Materi dan Soal Level III Pemula: Aturan Penyusunan
A. Logika
Soal-soal logika adalah soal-soal yang melibatkan kemampuan penalaran umum pada setiap soal. Pemecahan masalahnya lebih mementingkan penalaran berdasarkan keterangan pada soal, yang tentu didukung dengan konsep matematika yang ada.
Seorang ayah bersama ketiga anaknya akan menyeberang sungai. Di tepi sungai terdapat sebuah perahu kecil yang dapat membawa muatan maksimum 80 kg. Berat ayah 60 kg, anak pertama dan kedua masing-masing beratnya 40 kg, sedangkan anak ketiga 50 kg. Berapa kali paling sedikit mereka menggunakan perahu kecil tersebut sampai selesai menyeberang semua?
Diketahui berat masing-masing:
- Ayah = 60 kg
- Anak 1 = 40 kg, Anak 2 = 40 kg, Anak 3 = 50 kg
- Kapasitas maksimal perahu = 80 kg
Satu-satunya kombinasi 2 orang yang dapat naik perahu bersamaan adalah Anak 1 + Anak 2 (40 kg + 40 kg = 80 kg). Ayah dan Anak 3 harus menyeberang sendirian.
Urutan langkah penyeberangan paling efisien:
- Anak 1 & Anak 2 menyeberang ke seberang (1 kali)
- Anak 1 kembali membawa perahu (1 kali)
- Anak 3 menyeberang ke seberang sendirian (1 kali)
- Anak 2 kembali membawa perahu (1 kali)
- Anak 1 & Anak 2 menyeberang ke seberang (1 kali)
- Anak 1 kembali membawa perahu (1 kali)
- Ayah menyeberang ke seberang sendirian (1 kali)
- Anak 2 kembali membawa perahu (1 kali)
- Anak 1 & Anak 2 menyeberang ke seberang (1 kali)
Jadi, total penggunaan perahu paling sedikit adalah 9 kali penyeberangan.
B. Kombinatorik (Aturan Penyusunan)
Beberapa hal dasar yang berkaitan dengan Kombinatorik:
- (i) Aturan Perkalian: Digunakan untuk kejadian yang berlangsung secara serentak/sekaligus, biasanya ditandai kata DAN.
- (ii) Aturan Penjumlahan: Digunakan untuk kejadian yang bersifat pilihan (tidak sekaligus), biasanya ditandai kata ATAU.
- (iii) Filling Slot (Mengisi Tempat): Menyediakan slot sesuai syarat pada soal dan menerapkan aturan perkalian.
Budi mempunyai 3 buah baju berwarna putih, cokelat, dan batik. Ia juga memiliki 2 buah celana warna hitam dan putih yang berbeda. Ada berapa pasang baju dan celana dapat dipakai dengan pasangan yang berbeda?
Pemakaian baju dan celana dilakukan secara bersamaan, sehingga berlaku aturan perkalian:
$$\text{Banyak pasangan} = 3 \times 2 = 6 \text{ pasang}$$
Di rumah Wati terdapat 3 jenis sepeda berbeda, 2 jenis sepeda motor berbeda, dan 2 mobil yang berbeda. Jika Wati ingin bepergian, ada berapa cara Wati menggunakan kendaraan yang ada di rumahnya?
Wati hanya memilih salah satu kendaraan untuk bepergian (saling lepas), sehingga berlaku aturan penjumlahan:
$$\text{Banyak cara} = 3 + 2 + 2 = 7 \text{ cara}$$
Untuk menuju kota C dari kota A harus melewati kota B. Dari kota A ke kota B melewati 4 jalur dan dari kota B ke kota C ada 3 jalur. Dengan berapa jalur Budi dapat pergi dari kota A ke kota C?
Perjalanan dilakukan secara berurutan dari A ke B lalu B ke C:
$$\text{Banyak jalur} = 4 \times 3 = 12 \text{ jalur}$$
Seseorang ingin membuat plat nomor kendaraan yang terdiri dari 4 angka yang dipilih dari angka-angka 1, 2, 3, 4, 5 dan dalam plat nomor itu tidak boleh ada angka yang sama. Berapa banyak plat nomor dapat dibuat?
