Pemfaktoran dan Penguraian Olim Matik SMA


         Blog Koma - Hallow sahabat koma, bagaimana kabarnya hari ini? Semoga baik-baik saja ya. Pada artikel ini kita akan membahas Pemfaktoran dan Penguraian Olim Matik SMA. Materi yang dibahas pada artikel ini merupakan materi dasar yang bisa digunakan untuk menyelesaikan bentuk-bentuk soal olimpiade matematika yang berkaitan dengan Pemfaktoran dan Penguraian Olim Matik Level SMA Pemula. Tentuk masih ada banyak lagi bentuk pemfaktoran dan penguraian lainnya pada materi olim matik SMA yang bisa sahabat koma pelajari sendiri untuk menambah kemampuannya dalam menyelesaikan soal-soal aljabar. Untuk menambah wawasan tentang pemfaktoran dan penguraian ini, terdapat beberapa contoh soal yang bisa dicoba, setelah dicoba, silahkan sahabat koma cocokkan dengan alternatif penyelesaian yang ada dibagian bawahnya.


Beberapa Bentuk Pemfaktoran dan Penguraian
A). Bentuk $ a^n - b^ n $ atau $ a^n + b^n $ :
1). $ a^2 - b^2 = (a+b)(a-b) $
2). $ a^3 - b^3 =(a-b)(a^2 +ab + b^2) $
3). $ a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2) $
4). untuk $ n $ bilangan asli berlaku:
     $ a^n - b^n = (a-b)(a^{n-1} + a^{n-1}b+a^{n-3}b^2 + ...+ab^{n-2} + b^{n-1}) $
5). untuk $ n $ bilangan ganjil berlaku:
     $ a^n + b^n = (a+b)(a^{n-1} - a^{n-1}b+a^{n-3}b^2 + ...-ab^{n-2} + b^{n-1}) $

B). Bentuk Tertentu:
6). $(a+1)(b+1)(c+1)=abc+ab+bc+ca+a+b+c+1 $
7). $ a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a+b+c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca) $
8). $ (a+b)(a-b)^2 = a^3 - a^2b- ab^2 + b^3 $
9). Sifat Identitas Sophie Germain
     $ a^4 + 4b^4 = (a^2 + 2b^2 + 2ab)(a^2 + 2b^2 - 2ab) $

C). Bentuk $ (x_1 + x_2 + ... + x_k) ^2 $ :
10). $ (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $
11). $ (a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab+ac + bc) $
     atau $ (a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2 \left( \displaystyle \sum_{cyc} ab \right) $
12). $ (a+b+c+d)^2 = a^2+b^2+c^2+d^2 + 2 \left( \displaystyle \sum_{cyc} ab \right) $
13). $ (a+b+c+d+e)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + e^2 + 2 \left( \displaystyle \sum_{cyc} ab \right) $

D). Bentuk $ (a+b)^n $ atau $ (a - b) ^n $ :
14). Melengkapkan kuadrat sempurna:
     (i). $ (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 $
     (ii). $ (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $
15). $ (a+b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a+b) $
16). $ (a-b)^3 = a^3 - b^3 - 3ab (a-b) $
17). $ (a+b)^4 = a^4 + a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4 $
18). $ (a-b)^4 = a^4 - a^3b + 6a^2b^2 - 4ab^3 + b^4 $
19). Ekspansi Binomial:
     $ (P+Q)^n = \displaystyle \sum_{k=0}^{n} C(n, k) \times P^{n-k} \times Q^{k} $

Keterangan :
*). Untuk tiga variabel $ a, b, c $ :
     $ \displaystyle \sum_{cyc} ab = ab + ac + bc $
*). Untuk empat variabel $ a, b, c, d $ :
     $ \displaystyle \sum_{cyc} ab = ab + ac + ad + bc + bd + cd $
*). Untuk lima variabel $ a, b, c, d, e $ :
     $ \displaystyle \sum_{cyc} ab = ab + ac + ad + ae + bc + bd + be + cd + ce + de $
dan seterusnya .....

*). Bentuk $ C (n, k) = \frac{n!}{(n-k)! \times k! } $
dimana $ n! = 1 \times 2 \times 3 \times ... \times (n-1) \times n $
Misalkan: $ 3! = 1 \times 2 \times 3 = 6 $ dan $ 5! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 = 120 $.


