Persamaan Linier Olim Matik SMP

         Blog Koma - Hallow sahabat koma, bagaimana kabarnya hari ini? Semoga baik-baik saja ya. Pada artikel ini kita akan membahas tentang Persamaan Linier Olim Matik SMP yang disertai dengan contoh soal dan pembahasan beberapa soal lainnya untuk mendukung pemahaman materinya yang lebih mendalam. Persamaan Linier Olim Matik SMP ini adalah salah satu materi paling mendasar yang harus dipahami oleh sahabat koma.

A. Persamaan Linier Satu Variabel (PLSV)

       Persamaan linier satu variabel berbentuk $ax+b=0$, dengan $a,b \in R$ dan $a \neq 0$.

Keterangan:
       $x$ disebut variabel
       $a$ disebut koefisien dari $x$
       $b$ disebut konstanta

B. Persamaan Linier Dua Variabel (PLDV)

       Persamaan linier dua variabel berbentuk $ax+by+c=0$, dengan $a,b,c \in R$ dan $a\neq 0, b\neq 0$.

Keterangan:
       $x, y$ disebut variabel
       $a$ disebut koefisien dari x
       $b$ disebut koefisien dari y
       $c$ disebut konstanta

C. Penyelesaian persamaan linier

       Penyelesaian persamaan adalah nilai variabel yang memenuhi persamaan tersebut.


       Untuk menentukan penyelesaian persamaan, kita menggunakan sifat-sifat berikut:

a). penambahan atau pengurangan bilangan kedua ruas persamaan tidak mengubah penyelesaian persamaan itu.

b). perkalian bilangan tidak nol pada kedua ruas persamaan tidak akan mengubah penyelesaian persamaan tersebut.


       Khusus untuk PLDV, penyelesaian dalam himpunan bilangan bulat maka biasa dikenal dengan persamaan Diophantine.

Contoh 1:
Selesaikan persamaan linier berikut!
a). $ \frac{1}{10} \left\{ \frac{1}{9} \left[ \frac{1}{5} \left( \frac{x+2}{3} + 8 \right) + 16 \right] +8 \right\} = 1 $
b). $ \frac{1}{5} \left\{ \frac{1}{4} \left[ \frac{1}{3} \left( \frac{1}{2} x - 3 \right) - 2 \right] - 1 \right\} - 2 = 1 $
c). $ \frac{3}{5} \left[ \frac{5}{3} \left( \frac{1}{4}x + 1 \right) + 5 \right] - \frac{1}{2} = x $

Contoh 2:
Diketahui $a, b$, dan $c$ adalah bilangan konstanta positif. Tentukan solusi dari persamaan linier berikut!
$ \frac{x-a-b}{c} + \frac{x-b-c}{a} + \frac{x-c-a}{b} = 3 $

Contoh 3:
Berapakah nilai $a$ dan $b$ yang menyebabkan persamaan linier berikut tidak memiliki penyelesaian!
$ ax + b - \frac{5x+2ab}{5} = \frac{1}{4} $

Contoh 4:
Tentukan nilai $a$ dan $b$ agar persamaan berikut
$a(2x+3)+3bx=12x+5 $
Mempunyai penyelesaian $x$ sebanyak tak hingga!

Contoh 5:
Tentukan bilangan bulat $k$ agar persamaan linier
$11x-2=kx+15$
Mempunyai solusi bilangan asli untuk $x$, dan tentukan solusi tersebut!

Contoh 6:
Terdapat persamaan $ax+4=3x-b$ memiliki lebih dari satu solusi untuk variabel $x$. Tentukan nilai dari $(4a+3b)^{2025}$?

Contoh 7:
Solusi dari persamaan $3a-x=\frac{x}{2}+3 $ adalah 4. Tentukan nilai dari $(-a)^2-2a$?

