Pengenalan Aljabar dan Operasinya Olim SD

·
         Blog Koma - Hallow sahabat koma, bagaimana kabarnya hari ini? Semoga baik-baik saja ya. Pada artikel ini kita akan membahas Pengenalan Aljabar dan Operasinya Olim Matik SD. Materi yang dibahas pada artikel ini merupakan materi dasar yang bisa digunakan untuk menyelesaikan bentuk-bentuk soal olimpiade matematika yang berkaitan dengan Pengenalan Aljabar dan Operasinya Olim Matik SD Level SD Pemula. Tentuk masih ada banyak lagi berkaitan Pengenalan Aljabar dan Operasinya pada materi olim matik SD yang bisa sahabat koma pelajari sendiri untuk menambah kemampuannya dalam menyelesaikan soal-soal aljabar. Untuk menambah wawasan tentang Pengenalan Aljabar dan Operasinya ini, terdapat beberapa contoh soal yang bisa dicoba dan soal-soal Latihan.

Pengenalan Aljabar dan Operasinya

(i). Pengertian aljabar

Aljabar merupakan suatu bentuk ekspresi matematika yang biasanya melibatkan huruf atau abjad yang berkaitan dengan operasi dasar matematika yaitu penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian.

Contoh 1:

Berikut adalah beberapa contoh bentuk aljabar:

  • a). $3x + 2y + 5$
  • b). $3a - 5ab + 7$
  • c). $x^2 + 5x - 3$

(ii). Suku-suku, koefisien, konstanta

Pada bentuk aljabar, kita akan mengenal beberapa istilah yaitu:

  1. 1. Suku-suku: yaitu pengelompokkan yang dipisah oleh operasi penjumlahan atau pengurangan.
  2. 2. Koefisien: yaitu bilangan yang menyertai atau bilangan yang ada di depan huruf/abjadnya.
  3. 3. Konstanta: yaitu suku yang tidak memuat huruf/abjad.
Contoh 2:

Tentukan suku-suku, koefisien, dan konstanta dari bentuk aljabar berikut:

  • a). $2x + 3y + 5$
  • b). $3a - 2ab + 5b - 7$
  • c). $x^2 + 5x - 6$
Penyelesaian: a). $2x + 3y + 5$
  • -). Ada tiga suku yaitu $2x$, $3y$, dan $5$
  • -). Koefisien:
    • • Koefisien dari $x$ adalah $2$
    • • Koefisien dari $y$ adalah $3$
  • -). Konstantanya adalah $5$
b). $3a - 2ab + 5b - 7$
  • -). Ada empat suku yaitu $3a$, $-2ab$, $5b$ dan $-7$
  • -). Koefisien:
    • • Koefisien dari $a$ adalah $3$
    • • Koefisien dari $ab$ adalah $-2$
    • • Koefisien dari $b$ adalah $5$
  • -). Konstantanya adalah $-7$
c). $x^2 + 5x - 6$
  • -). Ada tiga suku yaitu $x^2$, $5x$, dan $-6$
  • -). Koefisien:
    • • Koefisien dari $x^2$ adalah $1$
    • • Koefisien dari $5x$ adalah $5$
  • -). Konstantanya adalah $-6$

(iii). Operasi aljabar

(a). Penjumlahan

Penjumlahan bentuk aljabar dilakukan pada suku-suku yang sejenis dengan menambahkan koefisiennya. Untuk suku-suku yang tidak sejenis hanya ditulis ulang. Suku-suku sejenis adalah suku-suku yang memiliki huruf/abjad yang sama (jika ada pangkat maka pangkatnya juga harus sama).

Contoh 3:

Sederhanakan bentuk aljabar berikut:

  • a). $6x + 4y - 3x + 5 + 2y + 7$
  • b). $-2a + 3b - 2ab + 5a - 7ab + 9$
Penyelesaian: a). $6x + 4y - 3x + 5 + 2y + 7$
  • -). Suku-suku yang sejenis: $6x$ sejenis dengan $-3x$ , $4y$ sejenis dengan $2y$, dan $5$ sejenis dengan $7$.
  • -). Bentuk sederhananya: $$6x + 4y - 3x + 5 + 2y + 7$$ $$= (6x - 3x) + (4y + 2y) + (5 + 7)$$ $$= (6 - 3)x + (4 + 2)y + 12$$ $$= 3x + 6y + 12$$
b). $-2a + 3b - 2ab + 5a - 7ab + 9$
  • -). Suku-suku yang sejenis: $-2a$ sejenis dengan $5a$ , $-2ab$ sejenis dengan $-7ab$.
  • -). Bentuk sederhananya: $$-2a + 3b - 2ab + 5a - 7ab + 9$$ $$= (-2a + 5a) + (-2ab - 7ab) + 3b + 9$$ $$= (-2 + 5)a + (-2 - 7)ab + 3b + 9$$ $$= 3a - 9ab + 3b + 9$$

(b). Pengurangan

Pengurangan bentuk aljabar dilakukan pada suku-suku yang sejenis dengan mengurangkan koefisiennya. Untuk suku-suku yang tidak sejenis hanya ditulis ulang dengan memperhatikan tanda positif atau negatifnya.