Pembahasan Contoh Soal-soal:
       Berikut ada beberapa soal yang berkaitan dengan materi Pemfaktoran dan Penguraian Olim Matik SMA untuk menambah wawasan dalam pemahaman materinya. Silahkan dicoba dulu soal-soalnya, kemudian untuk mengecek jawabannya salah atau benar, bisa lihat solusi dengan mengklik tombol solusi di bagian bawah setiap soalnya.

Contoh Soal-soal tanpa solusi:

1). Hitunglah bentuk berikut:
a). $ \sqrt{5050^2 - 4950^2} $
b). $ 123456789^2 - 1234567890 \times 123456788 $

2). Faktor Prima terbesar dari $ 17^3 - 5^3 $ adalah ...?

3). Jika $ A = 5^x + 5^{-x} $ dan $ B = 5^x - 5^{-x} $, maka $ A^2 - B^2 $ adalah ...?

4). Jumlah dua bilangan adalah 21 dan hasil kalinya adalah $ -7 $.
Tentukan:
a). jumlah kuadrat dari dua bilangan tersebut.
b). jumlah kebalikan dari dua bilangan tersebut.
c). jumlah pangkat empat dari dua bilangan tersebut.

5). Tentukan bilangan bulat positif $ a $ dan $ b $ yang memenuhi $ \sqrt{5 + \sqrt{24}} = \sqrt{a} + \sqrt{b} $ dengan $ a > b $ ?

6). hitunglah nilai dari $ \sqrt{31 \times 30 \times 29 \times 28 + 1} $ ?

7). Buktikan hanya $ n = 1 $, $ n $ bilangan asli, yang menyebabkan bahwa $ n^4 + 4 $ merupakan bilangan.

8). Jika $ 0 < b < a $ dan $ a^2 + b^2 = 6ab $, maka nilai dari $ \frac{a+b}{a-b} = ... $ ?

9). Hitunglah nilai $ \sqrt{2+\sqrt{3}} - \sqrt{2-\sqrt{3}} $ ?

10). Tentukan nilai $ x $ yang memenuhi persamaan $ \sqrt{2x+3} - \sqrt{7-x} = 1 $.

11). Jika $ a^2 = 7b + 1945 $ dan $ b^2 = 7a + 1945 $ dengan $ a $ dan $ b $ adalah bilangan real berbeda, maka nilai dari $ a \times b $ adalah ...?

12). Tentukan semua bilangan prima yang berbentuk $ x^3 - 1 $, dengan $ x $ bilangan bulat positif.

13). $ a, b, c, $ dan $ d $ adalah bilangan real tak nol yang memenuhi:
$ a^2 + b^2 = 1 $, $ c^2 + d^2 = 1 $, dan $ ac + bd = 0 $.
Buktikan bahwa $ ab + cd = 0 $.

14). Diketahui bahwa $ 1002004008016032 $ mempunyai faktor prima $ p > 250000 $. Tentukan faktor tersebut?


Contoh Soal-soal dan Solusinya:

1). Hitunglah bentuk berikut:
a). $ \sqrt{5050^2 - 4950^2} $
b). $ 123456789^2 - 1234567890 \times 123456788 $
$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). $ a^2 - b^2 = (a+b)(a-b) $

$\clubsuit $ Pembahasan
a). $ \sqrt{5050^2 - 4950^2} = ... $?
$ \begin{align} \sqrt{5050^2 - 4950^2} & = \sqrt{(5050+4950)\times (5050-4950)} \\ & = \sqrt{(10000) \times (100)} \\ & = \sqrt{1000000} \\ & = 1000 \end{align} $
Jadi, nilai $ \sqrt{5050^2 - 4950^2} = 1.000 . \, \heartsuit $

b). $ 123456789^2 - 1234567890 \times 123456788 = ... $?
Misalkan: $ x = 123456789 $
maka $ 1234567890 = x + 1 $ dan $ 123456788 = x - 1 $.
*). Menentukan hasilnya:
$ \begin{align} & 123456789^2 - 1234567890 \times 123456788 \\ & = x^2 - (x+1)(x-1) \\ & = x^2 - (x^2 - 1) \\ & = x^2 - x^2 + 1 \\ & = 1 \end{align} $
Jadi, nilai $ 123456789^2 - 1234567890 \times 123456788 = 1 . \, \heartsuit $