Tersedia 5 pilihan angka $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ untuk diisikan ke 4 posisi tanpa pengulangan:
$$\text{Banyak plat nomor} = 5 \times 4 \times 3 \times 2 = 120 \text{ plat nomor}$$
C. Rumus Kombinasi
i). Faktorial
Misalkan terdapat bilangan cacah $n$, dinotasikan "$n!$" (dibaca "$n$ faktorial") dengan definisi:
$$n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times \dots \times 3 \times 2 \times 1$$
dengan kesepakatan $0! = 1$.
Hitung atau sederhanakan bentuk faktorial berikut:
a). $6!$ b). $3! \times 2!$ c). $\frac{5!}{3!}$ d). $\frac{9! \times 8!}{7! \times 6!}$
a). $6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720$
b). $3! \times 2! = (6) \times (2) = 12$
c). $\frac{5!}{3!} = \frac{5 \times 4 \times 3!}{3!} = 20$
d). $\frac{9! \times 8!}{7! \times 6!} = \frac{(9 \times 8 \times 7!) \times (8 \times 7 \times 6!)}{7! \times 6!} = 9 \times 8 \times 8 \times 7 = 4032$
ii). Kombinasi (Tidak Memperhatikan Urutan)
Kombinasi $r$ unsur dari $n$ unsur ($r \le n$) ditulis $C_{r}^{n}$ (atau $\binom{n}{r}$) adalah banyak cara pengambilan $r$ unsur dari $n$ unsur tanpa memperhatikan urutan (susunan $ab$ sama dengan $ba$).
Rumus Kombinasi:
$$C_{r}^{n} = \binom{n}{r} = \frac{n!}{(n-r)! \cdot r!}$$
Dalam sebuah kelas terdapat 15 putra dan 10 putri.
a). Tentukan banyaknya kemungkinan pengiriman delegasi terdiri dari 5 orang.
b). Tentukan banyaknya kemungkinan pengiriman delegasi terdiri dari 3 putra dan 2 putri.
a). Delegasi 5 orang dari total 25 siswa ($15 + 10 = 25$):
$$C_{5}^{25} = \frac{25!}{(25-5)! \cdot 5!} = \frac{25 \times 24 \times 23 \times 22 \times 21}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 53.130$$
b). Delegasi 3 putra dari 15 DAN 2 putri dari 10:
$$C_{3}^{15} \times C_{2}^{10} = \frac{15!}{12! \cdot 3!} \times \frac{10!}{8! \cdot 2!} = 455 \times 45 = 20.475$$
D. Beberapa Kejadian Khusus
1). Menentukan Banyak Garis dan Bangun Datar
Misalkan ada $n$ titik pada bidang datar dimana tidak ada 3 titik yang segaris, maka:
- a). Banyak garis: $\frac{1}{2!} \cdot n \cdot (n-1) = \binom{n}{2}$
- b). Banyak segitiga: $\frac{1}{3!} \cdot n \cdot (n-1) \cdot (n-2) = \binom{n}{3}$
- c). Banyak segiempat: $\frac{1}{4!} \cdot n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot (n-3) = \binom{n}{4}$
2). Banyak Salaman
Misalkan ada $n$ orang yang saling bersalaman masing-masing satu kali, maka:
$$\text{Banyak salaman} = \frac{1}{2} \cdot n \cdot (n-1) = \binom{n}{2}$$
3). Banyak Rute Terpendek yang Mungkin
Banyak rute terpendek dari grid horizontal $m$ dan vertikal $n$ adalah penjumlahan titik-titik sudutnya atau menggunakan kombinasi $\binom{m+n}{m}$.