Contoh 4:

Sederhanakan bentuk pengurangan aljabar berikut :

  • a). $(3p - 2q + 8) - (2p - 4q + 5)$
  • b). $(2x + 3y) - (6x + 7)$
  • c). $(3a - 4b) - (-2b - 9)$
Penyelesaian (Cara I): a). $(3p - 2q + 8) - (2p - 4q + 5)$
  • -). Suku-suku yang sejenis : $3p$ sejenis dengan $2p$ , $-2q$ sejenis dengan $-4q$ , dan $8$ sejenis dengan $5$.
  • -). Bentuk sederhananya : $$(3p - 2q + 8) - (2p - 4q + 5)$$ $$= (3p - 2p) + (-2q - (-4q)) + (8 - 5)$$ $$= (3 - 2)p + (-2 - (-4))q + 3$$ $$= 1p + (-2 + 4)q + 3$$ $$= p + 2q + 3$$
b). $(2x + 3y) - (6x + 7)$
  • -). Suku-suku yang sejenis : $2x$ sejenis dengan $6x$
  • -). Bentuk sederhananya : $$(2x + 3y) - (6x + 7)$$ $$= (2x - 6x) + 3y + (-7)$$ $$= (2 - 6)x + 3y - 7$$ $$= -4x + 3y - 7$$
c). $(3a - 4b) - (-2b - 9)$
  • -). Suku-suku sejenisnya : $-4b$ sejenis dengan $-2b$
  • -). Bentuk sederhananya : $$(3a - 4b) - (-2b - 9)$$ $$= 3a + (-4b - (-2b)) + (-(-9))$$ $$= 3a + (-4 - (-2))b + 9$$ $$= 3a + (-4 + 2)b + 9$$ $$= 3a + (-2)b + 9$$ $$= 3a - 2b + 9$$
Cara II untuk contoh 4: dengan sifat distributif.

Tanda kurung dihilangkan dengan mengalikan tanda di depan kurung ke dalam kurungnya.

a). $(3p - 2q + 8) - (2p - 4q + 5)$ $$= 3p - 2q + 8 - 2p + 4q - 5$$ $$= (3p - 2p) + (-2q + 4q) + (8 - 5)$$ $$= p + 2q + 3$$ b). $(2x + 3y) - (6x + 7)$ $$= 2x + 3y - 6x - 7$$ $$= (2x - 6x) + 3y - 7$$ $$= -4x + 3y - 7$$ c). $(3a - 4b) - (-2b - 9)$ $$= 3a - 4b + 2b + 9$$ $$= 3a + (-4b + 2b) + 9$$ $$= 3a - 2b + 9$$

(c). perkalian

Perkalian bentuk aljabar dilakukan dengan mengalikan setiap suku-sukunya, angka kalikan dengan angka dan abjad dengan abjad. Ingat juga perkalian tanda.

$$a \times (b + c) = a \times b + a \times c$$ $$a \times (b - c) = a \times b - a \times c$$ $$(a + b) \times (c + d) = a \times c + a \times d + b \times c + b \times d$$ $$(a - b) \times (c + d) = a \times c + a \times d - b \times c - b \times d$$ $$(a - b) \times (c - d) = a \times c - a \times d - b \times c + b \times d$$
Contoh 5:

Jabarkan dan sederhanakan bentuk perkalian berikut!

  • a). $3(2x + 5)$
  • b). $-4(5y - 3)$
  • c). $2(3a - 4b + 5)$
  • d). $2(x + 3) + 5(x - y + 2)$
  • e). $(4x + 2)(5y - 3)$
Penyelesaian: a). $3(2x + 5)$ $$= 3 \times (2x) + 3 \times 5 = 6x + 15$$ b). $-4(5y - 3)$ $$= (-4) \times (5y) - (-4) \times 3$$ $$= -20y - (-12) = -20y + 12$$ c). $2(3a - 4b + 5)$ $$= 2 \times (3a) - 2 \times (4b) + 2 \times 5 = 6a - 8b + 10$$ d). $2(x + 3) + 5(x - y + 2)$ $$= 2 \times x + 2 \times 3 + 5 \times x - 5 \times y + 5 \times 2$$ $$= 2x + 6 + 5x - 5y + 10$$ $$= (2x + 5x) - 5y + (6 + 10) = 7x - 5y + 16$$ e). $(4x + 2)(5y - 3)$ $$= 4x \times 5y - 4x \times 3 + 2 \times 5y - 2 \times 3$$ $$= 20xy - 12x + 10y - 6$$

(d). pembagian

Pembagian bentuk aljabar dapat dilakukan dengan membagi angka dengan angka dan abjad dengan abjad.

$$\frac{a+b}{c} = \frac{a}{c} + \frac{b}{c} \quad \text{dan} \quad \frac{a-b}{c} = \frac{a}{c} - \frac{b}{c}$$
Contoh 6:

Sederhanakan atau ubah bentuk aljabar berikut!

