Soal-soal dengan Solusi Singkat
Soal Bagian I: Soal Isian Singkat
1). Nilai $\displaystyle {
\sum_{j=0}^{n}
\left[
\left( \begin{matrix} n \\ j \end{matrix} \right)
\left( \sum_{i=0}^{j} \left( \begin{matrix} j \\ i \end{matrix} \right) 8^i \right)
\right] = ....?
}$
2). Pada segitiga ABC dimisalkan $a$, $b$, dan $c$ berturut-turut
merupakan panjang sisi BC, CA, dan AB. Jika
$\frac{2a}{\tan A } = \frac{b}{\tan B}$ , maka nilai
$\frac{\sin ^2 A - \sin ^2 B}{\cos ^2 A + \cos ^2 B}$ adalah ....?
3). Diberikan polinom $ P(x) = x^4+ax^3+bx^2+cx+d$ dengan $a$, $b$, $c$,
dan $d$ konstan. Jika $P(1) = 10$, $P(2) = 20$, dan $P(3) = 30$,
maka nilai $\frac{P(12)+P(-8)}{10} = ....?$
4). Misalkan $S = \{1, \, 2, \, 3, \, 4, \, 5 \}$. Banyaknya fungsi
$f: S \to S$ yang memenuhi $f\left( f(x) \right) = x$ untuk setiap
$x \in S$ adalah ....?
5). Jika $a$, $b$, dan $c$ menyatakan panjang sisi-sisi suatu segitiga
yang memenuhi $(a+b+c)(a+b - c)= 3ab$, maka besar sudut yang menghadap
sisi dengan panjang $c$ adalah ....?
6). Bilangan enam digit $\overline{abcdef} $ dengan
$a > b > c \geq d > e > f$ ada sebanyak ....?
7). Bilangan prima $p$ sehingga $p^2 + 73$ merupakan bilangan kubik
sebanyak ....?
8). Diberikan segitiga ABC siku-siku di C, AC = 3, dan BC = 4. Segitiga
ABD siku-siku di A, AD = 12 dan titik-titik C dan D letaknya berlawanan
terhadap sisi AB. Garis sejajar AC melalui D memotong perpanjangan CB di
E. Jika $\frac{DE}{DB} = \frac{m}{n}$ dengan $m$ dan $n$ bilangan bulat
positif yang relatif prima, maka $m+n = ....?$
9). Pada suatu lingkaran terdapat 12 titik yang berbeda. Dengan
menggunakan 12 titik tersebut akan dibuat 6 tali busur yang tidak
berpotongan. Banyaknya cara ada sebanyak ....?
10). Banyaknya anggota himpunan
$S = \{ FPB (n^3+1,n^2+3n+9)| n \in Z \} $ adalah ....?
11). Persamaan kuadrat $x^2-px-2p=0$ mempunyai dua akar real
$\alpha$ dan $\beta$. Jika $\alpha ^3 + \beta ^3 = 16$, maka hasil
tambah semua nilai $p$ yang memenuhi adalah ....?
12). Pada suatu bidang terdapat $n$ titik yang berkoordinat pasangan
bilangan bulat. Nilai $n$ terkecil agar terdapat dua titik yang titik
tengahnya juga berkoordinat pasangan bilangan bulat adalah ...?
13). Untuk sebarang bilangan real $x$ didefinisikan
$\lfloor x \rfloor $ sebagai bilangan bulat terbesar yang kurang dari
atau sama dengan $x$. Bilangan asli $n$ sehingga persamaan
$x \lfloor \frac{1}{x} \rfloor + \frac{1}{x} \lfloor x \rfloor =
\frac{n}{n+1}$ mempunyai tepat 2010 solusi real positif adalah ....?
14). Dua lingkaran (tidak sama besar) bersinggungan di luar. Titik A dan
$A_1$ terletak pada lingkaran kecil; sedangkan B dan $B_1$ pada lingkaran
besar. Garis $PAB$ dan $PA_1 B_1$, merupakan garis singgung persekutuan
dari kedua lingkaran tersebut. Jika $PA = AB = 4$, maka luas lingkaran
kecil adalah ....?
15). Dua puluh tujuh siswa pada suatu kelas akan dibuat menjadi enam
kelompok diskusi yang masing-masing terdiri dari empat atau lima siswa.