Contoh 8:
Wahyu mempunyai satu bundle tiket piala dunia untuk dijual. Pada hari pertama terjual 10 lembar tiket, hari kedua terjual setengah dari tiket yang tersisa dan pada hari ketiga terjual 5 lembar tiket. Bila tersisa 2 lembar tiket, maka banyak tiket dalam satu bundel adalah ... ?

Catatan Penting

       Dari contoh soal di atas, dapat kita Tarik keksimpulan:

Bentuk $px=q$ memiliki tiga kemungkinan solusi yaitu:
1). Memiliki solusi tunggal jika $p \neq 0 $
2). Memiliki solusi banyak jika $ p = 0 $ dan $ q = 0 $
3). Tidak memiliki solusi jika $p=0 $ dan $q \neq 0$

Pembahasan Contoh Soal-soal:

       Berikut ada beberapa soal yang berkaitan dengan materi Persamaan Linier Olim Matik SMP untuk menambah wawasan dalam pemahaman materinya. Silahkan dicoba dulu soal-soalnya, kemudian untuk mengecek jawabannya salah atau benar, bisa lihat solusi dengan mengklik tombol solusi di bagian bawah setiap soalnya.

Contoh Soal-soal dan Solusinya:

Contoh 1:
Selesaikan persamaan linier berikut!
a). $ \frac{1}{10} \left\{ \frac{1}{9} \left[ \frac{1}{5} \left( \frac{x+2}{3} + 8 \right) + 16 \right] +8 \right\} = 1 $
b). $ \frac{1}{5} \left\{ \frac{1}{4} \left[ \frac{1}{3} \left( \frac{1}{2} x - 3 \right) - 2 \right] - 1 \right\} - 2 = 1 $
c). $ \frac{3}{5} \left[ \frac{5}{3} \left( \frac{1}{4}x + 1 \right) + 5 \right] - \frac{1}{2} = x $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Beberapa bentuk kesamaan:
$ \frac{a}{b}x = c \rightarrow ax = bc $
$ a + b = c \rightarrow a = c - b $
$ a - b = c \rightarrow a = c + b $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan masing-masing:
a). $ \frac{1}{10} \left\{ \frac{1}{9} \left[ \frac{1}{5} \left( \frac{x+2}{3} + 8 \right) + 16 \right] +8 \right\} = 1 $
$ \begin{align} \frac{1}{10} \left\{ \frac{1}{9} \left[ \frac{1}{5} \left( \frac{x+2}{3} + 8 \right) + 16 \right] +8 \right\} & = 1 \\ \frac{1}{9} \left[ \frac{1}{5} \left( \frac{x+2}{3} + 8 \right) + 16 \right] +8 & = 10 \times 1 \\ \frac{1}{9} \left[ \frac{1}{5} \left( \frac{x+2}{3} + 8 \right) + 16 \right] & = 10 - 8 \\ \frac{1}{9} \left[ \frac{1}{5} \left( \frac{x+2}{3} + 8 \right) + 16 \right] & = 2 \\ \frac{1}{5} \left( \frac{x+2}{3} + 8 \right) + 16 & = 9 \times 2 \\ \frac{1}{5} \left( \frac{x+2}{3} + 8 \right) + 16 & = 18 - 16 \\ \frac{1}{5} \left( \frac{x+2}{3} + 8 \right) & = 2 \\ \frac{x+2}{3} + 8 & = 5 \times 2 \\ \frac{x+2}{3} & = 10 - 8 \\ \frac{x+2}{3} & = 2 \\ x + 2 & = 3 \times 2 \\ x & = 6 - 2 \\ x & = 4 \end{align} $
Sehingga solusinya $ x = 4 $.