2). Faktor Prima terbesar dari $ 17^3 - 5^3 $ adalah ...?
$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). $ a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2 ) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan $ a = 17 $ dan $ b = 5 $ :
$ \begin{align} 17^3 - 5^3 & = (17 - 5)(17^2 + 17 \times 5 + 5^2 ) \\ & = 12 \times 399 \\ & = 2^2 \times 3^2 \times 7 \times 19 \end{align} $
Jadi, faktor prima terbesarnya adalah $ 19 . \, \heartsuit $

3). Jika $ A = 5^x + 5^{-x} $ dan $ B = 5^x - 5^{-x} $, maka $ A^2 - B^2 $ adalah ...?
$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). $ a^2 - b^2 = (a+b)(a-b) $
*). $ a^m \times a^n = a^{m+n} $
*). $ a^0 = 1 $ dengan $ a \neq 0 $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan $ A + B $ dan $ A - B $
$ \begin{align} A + B & = (5^x + 5^{-x}) + (5^x - 5^{-x}) \\ & = 2 \times 5^x \\ A - B & = (5^x + 5^{-x}) - (5^x - 5^{-x}) \\ & = 2 \times 5^{-x} \end{align} $
*). Menentukan nilai $ A^2 - B^2 $ :
$ \begin{align} A^2 - B^2 & = (A +B) \times (A - B) \\ & = (2 \times 5^x) \times (2 \times 5^{-x}) \\ & = 4 \times 5^{x + (-x)} \\ & = 4 \times 5^0 = 4 \times 1 = 4 \end{align} $
Jadi, nilai $ A^2 - B^2 = 4 . \, \heartsuit $

4). Jumlah dua bilangan adalah 21 dan hasil kalinya adalah $ -7 $.
Tentukan:
a). jumlah kuadrat dari dua bilangan tersebut.
b). jumlah kebalikan dari dua bilangan tersebut.
c). jumlah pangkat empat dari dua bilangan tersebut.
$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). $ a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab $
*). $ a^4 + b^4 = (a^2)^2 + (b^2)^2 $
$ = (a^2 + b^2)^2 - 2.a^2.b^2 $
$ = (a^2 + b^2)^2 - 2(ab)^2 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). misalkan kedua bilangan tersebut adalah $ a $ dan $ b $
kita peroleh: $ a + b = 21 $ dan $ ab = -7 $
a). jumlah kuadrat dari dua bilangan tersebut $ = a^2 + b^2 $
b). jumlah kebalikan dari dua bilangan tersebut $ = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} $
c). jumlah pangkat empat dari dua bilangan tersebut $ = a^4 + b^4 $

*). Menentukan hasil masing-masing:
$ \begin{align} \text{a). } a^2 + b^2 & = (a+b)^2 - 2ab \\ & = (21)^2 - 2(-7) \\ & = 455 \\ \text{b). } \frac{1}{a} + \frac{1}{b} & = \frac{a+b}{ab} \\ & = \frac{21}{-7} = -3 \\ \text{c). } a^4 + b^4 & = (a^2 + b^2)^2 - 2(ab)^2 \\ & = (455)^2 - 2(-7)^2 = 206.927 \end{align} $

Jadi, nilai $ a^2 + b^2 = 455 $ , $ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = -3 $ , dan $ a^4 + b^4 = 206.927 . \, \heartsuit $

5). Tentukan bilangan bulat positif $ a $ dan $ b $ yang memenuhi $ \sqrt{5 + \sqrt{24}} = \sqrt{a} + \sqrt{b} $ dengan $ a > b $ ?
$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). $ a^2 + 2ab + b^2 = (a+b) ^2 $
*). Untuk $ A \geq 0 $ berlaku: $ \sqrt{A^2} = A $
*). $ \sqrt{A \times B} = \sqrt{A } \times \sqrt{B } $

$\clubsuit $ Pembahasan
$ \begin{align} \sqrt{a} + \sqrt{b} & = \sqrt{5 + \sqrt{24}} \\ & = \sqrt{3 + \sqrt{4 \times 6} + 2} \\ & = \sqrt{(\sqrt{3}) ^2 + \sqrt{4} \times \sqrt{6} + (\sqrt{2}) ^2 } \\ & = \sqrt{(\sqrt{3}) ^2 + 2 \times \sqrt{3 \times 2} + (\sqrt{2}) ^2 } \\ & = \sqrt{(\sqrt{3}) ^2 + 2 \times \sqrt{3 } \sqrt{2} + (\sqrt{2}) ^2 } \\ & = \sqrt{(\sqrt{3}) ^2 + 2 \sqrt{3 } \sqrt{2} + (\sqrt{2}) ^2 } \\ & = \sqrt{ (\sqrt{3} + \sqrt{2} )^2 } \\ \sqrt{a} + \sqrt{b} & = \sqrt{3} + \sqrt{2} \end{align} $

