Barisan dan Deret Olim Matik SMA

         Blog Koma - Hallow sahabat koma, bagaimana kabarnya hari ini? Semoga baik-baik saja ya. Pada artikel ini kita akan membahas Barisan dan Deret Olim Matik SMA. Materi yang dibahas pada artikel ini merupakan materi dasar yang bisa digunakan untuk menyelesaikan bentuk-bentuk soal olimpiade matematika yang berkaitan dengan Barisan dan Deret Olim Matik SMA. Tentuk masih ada banyak lagi bentuk Barisan dan Deret lainnya pada materi olim matik SMA yang bisa sahabat koma pelajari sendiri untuk menambah kemampuannya dalam menyelesaikan soal-soal aljabar. Untuk menambah wawasan tentang Barisan dan Deret ini, terdapat beberapa contoh soal yang bisa dicoba, setelah dicoba, silahkan sahabat koma cocokkan dengan alternatif penyelesaian yang ada dibagian bawahnya.

Barisan dan Deret

       1, 2, 3, 4, 5, ... dikatakan sebagai barisan karena mempunyai suatu pola tertentu dengan rumus suku ke-$n$ adalah $n$. Dan $ 1 + 2 + 3 + 4 + .... $ disebut sebagai deret.

A). Barisan dan Deret Aritmatika (Deret Hitung)

(i). Definisi
       Misalkan ada barisan: $ u_1 , u_2 u_3, u_4 , ...$
Barisan Aritmatika adalah barisan yang memiliki selisih sama antara dua suku yang berdekatan, disebut dengan beda ($b$).
       $ b = u_2 - u_1 = u_3 - u_2 = ... = u_n - u_{n-1} $

(ii). Suku ke-$n$ dan suku Tengah
Rumus Suku ke-$n$ ($u_n$):
       $ u_n = a + (n-1)b $
Rumus Suku Tengah ($u_t$):
       $ u_t = \frac{a+u_n}{2} $

(iii). Sisipan
Disisipkan $ k $ bilangan/suku diantara setiap dua suku yang berdekatakan:
       $ u_1 \underbrace{\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, }_{ k \text{ suku}} \, u_2 , \underbrace{ \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, }_{ k \text{ suku}} \, u_3 , \underbrace{ \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, }_{ k \text{ suku}} u_4 , ...... $
Rumus Beda baru ($b^*$):
       $ b^* = \frac{b}{k+1} $

(iv). Jumlah $n$ suku pertama ($s_n $)
Rumus $ s_n $ yaitu:
       (1). $ s_n = \frac{n}{2} (u_1 + u_n ) $
       (2). $ s_n = \frac{n}{2} (2a + (n-1)b ) $
       (3). $ s_n = n.u_t $

Contoh 1:
Diketahui barisan 2, 5, 8, 11, .... Tentukan suku ke-10 dan jumlah 4 suku pertama.

Contoh 2:
Sebuah barisan jumlah $ n$ suku pertama dirumuskan dengan $ s_n = 3n^2 - 15n $. Nilai $ u_3 = ...$?

Contoh 3:
Nilai dari $ \displaystyle \sum_{k=1}^n (2k+3) =...$?

Conroh 4:
Pada sebuah barisan aritmatika, nilai suku ke-25 tiga kali nilai suku ke-5. Suku yang bernilai dua kali nilai suku pertama adalah suku ke- ...?

Contoh 5:
Sisi-sisi sebuah segitiga siku-siku membentuk barisan aritmatika. Jika sisi hipotenusa sama dengan 20, maka keliling segitiga tersebut adalah ...?

Contoh 6:
Diketahui 3, ..., 13, 15. adalah barisan aritmatika. Tentukan suku tengah barisan tersebut.

Contoh 7:
Pada setiap dua bilangan berurutan dari barisan 2, 12, 22, 32, 42, ... disisipkan sebanyak 4 bilangan. Tentukan suku ke-100 dari barisan yang baru.

