Blog Koma - Hallow sahabat koma, bagaimana kabarnya hari ini? Semoga baik-baik saja ya.
Pada artikel ini kita akan membahas Bilangan Prima dan Kuadrat Olim Matik SMP. Materi yang dibahas pada artikel ini merupakan materi dasar yang bisa
digunakan untuk menyelesaikan bentuk-bentuk soal olimpiade matematika yang berkaitan dengan Bilangan Prima dan Kuadrat Olim Matik SMP Level SMP Pemula.
Tentuk masih ada banyak
lagi berkaitan Bilangan Prima dan Kuadrat pada materi olim matik SMP yang bisa sahabat koma pelajari sendiri untuk menambah kemampuannya dalam
menyelesaikan soal-soal aljabar. Untuk menambah wawasan tentang Bilangan Prima dan Kuadrat ini, terdapat beberapa contoh soal yang bisa dicoba dan
soal-soal Latihan.
Kembali ke Daftar Isi Olimpiade Matik SMP
Demikian pembahasan materi Bilangan Prima dan Kuadrat Olim Matik SMP dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan materi ini. Setiap artikel akan diupdate secara bertahap. Jika ada kritik dan saran, atau koreksi dari isi artikel di halaman ini, mohon bantuannya untuk menuliskannya di kolom komentar di bagian bawah setiap artikel. Ini sangat membantu untuk memperbaiki kualitas dari artikel di blog koma. Semoga bermanfaat. Terimakasih.
6. Bilangan Prima dan Kuadrat
A). Bilangan Prima dan Bilangan Komposit
(i). Pengertian bilangan Prima dan Komposit
Bilangan prima adalah bilangan asli yang hanya dapat dibagi oleh bilangan itu sendiri dan satu (hanya memiliki dua faktor yaitu 1 dan dia sendiri). Misalnya 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, .... Bilangan asli yang mempunyai lebih dari dua faktor disebut bilangan komposit (majemuk), misalnya 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, ....
(ii). Teorema Eratosthenes
Untuk setiap bilangan komposit \(n\) ada bilangan prima \(p\) sehingga \(p|n\) dan \(p \le \sqrt{n}\). Teorema tersebut mempunyai makna yang sama dengan "Jika tidak ada bilangan prima \(p\) yang dapat membagi \(n\) dengan \(p \le \sqrt{n}\) maka \(n\) adalah bilangan prima".
Contoh 1:
Tentukan bilangan-bilangan berikut merupakan bilangan prima atau komposit!
a). 157 b). 221
a). 157 b). 221
Solusi:
a). Untuk 157:
Nilai \(\sqrt{157} \approx 12,53\). Bilangan prima yang kurang dari atau sama dengan 12 adalah 2, 3, 5, 7, dan 11. Kita periksa keterbagian 157 oleh bilangan-bilangan prima tersebut:
b). Untuk 221:
Nilai \(\sqrt{221} \approx 14,87\). Bilangan prima yang kurang dari atau sama dengan 14 adalah 2, 3, 5, 7, 11, dan 13. Kita periksa keterbagian 221:
Nilai \(\sqrt{157} \approx 12,53\). Bilangan prima yang kurang dari atau sama dengan 12 adalah 2, 3, 5, 7, dan 11. Kita periksa keterbagian 157 oleh bilangan-bilangan prima tersebut:
- 157 tidak habis dibagi 2 (karena bukan bilangan genap).
- 157 tidak habis dibagi 3 (jumlah digitnya \(1+5+7 = 13\), bukan kelipatan 3).
- 157 tidak habis dibagi 5 (digit terakhir bukan 0 atau 5).
- 157 tidak habis dibagi 7 (\(157 = 7 \times 22 + 3\)).
- 157 tidak habis dibagi 11 (\(157 = 11 \times 14 + 3\)).
b). Untuk 221:
Nilai \(\sqrt{221} \approx 14,87\). Bilangan prima yang kurang dari atau sama dengan 14 adalah 2, 3, 5, 7, 11, dan 13. Kita periksa keterbagian 221:
- 221 tidak habis dibagi 2, 3, 5, 7, maupun 11.
- Cek pembagian dengan 13: \(221 \div 13 = 17\) (habis dibagi tanpa sisa).
