Suku Tunggal dan Suku Banyak Olim SMP


         Blog Koma - Hallow sahabat koma, bagaimana kabarnya hari ini? Semoga baik-baik saja ya. Pada artikel ini kita akan membahas tentang Suku Tunggal dan Suku Banyak Olim SMP yang disertai dengan contoh soal dan pembahasan beberapa soal lainnya untuk mendukung pemahaman materinya yang lebih mendalam. Suku Tunggal dan Suku Banyak Olim SMP ini adalah salah satu materi paling mendasar yang harus dipahami oleh sahabat koma.


A. Definsi Suku Tunggal dan Suku Banyak
Suku Tunggal
       Suku Tunggal merupakan bentuk aljabar yang hanya terdiri dari satu suku saja (hasil perkalian bilangan dan huruf).

Suku Banyak
       Suku Banyak merupakan penjumlahan dari beberapa suku tunggal. Misalkan terdapat bilangan real $x$ dan bilangan cacah $n$, suku banyak dengan variabel $x$ berderajat $n$ berbentuk:
       $a_n x^n+a_{(n-1)} x^{(n-1)}+...+a_1 x+a_0$
dengan $a_n \neq 0$

Berikut beberapa contoh suku banyak yaitu:
a). $x^3-2x+5 $
b). $6x^9+7x^3+5x^2-20 $
c). $ 2y^{2025}-5y^8+3y^2 $

B. Suku-suku, Variabel, Koefisien, Konstanta, Derajat
       Pada bentuk aljabar, kita akan mengenal beberapa istilah yaitu:
(1). Suku-suku yaitu pengelompokkan yang dipisah oleh operasi penjumlahan.

(2). Variabel adalah huruf yang digunakan untuk mewakili suatu bentuk dan bisa diganti dengan angka tertentu.

(3). Koefisien yaitu bilangan yang menyertai atau bilangan yang ada di depan huruf/abjadnya.

(4). Konstanta yaitu suku yang tidak memuat huruf/abjad.

(5). Derajat adalah pangkat tertingginya.

Misalkan terdapat suku banyak $ 2x^3 + 5x^2 - 3x + 8 $
Suku-sukunya: $ 2x^3 $, $ 5x^2 $, $ -3x $, dan $ 8 $.
Variabelnya: $ x $
Koefisien:
       Koefisien dari $ x ^3 $ adalah 2
       Koefisien dari $ x ^2 $ adalah 5
       Koefisien dari $ x $ adalah $ - 3 $
Konstantanya adalah 8.
Derajatnya adalah 3.

C. Operasi Aljabar pada Suku Banyak
       Ada beberapa operasi aljabar yaitu penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian. Untuk pembagian pada suku banyak akan dibahas secara khusus pada materi lain.

(i). Penjumlahan
       Penjumlahan bentuk aljabar dilakukan pada suku-suku yang sejenis dengan menambahkan koefisiennya. Untuk suku-suku yang tidak sejenis hanya ditulis ulang. Suku-suku sejenis adalah suku-suku yang memiliki huruf/abjad yang sama (jika ada pangkat maka pangkatnya juga harus sama).

(ii). Pengurangan
       Pengurangan bentuk aljabar dilakukan pada suku-suku yang sejenis dengan mengurangkan koefisiennya. Untuk suku-suku yang tidak sejenis hanya ditulis ulang dengan memperhatikan tanda positif atau negatifnya.

(iii). Perkalian
       Perkalian bentuk aljabar dilakukan dengan mengalikan setiap suku-sukunya, angka kalikan dengan angka dan abjad dengan abjad. Ingat juga perkalian tanda.
$ a \times (b + c) = a \times b + a \times c $
$ a \times (b - c) = a \times b - a \times c $
$(a+b) \times (c+d) = a \times c + a \times d + b \times c + b \times d $
$(a-b) \times (c+d) = a \times c + a \times d - b \times c - b \times d $
$(a-b) \times (c-d) = a \times c - a \times d - b \times c + b \times d $
$ (a+b) \times (a-b) = a^2 - b^2 $
$ x^m \times x^n = x^{m+n} $

Berikut beberapa contoh sederhana:
a). $2x+3x=5x$
b). $5y-2y=3y$
c). $4x+2ab-x+5ab+3=3x+7ab+3$
d). $3(2x-5y)=6x-15y$
e). $2a(5a+3b-7)=10a^2+6ab-14a$
f). $(x+2)(y+3)=xy+3x+2y+6$


Pembahasan Contoh Soal-soal:
       Berikut ada beberapa soal yang berkaitan dengan materi Suku Tunggal dan Suku Banyak Olim SMP untuk menambah wawasan dalam pemahaman materinya. Silahkan dicoba dulu soal-soalnya, kemudian untuk mengecek jawabannya salah atau benar, bisa lihat solusi dengan mengklik tombol solusi di bagian bawah setiap soalnya.

