Vektor Normal Garis Lurus

         Blog Koma - Pada artikel ini kita akan membahas materi Vektor Normal Garis Lurus di R$^2$. Sementara pada R$^3$ akan terbentuk bidang yang diwakili oleh sebuah persamaan dimana kita juga bisa menentukan vektor normal bidang di R$^3$. Materi Vektor Normal Garis Lurus dan Vektor Normal bidang ini sangat penting karena berkaitan erat dengan materi lain yang akan kita bahas yaitu aplikasi vektor yaitu salah satunya adalah "jarak titik ke garis lurus" dan "jarak titik ke bidang yang persamaannya diketahui". Untuk memudahkan dalam mempelajari materi Vektor Normal Garis Lurus ini, sebaiknya teman-teman harus menguasai materi "pengertian vektor dan penulisannya" dan syarat dua vektor saling tegak lurus yaitu pada materi "perkalian dot dua vektor" serta "persamaan garis lurus". Sebagai bahasan awal, vektor normal adalah vektor yang tegak lurus. Vektor normal garis lurus artinya sebuah vektor yang tegak lurus dengan garis tersebut, begitu juga vektor normal bidang adalah sebuah vektor yang tegak lurus dengan bidang yang dimaksud. Vektor normal yang dipilih biasanya vektor normal yang paling sederhana.

Vektor Normal Garis Lurus $ ax + by + c = 0 \, $ di R$^2$

Vektor normal garis lurus $ ax + by + c = 0 $
adalah vektor $ \vec{u} = \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) $

Vektor Normal Bidang $ ax + by + cz + d = 0 \, $ di R$^3$

Vektor normal garis lurus $ ax + by + cz + d = 0 $
adalah vektor $ \vec{v} = \left( \begin{matrix} a \\ b \\ c \end{matrix} \right) $

$ \spadesuit \, $ Pembuktian vektor normal garis lurus $ ax + by + c = 0 $ :
Perhatikan ilustrasi gambar berikut ini :

       Misalkan kita pilih dua titik berlainan yaitu $ A(x_1,y_1) $ dan $ B(x_2,y_2) $ yang terletak pada garis lurus $ ax + by + c = 0 $ . Karena kedua titik A dan B terletak pada garis lurus, maka titik-titik tersebut bisa kita substitusikan ke persamaan garisnya, yaitu :
$ A(x_1,y_1) \rightarrow ax_1 + by_1 + c = 0 $ dan $ B(x_2,y_2) \rightarrow ax_2 + by_2 + c = 0 $.
*). Kita eliminasi kedua bentuk persamaan di atas :
$ \begin{array}{cc} ax_2 + by_2 + c = 0 & \\ ax_1 + by_1 + c = 0 & - \\ \hline a(x_2-x_1) + b(y_2-y_1) = 0 & \end{array} $
Kita peroleh bentuk :
$ a(x_2-x_1) + b(y_2-y_1) = 0 \, $ ..........(i)
*). Dari kedua titik $ A(x_1,y_1) $ dan $ B(x_2,y_2) $ bisa kita bentuk vektor $ \vec{AB} $ yang berimpit dengan garis $ ax + by + c = 0 $. Vektor $ \vec{AB} $ adalah :
$ \vec{AB} = \vec{b} - \vec{a} = \left( \begin{matrix} x_2 \\ y_2 \end{matrix} \right) - \left( \begin{matrix} x_1 \\ y_1 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} x_2 - x_1 \\ y_2 - y_1 \end{matrix} \right) $
*). Vektor normal garis $ ax + by + c = 0 $ yaitu $ \vec{u} = \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) $.
*). Menentukan hasil perkalian dot antara vektor $ \vec{u} $ dan $ \vec{AB} $ :
$ \vec{u} . \vec{AB} = \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) . \left( \begin{matrix} x_2 - x_1 \\ y_2 - y_1 \end{matrix} \right) = a(x_2-x_1) + b(y_2-y_1) $
*). Berdasarkan pers (i) yaitu $ a(x_2-x_1) + b(y_2-y_1) = 0 $ , ini artinya $ \vec{u}. \vec{AB} = 0 $ . Karena perkalian dot antara vektor $ \vec{u} $ dan $ \vec{AB} $ hasilnya nol, maka vektor $ \vec{u} $ tegak lurus dengan vektor $ \vec{AB} $.
Jadi, terbukti bahwa $ \vec{u} = \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) $ tegak lurus dengan garis $ ax+by+c = 0 $, dimana vektor $ \vec{u} = \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) $ ini kita sebut sebagai vektor normal dari garis $ ax+by+c = 0 $ .