*). Dari bentuk $ \sqrt{a} + \sqrt{b} = \sqrt{3} + \sqrt{2} $ , artrinya nilai $ a = 3 $ dan $ b = 2 $ karena $ a > b $.

Jadi, nilai $ a = 3 $ , dan $ b = 2 . \, \heartsuit $

6). hitunglah nilai dari $ \sqrt{31 \times 30 \times 29 \times 28 + 1} $ ?
$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Untuk $ A \geq 0 $ berlaku: $ \sqrt{A^2} = A $
*). $ a^2 - 2a + 1 = (a - 1) ^2 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan $ n = 29 $ (permisalan bebas).
sehingga $ 31 \times 30 \times 29 \times 28 = (n+2)(n+1)(n+1)(n-1) $
*). Menyelesaikan soalnya:
Juga Misalkan $ p = n^2 + n $
$ \begin{align} & \sqrt{31 \times 30 \times 29 \times 28 + 1} \\ & = \sqrt{(n+2) \times (n+1) \times n \times (n-1) + 1} \\ & = \sqrt{[(n+2)(n-1)] \times [(n+1)n] + 1} \\ & = \sqrt{[n^2 + n - 2)] \times [n^2 + n] + 1} \\ & = \sqrt{[p - 2)] \times [p] + 1} \\ & = \sqrt{(p^2 - 2p) + 1} \\ & = \sqrt{p^2 - 2p + 1} \\ & = \sqrt{(p-1)^2} \\ & = p-1 \\ & = (n^2 + n) -1 \\ & = 29^2 + 29 - 1 \\ & = 869 \end{align} $

Jadi, nilai $ \sqrt{31 \times 30 \times 29 \times 28 + 1} = 869 . \, \heartsuit $

7). Buktikan hanya $ n = 1 $, $ n $ bilangan asli, yang menyebabkan bahwa $ n^4 + 4 $ merupakan bilangan.
$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sifat Identitas Sophie Germain
     $ a^4 + 4b^4 = (a^2 + 2b^2 + 2ab)(a^2 + 2b^2 - 2ab) $
*). Bilangan prima $ p $ hanya memiliki dua faktor yaitu $ 1 $ dan $ p $ itu sendiri.

$\clubsuit $ Pembahasan
Misalkan $ a = n $ dan $ b = 1 $:
$ \begin{align} n^4 + 4 & = n^4 + 4 \times 1^4 \\ & = (n^2 + 2. 1^2 + 2 \times n \times 1 )(n^2 + 2. 1^2 - 2 \times n \times 1 ) \\ & = (n^2 + 2n + 2)(n^2 - 2n + 2) \\ & = [(n^2 + 2n +1)+1][(n^2 - 2n +1)+1] \\ & = [(n+1)^2+1][(n-1)^2+1] \end{align}$

*). Agar $ n^4 + 4 $ merupakan bilangan prima, maka salah satu faktornya harus bernilai 1. Namun, untuk $ n > 1 $, nilai $ (n+1)^2+1 $ dan $ (n-1)^2+1 $ keduanya lebih dari 1.
ini artinya untuk $ n > 1 $, bentuk $ n^4 + 4 $ bukan bilangan prima.
*). Untuk $ n = 1 $, nilai $ n^4 + 4 = 1^4 + 4 = 5 $ adalah bilangan prima.