  • a). $\frac{4x+6}{2}$
  • b). $\frac{3a+6b-5}{3}$
  • c). $\frac{4p+2q}{2} - \frac{8p-4q+16}{4}$
Penyelesaian: a). $\frac{4x+6}{2}$ $$= \frac{4x}{2} + \frac{6}{2} = 2x + 3$$ b). $\frac{3a+6b-5}{3}$ $$= \frac{3a}{3} + \frac{6b}{3} - \frac{5}{3} = a + 2b - \frac{5}{3}$$ c). $\frac{4p+2q}{2} - \frac{8p-4q+16}{4}$ $$= \frac{4p}{2} + \frac{2q}{2} - \left(\frac{8p}{4} - \frac{4q}{4} + \frac{16}{4}\right)$$ $$= 2p + q - (2p - q + 4)$$ $$= 2p + q - 2p + q - 4$$ $$= (2p - 2p) + (q + q) - 4$$ $$= 0 + (1 + 1)q - 4 = 2q - 4$$

(iv). Sifat-sifat operasi aljabar

(a). Sifat komutatif (pertukaran)

$$a + b = b + a \quad \text{dan} \quad a \times b = b \times a$$
Contoh:
• $2 + 7 = 7 + 2 = 9$
• $4 \times 9 = 9 \times 4 = 36$

(b). Sifat asosiatif (pengelompokkan)

$$(a + b) + c = a + (b + c)$$ $$(a \times b) \times c = a \times (b \times c)$$
Contoh:
• $(2 + 3) + 5 = 2 + (3 + 5)$
• $(2 \times 4) \times 5 = 2 \times (4 \times 5)$

(c). Sifat distributif (penyebaran)

$$a(b + c) = a \times b + a \times c$$ $$a(b - c) = a \times b - a \times c$$
Contoh:
• $3(x + 2) = 3 \times x + 3 \times 2 = 3x + 6$
• $5(p - 2) = 5 \times p - 5 \times 2 = 5p - 10$

(d). Sifat identitas (nol dan satu)

$$a + 0 = 0 + a = a$$ $$a \times 1 = 1 \times a = a$$
Contoh:
• $5 + 0 = 0 + 5 = 5$
• $3 \times 1 = 1 \times 3 = 3$

(e). Sifat invers

$$a + (-a) = (-a) + a = 0$$ $$a \times \frac{1}{a} = \frac{1}{a} \times a = 1$$
Contoh:
• $7 + (-7) = (-7) + 7 = 0$
• $6 \times \frac{1}{6} = \frac{1}{6} \times 6 = 1$

Soal Latihan:

  1. 1). Sederhanakan atau jabarkan bentuk berikut!
    • a). $2p + 3q - 4pq + 4 + 3p - 5q$
    • b). $(3x - 2y + 2) - (2x + 5y - 1)$
    • c). $2(x + 3y) - 3(-2x + 3y - 2)$
    • d). $(2x - 3)(y + 1) - 3(xy + x - y - 5)$

  2. 2). Sederhanakan bentuk aljabar berikut:
    • a). $-3x + 4 + x - 3 - 2x - 5 + 6x + 4$
    • b). $3(p - 2) - \frac{1}{2}(-6p - 8) + 3$

  3. 3). Bentuk $3x - 2y + z - 3(2x - y + z)$ dapat disederhanakan menjadi $mx + ny + pz$. Nilai $m + n - p$ adalah ....

  4. 4). Jika $m = 3$ dan $n = 2$, maka tentukan nilai dari:
    • a). $m + n$
    • b). $m - n$
    • c). $m \times n - 5$
    • d). $2m - 3n + 2$
    • e). $5mn - 4(m + n)$

  5. 5). Jika $a + b = 1$ dan $x - y = 2$ , tentukan nilai berikut!
    • a). $a + b - 5$
    • b). $2 + x - y$
    • c). $a + b - 3 + x - y + 5$
    • d). $a + 2 + b$
    • e). $x - 1 - y$
    • f). $3(a + b) - 2(x - y)$
    • g). $2a + 2b - 3 - x + y$
    • h). $2(3x - y + 1) - 4y + 3$

  6. 6). Diketahui bilangan bulat $a$ dan $b$ dengan $-2 < a < 5$ dan $-6 < b < 3$. Tentukan nilai maksimum dan minimum dari:
    • a). $a + b$
    • b). $a - b$
    • c). $a \times b$
    • d). $\frac{a}{b}$ dengan $b \neq 0$.
    • e). $a^2 - b^2$

  7. 7). Dua buah bilangan bulat dijumlahkan sama dengan 12 dan salah satu bilangan bernilai antara -2 dan 3. Jika selisih semua kedua bilangan tersebut dihitung lalu semuanya dijumlahkan, maka hasilnya adalah ...?
Kembali ke Daftar Isi Olimpiade Matik SD

       Demikian pembahasan materi Pengenalan Aljabar dan Operasinya Olim Matik SD dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan materi ini. Setiap artikel akan diupdate secara bertahap. Jika ada kritik dan saran, atau koreksi dari isi artikel di halaman ini, mohon bantuannya untuk menuliskannya di kolom komentar di bagian bawah setiap artikel. Ini sangat membantu untuk memperbaiki kualitas dari artikel di blog koma. Semoga bermanfaat. Terimakasih.