$ \clubsuit \, $ Pembuktian vektor normal bidang $ ax + by + cz + d = 0 $ :
       Misalkan kita pilih dua titik berlainan yaitu $ A(x_1,y_1,z_1) $ dan $ B(x_2,y_2,z_2) $ yang terletak pada bidang $ ax + by + cz+ d = 0 $ . Karena kedua titik A dan B terletak pada bidang, maka titik-titik tersebut bisa kita substitusikan ke persamaan bidangnya, yaitu :
$ A(x_1,y_1,z_1) \rightarrow ax_1 + by_1 + cz_1 + d = 0 $
$ B(x_2,y_2,z_2) \rightarrow ax_2 + by_2 + cz_2 + d = 0 $.
*). Kita eliminasi kedua bentuk persamaan di atas :
$ \begin{array}{cc} ax_2 + by_2 + cz_1 + d = 0 & \\ ax_1 + by_1 + cz_2 + d = 0 & - \\ \hline a(x_2-x_1) + b(y_2-y_1) + c(z_2-z_1) = 0 & \end{array} $
Kita peroleh bentuk :
$ a(x_2-x_1) + b(y_2-y_1) + c(z_2 - z_1) = 0 \, $ ..........(ii)
*). Dari kedua titik $ A(x_1,y_1,z_1) $ dan $ B(x_2,y_2,z_2) $ bisa kita bentuk vektor $ \vec{AB} $ yang berimpit dengan bidang $ ax + by + cz+ d = 0 $. Vektor $ \vec{AB} $ adalah :
$ \vec{AB} = \vec{b} - \vec{a} = \left( \begin{matrix} x_2 \\ y_2 \ z_2 \end{matrix} \right) - \left( \begin{matrix} x_1 \\ y_1 \\ z_1 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} x_2 - x_1 \\ y_2 - y_1 \\ z_2 - z_1 \end{matrix} \right) $
*). Vektor normal garis $ ax + by + cz + d = 0 $ yaitu $ \vec{v} = \left( \begin{matrix} a \\ b \\ c \end{matrix} \right) $.
*). Menentukan hasil perkalian dot antara vektor $ \vec{v} $ dan $ \vec{AB} $ :
$ \vec{v} . \vec{AB} = \left( \begin{matrix} a \\ b \\ c \end{matrix} \right) . \left( \begin{matrix} x_2 - x_1 \\ y_2 - y_1 \\ z_2 - z_1 \end{matrix} \right) = a(x_2-x_1) + b(y_2-y_1) + c(z_2-z_1) $
*). Berdasarkan pers (ii) yaitu $ a(x_2-x_1) + b(y_2-y_1) + c(z_2 - z_1) = 0 $ , ini artinya $ \vec{v}. \vec{AB} = 0 $ . Karena perkalian dot antara vektor $ \vec{v} $ dan $ \vec{AB} $ hasilnya nol, maka vektor $ \vec{v} $ tegak lurus dengan vektor $ \vec{AB} $.
Jadi, terbukti bahwa $ \vec{v} = \left( \begin{matrix} a \\ b \\ c \end{matrix} \right) $ tegak lurus dengan bidang $ ax+by+cz + d = 0 $, dimana vektor $ \vec{v} = \left( \begin{matrix} a \\ b \\ c \end{matrix} \right) $ ini kita sebut sebagai vektor normal dari bidang $ ax+by+cz + d = 0 $ .

