Blog Koma - Hallow sahabat koma, bagaimana kabarnya hari ini? Semoga baik-baik saja ya.
Pada artikel ini kita akan membahas
Solusi OSP Matematika SMA Tahun 2011 sebagai pendukung dan menambah wawasan pemahaman
berbagai variasi soal-soal olimpiade matematika tingkat SMA. Dengan berlatih secara rutin dan giat dalam mempelajari
Solusi OSP Matematika SMA Tahun 2011 yang ada, tentu sahabat koma akan lebih siap dalam menghadapi olimpiade atau kompetisi
matematika yang ada. Semangat terus untuk berlatih. Jika ada masukan atau ide atau cara lain mengenai
Solusi OSP Matematika SMA Tahun 2011 ini, mohon untuk dishare ke admin ya, biar terus ada perbaikan dan peningkatan
dari isi artikel yang ada di blog koma.
Soal-soal dengan Solusi Singkat
Soal Bagian I: Soal Isian Singkat
1). Diberikan segitiga sama kaki ABC dengan $AB = AC$. Misalkan garis bagi
sudut ABC memotong AC di titik D sehingga $BC = BD + AD$. Besar sudut
CAB adalah ....?
2). Jika $n$ bilangan asli dan $\frac{1}{2}+ \frac{1}{3} +
\frac{1}{5} - \frac{1}{n} $ merupakan bilangan bulat, maka pembagi
positif dari $n$ sebanyak ....?
3). Jika $a \geq b > 1$, maka nilai terbesar yang mungkin untuk
${}^a \log \left( \frac{a}{b} \right) +
{}^b \log \left( \frac{b}{a} \right) $ adalah ....?
4). Diketahui segi empat ABCD. Semua titik A, B, C dan D akan diberi
nomor 1, 2, 3, 4, 5 atau 6 sehingga setiap dua titik yang terletak dalam
satu sisi empat noornya berbeda. Banyaknya cara pemberian nomor dengan
cara tersebut ada sebanyak ....?
5). Diberikan fungsi $f$ dengan $f(x) = \sqrt{ax^2+x}$. Semua nilai $a$
yang mungkin sehingga domain dan daerah hasil sama adalah ....?
6). Banyaknya kemungkinan bilangan asli berbeda $a$, $b$, $c$ dan $d$
yang kurang dari 10 dan memenuhi persamaan $a+b = c+d$ ada sebanyak ....?
7). Jika kedua akar persamaan $x^2-2013x+k=0$ adalah bilangan prima, maka
nilai $k$ yang mungkin adalah ....?
8). Jika $\left( 1- \tan ^2 \frac{x}{2^{2011}} \right)
\left( 1- \tan ^2 \frac{x}{2^{2010}} \right) ...
\left( 1- \tan ^2 \frac{x}{2} \right)
= 2^{2011} \sqrt{3} \tan \frac{x}{2^{2011}} $,
maka $ \sin 2x $ adalah ....?
9). Pada ruang Cartesius kita ingin bergerak dari titik
$(2, \, 0, \, 11)$ ke titik $(20, \, 1, \, 1)$ selalu pada koordinat
$(x, \, y, \, z)$ dengan paling sedikit dua dari $x$, $y$ dan $z$ adalah
bilangan bulat, dan lintasan terpendek. Cara bergerak yang dimaksud
sebanyak ....?
10). Misalkan $x$, $y$, dan $z$ adalah bilangan real positif dengan
sifat $xyz = 1$. Nilai terkecil dari
$\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, (x+2y)(y+2z)(xz+1) $
tercapai saat $x+y+z$ bernilai ....?
11). Pada gambar di bawah ini, panjang $AE = x$, $EC = y$, dan $DC = 2BD$.
Perbandingan panjang BF dan FE dinyatakan dalam $x$ dan $y$ adalah ...?
12). Banyak bilangan tiga digit yang semua digit-digitnya berbeda dan
digit terakhir merupakan hasil penjumlahan dari dua digit yang lainnya
adalah ....?
13). Diberikan barisan bilangan rasional $\{ a_k \}_{k \in N}$ yang
didefinisikan dengan $a_1 = 2$ dan
$a_{n+1} = \frac{a_n - 1}{a_n + 1}$, $n \in N$.
Nilai $a_{2011} $ adalah ....?
14). Misalkan $\Gamma $ lingkaran luar segitiga ABC. Talibusur AD
adalah garis bagi $\angle BAC$ yang memotong BC di titik L. Talibusur
DK tegak lurus pada AC dan memotongnya di titik M. Jika
$\frac{BL}{BC} = \frac{1}{2} $, maka perbandingan
$\frac{AM}{MC} = ....$
15). Dua dadu memiliki angka 1 sampai 6 yang dapat dilepas dari dadu.