b). $ \frac{1}{5} \left\{ \frac{1}{4} \left[ \frac{1}{3} \left( \frac{1}{2} x - 3 \right) - 2 \right] - 1 \right\} - 2 = 1 $
$ \begin{align} \frac{1}{5} \left\{ \frac{1}{4} \left[ \frac{1}{3} \left( \frac{1}{2} x - 3 \right) - 2 \right] - 1 \right\} - 2 & = 1 \\ \frac{1}{5} \left\{ \frac{1}{4} \left[ \frac{1}{3} \left( \frac{1}{2} x - 3 \right) - 2 \right] - 1 \right\} & = 1 + 2 \\ \frac{1}{5} \left\{ \frac{1}{4} \left[ \frac{1}{3} \left( \frac{1}{2} x - 3 \right) - 2 \right] - 1 \right\} & = 3 \\ \frac{1}{4} \left[ \frac{1}{3} \left( \frac{1}{2} x - 3 \right) - 2 \right] - 1 & = 5 \times 3 \\ \frac{1}{4} \left[ \frac{1}{3} \left( \frac{1}{2} x - 3 \right) - 2 \right] & = 15 + 1 \\ \frac{1}{4} \left[ \frac{1}{3} \left( \frac{1}{2} x - 3 \right) - 2 \right] & = 16 \\ \frac{1}{3} \left( \frac{1}{2} x - 3 \right) - 2 & = 4 \times 16 \\ \frac{1}{3} \left( \frac{1}{2} x - 3 \right) & = 64 + 2 \\ \frac{1}{3} \left( \frac{1}{2} x - 3 \right) & = 66 \\ \frac{1}{2} x - 3 & = 3 \times 66 \\ \frac{1}{2} x & = 198 + 3 \\ \frac{1}{2} x & = 201 \\ x & = 2 \times 201 \\ x & = 402 \end{align} $
Sehingga solusinya $ x = 402 $.

c). $ \frac{3}{5} \left[ \frac{5}{3} \left( \frac{1}{4}x + 1 \right) + 5 \right] - \frac{1}{2} = x $
$ \begin{align} \frac{3}{5} \left[ \frac{5}{3} \left( \frac{1}{4}x + 1 \right) + 5 \right] - \frac{1}{2} & = x \\ \frac{3}{5} \times \frac{5}{3} \left( \frac{1}{4}x + 1 \right) + \frac{3}{5} \times 5 - \frac{1}{2} & = x \\ \left( \frac{1}{4}x + 1 \right) + 3 - \frac{1}{2} & = x \\ \frac{1}{4}x + 1 + 3 - \frac{1}{2} & = x \\ \frac{1}{4}x + \frac{7}{2} & = x \\ \frac{7}{2} & = x - \frac{1}{4}x \\ \frac{7}{2} & = \frac{3}{4}x \\ x & = \frac{7}{2} \times \frac{4}{3} \\ x & = \frac{14}{3} \end{align} $
Sehingga solusinya $ x = \frac{14}{3} $.

Jadi, solusinya seperti di atas$ . \, \heartsuit $

Contoh 2:
Diketahui $a, b$, dan $c$ adalah bilangan konstanta positif. Tentukan solusi dari persamaan linier berikut!
$ \frac{x-a-b}{c} + \frac{x-b-c}{a} + \frac{x-c-a}{b} = 3 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). $ A.B = 0 \rightarrow A = 0 \text{ atau } B = 0 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan $ x $:
$ \begin{align} \frac{x-a-b}{c} + \frac{x-b-c}{a} + \frac{x-c-a}{b} & = 3 \\ \frac{x-a-b}{c} + \frac{x-b-c}{a} + \frac{x-c-a}{b} & = 1 + 1 + 1 \\ \frac{x-a-b}{c} - 1 + \frac{x-b-c}{a} - 1 + \frac{x-c-a}{b} - 1 & = 0 \\ \frac{x-a-b}{c} - \frac{c}{c} + \frac{x-b-c}{a} - \frac{a}{a} + \frac{x-c-a}{b} - \frac{b}{b} & = 0 \\ \frac{x-a-b - c}{c} + \frac{x-a-b-c}{a} + \frac{x-a-b-c}{b} & = 0 \\ (x-a-b-c) \left( \frac{1}{c} + \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \right) & = 0 \\ (x-a-b-c) = 0 \vee \left( \frac{1}{c} + \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \right) & = 0 \end{align} $
Karena $ a, b, c $ positif, maka $ \left( \frac{1}{c} + \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \right) >0 $
Sehingga hanya $ (x - a - b - c) = 0 \rightarrow x = a + b + c $