(v). Barisan Aritmatika Bertingkat
       Misalkan ada barisan $ u_1, u_2, u_3, ..., u_n $ yang bukan merupakan barisan aritmatika sebab $ u_n - u_{n-1} $ tidak konstan.

a). Apabila diambil $ D_1 (n) = u_n - u_{n-1} $, $D_2 (n) = D_1 (n) - D_1(n-1) $, dan seterusnya sampai pada suatu saat $ D_k (n) - D_k (n-1) $ bernilai konstan, maka kita dapat mengambil kesimpulan bahwa rumus suku ke-$n$ ($u_n$) barisan tersebut merupakan polinomial berderajat $ k $.

a). Apabila diambil $ D_1 (n) = s_n - s_{n-1} $, $D_2 (n) = D_1 (n) - D_1(n-1) $, dan seterusnya sampai pada suatu saat $ D_k (n) - D_k (n-1) $ bernilai konstan, maka kita dapat mengambil kesimpulan bahwa rumus jumlah $ n $ suku pertama ($s_n$) deret tersebut merupakan polinomial berderajat $ k $.

Contoh 8:
Diketahui barisan 1, 3, 6, 10, 15, 21, .... Tentukan rumus suku ke-$n$ dan rumus jumlah $n$ suku pertamanya.

B). Barisan dan Deret Geometri (Deret Ukur)

(i). Definisi
       Misalkan ada barisan: $ u_1 , u_2 u_3, u_4 , ...$
Barisan Geometri adalah barisan yang memiliki perbandingan dua suku yang berdekatan sama, disebut rasio ($r$), dengan
       $ r = \frac{u_2}{u_1} = \frac{u_3}{u_2} = \frac{4}{u_3} = ... = \frac{u_n}{u_{n-1}} $

(ii). Suku ke-$n$ dan suku Tengah
Rumus Suku ke-$n$ ($u_n$):
       $ u_n = ar^{n-1} $
Rumus Suku Tengah ($u_t$):
       $ u_t = \sqrt{a.u_n} $

(iii). Sisipan
Disisipkan $ k $ bilangan/suku diantara setiap dua suku yang berdekatakan:
       $ u_1 \underbrace{\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, }_{ k \text{ suku}} \, u_2 , \underbrace{ \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, }_{ k \text{ suku}} \, u_3 , \underbrace{ \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, }_{ k \text{ suku}} u_4 , ...... $
Rumus Rasio baru ($r^*$):
       $ r^* = \sqrt[k+1]{r} $

(iv). Jumlah $n$ suku pertama ($s_n $)
Rumus $ s_n $ yaitu:
       $ s_n = \frac{a(r^n - 1}{r-1} $

(v). Deret geometri tak Hingga
Rumus Umum: $ S_\infty = \frac{\text{suku pertama}}{1 - \text{rasio}} $
Rumus Khusus: $ S_\infty = \frac{a}{1-r} $
Syarat konvergen: $ -1 < r < 1 $
Syarat Divergen: $ r \leq -1 $ atau $ r\geq 1 $

Catatan:
*). $ a $ dalam rumus-rumus diatas mewakili suku pertama ($a = u_1 $).
*). Deret konvergen adalah deret yang memiliki jumlah. Deret divergen adalah deret yang tidak memiliki jumlah yaitu jumlahnya $ -\infty $ atau $ \infty $.


Contoh 9:
Diketahui barisan 2, 6, 18, 54, .... Tentukan suku ke-5 dan jumlah 4 suku pertama barisan tersebut.

Contoh 10:
Pada barisan geometri diketahui $U_8=36$ dan $S_7=52$. Tentukan nilai $S_8$?

Contoh 11:
Tiga bilangan membentk deret geometri dengan jumlah 65. Jika suku ke-3 dikurangkan 20 terbentuklah deret aritmatika, maka rasio barisan tersebut adalah ...?

Contoh 12:
Diketahui barisan 2, 6, ..., 162 adalah barisan geometri. Tenteukan suku tengahnya.

Contoh 13:
Pada setiap dua bilangan berurutan dari barisan 2, 32, 512, 8192, ... disisipkan sebanyak 3 bilangan. Tentukan suku ke-7 barisan yang baru.

Contoh 14:
Tentukan nilai dari $ 2+1+\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + ...$

Contoh 15:
Jumlah suatu deret geometri tak hingga adalah 6 dan jumlah dari suku-suku yang bernomor ganjil adalah 4. Suku ke-6 barisan tersebut adalah ...?