Terdapat 5 titik pada bidang datar dimana tidak ada tiga titik yang segaris. Ada berapa banyak segitiga yang dapat dibentuk?
$$\text{Banyak segitiga} = C_{3}^{5} = \frac{5!}{2! \cdot 3!} = 10 \text{ segitiga}$$
Ada 7 orang bertemu untuk rapat bersama. Sebelum rapat, mereka saling bersalaman masing-masing satu kali. Ada berapa banyak salaman yang terbentuk?
$$\text{Banyak salaman} = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 6 = 21 \text{ salaman}$$
Perhatikan rute perjalanan berikut:
Seseorang ingin berjalan melalui garis-garis yang ada dari titik pojok P ke titik pojok Q. Berapa banyak rute terpendek yang bisa dipilih?
Grid berukuran 3 petak ke kanan dan 2 petak ke atas (total 5 langkah):
$$\text{Banyak rute} = C_{2}^{5} = \frac{5!}{3! \cdot 2!} = 10 \text{ rute}$$
Soal Latihan
Bill selalu berbohong pada hari Jumat, Sabtu, dan Minggu. Pada hari-hari lain Bill selalu jujur. Sementara itu teman Bill yaitu Danny selalu berbohong pada hari Senin, Selasa, dan Rabu, dan selalu jujur pada hari-hari lainnya. Pada suatu hari keduanya berkata, "Kemarin saya berbohong". Hari mereka mengucapkan perkataan tersebut adalah hari ...
A box of chocolate has gone from the refrigerator. The suspects have been reduced to 4 children. Only one of them is telling the truth.
John: "I did not take the chocolate"
Wendy: "John is lying"
Charles: "Wendy is lying"
Sally: "Wendy took the chocolate"
Who took the chocolate?
Seorang panitia GLM 2016 membagikan dua buah kartu bilangan bulat yang berurutan yang diambil dari rentang 1 hingga 10 kepada dua orang Peserta. Kemudian terjadilah dialog antara kedua peserta tersebut.
Peserta 1: "Saya tidak tahu berapa bilangan pada kartumu"
Peserta 2: "Saya juga tidak tahu berapa bilangan pada kartumu"
Peserta 1: "Sekarang saya tahu berapa bilangan pada kartumu"
Berdasarkan dialog tersebut, berturut-turut, bilangan pada kartu yang diterima peserta 1 dan peserta 2 adalah ...
Perhatikan pernyataan di bawah ini.
(A). Pernyataan (C) dan (D) keduanya benar
(B). Pernyataan (D) dan (E) tidak keduanya salah
(C). Pernyataan (A) benar
(D). Pernyataan (C) salah
(E). Pernyataan (A) dan (C) keduanya salah
Banyaknya pernyataan dari kelima pernyataan tersebut yang benar adalah ...
Pada gambar di bawah, hanya titik-titik A, B, C, dan D yang terletak pada garis lurus. Tentukan banyaknya segitiga yang dapat dibentuk dengan menggunakan sebarang 3 titik dari 8 titik sebagai titik sudut.
Tentukan banyaknya segitiga yang luasnya $1\text{ cm}^2$ yang dapat dibentuk dari gambar di bawah (grid titik $3 \times 3$), jika jarak setiap 2 titik yang berdekatan adalah $1\text{ cm}$.
Berapa banyak jalan dari A ke B dengan jarak yang paling dekat pada gambar di bawah ini?
Four towns are joined by a system of roads as shown. How many different ways are there of travelling from town A to town C if, on any particular journey, no road is used more than once and no town is passed more than once?
Perhatikan gambar di bawah ini!
Banyaknya cara menulis kata "PINTAR" dari diagram tersebut adalah ...
Kantor Republika mengadakan rapat rutin pekanan. Rapat tersebut dihadiri oleh 15 orang. Jika mereka akan bersalaman satu sama lain, maka salaman yang akan terjadi sebanyak ... kali.
Sebelum pelajaran pertama dimulai, di kelas 4A terjadi 190 peristiwa jabat tangan. Setiap 2 orang paling banyak berjabat tangan satu kali saja. Banyak orang di kelas 4A adalah ...