Jadi, terbukti untuk $ n $ bilangan asli, hanya $ n = 1 $ yang memenuhi $ . \, \heartsuit $

8). Jika $ 0 < b < a $ dan $ a^2 + b^2 = 6ab $, maka nilai dari $ \frac{a+b}{a-b} = ... $ ?
$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). $ (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $
*). $ (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 $
*). jika $ A^2 = B $, maka $ A = \pm \sqrt{B} $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan $ N = \frac{a+b}{a-b} $
karena $ a > b $ , maka nilai $ N $ positif.
*). Menentukan hasilnya:
$ \begin{align} N & = \frac{a+b}{a-b} \\ N^2 & = \left( \frac{a+b}{a-b} \right)^2 \\ N^2 & = \frac{(a+b)^2}{(a-b)^2} \\ & = \frac{a^2 + 2ab + b^2}{a^2 - 2ab + b^2} \\ & = \frac{(a^2 + b^2) + 2ab}{(a^2 + b^2 ) - 2ab} \\ & = \frac{(6ab) + 2ab}{(6ab ) - 2ab} \\ & = \frac{8ab}{4ab} \\ N^2 & = 2 \\ N & = \pm \sqrt{ 2} \end{align} $
Karena nilai $ N $ positif, maka $ N = \sqrt{2} $ yang memenuhi.

Jadi, nilai $ \frac{a+b}{a-b} = \sqrt{2} . \, \heartsuit $

9). Hitunglah nilai $ \sqrt{2+\sqrt{3}} - \sqrt{2-\sqrt{3}} $ ?
$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). $ (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 $
*). $ (\sqrt{A})^2 = A $
*). $ \sqrt{A} \times \sqrt{B} = \sqrt{A \times B} $
*). $ (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 $.

$\clubsuit $ Pembahasan
misalkan: $ P = \sqrt{2+\sqrt{3}} - \sqrt{2-\sqrt{3}} $ dengan $ P $ positif.
$ \begin{align} P & = \sqrt{2+\sqrt{3}} - \sqrt{2-\sqrt{3}} \\ P^2 & = (\sqrt{2+\sqrt{3}} - \sqrt{2-\sqrt{3}})^2 \\ P^2 & = (\sqrt{2+\sqrt{3}})^2 - 2 \times \sqrt{2+\sqrt{3}} \times \sqrt{2-\sqrt{3}} + (\sqrt{2-\sqrt{3}})^2 \\ & = 2+\sqrt{3} - 2 \sqrt{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})} + 2-\sqrt{3} \\ & = 4 - 2 \sqrt{2^2-(\sqrt{3})^2} \\ & = 4 - 2 \sqrt{4-3} \\ & = 4 - 2 \sqrt{1} \\ & = 4 - 2 \times 1 \\ & = 4 - 2 \\ P^2 & = 2 \\ P & = \pm \sqrt{2} \end{align} $
Karena $ P $ positif, maka $ P = \sqrt{2} $ yang memenuhi.

Jadi, nilai $ \sqrt{2+\sqrt{3}} - \sqrt{2-\sqrt{3}} = \sqrt{2} . \, \heartsuit $

10). Tentukan nilai $ x $ bilangan real yang memenuhi persamaan $ \sqrt{2x+3} - \sqrt{7-x} = 1 $.
$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Pada bilangan real, bentuk $ \sqrt{f(x)} $ terdefinisi dengan syarat $ f(x) \geq 0 $.
*). $ (\sqrt{f(x)} ) ^2 = f(x) $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan syarat $ x $ pada $ \sqrt{2x+3} - \sqrt{7-x} = 1 $
Syaratnya yaitu $ 2x + 3 \geq 0 $ dan $ 7 - x \geq 0 $.
*). Menentukan nilai $ x $ dengan mengkuadratkan:
$ \begin{align} \sqrt{2x+3} - \sqrt{7-x} & = 1 \\ \sqrt{2x+3} & = 1 + \sqrt{7-x} \\ (\sqrt{2x+3} )^2 & = (1 + \sqrt{7-x})^2 \\ 2x+3 & = 1 + 2\sqrt{7-x} + (7-x) \\ 3x-5 & = 2\sqrt{7-x} \\ (3x-5)^2 & = (2\sqrt{7-x})^2 \\ 9x^2 - 30x + 25& = 4(7-x) \\ 9x^2 - 26x - 3 & = 0 \\ (9x+1)(x-3) & = 0 \\ x = -\frac{1}{9} \vee x & = 3 \end{align} $
Perhatikan bentuk $ 3x-5 = 2\sqrt{7-x} $ , karena $ \sqrt{7-x} \geq 0 $ , maka $ 3x - 5 \geq 0 $ juga.
-). Untuk $ x = -\frac{1}{9} $ tidak memenuhi $ 3x - 5 \geq 0 $.
-). Untuk $ x = 3 $ memenuhi ketiga syarat yang ada.