C). Barisan dan Deret Lainnya serta bentuk tak hingga

       Suatu barisan tidak harus masuk ke dalam salah satu dari dua bentuk di atas. Sebagai contoh adalah barisan yang berbentuk 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, .... yang merupakan penjumlahan dari dua bilangan sebelumnya. Untuk menyelesaikan persoalan yang ditanyakan memerlukan pengetahuan terhadap pola dari barisan tersebut.

Beberapa rumus deret lainnya:
1). $ 1^2 + 2^2 + 3^2 + ...+n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} $
2). $ 1^3 + 2^3 + 3^3 + ...+ n^3 = (1+2+3+...+n)^2 $

Contoh 16:
Hitunglah nilai dari:
$ \sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{...}}}}} $

Contoh 17:
Hitunglah bentuk tak hingga berikut:
$ 2+ \frac{3}{2+\frac{3}{2+\frac{3}{2+\frac{3}{...} } } } $

Pembahasan Contoh Soal-soal:

       Berikut ada beberapa soal yang berkaitan dengan materi Barisan dan Deret Olim Matik SMA untuk menambah wawasan dalam pemahaman materinya. Silahkan dicoba dulu soal-soalnya, kemudian untuk mengecek jawabannya salah atau benar, bisa lihat solusi dengan mengklik tombol solusi di bagian bawah setiap soalnya.

Contoh Soal-soal dan Solusinya:

Contoh 1:
Diketahui barisan 2, 5, 8, 11, .... Tentukan suku ke-10 dan jumlah 4 suku pertama.

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). $ u_n = a + (n-1)b $ dan $ s_n = \frac{n}{2} (2a + (n-1)b) $

$\clubsuit $ Pembahasan
barisan 2, 5, 8, 11, ....
$ a = 2 $ dan $ b = 5 - 2 = 3 $
*). Menentukan nilai $ u_{10} $ dan $ S_4 $:
$\begin{align} u_{10} & = a + (10 -1)b \\ & = 2 + 9 . 3 \\ & = 2 + 27 = 29 \\ S_4 =& = \frac{4}{2} (2a + (4-1)b) \\ & = 2 (2 . 2 + 3.3) \\ & = 2(4 + 9) = 26 \end{align} $

Jadi, nilai $ u_{10} = 29 $ dan $ S_4 = 26 . \, \heartsuit $

Contoh 2:
Sebuah barisan jumlah $ n$ suku pertama dirumuskan dengan $ s_n = 3n^2 - 15n $. Nilai $ u_3 = ...$?

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Hubungan $ u_n $ dan $ s_n $ :
$ u_n = s_n - s_{n-1} $

$\clubsuit $ Pembahasan
DIketahui: $ s_n = 3n^2 - 15n $
*). Menentukan $ u_3 $ :
$\begin{align} u_3 & = s_3 - s_2 \\ & =( 3.3^2 - 15.3) - (3.2^2 - 15.2) \\ & = (-18) - (-18) = 0 \end{align} $

Jadi, nilai $ u_3 = 0 . \, \heartsuit $

Contoh 3:
Nilai dari $ \displaystyle \sum_{k=1}^n (2k+3) =...$?

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). $ s_n = \frac{n}{2} (a + u_n ) $

$\clubsuit $ Pembahasan
Bentuk $ \displaystyle \sum_{k=1}^n (2k+3) = 5 + 7 + 9 + ... + (2n+3) $
memiliki $ a = 5 $
*). Menentukan jumlah deretnya:
$\begin{align} \displaystyle \sum_{k=1}^n (2k+3) & = 5 + 7 + 9 + ... + (2n+3) \\ & = s_n \\ & = \frac{n}{2} ( 5 + (2n+3)) \\ & = \frac{n}{2} ( 2n + 8) \\ & = \frac{2n^2 + 8n}{ 2} \\ & = n^2 + 4n \end{align} $

Jadi, nilai $ \displaystyle \sum_{k=1}^n (2k+3) = n^2 + 4n . \, \heartsuit $

Conroh 4:
Pada sebuah barisan aritmatika, nilai suku ke-25 tiga kali nilai suku ke-5. Suku yang bernilai dua kali nilai suku pertama adalah suku ke- ...?

