2^{m_2} \times p_3^{m_3} \times \dots \times p_n^{m_n}$$ $$\text{FPB}(a, b) = p_1^{\min(k_1, m_1)} \times p_2^{\min(k_2, m_2)} \times p_3^{\min(k_3, m_3)} \times \dots \times p_n^{\min(k_n, m_n)}$$ $$\text{KPK}(a, b) = p_1^{\max(k_1, m_1)} \times p_2^{\max(k_2, m_2)} \times p_3^{\max(k_3, m_3)} \times \dots \times p_n^{\max(k_n, m_n)}$$Maka kita simpulkan hubungan FPB dan KPK:
$$\text{FPB}(a,b) \times \text{KPK}(a,b) = a \times b$$Uji nilai:
- Jika $a = 18$, maka bilangan tersebut adalah $(68-18) = 50$ dan $(18+7) = 25$. Nilai $\text{FPB}(50, 25)=25$ dan $\text{KPK}(50, 25)=50$ (Memenuhi).
- Jika $a = 43$, maka bilangan tersebut adalah $(68-43) = 25$ dan $(43+7) = 50$ (Sama secara hasil kelompok bilangan).
E). Penerapan FPB dan KPK
(i). Penerapan pada soal cerita
(ii). Penerapan pada keterbagian
- 100 dibagi $x$ sisa $4 \implies 100 - 4 = 96$ habis dibagi $x$.
- 90 dibagi $x$ sisa $10 \implies 90 - 10 = 80$ habis dibagi $x$.
Kita cari $\text{FPB}(96, 80)$: $$96 = 2^5 \times 3$$ $$80 = 2^4 \times 5$$ $$\text{FPB}(96, 80) = 2^4 = 16$$ Faktor dari 16 adalah 1, 2, 4, 8, dan 16. Karena disyaratkan $x > 10$, nilai yang memenuhi hanyalah 16.
Jadi, nilai $x$ adalah 16.
- Jika $k = 0 \implies m = 1/5$ (bukan bulat)
- Jika $k = 1 \implies m = 8/5$ (bukan bulat)
- Jika $k = 2 \implies m = 15/5 = 3$ (bulat, memenuhi)
- $10 - 3 = 7$
- $12 - 5 = 7$
- $15 - 8 = 7$
Maka kita cari kelipatan terkecilnya dengan KPK: $$\text{KPK}(10, 12, 15) = 60$$ Sehingga format nilainya berbentuk: $N + 7 = 60k \implies N = 60k - 7$.
Karena diminta bilangan 4 digit terkecil ($N \ge 1000$): $$60k - 7 \ge 1000 \implies 60k \ge 1007 \implies k \ge 16.78$$ Ambil bilangan bulat $k = 17$, nilai $N$ terkecil adalah: $$N = 60(17) - 7 = 1020 - 7 = 1013$$ Jadi, bilangan 4 digit terkecil tersebut adalah 1013.
F). FPB dan KPK bilangan pecahan
Langkah-langkahnya:
- 1). Samakan penyebutnya dengan mencari KPK
- 2). Jika ditanya FPB, maka tinggal mencari FPB pembilangnya.
- 3). Jika ditanya KPK, maka tinggal mencari KPK pembilangnya.
Langkah 1: Samakan penyebut pecahan dengan mencari $\text{KPK}(5, 3) = 15$.
$$\frac{6}{5} = \frac{6 \times 3}{5 \times 3} = \frac{18}{15}$$ $$\frac{2}{3} = \frac{2 \times 5}{3 \times 5} = \frac{10}{15}$$Langkah 2: Mencari FPB (ambil FPB dari pembilang)
$$\text{FPB}(18, 10) = 2 \implies \text{FPB}\left(\frac{6}{5}, \frac{2}{3}\right) = \mathbf{\frac{2}{15}}$$Langkah 3: Mencari KPK (ambil KPK dari pembilang)
$$\text{KPK}(18, 10) = 90 \implies \text{KPK}\left(\frac{6}{5}, \frac{2}{3}\right) = \frac{90}{15} = \mathbf{6}$$ Jadi, nilai FPB-nya adalah $\mathbf{\frac{2}{15}}$ dan KPK-nya adalah $\mathbf{6}$.Soal Latihan:
1). Kelipatan persekutuan terkecil dari 210, 42, dan 70 adalah ...
- A). 14
- B). 210
- C). 420
- D). 7
- E). 1260
2). Faktorisasi prima dari 5220 adalah ...