Berapa banyak bilangan ganjil yang dapat dibuat dari angka 1, 4, 5, 9 jika tidak ada angka yang berulang!
Banyaknya bilangan genap 4-angka yang angka-angkanya berbeda adalah ...
Hansen mendapatkan tugas membentuk sebuah bilangan tiga angka kurang dari 500 yang angka-angkanya adalah 2, 3, 4, 5, 6, 7, atau 9. Berapa banyak bilangan yang dapat dibentuk jika:
a). angka-angkanya boleh berulang.
b). angka-angkanya tidak boleh berulang.
Seseorang membuat nama dengan hanya 4 huruf berbeda. Huruf kedua dan terakhir berturut-turut adalah M dan N. Sedangkan huruf pertama dan ketiga haruslah huruf vokal. Berapa banyak diperoleh nama-nama yang berbeda?
Diketahui sebuah kupon, memiliki nomor yang terdiri dari 2 huruf dan 2 angka. Ada berapa kemungkinkah pembentukan nomor dalam kupon tersebut, jika diketahui huruf yang ada pada kupon dapat berulang tapi tidak ada huruf vokal, sedangkan angka tidak boleh berulang dan tidak ada angka ganjil pada kupon tersebut.
Keempat angka: 3, 5, 7 dan 8 akan disusun menjadi bilangan-bilangan yang berbeda. Jika bilangan-bilangan tersebut diurutkan dari yang terkecil, maka bilangan 5738 akan berada pada urutan ke ...
Pada sebuah kompetisi sepak bola dengan sistem liga di negara A, setiap tim pasti bertemu antara satu dengan yang lainnya dan bertanding melawan tim lain masing-masing 2 kali, yaitu pada pertandingan home dan away. Jika liga sepak bola tersebut diikuti oleh 18 tim yang berkompetisi, berapakah jumlah keseluruhan pertandingan yang dijadwalkan di liga tersebut...?
Use the three colours red, blue, and green to fill in the regions of the following diagram so that adjacent regions are not the same colour. How many different ways are there to colour the regions?
3 bola merah dan 3 bola putih disusun berjajar sehingga tidak ada 2 bola merah yang saling bersebelahan. Berapakah banyak cara dari susunan yang bisa dibuat?
Sebuah keluarga yang terdiri dari ayah, ibu, dua anak perempuan dan satu anak laki-laki akan makan di meja makan yang bundar. Banyaknya cara mereka duduk agar tidak ada dua laki-laki duduk berdampingan adalah...
Menjelang tutup, di toko kue "Maknyus" tersisa 1 buah kue coklat, 2 kue keju, dan 3 kue kacang. Fahim akan membeli 3 buah kue, paling sedikit satu diantaranya adalah kue kacang. Maka banyaknya cara Fahim memilih jenis ketiga kue tersebut adalah ...
Untuk merayakan ulang tahun yang ke-10 tahun, Emita membeli 2 buah kue dan masing-masing dari kue yang ada dipotong menjadi 4 bagian. Banyaknya cara Emita membagikan potongan-potongan kuenya terhadap 4 tamu undangan adalah...
Didefinisikan $n! = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdots 2 \cdot 1$. Contoh: $5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120$. Bilangan bulat $n$ yang memenuhi
$(n^2)! = 2^7 \cdot 3^4$
adalah ....
Jika didefinisikan $6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1$. Maka nilai dari (n - 1)! + (n - 2)! (n - 2)! adalah ...
Nilai maksimum dari $x$ sehingga
$2^x$
membagi $21!$ adalah ... ($n! = n \times (n-1) \times \dots \times 3 \times 2 \times 1$)
Demikian pembahasan materi Aturan Penyusunan Olim Matik SD dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan materi ini. Setiap artikel akan diupdate secara bertahap. Jika ada kritik dan saran, atau koreksi dari isi artikel di halaman ini, mohon bantuannya untuk menuliskannya di kolom komentar di bagian bawah setiap artikel. Ini sangat membantu untuk memperbaiki kualitas dari artikel di blog koma. Semoga bermanfaat. Terimakasih.