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). $ u_n = a + (n-1)b $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan hubungan $ a $ dan $ b $:
$ \begin{align} u_{25} & = 3 u_5 \\ a + 24b & = 3(a + 4b) \\ a + 24b & = 3a + 12b \\ 2a & = 12b \\ a & = 6b \end{align} $
*). Menentukan suku yang dimaksud:
$\begin{align} u_n & = 2u_1 \\ a + (n-1)b & = 2a \\ 6b + (n-1)b & = 2(6b) \\ 6b + (n-1)b & = 12b \\ (n-1)b & = 6b \\ n-1 & = 6 \\ n & = 7 \end{align} $

Jadi, suku ke-7$. \, \heartsuit $

Contoh 5:
Sisi-sisi sebuah segitiga siku-siku membentuk barisan aritmatika. Jika sisi hipotenusa sama dengan 20, maka keliling segitiga tersebut adalah ...?

Cara I:
$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Barisan aritmetika $ a , b, c $, berlaku $ a+c = 2b $
karena memiliki selisih yang sama.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Sisi miringnya = 20,
barisannya $ a, b, 20 $
dengan $ a + 20 = 2b \rightarrow a = 2b - 20 $
*). Pythagoras:
$ \begin{align} a^2 + b^2 & = c^2 \\ (2b - 20)^2 + b^2 & = 20^2 \\ 4b^2 - 80b + 400 + b^2 & = 400 \\ 5b^2 - 80b & = 0 \\ b(5b-80) & = 0 \\ b = 0 \vee b & = \frac{80}{5} = 16 \end{align} $
sehingga $ a = 2b - 20 = 2(16) - 20 = 12 $

*). Keliling segitiganya:
$\begin{align} \text{Keliling } & = a + b + c \\ & = 12 + 16 + 20 \\ & = 48 \end{align} $

Jadi, keliling segitiga $ = 48 . \, \heartsuit $

Cara II:
$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Pada segitiga siku-siku berlaku triple pythagoras.
*). Triple Pythagoras yang membentuk barisan aritmetika yaitu $ 3x, 4x$, dan $ 5x $, dengan $ 5x $ sebagai sisi miring.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Sisi miringnya = 20,
$ 5x = 20 \rightarrow x = 4 $
*). Keliling segitiganya:
$\begin{align} \text{Keliling } & = 3x + 4x + 5x \\ & = 12x \\ & = 12(4) \\ & = 48 \end{align} $

Jadi, keliling segitiga $ = 48 . \, \heartsuit $

Contoh 6:
Diketahui 3, ..., 13, 15. adalah barisan aritmatika. Tentukan suku tengah barisan tersebut.

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Suku tengan : $ u_t = \frac{u_1 + u_n}{2} $

$\clubsuit $ Pembahasan
Barisan: 3, ..., 13, 15
$ u_1 = 3 $ dan $ u_n = 15 $
*). Menentukan suku tengah:
$ \begin{align} u_t & = \frac{u_1 + u_n}{2} \\ & = \frac{3 + 15}{2} \\ & = \frac{18}{2} = 9 \end{align} $

Jadi, suku tengahnya $ 9 . \, \heartsuit $

Contoh 7:
Pada setiap dua bilangan berurutan dari barisan 2, 12, 22, 32, 42, ... disisipkan sebanyak 4 bilangan. Tentukan suku ke-100 dari barisan yang baru.

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Beda baru: $ b^* = \frac{b}{k+1} $

$\clubsuit $ Pembahasan
barisan 2, 12, 22, 32, 42, ...
$ a = 2 $ dan $ b = 12 - 2 = 10 $
Disisipkan 4 bilangan
$ k = 4 $
Beda baru: $ b^* = \frac{b}{k+1} = \frac{10}{4+1} = 2 $

*). Menentukan suku ke-100 dengan beda baru:
$\begin{align} u_{100} & = a + (100 - 1) b^* \\ & = 2 + 99 \times 2 \\ & = 2 (1 + 99) \\ & = 2 \times 100 \\ & = 200 \end{align} $

Jadi, suku ke-100 adalah $ 200 . \, \heartsuit $

Contoh 8:
Diketahui barisan 1, 3, 6, 10, 15, 21, .... Tentukan rumus suku ke-$n$ dan rumus jumlah $n$ suku pertamanya.

