Bentuk Aljabar Olim SMP

·
         Blog Koma - Hallow sahabat koma, bagaimana kabarnya hari ini? Semoga baik-baik saja ya. Pada artikel ini kita akan membahas Bentuk Aljabar Olim Matik SMP. Materi yang dibahas pada artikel ini merupakan materi dasar yang bisa digunakan untuk menyelesaikan bentuk-bentuk soal olimpiade matematika yang berkaitan dengan Bentuk Aljabar Olim Matik SMP Level SMP Pemula. Tentuk masih ada banyak lagi berkaitan Bentuk Aljabar pada materi olim matik SMP yang bisa sahabat koma pelajari sendiri untuk menambah kemampuannya dalam menyelesaikan soal-soal aljabar. Untuk menambah wawasan tentang Bentuk Aljabar ini, terdapat beberapa contoh soal yang bisa dicoba dan soal-soal Latihan.

1. Bentuk Aljabar

1.1 Mengenal Bentuk Aljabar

(A). Pengertian aljabar

Aljabar merupakan suatu bentuk ekspresi matematika yang biasanya melibatkan huruf atau abjad yang berkaitan dengan operasi dasar matematika yaitu penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian. Huruf yang digunakan biasanya disebut variabel atau peubah.

Contoh 1:
Berikut adalah beberapa contoh bentuk aljabar:
  1. $3x + y + 5$
  2. $3a - 2ab + 7$
  3. $x^2 + 4x - 3$
Contoh 2:
Budi membeli 3 kardus buku dan 5 buku. Jika $x$ menyatakan banyak buku dalam satu kardus, maka buatlah model matematikanya dalam bentuk $x$.
Solusi:

Diketahui:
Banyak buku dalam satu kardus = $x$
Budi membeli 3 kardus dan 5 buku lepas.
Maka, model matematika dari total buku yang dibeli Budi adalah: $$3 \cdot x + 5 = 3x + 5$$

(B). Suku-suku, variabel, koefisien, konstanta

Pada bentuk aljabar, kita akan mengenal beberapa istilah yaitu:

  1. Suku yaitu pengelompokkan yang dipisah oleh operasi penjumlahan atau pengurangan.
  2. Variabel adalah huruf yang digunakan untuk mewakili suatu bentuk dan bisa diganti dengan angka tertentu.
  3. Koefisien yaitu bilangan yang menyertai atau bilangan yang ada di depan huruf/abjadnya.
  4. Konstanta yaitu suku yang tidak memuat huruf/abjad.
2x + 4 + 2x + Suku Suku Koefisien Variabel Konstanta Bagan Komponen Dasar Aljabar pada Bentuk $2x+4$
Contoh 3:
Tentukan variabel, suku-suku, koefisien, dan konstanta dari bentuk aljabar berikut:
  1. $2x + 4y + 5$
  2. $3a - 2ab - b - 7$
  3. $x^2 + 8x - 6$
Solusi:
  1. $2x + 4y + 5$
    • Suku-suku: $2x$, $4y$, dan $5$
    • Variabel: $x$ dan $y$
    • Koefisien: $2$ (dari variabel $x$) dan $4$ (dari variabel $y$)
    • Konstanta: $5$
  2. $3a - 2ab - b - 7$
    • Suku-suku: $3a$, $-2ab$, $-b$, dan $-7$
    • Variabel: $a$, dan $b$
    • Koefisien: $3$ (dari $a$), $-2$ (dari $ab$), dan $-1$ (dari $b$)
    • Konstanta: $-7$
  3. $x^2 + 8x - 6$
    • Suku-suku: $x^2$, $8x$, dan $-6$
    • Variabel: $x$
    • Koefisien: $1$ (dari $x^2$) dan $8$ (dari $x$)
    • Konstanta: $-6$

(C). Menyederhanakan Bentuk Aljabar

*). Untuk menyederhanakan bentuk aljabar, biasanya dilakukan dengan mengelompokkan suku-suku yang sejenis dengan menjumlahkan atau mengurangkan koefisiennya.
*). Suku-suku sejenis adalah suku-suku yang memiliki variabel dan pangkat yang sama.