B). Bilangan Kuadrat
(i). Pengertian bilangan kuadrat
Setiap bilangan \(n\) disebut sebagai bilangan kuadrat jika terdapat sebuah bilangan bulat \(m\) sehingga \(n = m^2\). Misalkan 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, ....
(ii). Sifat-sifat bilangan Kuadrat
- Angka satuan yang mungkin untuk bilangan kuadrat adalah 0, 1, 4, 5, 6, dan 9.
- Misalkan suatu bilangan \(n\) kita ubah menjadi faktorisasi primanya, maka \(n\) disebut bilangan kuadrat jika dan hanya jika pangkat dari setiap faktor primanya genap.
- Untuk bilangan kuadrat yang dibagian belakang memiliki digit 0, angka 0 pada digit belakang selalu sebanyak genap (akibat sifat 2: angka 5 dan 2 sebanyak genap).
- Setiap bilangan kuadrat dibagi 3 atau 4 akan selalu bersisa 0 atau 1.
- Setiap bilangan kuadrat dibagi 8 akan selalu bersisa 0 atau 1 atau 4.
- Setiap bilangan kuadrat ganjil selalu memiliki digit puluhan berupa bilangan genap.
- Jika digit puluhan dari bilangan kuadrat berupa bilangan ganjil, maka digit satuannya selalu 6.
- Tidak ada bilangan kuadrat yang terletak antara dua bilangan kuadrat yang berurutan.
- Jika \(p\) bilangan prima dan \(p|n^2\), maka \(p^2|n^2\).
Contoh 2:
Buktikan bahwa untuk bilangan bulat \(k\), semua bilangan berbentuk \(3k + 2, 4k + 2, 4k + 3, 5k + 2, 5k + 3, 8k + 2, 8k + 3, 8k + 7\) selalu bukan merupakan bilangan kuadrat.
Solusi:
Kita dapat membuktikannya menggunakan sifat sisa pembagian (modulo) pada bilangan kuadrat:
- Bentuk \(3k + 2\): Berdasarkan Sifat 4, setiap bilangan kuadrat jika dibagi 3 selalu bersisa 0 atau 1. Bentuk \(3k+2\) memberikan sisa 2 jika dibagi 3, sehingga bukan bilangan kuadrat.
- Bentuk \(4k + 2\) dan \(4k + 3\): Berdasarkan Sifat 4, bilangan kuadrat jika dibagi 4 selalu bersisa 0 atau 1. Bentuk \(4k+2\) dan \(4k+3\) masing-masing bersisa 2 dan 3, sehingga keduanya bukan bilangan kuadrat.
- Bentuk \(5k + 2\) dan \(5k + 3\): Sisa pembagian bilangan bulat jika dikuadratkan terhadap modulo 5 adalah: \(0^2 \equiv 0\), \(1^2 \equiv 1\), \(2^2 \equiv 4\), \(3^2 \equiv 4\), dan \(4^2 \equiv 1\). Jadi, bilangan kuadrat mod 5 hanya bisa bersisa 0, 1, atau 4. Bentuk \(5k+2\) (sisa 2) dan \(5k+3\) (sisa 3) terbukti bukan bilangan kuadrat.
- Bentuk \(8k + 2, 8k + 3, 8k + 7\): Berdasarkan Sifat 5, setiap bilangan kuadrat jika dibagi 8 selalu bersisa 0, 1, atau 4. Bentuk-bentuk ini memberikan sisa 2, 3, dan 7, sehingga bukan merupakan bilangan kuadrat.
Contoh 3:
Jika \(m\) adalah bilangan kuadrat, maka tentukan satu bilangan kuadrat berikutnya.
Solusi:
Karena \(m\) adalah bilangan kuadrat, kita bisa memisalkan \(m = x^2\) untuk suatu bilangan bulat positif \(x\), yang berarti \(x = \sqrt{m}\).
Bilangan kuadrat berikutnya setelah \(x^2\) adalah \((x + 1)^2\).
Kita jabarkan bentuk aljabar tersebut:
\((x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1\)
Substitusikan kembali nilai pemisalan \(x^2 = m\) dan \(x = \sqrt{m}\):
\(\text{Bilangan kuadrat berikutnya} = m + 2\sqrt{m} + 1\).