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus barisan aritmetika bertingkat:
$ u_n = a + (n-1)b + \frac{(n-1)(n-2)c}{2!} + \frac{(n-1)(n-2)(n-3)d}{3!} + ... $

$\clubsuit $ Pembahasan
*).

Jadi, diperoleh hasil seperti di atas$ . \, \heartsuit $

Contoh 9:
Diketahui barisan 2, 6, 18, 54, .... Tentukan suku ke-5 dan jumlah 4 suku pertama barisan tersebut.

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). $ u_n = a.r^{n-1} $ dan $ s_n = \frac{a(r^n-1)}{r-1} $

$\clubsuit $ Pembahasan
barisan 2, 6, 18, 54, ....
$ a = 2 $ dan $ r = \frac{6}{2} = 3 $
*). Menentukan $ u_5 $ dan $ s_4 $ :
$\begin{align} u_5 & = ar^{5-1} = 2. 3^4 = 2 \times 81 = 162 \\ s_4 & = \frac{a(r^4 - 1)}{r-1} \\ & = \frac{2.(3^4 - 1)}{3-1} = 80 \end{align} $

Jadi, nilai $ u_5 = 162 $ dan $ s_4 = 80 . \, \heartsuit $

Contoh 10:
Pada barisan geometri diketahui $U_8=36$ dan $S_7=52$. Tentukan nilai $S_8$?

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Hubungan $ u_n $ dan $ s_n $:
$ u_n = s_n - s_{n-1} \rightarrow s_n = u_n + s_{n-1} $

$\clubsuit $ Pembahasan
diketahui $U_8=36$ dan $S_7=52$
*). Menentukan $ s_8$ :
$\begin{align} s_n & = u_n + s_{n-1} \\ s_8 & = u_8 + s_{8-1} \\ & = u_8 + s_7 \\ & = 36 + 52 = 88 \end{align} $

Jadi, nilai $ S_8 = 88 . \, \heartsuit $

Contoh 11:
Tiga bilangan membentk deret geometri dengan jumlah 65. Jika suku ke-3 dikurangkan 20 terbentuklah deret aritmatika, maka rasio barisan tersebut adalah ...?

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Barisan aritmatika: $a, b, c $
Berlaku $ a + c = 2b $

$\clubsuit $ Pembahasan
Misalkan barisan geometrinya: $a, ar, ar^2 $
*). Jumlah = 65, maka $ a + ar + ar^2 = 65 $ ...(i)
*). Barisan diubah:
menjadi : $ a, ar, ar^2 - 20 $ barisan aritmatika.
Berlaku: $ a + (ar^2 - 20) = 2ar $
atau $ a + ar^2 = 2ar + 20 $ ... (ii)

*). Substitusi (ii) ke (i)
$\begin{align} a + ar + ar^2 & = 65 \\ (a + ar^2) + ar & = 65 \\ (2ar + 20) + ar & = 65 \\ ar & = 15 \\ a & = \frac{15}{r} \end{align} $

*). Substitusi $ a = \frac{15}{r} $ ke pers(i):
$\begin{align} a + ar + ar^2 & = 65 \\ \frac{15}{r} + \frac{15}{r}.r + \frac{15}{r}. r^2 & = 65 \\ \frac{15}{r} + \frac{15}{r}.r + \frac{15}{r}. r^2 & = 65 \, \, \, \text{(kali } r ) \\ 15 + 15r + 15r^2 & = 65r \\ 15r^2 - 50r + 15 & = 0 \, \, \, \text{(bagi 5)} \\ 3r^2 - 10r + 3 & = 0 \\ (3r -1 )(r -3 ) & = 0 \\ r = \frac{1}{3} \vee r & = 3 \end{align} $

Jadi, rasionya adalah $ r = \frac{1}{3} \vee r = 3 . \, \heartsuit $

Contoh 12:
Diketahui barisan 2, 6, ..., 162 adalah barisan geometri. Tenteukan suku tengahnya.