Kedua belas angka tersebut dilepas dari dadu dan dimasukkan ke dalam
suatu kantong. Secara acak diambil sat angka dan dipasangkan ke salah
satu dari kedua dadu tersebut. Setelah semua angka terpasangkan, kedua
dadu dilemparkan secara bersamaan. Peluang munculnya angka tujuh sebagai
jumlah dari angka pada bagian atas kedua dadu tersebut adalah ...?
16). Banyaknya bilangan asli $n$ sehingga setiap titik dengan koordinat
bilangan asli yang terletak pada garis $x+y = n$ mempunyai jarak suatu
bilangan prima terhadap titik pusat $(0, \, 0)$ adalah ....?
17). Bilangan asli $n$ yang memenuhi
$(-2004)^n - 1900^n + 25^n - 121^n $ habis dibagi 2000 adalah ....?
18). Sepuluh orang siswa duduk dalam suatu baris. Semua siswa bangkit
dan duduk kembali pada baris tersebut dengan aturan setiap siswa dapat
duduk kembali pada kursi yang sama atau pada kursi yang berada di
sebelah kursi lamanya. Banyaknya cara semua siswa tersebut duduk kembali
pada baris tadi ada sebanyak ....
19). Bilangan asli $n \leq 123456$ sehingga terdapat bilangan asli $x$
dengan sifat jumlah semua digit dari $x^2$ sama dengan $n$ adalah ....?
20). Misalkan ABC suatu segitiga dan P titik di dalam segitiga. Misalkan
D, E, F berturut-turut titik di sisi-sisi BC, CA, AB sedemikian sehingga
PD tegak lurus BC, PE tegak lurus CA, dan PF tegak lurus AB. Jika
segitiga DEF sama sisi dan $\angle APB = 70^o$, maka
$\angle ACB = ....$?
Soal Bagian II: Soal Uraian
1). Tentukan semua nilai $k$ yang mungkin sehingga tidak ada pasangan
bilangan real $(x, \, y)$ yang memenuhi sistem persamaan
$\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, x^2-y^2=0 $
$\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, (x-k)^2+y^2=1 $
2). Suatu bilangan dikatakan $cantik$ jika memenuhi sekaligus dua
kondisi berikut:
a). merupakan kuadrat sempurna, yaitu kuadrat dari suatu bilangan asli.
b). jika digit paling kanan pada penulisan desimalnya dipindah posisinya
menjadi digit paling kiri, maka bilangan yang terbentuk masih merupakan
bilangan kuadrat sempurna.
Sebagai contoh, 441 merupakan bilangan cantik terdiri dari 3 digit,
karena $441 = 21^2$ dan $144 = 12^2$. Sedangkan 144 bukan bilangan
cantik karena $144 = 12^2$ tetapi 414 bukan bilangan kuadrat
sempurna.
Buktikan bahwa terdapat bilangan cantik yang penulisan desimalnya
terdiri dari tepat 2011 digit.
3). Misalkan A adalah himpunan semua pembagi positif dari $10^9$. Jika
dipilih dua bilangan sebarang $x$ dan $y$ di A (boleh sama), tentukan
peluang dari kejadian $x$ membagi $y$.
4). Diberikan persegi panjang (siku empat) ABCD dengan $AB=a$ dan $BC=b$.
Titik $O$ adalah perpotongan antara kedua diagonalnya. Perpanjang sisi
BA sehingga $AE=AO$, juga perpanjang diagonal BD sehingga $BZ=BO$.
Asumsikan segitiga EZC sama sisi. Buktikan bahwa
$\, \, \, \, \, \, \, \, $ a). $b = a \sqrt{3} $
$\, \, \, \, \, \, \, \, $ b). EO tegak lurus ZD.
5). Misalkan $M$ adalah himpunan bagian dari
$\{1, \, 2, \, 3, \, ..., \, 12, \, 13 \}$ dan tidak ada tiga anggota
$M$ yang hasil kalinya berbentuk kuadrat sempurna. Tentukan banyak
maksimum anggota $M$ yang mungkin.
Kembali ke
Daftar Isi Olimpiade Matik SMA
Kembali ke
Solusi Singkat Olim Matik SD-SMP-SMA
Demikian artikel
Solusi OSP Matematika SMA Tahun 2011 ini.
Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan materi ini. Setiap artikel akan diupdate secara bertahap. Terimakasih.