Jadi, solusinya $ x = a + b + c . \, \heartsuit $

Contoh 3:
Berapakah nilai $a$ dan $b$ yang menyebabkan persamaan linier berikut tidak memiliki penyelesaian!
$ ax + b - \frac{5x+2ab}{5} = \frac{1}{4} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Bentuk $px=q$ tidak memiliki solusi jika $p=0 $ dan $q \neq 0$

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Mengubah persamaan menjadi $ px = q $ :
$ \begin{align} ax + b - \frac{5x+2ab}{5} & = \frac{1}{4} \, \, \, \, \text{(kali 20)} \\ 20ax + 20b - 20 \times \frac{5x+2ab}{5} & = 20 \times \frac{1}{4} \\ 20ax + 20b - 4(5x + 2ab) & = 5 \\ 20ax + 20b - 20x - 8ab & = 5 \\ 20ax - 20x & = 5 - 20b + 8ab \\ 20(a-1)x & = 5 - 20b + 8ab \\ px & = q \end{align} $

artinya $ p = 20(a-1) $ dan $ q = 5 - 20b + 8ab $

Syarat tidak memiliki solusi:
$ p = 0 \rightarrow 20 (a-1) = 0 \rightarrow a = 1 $
$ q \neq 0 \rightarrow 5 - 20b + 8ab \neq 0 \rightarrow 5 - 20b + 8(1)b \neq 0 $
$ \rightarrow 5 - 12b \neq 0 \rightarrow 12b \neq 5 \rightarrow b \neq \frac{5}{12} $

Jadi, nilai $ a = 1 $ dan $ b \neq \frac{5}{12} . \, \heartsuit $

Contoh 4:
Tentukan nilai $a$ dan $b$ agar persamaan berikut
$a(2x+3)+3bx=12x+5 $
Mempunyai penyelesaian $x$ sebanyak tak hingga!

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Bentuk $px=q$ memiliki solusi banyak jika $ p = 0 $ dan $ q = 0 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Mengubah menjadi $ px = q $
$ \begin{align} a(2x+3)+3bx & =12x+5 \\ 2ax + 3a + 3bx & = 12x + 5 \\ 2ax + 3bx - 12x & = 5 - 3a \\ (2a+3b-12)x & = 5 - 3a \\ px & = q \end{align} $

artinya $ p = 2a + 3b - 12 $ dan $ q = 5 - 3a $

Syarat memiliki solusi sebanyak tak hingga:
$ q = 0 \rightarrow 5 - 3a = 0 \rightarrow a = \frac{5}{3} $
$ p = 0 \rightarrow 2a + 3b - 12 = 0 \rightarrow 2 \times \frac{5}{3} + 3b - 12 = 0 $
$ \rightarrow 3b = 12 - \frac{10}{3} \rightarrow 3b = \frac{26}{3} \rightarrow b = \frac{26}{9} $

Jadi, nilai $ a = \frac{5}{3} $ dan $ b = \frac{26}{9} . \, \heartsuit $

Contoh 5:
Tentukan bilangan bulat $k$ agar persamaan linier
$11x-2=kx+15$
Mempunyai solusi bilangan asli untuk $x$, dan tentukan solusi tersebut!

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Bentuk $ \frac{a}{b} $ hasilnya bilangan asli jika $ b $ adalah faktor positif dari $ a $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Mengubah persamaannya:
$ \begin{align} 11x-2 & = kx+15 \\ 11x - kx & = 15 + 2 \\ (11-k)x & = 17 \\ x & = \frac{17}{11-k} \end{align} $

*). Agar $ x $ bilangan asli maka $ 11-k $ adalah faktor positif dari 17 yaitu $\{ 1, 17\} $
$ 11 - k = 1 \rightarrow k = 16 $ dan $ x = \frac{17}{11-k} = \frac{17}{1} = 17 $
$ 11 - k = 17 \rightarrow k = -6 $ dan $ x = \frac{17}{11-k} = \frac{17}{17} = 1$

Jadi, nilai $ k = -6, \, k = 16 $ dan $ x = 1 , \, x = 17 . \, \heartsuit $

Contoh 6:
Terdapat persamaan $ax+4=3x-b$ memiliki lebih dari satu solusi untuk variabel $x$. Tentukan nilai dari $(4a+3b)^{2025}$?