Bilangan kuadrat berikutnya setelah \(x^2\) adalah \((x + 1)^2\).
Kita jabarkan bentuk aljabar tersebut:
\((x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1\)
Substitusikan kembali nilai pemisalan \(x^2 = m\) dan \(x = \sqrt{m}\):
\(\text{Bilangan kuadrat berikutnya} = m + 2\sqrt{m} + 1\).
Contoh 4:
Terdapat bilangan kuadrat berbentuk \(\overline{2x9y1}\). Tentukan nilai dari \(3x + 7y\)?
Solusi:
Misalkan bilangan kuadrat tersebut adalah \(N^2 = \overline{2x9y1}\). Nilai dari \(\overline{2x9y1}\) berada pada rentang antara 20901 dan 29991.
Maka nilai \(N\) berada pada kisaran batas akar: \(\sqrt{20901} \le N \le \sqrt{29991} \implies 144,57 \le N \le 173,17\).
Karena angka satuan dari \(N^2\) adalah 1, maka angka satuan dari \(N\) haruslah berakhiran 1 atau 9.
Kemungkinan nilai \(N\) bulat yang memenuhi rentang tersebut adalah: 149, 151, 159, 161, 169, 171.
Mari kita uji kuadrat dari bilangan-bilangan tersebut untuk mencari yang digit ketiganya (ratusan) bernilai 9:
Maka, nilai dari \(3x + 7y = 3(5) + 7(2) = 15 + 14 = 29\).
Maka nilai \(N\) berada pada kisaran batas akar: \(\sqrt{20901} \le N \le \sqrt{29991} \implies 144,57 \le N \le 173,17\).
Karena angka satuan dari \(N^2\) adalah 1, maka angka satuan dari \(N\) haruslah berakhiran 1 atau 9.
Kemungkinan nilai \(N\) bulat yang memenuhi rentang tersebut adalah: 149, 151, 159, 161, 169, 171.
Mari kita uji kuadrat dari bilangan-bilangan tersebut untuk mencari yang digit ketiganya (ratusan) bernilai 9:
- \(149^2 = 22201\) (digit ratusan 2 \(\neq\) 9)
- \(151^2 = 22801\) (digit ratusan 8 \(\neq\) 9)
- \(159^2 = 25281\) (digit ratusan 2 \(\neq\) 9)
- \(161^2 = 25921\) (digit ratusan 9 → Memenuhi!)
Maka, nilai dari \(3x + 7y = 3(5) + 7(2) = 15 + 14 = 29\).
Contoh 5:
Tentukan banyaknya pasangan dua bilangan bulat positif \((x,y)\) sehingga \(N = 23x + 92y\) merupakan bilangan kuadrat dan \(N \le 2392\).
Solusi:
Faktorkan persamaan \(N\) terlebih dahulu:
\(N = 23x + 92y = 23(x + 4y)\)
Karena 23 adalah bilangan prima, agar \(N\) menjadi bilangan kuadrat sempurna, maka suku \((x + 4y)\) wajib memiliki faktor prima 23 dan dapat ditulis dalam bentuk kelipatan kuadrat \(23k^2\) untuk suatu bilangan bulat positif \(k\).
Sehingga nilainya menjadi: \(N = 23 \cdot 23k^2 = (23k)^2\).
Diketahui syarat \(N \le 2392\), maka kita dapatkan:
\((23k)^2 \le 2392 \implies 529k^2 \le 2392 \implies k^2 \le 4,52\).
Karena \(k\) bilangan bulat positif, nilai \(k\) yang memenuhi hanyalah \(k = 1\) atau \(k = 2\).
Kasus 1: Untuk \(k = 1\)
\(x + 4y = 23(1)^2 = 23 \implies x = 23 - 4y\).
Karena \(x\) dan \(y\) harus bilangan bulat positif (\(\ge 1\)), maka batas nilai \(y\) yang memenuhi adalah yang membuat nilai \(x\) tetap positif (\(4y < 23\)), yaitu \(y = \{1, 2, 3, 4, 5\}\).
Masing-masing nilai \(y\) memberikan 1 nilai \(x\) berpasangan. Jadi terdapat 5 pasangan.
Kasus 2: Untuk \(k = 2\)
\(x + 4y = 23(2)^2 = 92 \implies x = 92 - 4y\).