Banyaknya cara adalah ....?
16). Seorang menulis surat berantai kepada 6 orang. Penerima suat ini
diperintahkan untuk mengirim surat kepada 6 orang lainnya. Semua
penerima surat membaca isi surat lalu beberapa orang melaksanakan
perintah yang tertulis dalam surat, sisanya tidak melanjutkan surat
berantai ini. Jika terdapat 366 orang yang tidak melanjutkan surat
berantai ini, maka banyaknya aorang yang berada dalam sistem surat
berantai ini adalah ....?
17). Jumlah suku konstan dari $\left( x^5- \frac{2}{x^3} \right) ^8 $
adalah ....?
18). Banyaknya bilangan bulat positif $n < 100$, sehingga persamaan
$\frac{3xy-1}{x+y} = n $ mempunyai solusi pasangan bilangan bulat
$(x, \, y)$ adalah ....?
19). Diketahui $x$, $y$, dan $z$ adalah bilangan-bilangan real yang
memenuhi sistem persamaan:
$\, \, \, \, \, \, \, \, x+y+z = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} $
$\, \, \, \, \, \, \, \, xyz = 1$.
Nilai terkecil $\left| x+y+z \right| $ adalah ....?
20). Segitiga ABC memiliki panjang sisi BC = 5, AC = 12, dan AB = 13.
Titik D pada AB dan titik E pada AC. Jika DE membagi segitiga ABC
menjadi dua bagian dengan luas yang sama, maka panjang minimum DE
adalah ....?
Soal Bagian II: Soal Uraian
1). Diberikan segitiga ABC. Andaikan $P$ dan $P_1$ titik-titik pada BC,
Q pada CA, dan R pada AB, sedemikian rupa sehingga
$\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \,
\frac{AR}{RB} = \frac{BP}{PC} = \frac{CQ}{QA}
= \frac{CP_1}{P_1 B}$.
Misalkan G titik berat segitiga ABC dan $K = AP_1 \cap RQ$.
Buktikan bahwa titik-titik P, G, dan K kolinier (terletak pada satu garis).
2). Diketahui $k$ adalah bilangan bulat positif terbesar, sehingga dapat
ditemukan bilangan bulat positif $n$, bilangan prima (tidak harus berbeda)
$q_1, \, q_2, \, q_3, \, ... , \, q_k$, dan bilangan prima berbeda
$p_1, \, p_2, \, p_3, \, ... , \, p_k$ yang memenuhi
$\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \,
\frac{1}{p_1} + \frac{1}{p_2} + ... + \frac{1}{p_k} =
\frac{7+ nq_1 q_2 ... q_k}{2010}$.
Tentukan banyaknya $n$ yang memenuhi.
3). Tentukan nilai $k$ dan $d$ sehingga tidak ada pasangan bilangan
real $(x, \, y)$, yang memenuhi sistem persamaan
$\, \, \, \, \, \, \, \, x^3 + y^3 = 2 $
$\, \, \, \, \, \, \, \, y = kx + d$.
4). Diketahui $n$ adalah bilangan asli kelipatan 2010. Tunjukkan bahwa
persamaan
$\, \, \, \, \, \, \, \, \, x+2y+3z=2n $
mempunyai tepat $1+ \frac{n}{2} + \frac{n^2}{12} $ pasangan
solusi $(x, \, y, \, z)$ dengan $x$, $y$, dan $z$ merupakan bilangan
bulat tak negatif.
5). Diketahui suatu papan catur seperti pada gambar. Dapatkah suatu biji
catur kuda berangkat dari suatu petak melewati petak yang lain hanya
satu kali dan kembali ke tempat semula? Jelaskan jawaban anda!
Penjelasan: langkah catur kuda berbentuk L, yaitu dari kotak asal:
a). 2 (dua) kotak ke kanan/kiri dan 1 (satu) kotak ke depan/belakang; atau
b). 2 (dua) kotak ke depan/belakang dan 1 (satu) kotak ke kanan/kiri.
Kembali ke
Daftar Isi Olimpiade Matik SMA
Kembali ke
Solusi Singkat Olim Matik SD-SMP-SMA
Demikian artikel
Solusi OSP Matematika SMA Tahun 2010 ini.
Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan materi ini. Setiap artikel akan diupdate secara bertahap. Terimakasih.