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Suku tengah: $ u_t = \sqrt{a. u_n} $

$\clubsuit $ Pembahasan
barisan 2, 6, ..., 162
$ a = 2 $ dan $ u_n = 162 $
*). Menentukan suku tengah:
$\begin{align} u_t & = \sqrt{a. u_n} \\ & = \sqrt{2 \times 162} = 18 \end{align} $

Jadi, nilai $ u_t = 18 . \, \heartsuit $

Contoh 13:
Pada setiap dua bilangan berurutan dari barisan 2, 32, 512, 8192, ... disisipkan sebanyak 3 bilangan. Tentukan suku ke-7 barisan yang baru.

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rasio baru: $ r^* = \sqrt[k+1]{r} $

$\clubsuit $ Pembahasan
barisan 2, 32, 512, 8192, ...
Suku pertama: $ a = 2 $
Rasio awal: $ r = \frac{32}{2} = 16 $
disisipkan 3 bilangan, $ k = 3 $
*).Menentukan rasio baru dan $ u_7 $:
$\begin{align} r^* & = \sqrt[k+1]{r} \\ & = \sqrt[3+1]{16} \\ & = \sqrt[4]{16} = 2 \\ u_7 & = a(r^*)^{7-1} \\ & = 2 . 2^6 = 128 \end{align} $

Jadi, nilai $ u_7 = 128 . \, \heartsuit $

Contoh 14:
Tentukan nilai dari $ 2+1+\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + ...$

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Jumlah deret geometri tak hingga:
$ s_\infty = \frac{a}{1-r} $

$\clubsuit $ Pembahasan
Deret: $ 2+1+\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + ... $
$ a = 2 $ dan rasio $ r = \frac{1}{2} $
*). Menentukan jumlahnya:
$\begin{align} 2+1+\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + ... & = s_\infty \\ & = \frac{a}{1-r} \\ & = \frac{2}{1-\frac{1}{2}} \\ & = \frac{2}{\frac{1}{2}} \\ & = 2 \times \frac{2}{1} = 4 \end{align} $

Jadi, nilai $ 2+1+\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + ... = 4 . \, \heartsuit $

Contoh 15:
Jumlah suatu deret geometri tak hingga adalah 6 dan jumlah dari suku-suku yang bernomor ganjil adalah 4. Suku ke-6 barisan tersebut adalah ...?

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Beberapa rumus jumlah deret geometri tak hingga:
-). Lengkap
$ u_1 + u_2 + u_3 + u_4 + ... = \frac{a}{1-r} $
-). indeks ganjil:
$ u_1 + u_3 + u_5 + ... = \frac{a}{1-r^2} $
-). indeks genap:
$ u_2 + u_4 + u_6 + ... = \frac{ar}{1-r^2 } $
-). rasio ($r$) :
$ r = \frac{s_{\infty genap}}{s_{\infty ganjil}} $
-). Jumlah keduanya:
$ s_{\infty lengkap} = s_{\infty ganjil} + s_{\infty genap} $

$\clubsuit $ Pembahasan
Diketahui:
$ s_{\infty lengkap} = 6 $ dan $ s_{\infty ganjil} = 4 $
$ s_{\infty genap} = 6 - 4 = 2 $
rasio: $ r = \frac{s_{\infty genap}}{s_{\infty ganjil}} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $

*). Menentukan suku pertama dan $ u_6 $:
$\begin{align} s_{\infty lengkap} & = 6 \\ \frac{a}{1-r} & = 6 \\ \frac{a}{1-\frac{1}{2} } & = 6 \\ \frac{a}{\frac{1}{2} } & = 6 \\ 2a & = 6 \\ a & = 3 \\ u_6 & = ar^{6-1} \\ & = 3 \times \left( \frac{1}{2} \right) ^5 \\ & = \frac{3}{32} \end{align} $

Jadi, nilai $ u_6 = \frac{3}{32} . \, \heartsuit $

Contoh 16:
Hitunglah nilai dari:
$ \sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{...}}}}} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). untuk $ A \geq 0 $ , berlaku $ (\sqrt{A})^2 = A $

$\clubsuit $ Pembahasan
Misalkan: $ \sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{...}}}}} = P $
dengan $ P > 0 $.
*). Menentukan nilai $ P $ dengan mengkuadratkan:
$\begin{align} P & = \sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{...}}}}} \\ P^2 & = \left( \sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{...}}}}} \right)^2 \\ P^2 & =2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{...}}}} \\ P^2 & =2P \\ P^2 - 2P & = 0 \\ P(P-2) & = 0 \\ P = 0 \vee P & = 2 \end{align} $
yang memenuhi $ P = 2 $.