Contoh 4:
Sederhanakan bentuk aljabar berikut:
  1. $3x + 7 - 2x - 4$
  2. $4x + 6y + 7 + x - 3y - 2$
  3. $3a^2 + 4ab - 5b^2 - 7a^2 + 6ab + 3b^2$
Solusi:
  1. $3x + 7 - 2x - 4 = (3x - 2x) + (7 - 4) = x + 3$
  2. $4x + 6y + 7 + x - 3y - 2 = (4x + x) + (6y - 3y) + (7 - 2) = 5x + 3y + 5$
  3. $3a^2 + 4ab - 5b^2 - 7a^2 + 6ab + 3b^2 = (3a^2 - 7a^2) + (4ab + 6ab) + (-5b^2 + 3b^2) = -4a^2 + 10ab - 2b^2$

(D). Menentukan nilai bentuk aljabar

Untuk menentukan nilai aljabar, cukup dengan mensubstitusikan nilai variabel yang diberikan ke dalam bentuk aljabar tersebut.

Contoh 5:
Jika $a = 2$, $b = 3$, dan $c = 1$, maka tentukan nilai dari:
  1. $2a + 7$
  2. $3a - 4b + 9$
  3. $a^2 - b + 2c - 3$
Solusi:

Substitusikan nilai $a = 2$, $b = 3$, dan $c = 1$:

  1. $2a + 7 = 2(2) + 7 = 4 + 7 = 11$
  2. $3a - 4b + 9 = 3(2) - 4(3) + 9 = 6 - 12 + 9 = 3$
  3. $a^2 - b + 2c - 3 = (2)^2 - 3 + 2(1) - 3 = 4 - 3 + 2 - 3 = 0$

1.2 Memahami Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Aljabar

(E). Penjumlahan

Penjumlahan bentuk aljabar dilakukan pada suku-suku yang sejenis dengan menambahkan koefisiennya. Untuk suku-suku yang tidak sejenis hanya ditulis ulang. Suku-suku sejenis adalah suku-suku yang memiliki huruf/abjad yang sama (jika ada pangkat maka pangkatnya juga harus sama).

Contoh 6:
Sederhanakan bentuk penjumlahan aljabar berikut:
  1. $8a + 2b$ dan $4a - 3b$
  2. $5x^2 + x + 2y$ dan $5x^2 - 3y + 7$
Solusi:
  1. $(8a + 2b) + (4a - 3b) = 8a + 4a + 2b - 3b = 12a - b$
  2. $(5x^2 + x + 2y) + (5x^2 - 3y + 7) = 5x^2 + 5x^2 + x + 2y - 3y + 7 = 10x^2 + x - y + 7$

(F). Pengurangan

Pengurangan bentuk aljabar dilakukan pada suku-suku yang sejenis dengan mengurangkan koefisiennya. Untuk suku-suku yang tidak sejenis hanya ditulis ulang dengan memperhatikan tanda positif atau negatifnya.

Catatan Kata Kunci:
- A oleh B artinya $A - B$
- A dari B artinya $B - A$

Contoh 7:
Sederhanakan bentuk pengurangan aljabar berikut:
  1. $(3p - 4q + 8)$ oleh $(2p - 3q + 5)$
  2. $(2x + 5y)$ dari $(6x + 3)$
  3. $(3a - 2b)$ dengan $(-5b - 9)$
Solusi:
  1. $(3p - 4q + 8) - (2p - 3q + 5) = 3p - 4q + 8 - 2p + 3q - 5 = (3p - 2p) + (-4q + 3q) + (8 - 5) = p - q + 3$
  2. $(6x + 3) - (2x + 5y) = 6x + 3 - 2x - 5y = 4x - 5y + 3$
  3. $(3a - 2b) - (-5b - 9) = 3a - 2b + 5b + 9 = 3a + 3b + 9$