Jadi, nilai $ x = 3 . \, \heartsuit $

11). Jika $ a^2 = 7b + 1945 $ dan $ b^2 = 7a + 1945 $ dengan $ a $ dan $ b $ adalah bilangan real berbeda, maka nilai dari $ a \times b $ adalah ...?
$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). $ a^2 - b^2 = (a+b)(a-b) $
*). $ a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui :
$ a^2 = 7b + 1945 $ ....(i)
$ b^2 = 7a + 1945 $ .... (ii)

*). Menentukan nilai $ a + b $ :
Kurangkan kedua persamaan:
$ \begin{align} a^2 - b^2 & = (7b + 1945) - ( 7a + 1945) \\ a^2 - b^2 & = 7b - 7a \\ (a+b)(a-b) & = -7(a-b) \\ (a+b) & = -7 \end{align} $
Note: $ a - b $ boleh dicoret karena $ a - b \neq 0 $ ($ a $ dan $ b $ berbeda).

*). Menentukan nilai $ ab $ :
Jumlahkan kedua persamaan:
$ \begin{align} a^2 + b^2 & = (7b + 1945) + ( 7a + 1945) \\ a^2 + b^2 & = 7(a+b) + 3890 \\ (a+b)^2 - 2ab & = 7(a+b) + 3890 \\ (-7)^2 - 2ab & = 7(-7) + 3890 \\ 49 - 2ab & = -49 + 3890 \\ ab & = -1896 \end{align} $

Jadi, nilai $ ab = -1896 . \, \heartsuit $

12). Tentukan semua bilangan prima yang berbentuk $ x^3 - 1 $, dengan $ x $ bilangan bulat positif.
$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). $ a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 ab + b^2 ) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Memfaktorkan:
$ \begin{align} x^3 - 1 & = x^3 - 1^3 \\ & = (x-1)(x^2 + x.1 + 1^2) \\ & = (x-1)(x^2 + x + 1) \end{align} $
*). Untuk $ x $ bilangan bulat positif, maka $ x^2 + x + 1 > 1 $, sehingga faktor yang mungkin bernilai 1 adalah $ (x-1) $ yaitu $ x - 1 = 1 \rightarrow x = 2 $.
*). Bilangan primanya saat $ x = 2 $ :
$ x^3 - 1 = 2^3 - 1 = 8 - 1 = 7 $.

Jadi, hanya 7 bilangan prima yang berbentuk $ x^3 - 1 . \, \heartsuit $

13). $ a, b, c, $ dan $ d $ adalah bilangan real tak nol yang memenuhi:
$ a^2 + b^2 = 1 $, $ c^2 + d^2 = 1 $, dan $ ac + bd = 0 $.
Buktikan bahwa $ ab + cd = 0 $.
$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). $ (a.b)^n = a^n . b^n $
*). $ ab + ac = a(b+c) $ dan $ ab - ac = a(b-c) $.

$\clubsuit $ Pembahasan
Diketahu:
$ a^2 + b^2 = 1 $ .... (i)
$ c^2 + d^2 = 1 $ .... (ii)

*). Mengubah bentuk $ ac + bd = 0 $
$ ac + bd = 0 \rightarrow ac = - bd $
$ \rightarrow \frac{a}{b} = -\frac{d}{c} = w $ (misalkan hasilnya $ w $
$ \frac{a}{b} = w \rightarrow a = bw $
$ -\frac{d}{c} = w \rightarrow d = -cw $

*). Kurangkan kedua persamaan:
$ \begin{align} (a^2 + b^2) - (c^2 + d^2) & = 1 - 1 \\ ((bw)^2 + b^2) - (c^2 + (-cw)^2) & = 0 \\ b^2w^2 + b^2 - c^2 - c^2w^2 & = 0 \\ b^2 (w^2 + 1) - c^2 (w^2 + 1) & = 0 \\ b^2 (w^2 + 1) - c^2 (w^2 + 1) & = 0 \\ (b^2 - c^2)(w^2 + 1) & = 0 \end{align} $
Karena $ w^2 + 1 \geq 1 $, maka $ b^2 - c^2 = 0 $.