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Bentuk $px=q$ memiliki solusi banyak jika $ p = 0 $ dan $ q = 0 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Mengubah kesamaannya menjadi $ px = q $
$ \begin{align} ax+4 & = 3x-b \\ ax - 3x & = -b - 4 \\ (a-3)x & = -b - 4 \\ px & = q \end{align} $

artinya $ p = a - 3 $ dan $ q = -b - 4 $

Syarat memiliki banyak solusi:
$ p = 0 \rightarrow a - 3 = 0 \rightarrow a = 3 $
$ q = 0 \rightarrow -b - 4 = 0 \rightarrow b = -4 $

*). Menentukan hasil $ (4a+3b)^{2025} $:
$ (4a+3b)^{2025} = (4\times 3+3(-4))^{2025} = (0)^{2025} = 0 $

Jadi, nilai $ (4a+3b)^{2025} = 0 . \, \heartsuit $

Contoh 7:
Solusi dari persamaan $3a-x=\frac{x}{2}+3 $ adalah 4. Tentukan nilai dari $(-a)^2-2a$?

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Setiap solusi bisa disubstitusikan ke persamaannya.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Substitusi $ x = 4 $:
$ \begin{align} 3a-x & =\frac{x}{2}+3 \\ 3a-4 & =\frac{4}{2}+3 \\ 3a-4 & = 2 +3 \\ 3a & = 5 + 4 \\ 3a & = 9 \\ a & = 3 \end{align} $

Nilai $ (-a)^2-2a = (-3)^2-2\times 3 = 9 - 6 = 3 $

Jadi, nilai $ (-a)^2-2a = 3 . \, \heartsuit $

Contoh 8:
Wahyu mempunyai satu bundle tiket piala dunia untuk dijual. Pada hari pertama terjual 10 lembar tiket, hari kedua terjual setengah dari tiket yang tersisa dan pada hari ketiga terjual 5 lembar tiket. Bila tersisa 2 lembar tiket, maka banyak tiket dalam satu bundel adalah ... ?

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Beberapa bentuk kesamaan:
$ \frac{a}{b}x = c \rightarrow ax = bc $
$ a + b = c \rightarrow a = c - b $
$ a - b = c \rightarrow a = c + b $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan $ a $ = banyak tiket satu bundel.
Menyusun persamaannya dan menentukan nilai $ a $ :
-). H1 terjual 10, sisa I = $ a - 10 $
-). H2 terjual setengahnya, sisa II $ = \frac{a-10}{2} $
-). H3 terjual 5, sisa II $ = \frac{a-10}{2} - 5 $
Sisa terakhir sama dengan 2.
$ \begin{align} \frac{a-10}{2} - 5 & = 2 \\ \frac{a-10}{2} & = 2 + 5 \\ \frac{a-10}{2} & = 7 \\ a - 10 & = 2 \times 7 \\ a & = 14 + 10 \\ a & = 24 \end{align} $

Jadi, banyak tiket dalam satu bundel adalah $ 24 . \, \heartsuit $

Soal-soal Latihan

       Berikut ada beberapa soal Latihan yang berkaitan dengan materi Persamaan Linier Olim Matik SMP untuk menambah wawasan dalam pemahaman materinya. Semoga bermanfaat.

1). Tentukan solusi dari persamaan linier!
$ \Large 1 - \frac{x-\frac{1+3x}{5}}{3} = \frac{x}{2} - \frac{2x-\frac{10-6x}{7}}{2} $

2). Tentukan konstanta a agar persamaan linier
$2a(x+6)=4x+1$
Tidak memiliki penyelesaian!