1.3 Memahami Perkalian Bentuk Aljabar

Perkalian bentuk aljabar dilakukan dengan mengalikan setiap suku-sukunya; angka dikalikan dengan angka, dan abjad dikalikan dengan abjad. Ingat hukum operasi tanda perkalian.

$$a \times (b + c) = a \times b + a \times c$$

$$a \times (b - c) = a \times b - a \times c$$

$$(a + b) \times (c + d) = a \times c + a \times d + b \times c + b \times d$$

$$(a - b) \times (c + d) = a \times c + a \times d - b \times c - b \times d$$

$$(a - b) \times (c - d) = a \times c - a \times d - b \times c + b \times d$$

$$(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$$

Contoh 8:
Jabarkan dan sederhanakan bentuk perkalian berikut!
  1. $3(4x + 5)$
  2. $-4(2y - 7)$
  3. $2(a - 3b + 4)$
  4. $2(x + 4) + 5(x - y + 3)$
  5. $(4x + 1)(5y - 2)$
Solusi:
  1. $3(4x + 5) = 3(4x) + 3(5) = 12x + 15$
  2. $-4(2y - 7) = (-4)(2y) - (-4)(7) = -8y + 28$
  3. $2(a - 3b + 4) = 2a - 6b + 8$
  4. $2(x + 4) + 5(x - y + 3) = 2x + 8 + 5x - 5y + 15 = (2x + 5x) - 5y + (8 + 15) = 7x - 5y + 23$
  5. $(4x + 1)(5y - 2) = 4x(5y) + 4x(-2) + 1(5y) + 1(-2) = 20xy - 8x + 5y - 2$
Contoh 9:
Jabarkan bentuk aljabar berikut:
  1. $(x + 2)^2$
  2. $(2x + 1)^3$
Solusi:
  1. $(x + 2)^2 = (x + 2)(x + 2) = x^2 + 2x + 2x + 4 = x^2 + 4x + 4$
  2. $(2x + 1)^3 = (2x + 1)(2x + 1)(2x + 1) = (4x^2 + 4x + 1)(2x + 1)$
    $\phantom{(2x + 1)^3} = 4x^2(2x + 1) + 4x(2x + 1) + 1(2x + 1)$
    $\phantom{(2x + 1)^3} = 8x^3 + 4x^2 + 8x^2 + 4x + 2x + 1 = 8x^3 + 12x^2 + 6x + 1$

1.4 Memahami Pembagian Bentuk Aljabar

Pembagian bentuk aljabar dapat diselesaikan secara terstruktur menggunakan metode pembagian bersusun (porogapit).

Contoh 10:
Tentukan hasil pembagian berikut:
  1. $x^2 + 5x - 300$ dibagi oleh $x + 2$
  2. $2x^2 + 7x - 15$ dibagi oleh $x + 3$
  3. $6x^2 - 7x - 24$ dibagi oleh $3x - 8$
Solusi:
  1. Dengan pembagian bersusun didapatkan:
    $\frac{x^2 + 5x - 300}{x + 2} = x + 3$ sisa $-306$.
    Dituliskan: $x + 3 + \frac{-306}{x + 2}$
  2. Faktorkan pembilang jika memungkinkan:
    $2x^2 + 7x - 15 = (2x - 3)(x + 3)$
    Maka: $\frac{(2x - 3)(x + 3)}{x + 3} = 2x - 3$
  3. Faktorkan pembilang:
    $6x^2 - 7x - 24 = (3x - 8)(2x + 3)$
    Maka: $\frac{(3x - 8)(2x + 3)}{3x - 8} = 2x + 3$

Soal Latihan:

  1. Suatu ketika Pak Veri membeli dua karung beras untuk kebutuhan hajatan di rumahnya. Setelah dibawa pulang, istri Pak Veri merasa beras yang dibeli kurang. Kemudian Pak Veri membeli lagi sebanyak 5 kg. Nyatakan bentuk aljabar dari beras yang dibeli Pak Veri!
  2. Tentukan suku, variabel, koefisien, dan konstanta dari bentuk-bentuk aljabar berikut:
    1. $8x$
    2. $3x^2 + y + 2$
    3. $3s^2 + 4a - a^3 + 6t^4 - 7$
  3. Sederhanakan bentuk aljabar berikut:
    1. $5x - 2x$
    2. $8 + 3x - 5$
    3. $5x - 9x + 12$
    4. $6 - 3x - x + 6$
    5. $2x^2 + 4y^2 - 6xy + 3x^2 - 5y^2 + 7xy$
  4. Tentukan penjumlahan bentuk aljabar berikut!
    1. $-3m + 4n - 6$ dengan $7n - 8m + 10$
    2. $15a + 7b - 5c$ dengan $-11a - 12b + 13d$
  5. Tentukan pengurangan bentuk aljabar berikut!
    1. $-3m + 4n - 6$ oleh $7n - 8m + 10$
    2. $15a + 7b - 5c$ dari $-11a - 12b + 13d$
  6. Tentukan hasil dari $5x - 6y + 8z + (7x - 9z) - (2y + 9z - 10)$
  7. Sebuah segitiga memiliki ukuran panjang sisi terpendek $(2x - 5)$ cm dan panjang sisi terpanjang $(3x + 6)$ cm. Jika panjang sisi sisanya $(x + 6)$ cm, maka tentukan keliling segitiga tersebut.
  8. Tentukan hasil kali dari bentuk-bentuk aljabar berikut:
    1. $10 \times (2y - 10) = \dots$
    2. $(x + 5) \times (5x - 1) = \dots$
    3. $(7 - 2x) \times (2x - 7) = \dots$
  9. Tentukan nilai $r$ pada persamaan bentuk aljabar $(2x + 3y)(px + qy) = rx^2 + 23xy + 12y^2$
  10. Nyatakan luas bangun datar berikut dalam bentuk aljabar:
    Bangunan a:
    a a a a
    Bangunan b:
    3a 3b
  11. Si $A$ dan si $B$ masing-masing menyimpan sebuah bilangan. Jika kedua bilangan yang mereka miliki dikalikan, hasilnya adalah $1.000$. Setelah dihitung-hitung, ternyata selisih bilangan si $A$ dan si $B$ adalah $15$. Berapakah jumlah dari bilangan-bilangan yang dimiliki keduanya?
    1. Nyatakan bentuk aljabar untuk yang diketahui
    2. Nyatakan bentuk aljabar untuk yang ditanya
    3. Nyatakan bentuk aljabar yang ditanya dalam bentuk aljabar yang diketahui
  12. Jika $\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = 4$, maka nilai $\frac{2x + 4xy - 2y}{x - y - 2xy} = \dots?$
  13. Perhatikan pernyataan berikut!
    • I). $(2x + 3)(2x - 3) = 4x^2 - 9$
    • II). $(2x - 3)(x - 1) = 2x^2 + x - 3$
    • III). $(x + 3)(x - 2) = x^2 + x - 6$
    • IV). $(x - 5)(x + 1) = x^2 + 4x - 5$
    Pernyataan yang benar adalah $\dots$
    A). I dan II B). I dan III C). II dan III D). II dan IV
  14. Diketahui nilai dari $a = 1$, $b = 2$, dan $c = 3$, serta diketahui pula: $$P = 2a + 3b - 1$$ $$Q = 4c - 5b + 2$$ $$R = a + 2b + 3c - 12$$ Dari nilai $P$, $Q$, $R$, manakah yang paling besar?
Kembali ke Daftar Isi Olimpiade Matik SMP

       Demikian pembahasan materi Bentuk Aljabar Olim Matik SMP dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan materi ini. Setiap artikel akan diupdate secara bertahap. Jika ada kritik dan saran, atau koreksi dari isi artikel di halaman ini, mohon bantuannya untuk menuliskannya di kolom komentar di bagian bawah setiap artikel. Ini sangat membantu untuk memperbaiki kualitas dari artikel di blog koma. Semoga bermanfaat. Terimakasih.