Contoh Soal-soal tanpa solusi:

Contoh 1:
Sederhanakan bentuk aljabar berikut:
$ 3a + \{-4b - [4a-7b-(-4a-b)]+5a\} $

Contoh 2:
Hitunglah $ -9x^{n-2} - 8x^{n-1} - (-9x^{n-2}) - 8(x^{n-2} - 2x^{n-1}) $ ,
dimana $ x = 9 $ dan $ n = 3 $.

Contoh 3:
Misalkan terdapat suku banyak $ P $ dan $ Q $ yaitu
$ P = x^3 + 4x^2y + axy^2 + 3xy - bx^cy + 7xy^2 + dxy + y^2 $
$ Q = x^3 + y^2 $.
Jika $ P = Q $, maka tentukan nilai $ a, b, c, $ dan $ d $.

Contoh 4:
Terdapat persamaan $ (x-5)^2 + 5m^2 = 0 $ dan $ -2a^2b^{y+1} $ sejenis dengan $ 3a^2 b^3 $. Tentukan nilai dari $ x, m $ , dan $ y $.

Contoh 5:
Diketahui $ P(x) = nx^{n+4} + 3x^{4-n} - 2x^3 + 4x - 5 $ dan $ Q(x) = 3x^{n+4} - x^4 + x^3 + 2nx^2 + x - 2 $ yang merupakan dua bentuk suku banyak. Tentukan nilai $ n $ sehingga $ P - Q $ adalah suku banyak berderajat 5 dan memiliki 6 suku.

Contoh 6:
Misalkan $ x^2 - x - 1 = 0 $, sederhanakan bentuk $\Large \frac{x^3+x+1}{x^5} $ menjadi sebuah bentuk suku banyak.


Contoh Soal-soal dan Solusinya:

Contoh 1:
Sederhanakan bentuk aljabar berikut:
$ 3a + \{-4b - [4a-7b-(-4a-b)]+5a\} $
$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Kelompokkan suku-suku yang sejenis

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyederhanakan:
$ \begin{align} & 3a + \{-4b - [4a-7b-(-4a-b)]+5a\} \\ & = 3a + \{-4b - [4a-7b+4a+b]+5a\} \\ & = 3a + \{-4b - [8a-6b]+5a\} \\ & = 3a + \{-4b - 8a+6b+5a\} \\ & = 3a + \{2b - 3a\} \\ & = 3a + 2b - 3a \\ & = 2b \end{align} $

Jadi, bentuk sederhananya adalah $ 2b . \, \heartsuit $
Contoh 2:
Hitunglah $ -9x^{n-2} - 8x^{n-1} - (-9x^{n-2}) - 8(x^{n-2} - 2x^{n-1}) $ ,
dimana $ x = 9 $ dan $ n = 3 $.
$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Kelompokkan suku-suku sejenis

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyederhanakan:
$ \begin{align} & -9x^{n-2} - 8x^{n-1} - (-9x^{n-2}) - 8(x^{n-2} - 2x^{n-1}) \\ & = -9x^{n-2} - 8x^{n-1} +9x^{n-2} - 8x^{n-2} + 16x^{n-1} \\ & = 8x^{n-1} - 8x^{n-2} \\ & = 8(x^{n-1} - x^{n-2} ) \end{align} $

*). Substitusi $ x = 9 $ dan $ n = 3 $:
$ \begin{align} & 8(x^{n-1} - x^{n-2} ) \\ & = 8(9^{3-1} - 9^{3-2} ) \\ & = 8(9^2 - 9^1 ) \\ & = 8(81 - 9 ) \\ & = 8 \times 72 \\ & = 576 \end{align} $

