Blog Koma - Hallow sahabat koma, bagaimana kabarnya hari ini? Semoga baik-baik saja ya.
Pada artikel ini kita akan membahas
Solusi OSP Matematika SMA Tahun 2013 sebagai pendukung dan menambah wawasan pemahaman
berbagai variasi soal-soal olimpiade matematika tingkat SMA. Dengan berlatih secara rutin dan giat dalam mempelajari
Solusi OSP Matematika SMA Tahun 2013 yang ada, tentu sahabat koma akan lebih siap dalam menghadapi olimpiade atau kompetisi
matematika yang ada. Semangat terus untuk berlatih. Jika ada masukan atau ide atau cara lain mengenai
Solusi OSP Matematika SMA Tahun 2013 ini, mohon untuk dishare ke admin ya, biar terus ada perbaikan dan peningkatan
dari isi artikel yang ada di blog koma.
Soal-soal dengan Solusi Singkat
Soal Bagian I: Soal Isian Singkat
1). Dieberikan tiga lignkaran dengan radius $r = 2$, yang saling
bersinggungan. Total luas dari ketiga lingkaran tersebut berikut daerah
yang dibatasinya sama dengan ...?
2). 2013 lampu dikontrol oleh 2013 tombol saklar yang diberi nomor
1, 2, 3, ..., 2013. Menekan tombolsaklar satu kali akan merubah nyala
lampu (hidup atau mati). Pada awalnya semua lampu dalam keadaan mati.
Pada hari pertama, semua tombol saklar ditekan satu kali. Pada hari
kedua, semua tombol saklar bernomor 2 atau kelipatan 2 ditekan sekali.
Dengan melakukan hal yang sama pada hari ke-$n$, semua tombol saklar
lampu bernomor $n$ atau kelipatan $n$ ditekan sekali. Demikian
seterusnya. Berapa banyak lampu dalam kondisi hidup setelah operasi pada
hari ke 2013 dilakukan?
3). Diberikan fungsi real $f$ dengan $f(x) = \frac{cx}{2x-3}$,
$x \neq \frac{3}{2} $ dan $f(f(x)) = x$ untuk semua $x \neq \frac{3}{2}$.
Nilai $f(2013)$ adalah ....?
4). Pasangan bilangan bulat positif $(x, \, y)$ yang memenuhi
$\frac{xy^2}{x+y}$ bilangan prima adalah ....?
5). Jika $|x|+x+y=10$ dan $x+|y|-y=12$, maka nilai dari $x+y$ adalah ...?
6). Banyaknya bilangan bulat positif $n$ yang memenuhi $n^2-660$
merupakan bilangan kuadrat sempurna adalah ....?
7). Ada berapa barisan sembilan suku $a_1, \, a_2, \, a_3, \, ..., \, a_9$,
yang masing-masing sukunya adalah $0, \, 1, \, 2, \, 3, \, ..., \, 8$ atau $9$
dan memuat tepat satu urutan $a_i, \, a_j$ dimana $a_i$ genap dan $a_j$
ganjil?
8). Bilangan asli $n$ dikatakan cantik jika $n$ terdiri dari 3 digit
berbeda atau lebih dan digit-digit penyusunnya tersebut membentuk
barisan aritmetika atau barisan geometri. Sebagai contoh 123 adalah
bilangan cantik karena 1, 2, 3 membentuk barisan aritmetika. Banyak
bilangan cantik adalah ....
9). Misalkan M adalah titik tengah sisi BC pada $\Delta ABC$ dan
$\angle CAB = 45^o$, $\angle ABC = 30^o$, maka $\tan \angle AMC$?
adalah ...?
10). Diberikan bilangan prima $p > 2013$. Misalkan $a$ dan $b$ adalah
bilangan-bilangan asli sehingga $a+b$ habis dibagi $p$ tetapi tidak
habis dibagi $p^2$. Jika diketahui $a^{2013}+b^{2013}$ habis dibagi $p^2$,
maka banyak bilangan asli $n \leq 2013$ sehingga $a^{2013}+b^{2013}$ habis
dibagi $p^n$ adalah ....?
11). Ada enam anak TK masing-masing membawa suatu makanan. Mereka akan
mengadakan kado silang, yaitu makanannya dikumpulkan dan kemudian
dibagi lagi sehingga masingmasing anak menerima makanan yang bukan
makanan yang dibawa semula. Banyaknya cara untuk melakukan hal tersebut
adalah ...?
12). Grafik parabola $y = x^2-a$ dan $x = y^2-b$ dengan $a > 0$ dan
$b > 0$ berpotongan di empat titik $(x_1, \, y_1)$, $(x_2, \, y_2 )$,
$(x_3, \, y_3)$ dan $(x_4, \, y_4)$. Nilai
$(x_1+x_2)(x_1+x_3)(x_1+x_4)$ adalah ....?