- A). $2^2 \cdot 3^2 \cdot 145$
- B). $2^2 \cdot 3^3 \cdot 5 \cdot 9$
- C). $2^2 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 29$
- D). $2^4 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7$
- E). $2^2 \cdot 3^5 \cdot 5$
3). Joko mengalikan tiga bilangan prima berbeda sekaligus. Ada berapa faktor berbeda dari bilangan yang dihasilkan?
- A). 3
- B). 4
- C). 5
- D). 6
- E). 8
4). Banyaknya faktor dari 4200 yang merupakan bilangan ganjil positif adalah ...
5). Misalkan $n$ adalah bilangan asli yang tidak lebih dari 24, maka jumlah dari semua nilai $n$ yang memenuhi agar $n$ dan 24 relatif prima adalah ...
- A). 120
- B). 96
- C). 95
- D). 82
- E). 81
6). Jika $f(n)$ menyatakan banyak faktor bilangan asli $n$, maka $f(f(f(2009))) = \dots$
7). Ada berapa banyakkah pasangan terurut bilangan asli $(a,b)$ dengan syarat $a < b$, dan $\text{FPB}(a,b) = 4$ serta $\text{KPK}(a,b) = 140$.
8). Jika faktor persekutuan terbesar (fpb) dari bilangan bulat positif $a$ dan $b$ tidak kurang dari 15, dan kelipatan persekutuan terkecil (kpk) nya tidak lebih dari 32, maka banyaknya pasangan bilangan bulat $a$ dan $b$ yang mungkin adalah \dots
9). Terdapat tiga penjaga taman hiburan $A$, $B$, dan $C$. $A$ berjaga setiap 3 hari, $B$ setiap 4 hari dan $C$ setiap 5 hari. Pada hari Minggu mereka berjaga bersama-sama untuk yang pertama kalinya. Pada saat mereka akan berjaga bersama-sama untuk yang kedua kali, $A$ sakit, sehingga tidak masuk. Pada hari apa mereka dapat berjaga bersama-sama untuk yang berikutnya?
10). Pak Asari akan mengikat semua buku yang dimilikinya. Ketika banyak buku dalam setiap ikatan sama dengan 12, ada 2 buku yang tidak terikat. Dia mengubah banyak buku dalam setiap ikatan. Sekarang dalam setiap ikatan terdapat tepat 9 buku, ternyata juga masih bersisa 2 buku yang tidak terikat. Setelah dia mengikat 7 buku dalam setiap ikatan, tidak ada lagi buku yang tersisa. Jika banyak buku yang dimiliki pak Asari berkisar antara 100 dan 200, maka banyak buku yang dimiliki pak Asari adalah ....
11). Banyak cara untuk menyatakan bilangan 4725 sebagai perkalian dari dua bilangan ganjil yang lebih besar dari 1 adalah ....
12). Jika $3996 = p^s q^t r^u$, dengan $p,q,r$ adalah bilangan prima, maka nilai $p + q + r + s + t + u$ adalah \dots
13). Tentukan bilangan asli terbesar yang jika membagi bilangan-bilangan 1723, 2010, dan 5741 selalu memberikan sisa 1.
14). Diketahui bilangan bulat positif $n$ memiliki sifat-sifat berikut:
2 membagi $n$, 3 membagi $n + 1$, 4 membagi $n + 2$, 5 membagi $n + 3$, 6 membagi $n + 4$, 7 membagi $n + 5$, dan 8 membagi $n + 6$.
Bilangan bulat positif pertama yang memiliki sifat-sifat ini adalah 2. Tentukan bilangan bulat positif kelima yang memenuhi sifat-sifat di atas.
15). Diketahui $1 + k$ habis dibagi 3, $1 + 2k$ habis dibagi 5, $1 + 8k$ habis dibagi 7. Jika $k$ adalah bilangan bilangan bulat positif, maka nilai terkecil untuk $k$ adalah \dots
Demikian pembahasan materi FPB dan KPK Olim Matik SMP dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan materi ini. Setiap artikel akan diupdate secara bertahap. Jika ada kritik dan saran, atau koreksi dari isi artikel di halaman ini, mohon bantuannya untuk menuliskannya di kolom komentar di bagian bawah setiap artikel. Ini sangat membantu untuk memperbaiki kualitas dari artikel di blog koma. Semoga bermanfaat. Terimakasih.