Agar \(x > 0\), maka syarat batasnya adalah \(4y < 92 \implies y < 23\).
Nilai \(y\) bulat positif yang memenuhi adalah \(y = \{1, 2, 3, ..., 22\}\).
Jadi terdapat 22 pasangan.
Total keseluruhan banyaknya pasangan positif \((x,y)\) yang memenuhi adalah \(5 + 22 = 27\) pasangan.
\(N = 23x + 92y = 23(x + 4y)\)
Karena 23 adalah bilangan prima, agar \(N\) menjadi bilangan kuadrat sempurna, maka suku \((x + 4y)\) wajib memiliki faktor prima 23 dan dapat ditulis dalam bentuk kelipatan kuadrat \(23k^2\) untuk suatu bilangan bulat positif \(k\).
Sehingga nilainya menjadi: \(N = 23 \cdot 23k^2 = (23k)^2\).
Diketahui syarat \(N \le 2392\), maka kita dapatkan:
\((23k)^2 \le 2392 \implies 529k^2 \le 2392 \implies k^2 \le 4,52\).
Karena \(k\) bilangan bulat positif, nilai \(k\) yang memenuhi hanyalah \(k = 1\) atau \(k = 2\).
Kasus 1: Untuk \(k = 1\)
\(x + 4y = 23(1)^2 = 23 \implies x = 23 - 4y\).
Karena \(x\) dan \(y\) harus bilangan bulat positif (\(\ge 1\)), maka batas nilai \(y\) yang memenuhi adalah yang membuat nilai \(x\) tetap positif (\(4y < 23\)), yaitu \(y = \{1, 2, 3, 4, 5\}\).
Masing-masing nilai \(y\) memberikan 1 nilai \(x\) berpasangan. Jadi terdapat 5 pasangan.
Kasus 2: Untuk \(k = 2\)
\(x + 4y = 23(2)^2 = 92 \implies x = 92 - 4y\).
Agar \(x > 0\), maka syarat batasnya adalah \(4y < 92 \implies y < 23\).
Nilai \(y\) bulat positif yang memenuhi adalah \(y = \{1, 2, 3, ..., 22\}\).
Jadi terdapat 22 pasangan.
Total keseluruhan banyaknya pasangan positif \((x,y)\) yang memenuhi adalah \(5 + 22 = 27\) pasangan.
Contoh 6:
Tentukan bilangan bulat \(n\) sehingga \(n^2 - 19n + 91\) bilangan kuadrat.
Solusi:
Misalkan persamaan kuadrat tersebut: \(n^2 - 19n + 91 = m^2\) untuk suatu bilangan bulat non-negatif \(m\).
Kalikan kedua ruas dengan 4 untuk mempermudah manipulasi bentuk kuadrat sempurna:
\(4n^2 - 76n + 364 = 4m^2\)
\((2n - 19)^2 - 19^2 + 364 = (2m)^2\)
\((2n - 19)^2 - 361 + 364 = (2m)^2\)
\((2n - 19)^2 + 3 = (2m)^2\)
\((2m)^2 - (2n - 19)^2 = 3\)
Dengan menggunakan sifat faktorisasi selisih dua kuadrat \((a^2 - b^2 = (a-b)(a+b))\), diperoleh:
\((2m - (2n - 19))(2m + (2n - 19)) = 3\)
Karena 3 adalah bilangan prima, pasangan faktor bulat dari 3 yang menghasilkan nilai real adalah \((1, 3)\) atau \((3, 1)\) (faktor negatif akan menghasilkan penyelesaian \(n\) yang sama).
Selisih dari kedua persamaan faktor tersebut adalah: \((2m + 2n - 19) - (2m - 2n + 19) = 4n - 38\).
Kalikan kedua ruas dengan 4 untuk mempermudah manipulasi bentuk kuadrat sempurna:
\(4n^2 - 76n + 364 = 4m^2\)
\((2n - 19)^2 - 19^2 + 364 = (2m)^2\)
\((2n - 19)^2 - 361 + 364 = (2m)^2\)
\((2n - 19)^2 + 3 = (2m)^2\)
\((2m)^2 - (2n - 19)^2 = 3\)
Dengan menggunakan sifat faktorisasi selisih dua kuadrat \((a^2 - b^2 = (a-b)(a+b))\), diperoleh:
\((2m - (2n - 19))(2m + (2n - 19)) = 3\)
Karena 3 adalah bilangan prima, pasangan faktor bulat dari 3 yang menghasilkan nilai real adalah \((1, 3)\) atau \((3, 1)\) (faktor negatif akan menghasilkan penyelesaian \(n\) yang sama).