13). Sebuah dadu dilempar 2 (dua) kali. Misalkan $a$ dan $b$
berturut-turut adalah angka yang muncul pada pelemparan pertama dan
kedua. Besarnya peluang terdapat bilangan real $x$, $y$, dan $z$ yang
memenuhi persamaan
$\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, x+y+z = a$ dan $x^2+y^2+z^2 = b$
adalah ....?
14). Misalkan $\Delta _1, \, \Delta _2, \Delta _3$ adalah barisan
segitiga sama sisi dengan panjang sisi $\Delta _1$ adalah 1. Untuk
$n \geq 1$, segitiga $\Delta _{n+1}$ didefinisikan dengan cara sebagai
berikut: pertama didefinisikan $P_n$ sebagai persegi yang titik-titik
sudutnya terletak pada sisi-sisi $\Delta _n$, selanjutnya didefinisikan
$L_n$ sebagai lingkarran terbesar di dalam $P_n$, kemudian
didefinisikan $\Delta _{n+1}$, sebagai segitiga sama sisi yang
titik-titik sudutnya terletak pada keliling lingkaran. Panjang sisi
dari $\Delta _{2013}$ adalah ....?
15). Suatu barisan $x_1, \, x_2, \, x_3, \, ..., \, x_n, \, ...$
didefinisikan dengan $x_1=2$, dan
$\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \,
x_{n+1} = \left( 1+ \frac{1}{n} \right) x_n + \frac{2}{n} $
untuk setiap bilangan asli $n$. Nilai $x_{2013}$ adalah ....?
16). Diberikan bujursangkar dengan panjang sisi sama dengan $2\sqrt{3}$.
Didalam bujursangkar tersebut terdapat dua segitiga sama sisi dengan alas
merupakan sisi-sisi bujursangkar yang berhadapan. Perpotongan kedua
segitiga sama sisi membentuk rhombus. Luas rhombus sama dengan ....?
17). Bilangan bulat positif $a$ dan $b$ yang memenuhi $FPB(a, \, b)=1$
dan $\frac{a}{b} + \frac{25b}{21a}$ bilangan bulat ada sebanyak ...?
18). Diberikan segitiga ABC, AB = 20, AC = 21, dan BC = 29. Titik D dan
E terletak pada segmen BC, sehingga BD = 8 dan EC = 9. Besar $\angle DAE$
sama dengan ....?
19). Suatu kompetisi diikuti oleh 20 peserta. Pada setiap ronde, dua
peserta bertanding. Setiap peserta yang kalah dua kali dikeluarkan dari
kompetisi, peserta yang terakhir berada di kompetisi adalah pemenangnya.
Jika diketahui pemenang kompetisi tidak pernah kalah, banyaknya
pertandingan yang dilangsungkan pada kompetisi tersebut adalah ....?
20). Jumlah dari semua bilangan bulat $x$ yang memenuhi
${}^2 \log (x^2-4x-1) $ merupakan bilangan bulat adalah ....?
Soal Bagian II: Soal Uraian
1). Ada dua gelas, gelas A berisi 5 bola merah, dan gelas B berisi 4
bola merah dan satu bola putih. Satu gelas dipilih secara acak dan
kemudian satu bola diambil secara acak dari gelas tersebut. Hal ini
dilakukan berulang kali sampai salah satu gelas kosong. Tentukan
probabilitas bahwa bola putih tidak terambil.
2). Untuk sebarang bilangan real $x$, didefinisikan
$\lfloor x \rfloor $ sebagai bilangan bulat terbesar yang kurang dari
atau sama dengan x. Tentukan banyak bilangan asli $n \leq 1.000.000$
sehingga $\sqrt{n} - \lfloor \sqrt{n} \rfloor < \frac{1}{2013} $ .
3). Suatu bilangan asli $n$ dikalatak $valid$ jika
$1^n+2^n+3^n+ ... +m^n$ habis dibagi $1+2+3+ ... +m$ untuk setiap
bilangan asli $m$.
a). Tunjukkan bahwa 2013 $valid$.
b). Buktikan bahwa ada tak hingga banyaknya bilangan yang tidak $valid$.
4). Buktikan bahwa untuk semua bilangan real positif $a$, $b$, $c$ dengan
$a+b+c = 6$ berlaku
$\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \,
\frac{a+2}{a(a+4)} + \frac{b+2}{b(b+4)} +
\frac{c+2}{c(c+4)} \geq 1$.
5). Diberikan segitiga ABC lancip. Garis tinggi terpanjang adalah dari
titik sudut A tegak lurus pada BC, dan panjangnya sama dengan panjang
median (garis berat) dari titik sudut B.
Buktikan bahwa $\angle ABC \leq 60^o$.
Kembali ke
Daftar Isi Olimpiade Matik SMA
Kembali ke
Solusi Singkat Olim Matik SD-SMP-SMA
Demikian artikel
Solusi OSP Matematika SMA Tahun 2013 ini.
Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan materi ini. Setiap artikel akan diupdate secara bertahap. Terimakasih.