Contoh soal Vektor Normal Garis Lurus dan bidang :

1). Tentukan vektor normal dari persaman garis dan bidang berikut berikut ini :
a). $ 2x - 3y + 5 = 0 $
b). $ \frac{3x-1}{2} + \frac{2-2y}{3} = 4 $
c). $ -x + 2y + 3z = 10 = 0 $
Penyelesaian :
a). $ 2x - 3y + 5 = 0 $
dari bentuk $ 2x - 3y + 5 = 0 $, nilai $ a = 2 $ dan $ b = -3 $.
vektor normalnya adalah $ \left( \begin{matrix} 2 \\ -3 \end{matrix} \right) $.
b). $ \frac{3x-1}{2} + \frac{2-2x}{3} = 4 $
-). Kita ubah dulu menjadi bentuk $ ax + by + c = 0 $
$ \begin{align} \frac{3x-1}{2} + \frac{2-2y}{3} & = 4 \, \, \, \, \text{(kali 6)} \\ 6.\frac{3x-1}{2} + 6.\frac{2-2y}{3} & = 6.4 \\ 3(3x-1) + 2(2-2y) & = 24 \\ 9x-3 + 4 - 4y & = 24 \\ 9x - 4y & = 23 \\ 9x - 4y -23 & = 0 \end{align} $
Dari bentuk $ 9x - 4y - 23 = 0 $ , vektor normalnya adalah $ \left( \begin{matrix} 9 \\ -4 \end{matrix} \right) $.
c). $ -x + 2y + 3z = 10 = 0 $
dari bentuk $ -x + 2y + 3z = 10 = 0 $, nilai $ a = -1, b = 2 $ dan $ c = 3 $.
vektor normalnya adalah $ \left( \begin{matrix} -1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix} \right) $.

2). Diketahui persamaan garis $ 3x - y + 1 = 0 $ dan $ kx + 6y - 2 = 0 $. Jika vektor normal kedua garis tersebut saling tegak lurus, maka tentukan nilai $ k $!
Penyelesaian :
*). Menentukan vektor normal masing-masing garis yaitu $ \vec{u} $ dan $ \vec{v} $ :
$ 3x - y + 1 = 0 \rightarrow \vec{u} = \left( \begin{matrix} 3 \\ -1 \end{matrix} \right) $
$ kx + 6y - 2 = 0 \rightarrow \vec{v} = \left( \begin{matrix} k \\ 6 \end{matrix} \right) $
sehingga $ \vec{u} . \vec{v} = \left( \begin{matrix} 3 \\ -1 \end{matrix} \right) . \left( \begin{matrix} k \\ 6 \end{matrix} \right) = 3x - 6 $
*). Syarat tegak lurus adalah $ \vec{u} . \vec{v} = 0 $
$ \vec{u} . \vec{v} = 0 \rightarrow 3k - 6 = 0 \rightarrow k = 2 $.
Jadi, nilai $ k = 2 $.

3). Diketahui persamaan garis lurus $ -x + 2y + 3 = 0 $ dan $ 2x - y + 1 = 0 $. Jika $ \theta $ adalah sudut yang dibentuk oleh kedua garis tersebut, dengan konsep vektor normal garis, tentukan nilai dari $ \cos \theta $ !
Penyelesaian :
*). sudut yang dibentuk oleh kedua garis sama saja dengan sudut yang dibentuk oleh kedua vektor normalnya. Berikut vektor normal masing-masing garis :
$ -x + 2y + 3 = 0 \rightarrow \vec{u} = \left( \begin{matrix} -1 \\ 2 \end{matrix} \right) $
$ 2x - y + 1 = 0 \rightarrow \vec{v} = \left( \begin{matrix} 2 \\ -1 \end{matrix} \right) $
*). Menentukan nilai $ \cos \theta $ :
$ \begin{align} \vec{u}. \vec{v} & = |\vec{u}||\vec{v}| \cos \theta \\ \cos \theta & = \frac{ \vec{u}. \vec{v}}{ |\vec{u}||\vec{v}| } \\ & = \frac{ -1.2 + 2.(-1) }{ \sqrt{(-1)^2 + 2^2} \sqrt{2^2 + (-1)^2} } \\ & = \frac{ -4 }{ \sqrt{5} \sqrt{5} } \\ & = \frac{ -4 }{ 5 } \end{align} $
Jadi, nilai $ \cos \theta = -\frac{4}{5} $.

       Demikian pembahasan materi Vektor Normal Garis Lurus dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan "materi vektor tingkat SMA" yaitu "aplikasi vektor : jarak titik ke garis".