*). Menentukan nilai $ ab + cd $ :
$ \begin{align} ab + cd & = (bw)b + c(-cw) \\ & = b^2w - c^2w \\ & = (b^2 - c^2)w \\ & = (0) \times w \\ & = 0 \end{align} $

Jadi, terbukti $ ab + cd = 0 . \, \heartsuit $

14). Diketahui bahwa $ 1002004008016032 $ mempunyai faktor prima $ p > 250000 $. Tentukan faktor tersebut?
$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). $ a^{2k} - b^{2k} = (a^k + b^k)(a^k - b^k) $
*). $ a^3 - b^3 =(a-b)(a^2 +ab + b^2) $
*). $ a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2) $
*). $ a^n - b^n = (a-b)(a^{n-1} + a^{n-1}b+a^{n-3}b^2 + ...+ab^{n-2} + b^{n-1}) $

Untuk $ n = 6 $ :
$ a^6 - b^6 = (a-b)(a^5 + a^4b + a^3b^2 + a^2b^3 + ab^4 + b^5) $
$ a^5 + a^4b + a^3b^2 + a^2b^3 + ab^4 + b^5 = \frac{a^6 - b^6 }{a-b} $
Sehingga:
$\begin{align} & a^5 + a^4b + a^3b^2 + a^2b^3 + ab^4 + b^5 \\ & = \frac{a^6 - b^6 }{a-b} \\ & = \frac{a^{2\times 3} - b^{2\times 3} }{a-b} \\ & = \frac{(a^3+b^3)(a^3-b^3) }{a-b} \\ & = \frac{[(a+b)(a^2 - ab + b^2)][(a-b)(a^2 +ab + b^2)] }{a-b} \\ & = (a+b)(a^2 +ab + b^2)(a^2 - ab + b^2) \end{align} $

$\clubsuit $ Pembahasan
Misalkan: $ 10^3 = a $ dan $ 2 = b $ :
$ \begin{align} & 1002004008016032 \\ & = 10^{15} + 2 . 10^{12} + 4. 10^9 + 8 . 10^6 + 16. 10^3 + 32 \\ & = (10^3)^5 + (10^3)^4.2 + (10^3)^3. 2^2 + (10^3)^2. 2^3 + (10^3). 2^4 + 2^5 \\ & = a^5 + a^4b + a^3b^2 + a^2b^3 + ab^4 + b^5 \\ & = (a+b)(a^2 +ab + b^2)(a^2 - ab + b^2) \\ & = (1002) \times (1.002.004) \times (998004) \\ & = (1002) \times (4 \times 250501) \times (4 \times 249.501) \end{align} $
sehingga faktor prima $ p > 250000 $ adalah $ p = 250.501 $.

Jadi, bilangannya adalah $ 250.501 . \, \heartsuit $


Soal-soal Latihan
       Berikut ada beberapa soal Latihan yang berkaitan dengan materi Pemfaktoran dan Penguraian Olim Matik SMA untuk menambah wawasan dalam pemahaman materinya. Semoga bermanfaat.

1). Hitunglah nilai dari
$ \sqrt{1000000)(1000001)(1000002)(1000003)+1} $

2). Jumlah dua bilangan adalah 2 dan hasil kalinya adalah 5. Tentukan jumlah kubik kedua bilangan tersebut.

3). Jika $ \frac{3a+4b}{2a-2b} = 5 $, maka nilai $ \frac{a^2 + 2b^2}{ab} $ adalah ...?

4). Nilai dari $ \frac{(2022 + 2024)^2 + (2024 - 2022)^2}{2024^2 + 2022^2} $ adalah ...?

5). Jika $ x + y + 3\sqrt{x+y} = 18 $ dan $ x - y - 2\sqrt{x-y} = 15 $, maka nilai $ x.y = ...$ ?

6). Jika $ \sqrt{14y^2 - 20y + 48} + \sqrt{14y^2 - 20y - 15} = 9 $, maka nilai dari $ \sqrt{14y^2 - 20y + 48} - \sqrt{14y^2 - 20y - 15} = ...$?

7). Hitung atau sederhanakan bentuk berikut:
a). $ (3 - \sqrt{5})(\sqrt{3+\sqrt{5}}) + (3 + \sqrt{5})(\sqrt{3 - \sqrt{5}}) $
b). $ \sqrt[3]{2 + \sqrt{5}} + \sqrt[3]{2 - \sqrt{5}} $

8). Jika $ x = \sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{2} + 1 $, maka nilai dari $ \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^3 $ adalah ...?