Jadi, nilai $ \sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{...}}}}} = 2 . \, \heartsuit $

Contoh 17:
Hitunglah bentuk tak hingga berikut:
$ 2+ \frac{3}{2+\frac{3}{2+\frac{3}{2+\frac{3}{...} } } } $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Konsep pemfaktoran.

$\clubsuit $ Pembahasan
Misalkan $ 2+ \frac{3}{2+\frac{3}{2+\frac{3}{2+\frac{3}{...} } } } = N $
dengan $ N > 0 $.
*). Menentukan nilai $ N $:
$\begin{align} N & = 2+ \frac{3}{2+\frac{3}{2+\frac{3}{2+\frac{3}{...} } } } \\ N & = 2+ \frac{3}{N } \, \, \, \text{(kali } N) \\ N^2 & = 2N+ 3 \\ N^2 - 2N - 3 & = 0 \\ (N+1)(N-3) & = 0 \\ N = -1 \vee N & = 3 \end{align} $
yang memenuhi $ N = 3 $.

Jadi, nilai $ 2+ \frac{3}{2+\frac{3}{2+\frac{3}{2+\frac{3}{...} } } } = 3 . \, \heartsuit $

Soal-soal Latihan

       Berikut ada beberapa soal Latihan yang berkaitan dengan materi Barisan dan Deret Olim Matik SMA untuk menambah wawasan dalam pemahaman materinya. Semoga bermanfaat.

1). Jika $ x_{k+1} = x_k + \frac{1}{2} $ untuk $ k = 1, 2, 3, ... $ dan $ x_1 = 1 $, maka nilai $ x_1 + x_2 + x_3 + ... + x_{400} = ...$?

2). Perhatikan barisan bilangan 500, 465, 430, 395, .... Suku negatifnya yang pertama adalah ...?

3). Berapa bilangan bulat positif terkecil $ n $ sehingga $ 1 + 2 + 3 + 4 + ... + n > 100 $

4). Sebuah deret aritmatika terdiri dari $n$ suku (ganjil). Jumlah semua sukunya 260, besar suku tengahnya 20, serta beda deret tersebut adalah 3. Maka $U_6= ...$?

5). Misalkan ${a_k}$ adalah barisan bilangan bulat sehingga $a_1=1$ dan $a_{m+n}=a_m a_n+mn$ untuk setiap bilangan bulat positif $m$ dan $n$. Tentukan $a_2015$?

6). Pada suatu deret aritmetika berlaku $u_2+u_5+u_6+u_9=40$. Nilai $S_10=...$?

7). Bilangan bulat positif terkecil $a$ sehingga $2a+4a+6a+...+200a$ merpakan bilangan kuadrat sempurna adalah ...?

8). Jika jumlah 2016 bilangan bulat berurutan adalah sebuah bilangan kuadrat sempurna, maka tentukan nilai minimum dari ke 2016 bilangan tersebut?

9). Diketahui $a+(a+1)+(a+2)+...+50=1139$. Jika $a$ bilangan positif, maka $a=...?$

10). Misalkan $u_n$ adalah suku ke-$n$ dari suatu barisan aritmatika. Jika $u_k=t$ dan $u_t=k$, maka tentukan nilai dari suku ke-$(k+t)$.

11). Diketahui barisan $U_1,U_2,U_3,...$ dengan $U_n-U_{n-1}+U_{n-2}=0$ untuk $n=2$. Jika $S_{1492}=1865$ dan $S_{1865}=1492$. Tentukan $S_{1492+1865}$?
Catatan: $S_n=U_1+U_2+...+U_n$.

12). Bilangan rasional $a < b < c $ membentuk barisan hitung (aritmetika) dan $\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} = 3$. Banyaknya bilangan positif $a$ yang memenuhi adalah ...?

