Blog Koma - Hallow sahabat koma, bagaimana kabarnya hari ini? Semoga baik-baik saja ya.
Pada artikel ini kita akan membahas
Solusi OSP Matematika SMA Tahun 2012 sebagai pendukung dan menambah wawasan pemahaman
berbagai variasi soal-soal olimpiade matematika tingkat SMA. Dengan berlatih secara rutin dan giat dalam mempelajari
Solusi OSP Matematika SMA Tahun 2012 yang ada, tentu sahabat koma akan lebih siap dalam menghadapi olimpiade atau kompetisi
matematika yang ada. Semangat terus untuk berlatih. Jika ada masukan atau ide atau cara lain mengenai
Solusi OSP Matematika SMA Tahun 2012 ini, mohon untuk dishare ke admin ya, biar terus ada perbaikan dan peningkatan
dari isi artikel yang ada di blog koma.
Soal-soal dengan Solusi Singkat
Soal Bagian I: Soal Isian Singkat
1). Misalkan $O$ dan $I$ berturut-turut menyatakan titik pusat lingkaran
luar dan titik pusat lingkaran dalam pada segitiga dengan panjang sisi 3,
4, dan 5. Panjang dari $OI$ adalah ....?
2). Misalkan $x$, $y$, dan $z$ adalah bilangan-bilangan prima yang
memenuhi persamaan $34x-51y=2012z$. Nilai dari $x+y+z$ adalah ...?
3). Diketahui empat dadu setimbang dan berbeda, yang masing-masing
berbentuk segi delapan beraturan bermata 1, 2, 3, ..., 8. Empat dadu
tersebut ditos (dilempar) bersama-sama satu kali. Probabilitas kejadian
ada dua dadu dengan mata yang muncul sama sebesar ...?
4). Fungsi bernilai real $f$ dan $g$ masing-masing memiliki persamaan
$\, \, \, \, \, \, \, \, \, \,
f(x) = \sqrt{ \lfloor x \rfloor - a} $ dan
$ g(x) = \sqrt{ x^2-\frac{x\sqrt{2}}{\sqrt{2}} } $
dengan $a$ bilangan bulat positif. Diketahui $\lfloor x \rfloor $
menyatakan bilangan bulat terbesar yang kurang dari atau sama dengan $x$.
Jika domain $g \circ f$ adalah
$\left\{ x|3 \frac{1}{2} \leq x < 4 \right\}$, maka banyaknya $a$ yang
memenuhi sebanyak ...?
5). Diberikan bilangan prima $ p > 2$. Jika $S$ adalah himpunan semua
bilangan asli $n$ yang menyebabkan $n^2+pn$ merupakan kuadrat dari suatu
bilangan bulat, maka $S = ... ?$
6). Diberikan bilangan real $x$ didefinisikan $\{ x \}$ sebagai bilangan
bulat yang terdekat dengan $x$, sebagai contoh $\{ 1,9 \} = 2$,
$\{ -0,501 \} = -1$, dan sebagainya. Jika $n$ adalah suatu bilagnan
bulat positif kelipatan 2012, maka banyak bilangan bulat positif $k$
yang memenuhi $\{ \sqrt[3]{k} \} = n$ adalah ...?
7). Banyak bilangan bilangan asli $ n < 100$ yang mempunyai kelipatan
yang berbentuk
$\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, 123456789123456789...123456789 $
adalah ...?
8). Diberikan parallelogram (jajar genjang) ABCD. Titik M pada AB
sedemikian rupa sehingga $\frac{AM}{AB} = 0,017$, dan titik N pada AD
sehingga $\frac{AN}{AD} = \frac{17}{2009}$. Misalkan $AC \cap MN = P$,
maka $\frac{AC}{AP} = ...?$
9). Dalam sebuah pertemuan, 5 pasang suami istri akan didudukkan pada
sebuah meja bundar. Berapa banyak cara untuk mengatur posisi duduk 5
pasang suami istri tersebut sedemikian sehingga tepat 3 suami istri
duduk disamping istrinya?
10). Jika $p$, $q$, dan $r$ akar-akar dari $x^3-x^2+x-2=0$, maka
$p^3+q^3+r^3= ...?$
11). Jika $m$ dan $n$ bilangan bulat positif yang memenuhi
$m^2+n^2 = 252$, maka $m + n = ...?$
12). Pada $\Delta ABC$, titik D terletak pada garis BC. Panjang BC = 3,
$\angle ABC = 30^o$, dan $\angle ADC = 45^o$. Panjang $AC = ...?$
13). Lima siswa, A, B, C, D, E berada pada satu kelompok dalam lomba
lari estafet. Jika A tidak bisa berlari pertama dan D tidak bisa berlari
terakhir, maka banyaknya susunan yang mungkin adalah ....?