9). Hitunglah bentuk berikut:
a). $\frac{(10^4 + 324)(22^4 + 324)(34^4 + 324)(46^4+324)(58^4+324)}{(4^4 + 324)(16^4 + 324)(28^4 + 324)(40^4+324)(52^4+324)} $
b). $ \frac{(10^4 + 2^6)(18^4 + 2^6)(26^4 + 2^6)(34^4 + 2^6)(42^4 + 2^6)}{(6^4 + 2^6)(14^4 + 2^6)(24^4 + 2^6)(30^4 + 2^6)(38^4 + 2^6)} $

10). Tentukan semua bilangan bulat $ n $ yang memenuhi $ \sqrt{\frac{25}{2} + \sqrt{\frac{625}{4} - n}} + \sqrt{\frac{25}{2} - \sqrt{\frac{625}{4} - n}} $ adalah bilangan bulat.

11). Selesaikan setiap soal berikut:
a). Buktikan bahwa $ a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a+b+c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca) $
b). Diketahui $ a + b + c = 0 $. Tunjukkan bahwa $ a^3 + b^3 + c^3 = 3abc $.

12). Jika $ a + \frac{1}{x} = 3 $, maka nilai dari $ x^4 + \frac{1}{x^4} $ adalah ...?

13). Jika $ a $ dan $ b $ memenuhi $ \frac{2}{a+b} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} $, maka nilai dari $ \frac{a^2}{b^2} $ adalah ...?

14). Selesaikan setiap soal berikut:
a). Diketahui $ a + b = 9 $ dan $ a^2 + ab + b^2 = 61 $ dengan $ a > b $. Tentukan nilai $ a^3 - b $?
b). Diketahui $ a - b = 10 $ dan $ a^2 - 4ab + b^2 = 52 $. Tentukan nilai $ a^2 + b^2 $?

15). Tentukan bentuk sederhana dari $ (2+1)(2^2 + 1)(2^{2^2} + 1)(2^{2^3} + 1)(2^{2^4} + 1)...(2^{2^{99}}+1) $?

16). Buktikan persamaan berikut:
$ a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca = \frac{1}{2}[(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2] $

17). Berapakah faktor prima terbesar dari $ 4^9 + 9^4 $ ?

18). Selesaikan setiap soal berikut:
a). Jika $ a + b = 1 $ dan $ a^3 + b^3 = 4 $, maka nilai $ a^4 + b^4 = ...$?
b). Jika $ a^3 - b^3 = 24 $ dan $ a - b = 2 $, maka $ (a+b)^2 = ...$?
c). Jika $ a^3 + b^3 = 126 $ dan $ a^2 - ab + b^2 = 21 $, maka $ a^2 + b^2 = ...$?
d). Jika $ a^2 + a^{-2} = 4 $, maka $ a^6 + a^{-6} = ...$?
e). Jika $ (a^2 - b^2)(a^2 - 2ab + b^2) = 3 $ dan $ a - b = 1 $, maka $ ab = ...$?
f). Jika $ p^2 + p = 1 = 0 $, maka $ \left( p^3 + \frac{1}{p^3} \right)^3 = ...$?

19). Bilangan real $ a, b, x$, dan $ y $ memenuhi $ ax + by = 3 $, $ ax^2 + by^2 = 7 $, $ ax^3 + by^3 = 16 $, dan $ ax^4 + by^4 = 42$. Tentukan nilai dari $ ax^5 + by^5$?


Untuk Solusi Soal Latihan ini, silahkan ikuti link berikut ya:
Solusi Soal Latihan Pemfaktoran dan Penguraian Olim Matik SMA.
(Masih dalam proses penyusunan).

Berikut Link Latihan Soal Pemantapan:
1). Soal Review Materi
2). Soal Latihan Timer A
3). Soal Latihan Timer B


Kembali ke Daftar Isi Olimpiade Matik SMA

       Demikian pembahasan materi Pemfaktoran dan Penguraian Olim Matik SMA dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan materi ini. Setiap artikel akan diupdate secara bertahap. Jika ada kritik dan saran, atau koreksi dari isi artikel di halaman ini, mohon bantuannya untuk menuliskannya di kolom komentar di bagian bawah setiap artikel. Ini sangat membantu untuk memperbaiki kualitas dari artikel di blog koma. Semoga bermanfaat. Terimakasih.

Tidak ada komentar:

Posting Komentar

Catatan: Hanya anggota dari blog ini yang dapat mengirim komentar.