3). Persamaan $kx=12$ hanya memiliki penyelesaian bilangan bulat positif $x$. Tentukan banyaknya bilangan bulat $k$ yang memenuhi!

4). Ada berapa banyak bilangan bulat positif $x$ yang memenuhi persamaan berikut!
$ \frac{1}{x} + \frac{1}{x+1} + \frac{1}{x+2} = \frac{13}{12} $

5). Untuk $mn \neq 0$, pada saat kapan persamaan
$ \frac{x-n}{m} - \frac{x-m}{n} = \frac{m}{n} $
Mempunyai solusi dan tidak mempunyai solusi!

6). Jika $-2$ adalah solusi dari persamaan
$\frac{1}{3} mx=5x+(-2)^2 $
Maka tentukan nilai $ (m^2-11m+77)^{2029}$?

7). Tentukan semua bentuk solusi dari
$ m^2 x+1=mx+m $
Untuk sembarang konstanta $m$!

8). Terdapat bilangan konstanta positif $k$ dan persamaan $k^2 x-k^2=2kx-5k$ memiliki solusi positif untuk $x$. Tentukan interval nilai $k$ yang memenuhi!

9). Jika $a, b$, dan $c$ adalah bilangan positif dan $abc=1$, maka tentukan nilai $x$ yang memenuhi persamaan
$ \frac{2ax}{ab+a+1} + \frac{2bx}{bc+b+1} + \frac{2cx}{ca+c+1} = 1 $

10). Terdapat persamaan $ \frac{8}{3}x - m = \frac{9}{4}x + 123 $ yang memiliki solusi bilangan bulat positif dan $m$ juga bilangan bulat positif. Tentukan nilai minimum $m$?

11). Budi dalam tiga hari berturut-turut membelanjakan uangnya untuk membeli keperluan sekolah. Pada hari minggu dia menghabiskan $\frac{1}{2}$ dari uang yang dimilikinya. Pada hari senin, dai menghabiskan uangnya Rp4.000,00 lebih sedikit dari uang yang dibenjakan hari minggu. Sementara uang yang dibelanjakan pada hari selasa hanya $\frac{1}{3}$ dari belanja hari senin. Sekarang dia masih memiliki uang sisa belanja sebesar Rp1.000,00. Tentukan uang Budi mula-mula?

12). Umur ayah 4 tahun yang lalu adalah $\frac{2}{3}$ kali umur ayah pada $c$ tahun yang akan datang, ($c$ adalah bilangan bulat positif). Sekarang umur ayah adalah 27 tahun lebihnya dari $\frac{1}{5}$ umurnya pada 7 tahun lalu. Tentukan nilai $c$!

13). Tentukan bilangan bulat terbesar $\overline{xyz} $ yang memenuhi $14x+49y+2z=263$

14). Terdapat tiga bilangan genap berurutan $a,b,c$ yang membuat $\frac{a}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}$ menjadi sebuah bilangan bulat. Berapakah bilangan bulat itu?


Untuk Solusi Soal Latihan ini, silahkan ikuti link berikut ya:
Solusi Soal Latihan Persamaan Linier Olim Matik SMP.
(masih dalam proses pengetikan)


Berikut Link Latihan Soal Pemantapan:
1). Soal Review Materi
2). Soal Latihan Timer A
3). Soal Latihan Timer B


Kembali ke Daftar Isi Olimpiade Matik SMP

       Demikian pembahasan materi Persamaan Linier Olim Matik SMP dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan materi ini. Setiap artikel akan diupdate secara bertahap. Jika ada kritik dan saran, atau koreksi dari isi artikel di halaman ini, mohon bantuannya untuk menuliskannya di kolom komentar di bagian bawah setiap artikel. Ini sangat membantu untuk memperbaiki kualitas dari artikel di blog koma. Semoga bermanfaat. Terimakasih.