14). Diketahui H adalah himpunan semua bilangan asli kurang dari 2012
yang faktor primanya tidak lebih dari 3. Selanjutnya didefinisikan
himpunan $S = \left\{ \frac{1}{n} | n \in H \right\}$.
Jika $x$ merupakan hasil penjumlahan dari semua anggota $S$ dan
$\lfloor x \rfloor $ menyatakan bilangan bulat terbesar yang kurang dari
atau sama dengan $x$, maka $\lfloor x \rfloor = ... ?$
15). Diberikan dua lingkaran $\Gamma _1$ dan $\Gamma _2$ yang berpotongan
di dua titik yaitu A dan B dengan $AB = 10$. Ruas garis yang
menghubungkan titik pusat kedua lingkaran memotong lingkaran
$\Gamma _1$ dan $\Gamma _2$ masing-masing di P dan Q. Jika $PQ = 3$ dan
jari-jari lingkaran $\Gamma _1 $ adalah 13, maka jari-jari lingkaran
$\Gamma _2$ adalah ...?
16). Banyaknya pasangan bilangan bulat $(x, \, y)$ yang memenuhi
$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} - \frac{1}{xy^2} = \frac{3}{4}$ adalah ...?
17). Untuk bilangan real positif $x$ dan $y$ dengan $xy = \frac{1}{3}$,
nilai minimum $\frac{1}{9x^6} + \frac{1}{4y^6}$ adalah ...?
18). Banyaknya pasangan bilangan bulat positif $(a, \, b)$ yang memenuhi
$4^a + 4a^2 + 4 = b^2$ adalah ...?
19). Diberikan segitiga ABC, dengan panjang AB sama dengan dua kali
panjang AC. Misalkan D dan E berturut-turut pada segmen AB dan BC,
sehingga $\angle BAE = \angle ACD$. Jika $F = AE \cap CD$ dan CEF
merupakan segitiga sama sisi, maka besar sudut dari segitiga ABC
adalah ...?
20). Banyaknya bilangan bulat positif $n$ yang memenuhi $n \leq 2012$ dan
merupakan bilangan kuadrat sempurna atau kubik atau pangkat 4 atau
pangkat 5 atau ... atau pangkat 10, ada sebanyak ...?
Soal Bagian II: Soal Uraian
1). Tentukan semua pasangan bilangan bulat tak negatif
$(a, \, b, \, x, \, y)$ yang memenuhi sistem persamaan
$\left\{ \begin{matrix} a+b = xy \\ x + y = ab \end{matrix} \right. $
2). Cari semua pasangan bilangan real $(x, \, y, \, z)$ yang memenuhi
sistem persamaan
$\left\{ \begin{matrix}
x = 1 + \sqrt{y-z^2} \\
y = 1 + \sqrt{z-x^2} \\
z = 1 + \sqrt{x-y^2}
\end{matrix}
\right. $
3). Seorang laki-laki memiliki 6 teman. Pada suatu malam di suatu
restoran, dia bertemu dengan masing-masing mereka 11 kali, setiap 2 dari
mereka 6 kali, setiap 3 dari mereka 4 kali, setiap 4 dari mereka 3 kali,
setiap 5 dari mereka 3 kali dan semua mereka 10 kali. Dia makan di
luar 9 kali tanpa bertemu mereka. Berapa kali dia makan di restoran
tersebut secara keseluruhan?
4). Diberikan segitiga lancip ABC. Titik H menyatkan titik kaki dari
garis tinggi yang ditarik dari A. Buktikan bahwa
$AB + AC \geq BC \cos \angle BAC + 2AH \sin \angle BAC$.
5). Diketahui $p_0 = 1$ dan $p_i$ bilangan prima ke-$i$, untuk
$i = 1, \, 2, \, 3, \, ...;$ yaitu $p_1 = 2$, $p_2 = 3$, .... Bilangan
prima $p_i$ dikatakan sederhana jika
$\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \,
p_i^{n^2} > p_{i-1} (n!)^4 $
untuk semua bilangan bulat positif $n$. Tentukan semua bilangan prima
yang sederhana.
Kembali ke
Daftar Isi Olimpiade Matik SMA
Kembali ke
Solusi Singkat Olim Matik SD-SMP-SMA
Demikian artikel
Solusi OSP Matematika SMA Tahun 2012 ini.
Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan materi ini. Setiap artikel akan diupdate secara bertahap. Terimakasih.