Jadi, hasilnya $ 576 . \, \heartsuit $
Contoh 3:
Misalkan terdapat suku banyak $ P $ dan $ Q $ yaitu
$ P = x^3 + 4x^2y + axy^2 + 3xy - bx^cy + 7xy^2 + dxy + y^2 $
$ Q = x^3 + y^2 $.
Jika $ P = Q $, maka tentukan nilai $ a, b, c, $ dan $ d $.
$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Kelompokkan suku-suku yang sejenis

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Untuk $ P = Q $ :
$ \begin{align} P & = Q \\ x^3 + 4x^2y + axy^2 + 3xy - bx^cy + 7xy^2 + dxy + y^2 & = x^3 + y^2 \\ x^3 + (4x^2y - bx^cy) + (axy^2+ 7xy^2) + (3xy + dxy) + y^2 & = x^3 + y^2 \end{align} $
Agar $ P = Q $, maka terdapat beberapa suku yang harus bernilai 0.
Sehingga kita peroleh:
$ 4x^2y - bx^cy = 0 \rightarrow 4x^2y = bx^cy \rightarrow b = 4, c = 2 $
$ axy^2+ 7xy^2 = 0 \rightarrow axy^2=- 7xy^2 \rightarrow a = - 7 $
$ 3xy + dxy = 0 \rightarrow -3xy = dxy \rightarrow d = - 3 $

Atau cara lainnya:
*). Pengelompokkan suku-suku sejenis:
-). $ 4x^2y $ sejenis dengan $ -bx^cy$ dan jumlahnya 0, sehingga $ b = 4 $ dan $ c = 2 $.
-). $ axy^2 $ sejenis dengan $ 7xy^2$ dan jumlahnya 0, sehingga $ a = -7 $.
-). $ 3xy $ sejenis dengan $ dxy$ dan jumlahnya 0, sehingga $ d = -3 $.

Jadi, nilai $ a = -7, b = 4, c = 2, d = -3 . \, \heartsuit $
Contoh 4:
Terdapat persamaan $ (x-5)^2 + 5m^2 = 0 $ dan $ -2a^2b^{y+1} $ sejenis dengan $ 3a^2 b^3 $. Tentukan nilai dari $ x, m $ , dan $ y $.
$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Setiap bilangan kuadrat memiliki nilai terkecil 0.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Bentuk $ (x-5)^2 + 5m^2 = 0 $ terpenuhi ketika:
$ (x-5)^2 = 0 \rightarrow x = 5 $
$ 5m^2 = 0 \rightarrow m = 0 $

*). $ -2a^2b^{y+1} $ sejenis dengan $ 3a^2 b^3 $ ,
artinya $ y + 1 = 3 \rightarrow y = 2 $.

Jadi, nilai $ x = 5, m = 0, y = 2 . \, \heartsuit $
Contoh 5:
Diketahui $ P(x) = nx^{n+4} + 3x^{4-n} - 2x^3 + 4x - 5 $ dan $ Q(x) = 3x^{n+4} - x^4 + x^3 + 2nx^2 + x - 2 $ yang merupakan dua bentuk suku banyak. Tentukan nilai $ n $ sehingga $ P - Q $ adalah suku banyak berderajat 5 dan memiliki 6 suku.
$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Urutkan pengkatnya dari yang tertinggi ke terendah

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan $ P - Q $
$ \begin{align} & P(x) - Q(x) \\ & = [nx^{n+4} + 3x^{4-n} - 2x^3 + 4x - 5] - [3x^{n+4} - x^4 + x^3 + 2nx^2 + x - 2] \\ & = (n-3)x^{n+4} + 3x^{4-n} + x^4 - 3x^3 - 2nx^2 + 3x - 3 \end{align} $

*). Agar berderajat 5, maka ada dua kemungkinan:
-). $ n + 4 = 5 \rightarrow n = 1 $, sehingga
$ P - Q = -2x^5 +x^4 -2x^2 + 3x - 3 $ (5 suku)
-). $ 4-n=5 \rightarrow n = -1 $ , sehingga
$ P - Q = 3x^5 + x^4 -7x^3 + 2x^2 + 3x - 3 $ (6 suku)
Artinya yang benar saat $ n = -1 $.

