12. Segiempat Ajaib dan Himpunan
A). Segiempat Ajaib
Segiempat ajaib merupakan bentuk segiempat (kumpulan dari segiempat) yang mengikuti aturan tertentu seperti jumlahnya sama untuk setiap baris, setiap kolom, dan setiap diagonal. Kumpulan dari segiempat juga bisa membentuk bangun seperti piramida. Pada perkembangannya, selain menggunakan segiempat juga bisa menggunakan bangun lainnya seperti lingkaran.
(i). Rumus umum: segiempat ajaib $n \times n$
(ii). Aturan khusus untuk $n$ ganjil:
Aturan Pengisian:
- (1). Isi kotak paling tengah pada baris paling atas.
- (2). Pindah ke atas satu kotak lalu ke kanan satu kotak.
- (3). Beberapa kasus khusus:
- Jika pergerakan pengisian angka membuat Anda menuju ke kotak yang melewati baris teratas dari bujur sangkar ajaib, maka tetaplah berada di kolom dari kotak itu, tetapi tempatkan angka pada baris terbawah dari kolom itu.
- Jika pergerakan pengisian angka membuat Anda menuju ke kotak yang melewati kolom paling kanan dari bujur sangkar ajaib, maka tetaplah berada di baris dari kotak itu, tetapi tempatkan angka pada kolom paling kiri dari baris itu.
- Jika pergerakan pengisian angka membuat Anda menuju ke kotak yang telah terisi, maka kembalilah ke kotak sebelumnya yang telah terisi tersebut, dan tempatkan angka berikutnya di bawah kotak itu.
Contoh 1:
Isilah segiempat ajaib $3 \times 3$ dengan angka-angka 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, sehingga jumlah setiap kolom = jumlah setiap baris = jumlah setiap diagonal.
Penyelesaian:
Ukuran $3 \times 3$, artinya $n = 3$.
Jumlah setiap baris = jumlah setiap kolom = jumlah setiap diagonal = $\frac{1}{2} \times 3 \times (3^2 + 1) = 15$.
Segiempat ajaibnya yaitu:
| 8 | 1 | 6 |
| 3 | 5 | 7 |
| 4 | 9 | 2 |
B). Himpunan
Himpunan adalah kumpulan objek yang sudah terdefinisi dengan baik.
Kardinalitas himpunan merupakan banyaknya anggota himpunan tersebut. Notasi: $n(A)$, artinya banyaknya anggota himpunan $A$.
Rumus kardinalitas Dua himpunan:
- $n(S) = n(A) + n(B) - n(A \cap B) + \text{Luar}$
- $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$
Tiga himpunan:
- $n(S) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A \cap B) - n(B \cap C) - n(A \cap C) + n(A \cap B \cap C) + \text{Luar}$
- $n(A \cup B \cup C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A \cap B) - n(B \cap C) - n(A \cap C) + n(A \cap B \cap C)$
Contoh 2:
Di kelas III SD Maju Jaya terdapat 180 siswa. 103 siswa menyukai pelajaran matematika dan 142 orang menyukai pelajaran bahasa. Berapa banyak siswa yang menyukai matematika dan bahasa?
Penyelesaian:
Cara I: Menggunakan Rumus
$n(S) = 180,\; n(M) = 103,\; n(B) = 142,\; \text{Luar} = 0,\; n(M \cap B) = \dots?
$$n(S) = n(M) + n(B) - n(M \cap B) + \text{Luar}$$ $$180 = 103 + 142 - n(M \cap B) + 0$$ $$180 = 245 - n(M \cap B)$$ $$n(M \cap B) = 65$$
Jadi, ada 65 siswa yang menyukai matematika dan bahasa.
Cara II: Menggunakan Diagram Venn
Misalkan $x = \text{banyak yang suka dua-duanya}$. Diagram Venn-nya:
$$\text{Total orang} = 180$$ $$(103 - x) + x + (142 - x) + 0 = 180$$ $$245 - x = 180$$ $$x = 245 - 180 = 65 \text{ orang.}$$
Soal Latihan:
1). Diagram di bawah ini menunjukkan sebuah persegi ajaib dimana jumlah bilangan dalam semua baris, kolom maupun diagonalnya adalah sama. Maka nilai $x$ adalah...? (OMITS)
| 8 | ||
| 9 | 5 | |
| 4 | x |
2). Gambar di bawah ini menunjukkan sebuah persegi ajaib dimana bilangan dalam semua baris, kolom maupun diagonalnya adalah sama. Maka nilai $(x+y)^2$ adalah ... (OMITS)
| y | ||
| 7 | x | |
| 6 | 1 |
3). Rino akan meletakan empat bentuk gambar berbeda pada setiap baris dan kolom pada tabel berikut. Gambar yang tepat untuk kotak yang diarsir adalah .... (KMNR)
| ☼ | ♡ | ||
| ❀ | |||
| ☺ | |||
| ☺ |
4). Perhatikan gambar berikut!
Nilai dari “ ? ” adalah ... (KMNR)
5). Di dalam setiap kotak pada gambar terdapat angka satuan. Jika tiga kotak tersebut dijumlahkan secara vertical dan horizontal, maka nilainya akan sama. Nilai dari $x+y+z$ adalah... (KMS)
6). Pada gambar di bawah ini, setiap empat bilangan dalam lingkaran yang terletak pada satu garis lurus memiliki jumlah bilangan yang sama. (Omab)
Tentukan nilai dari $A + B + C + D$.
7). Kegiatan ekstrakurikuler SDN Prestasi diantaranya seni tari disukai oleh 65 siswa, Bulu tangkis disukai 80 siswa sedangkan 10 siswa tidak mengikuti keduanya. Jika jumlah siswa seluruhnya 132 orang, maka banyaknya siswa yang menyukai tari dan Bulutangkis adalah... (Olimate)
8). Kegiatan ekstrakurikuler SD Unggulan diantaranya seni tari disukai oleh 58 siswa, Bulu tangkis disukai 85 siswa sedangkan 10 siswa mengikuti keduanya. Jika jumlah siswa seluruhnya 162 orang, maka banyaknya siswa yang tidak mengikuti kegiatan adalah ... Siswa. (Olimate)
9). Jika $A$ adalah 5 bilangan prima pertama dan $B$ adalah hasil penjumlahan dan perkalian faktor-faktor prima dari 12, maka banyak elemen $(A \cap B)$ adalah ... (OMITS)
10). Dari 50 siswa kelas 6, terdapat 35 siswa yang menyukai pelajaran IPA, 28 siswa suka pelajaran Bahasa Indonesia, dan 18 siswa suka pelajaran Matematika. Setelah dihitung paling sedikit siswa yang menyukai sekurang-kurangnya dua mata pelajaran ada ... siswa. (Aba)
Demikian pembahasan materi Segiempat Ajaib dan Himpunan Olim Matik SD dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan materi ini. Setiap artikel akan diupdate secara bertahap. Jika ada kritik dan saran, atau koreksi dari isi artikel di halaman ini, mohon bantuannya untuk menuliskannya di kolom komentar di bagian bawah setiap artikel. Ini sangat membantu untuk memperbaiki kualitas dari artikel di blog koma. Semoga bermanfaat. Terimakasih.