Selisih dari kedua persamaan faktor tersebut adalah: \((2m + 2n - 19) - (2m - 2n + 19) = 4n - 38\).
- Jika faktor penyusunnya adalah 1 dan 3:
\(4n - 38 = 3 - 1 \implies 4n - 38 = 2 \implies 4n = 40 \implies n = 10\). - Jika faktor penyusunnya adalah 3 dan 1:
\(4n - 38 = 1 - 3 \implies 4n - 38 = -2 \implies 4n = 36 \implies n = 9\).
Soal Latihan:
- 1). Suatu bilangan kuadrat jika dibagi 3, maka kemungkinan sisanya adalah ...
- 2). Himpunan semua bilangan prima yang kurang dari seratus dan kuadrat bilangan tersebut ditambah dua juga merupakan bilangan prima adalah ....
- 3). Untuk sembarang \(p\) bilangan prima, misalkan \(h = 14p - 4\). Pernyataan berikut yang benar adalah ...
- 4). \(n\) adalah bilangan bulat positif terkecil sehingga \(7 + 30n\) bukan bilangan prima. Nilai dari \(64 - 16n + n^2\) adalah ...
- 5). Bilangan ratusan yang berupa bilangan prima dimana perkalian ketiga angka penyusun bilangan tersebut adalah 10 ada sebanyak ... buah bilangan.
- 6). Semua bilangan asli \(n\) yang memenuhi sifat bahwa \(6n^2 + 5n - 4\) adalah bilangan prima adalah ...
-
7). Bilangan A adalah bilangan asli terkecil yang merupakan hasil kali dari 3 bilangan prima pertama. Dua buah bilangan antara 200 dan 300 yang memiliki faktor prima tepat sama dengan bilangan A adalah ...
(catatan: 10 dan 30 punya faktor prima yang tidak tepat sama, sedangkan 12 dan 18 memiliki faktor prima yang tepat sama). - 8). Banyak bilangan prima antara 10 dan 99 yang tetap merupakan bilangan prima jika kedua digitnya dipertukarkan adalah ....
- 9). Suatu bilangan dikatakan "berprisque" jika bilangan tersebut merupakan bilangan asli yang didapat oleh suatu bilangan prima dan suatu bilangan kuadrat sempurna (contoh 3 adalah bilangan berprisque, tetapi 5 bukan bilangan berprisque). Banyak bilangan berprisque yang kurang dari 100 adalah ....
- 10). Tentukan nilai bilangan bulat \(k\) yang memenuhi jumlah dari bilangan \(3k^2 + 3k - 4\) dan \(7k^2 - 3k + 1\) adalah bilangan kuadrat.
- 11). Jika \((x - 1)(x + 3)(x - 4)(x - 8) + m\) adalah bilangan kuadrat, maka \(m\) adalah ...
- 12). Jika \(n + 20\) dan \(n - 21\) keduanya bilangan kuadrat, dengan \(n\) bilangan bulat, tentukan nilai \(n\)?
- 13). Jika jumlah dari 2009 bilangan bulat positif berurutan menghasilkan bilangan kuadrat, tentukan nilai minimum dari maksimal bilangan 2009 tersebut?
- 14). Tentukan maksimal bilangan bulat \(y\) sehingga \(4^{27} + 4^{10000} + 4^y\) merupakan bilangan kuadrat.
Demikian pembahasan materi Bilangan Prima dan Kuadrat Olim Matik SMP dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan materi ini. Setiap artikel akan diupdate secara bertahap. Jika ada kritik dan saran, atau koreksi dari isi artikel di halaman ini, mohon bantuannya untuk menuliskannya di kolom komentar di bagian bawah setiap artikel. Ini sangat membantu untuk memperbaiki kualitas dari artikel di blog koma. Semoga bermanfaat. Terimakasih.