Jadi, nilai $ n = -1 . \, \heartsuit $
Contoh 6:
Misalkan $ x^2 - x - 1 = 0 $, sederhanakan bentuk $\Large \frac{x^3+x+1}{x^5} $ menjadi sebuah bentuk suku banyak.
$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Pembagian $ \frac{x^m}{x^n} = x^{m-n} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Bentuk $ x^2 - x - 1 = 0 \rightarrow x + 1 = x^2 $ dan $ x^2 - x = 1 $
*). Mengubah bentuk soal:
$ \begin{align} \frac{x^3+x+1}{x^5} & = \frac{x^3+(x+1)}{x^5} \\ & = \frac{x^3+(x^2)}{x^5} \\ & = \frac{x^2(x + 1)}{x^2 . x^3} \\ & = \frac{x + 1}{ x^3} \\ & = \frac{x^2}{ x^2. x} \\ & = \frac{1}{ x} \\ & = \frac{x^2 - x}{ x} \\ & = \frac{x^2}{ x} - \frac{ x}{ x} \\ & = x - 1 \end{align} $

Jadi, bentuk $ \frac{x^3+x+1}{x^5} = x - 1 . \, \heartsuit $

Soal-soal Latihan
       Berikut ada beberapa soal Latihan yang berkaitan dengan materi Pemfaktoran dan Penguraian Olim Matik SMA untuk menambah wawasan dalam pemahaman materinya. Semoga bermanfaat.

1). Bentuk berikut ini, manakah yang bukan suku tunggal?
A). $ \frac{x}{5} $
B). $ -0,5 \left( 1 + \frac{1}{x} \right) $
C). $ \frac{3}{x^2} $

2). Diketahui dua suku sejenis yaitu $ 0,75x^by^c $ dan $ -0,5 x^{m-1} y^{2n-1} $, serta jumlah keduanya $ 1,25 ax^ny^m $, tentukan nilai $ abc$?

3). Tentukan bilangan asli $ n $ sehingga $ 2^8 + 2^{10} + 2^n $ adalah bilangan kuadrat.

4). Diketahui $ 3x^2 + x = 1 $. tentukan nilai dari $ 6x^3 - x^2 - 3x + 2010 $ ?

5). Jika $ x = \frac{a}{b+c} = \frac{b}{a+c} = \frac{c}{a+b} $, maka nilai $ x = ...$?

6). Jika $ \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = 4 $, maka nilai $ \frac{2x+4xy-2y}{x-y-2xy} = ...$?

7). Sembilan persegi disusun membentuk persegi panjang seperti gambar di bawah. Persegi terkecil memiliki panjang sisi 1 cm. tentukan panjang sisi-sisi persegi lainnya?


8). Misalkan $ P(x) = ax^7 + bx^3 + cx - 5 $, dimana $ a, b$, dan $ c $ bernilai konstan. Diketahui $ P(-7) = 7 $, tentukan nilai $ P(7)$?

9). Jika $ a, b, c $ bilangan bulat yang memenuhi $ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{1}{a+b+c} $, buktikan bahwa diantara $ a, b, c $ ada dua bilangan yang berlawanan tanda.

10). Jika $ xy = a$ , $ xz = b $, $ yz = c $, dan $ abc \neq 0 $, tentukan bentuk $ x^2 + y^2 + z^2 $ dalam bentuk $ a, b, c $.

11). Diketahui $ a^4 + a^3 + a^2 + a + 1 = 0 $. Tentukan nilai dari $ a^{2000} + a^{2010} + 1 $

12). Jika $ (x^2 - x - 1)^n = a_{2n}x^{2n} + a_{2n-1} x^{2n - 1} + ... + a_2x^2 + a_1x + a_0 $, tentukan nilai dari $ a_0 + a_2 + a_4 + ... + a_{2n} $


Untuk Solusi Soal Latihan ini, silahkan ikuti link berikut ya:
Solusi Soal Latihan Suku Tunggal dan Suku Banyak Olim SMP.


Berikut Link Latihan Soal Pemantapan:
1). Soal Review Materi
2). Soal Latihan Timer A
3). Soal Latihan Timer B


Kembali ke Daftar Isi Olimpiade Matik SMP

       Demikian pembahasan materi Suku Tunggal dan Suku Banyak Olim SMP dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan materi ini. Setiap artikel akan diupdate secara bertahap. Jika ada kritik dan saran, atau koreksi dari isi artikel di halaman ini, mohon bantuannya untuk menuliskannya di kolom komentar di bagian bawah setiap artikel. Ini sangat membantu untuk memperbaiki kualitas dari artikel di blog koma. Semoga bermanfaat. Terimakasih.

Tidak ada komentar:

Posting Komentar

Catatan: Hanya anggota dari blog ini yang dapat mengirim komentar.