13). Pada sebuah barisan aritmatika, nilai suku ke-25 tiga kali suku ke-5. Suku yang bernilai dua kali suku pertama adalah suku ke-...?

14). $k$ adalah bilangan bulat positif yang memenuhi $36+k$, $300+k$, $596+k$ adalah kuadrat dari tiga bilangan yang membentuk barisan aritmetika. Tentukan nilai $k$.

15). Diberikan tiga bilangan bulat positif berurutan. Jika bilangan pertama tetap, bilangan kedua ditambah 10 dan bilangan ketiga ditambah bilangan prima, maka ketiga bilangan ini membentuk deret ukur. Bilangan ketiga dari bilangan bulat berurutan adalah ...?

16). Agar bilangan $2^0+2^1+2^2+2^3+?+2^n$ sedekat mungkin kepada 2004, haruslah $n=...$?

17). Budi memilih suku-suku barisan geometri tak hingga $1,\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, ...$ untuk membuat barisan geometri takhingga baru yang jumlahnya $\frac{1}{7}$. Tiga suku pertama pilihan Budi adalah ...?

18). Bilangan bulat positif terkecil $n$ dengan $n>2009$ sehingga $\sqrt{\frac{1^3+2^3+3^3+...+n^3}{n}} $ merupakan bilangan bulat adalah ...?

19). Misalkan $A$ adalah barisan $a_1,a_2,a_3,...$ dengan $a_{19}=a_{92}=0$ dan $\Delta A $ didefinisikan dengan barisan $a_2-a_1$, $a_3-a_2$, $a_4-a_3$, .... Jika semua suku barisan $\Delta (\Delta A)$ sama dengan 1, maka nilai $a_1$ adalah ...?

20). Barisan $1000$, $n$, $1000-n$, $n-(1000-n)$, $(1000-n)-(n-(1000-n))$, .... Dengan $n$ bilangan bulat berakhir ketika bilangan negatif muncul pertama kali. Sebagai contoh untuk $n=100$, maka barisan tersebut adalah 1000, 100, 900, $-800$. Suku ke-4 barisan tersebut negatif. Jadi, untuk $n=100$ maka barisan tersebut memiliki panjang 3. Tentukan $n$ sehingga panjang barisan tersebut maksimum.

21). Barisan $u_1,u_2,u_3,....$ memenuhi $u_n= \frac{1}{n^2+n}$. Jika terdapat bilagnan berurutan sehingga $ u_m+u_{m+1}+...+u_n= \frac{1}{29}$, maka tentukan nilai $m+n$?

22). Dalam barisan naik empat bilangan bulat positif, tiga suku pertama membentuk barisan aritmatika, tiga suku terakhir membentuk barisan geometri, dan suku pertama dan keempat memiliki selisih 30. Tentukan jumlah keempat suku tersebut.

23). Pada sebuah bilangan positif 3,27 mempunyai arti bahwa 3 mewakili bagian bulat dari bilangan dan 0,27 mewakili bagian desimal suatu bilangan. Tentukan bilangan positif yang memenuhi bagian desimal, bagian bulat, dan bilangan itu sendiri membentuk barisan geometri.

24). Buktikan bahwa $P_1 P_2 \geq Q_1 Q_2$ jika
i). $a, c > 0$
ii). $a, P_1, P_2, c$ adalah barisan aritmatika dan
iii). $a, Q_1, Q_2, c$ adalah barisan geometri.


Untuk Solusi Soal Latihan ini, silahkan ikuti link berikut ya:
Solusi Soal Latihan Barisan dan Deret Olim Matik SMA.
(Masih dalam penyusunan).


Berikut Link Latihan Soal Pemantapan:
1). Soal Review Materi
2). Soal Latihan Timer A
3). Soal Latihan Timer B

Kembali ke Daftar Isi Olimpiade Matik SMA

       Demikian pembahasan materi Barisan dan Deret Olim Matik SMA dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan materi ini. Setiap artikel akan diupdate secara bertahap. Jika ada kritik dan saran, atau koreksi dari isi artikel di halaman ini, mohon bantuannya untuk menuliskannya di kolom komentar di bagian bawah setiap artikel. Ini sangat membantu untuk memperbaiki kualitas dari artikel di blog koma. Semoga bermanfaat. Terimakasih.