Cara Menentukan Tanda + atau - pada Garis Bilangan

         Blog Koma - Pada artikel ini kita akan membahas materi Cara Menentukan Tanda + atau - pada Garis Bilangan yang berkaitan dengan penyelesaian pertidaksamaan. Garis bilangan pertidaksamaan biasanya kita perlukan ketika akar-akar (pembuaat nol) pada pertidaksamaannya lebih dari satu. Nah, terkadang tidak semua kita bisa dengan mudah dalam Cara Menentukan Tanda + atau - pada Garis Bilangan. Sebenarnya Cara Menentukan Tanda + atau - pada Garis Bilangan ini sudah kita bahas dalam artikel "Pertidaksamaan secara Umum", namun hanya secara sekilas saja (tidak terlalu mendalam). Pada materi "Pertidaksamaan secara Umum", telah dibahas tentang 'Langkah-langkah umum menyelesaiakan pertidaksamaan' dimana salah satu langkahnya adalah kita membutuhkan garis bilangan dan tandanya yaitu $ + $ atau $ - $ . Catatan : pada pembahasan artikel ini, kita hanya khusus membahas bentuk garis bilangan dan tanda pada setiap intervalnya yaitu $ + $ atau $ - $ saja. Berikut langkah-langkah umum penyelesaian pertidaksamaan untuk berbagai jenis pertidaksamaan.

Langkah-langkah umum menyelesaiakan pertidaksamaan
       Langkah - langkah berikut dapat digunakan untuk menyelesaikan semua jenis pertidaksamaan :

$\spadesuit $ Solusi Umum (HP1) :
1). Nolkan ruas kanan
2). Tentukan akar-akar (pembuat nolnya) dari pertidaksamaan dengan cara mengubah ketaksamaan menjadi sama dengan (=) lalu difaktorkan.
3). Tuliskan akar-akar pada garis bilangan dan tentukan tanda setiap intervalnya ( $+$ atau $ - $ setiap daerah)
4). Arsir daerah yang sesuai ( $ > $ untuk $ + $ , dan $ < $ untuk $ - $ )
5). Tulis himpunan penyelesaiannya (HP1)

$ \spadesuit $ Solusi syarat-syarat jika ada ( HP2 ).
*). caranya sama dengan solusi umum di atas
*). solusi syarat biasanya ada pada pertidaksamaan pecahan, bentuk akar, dan logaritma.

$\spadesuit $ Solusi totalnya adalah irisan HP1 dan HP2
         Seperti yang kita ketahui bersama, jenis-jenis pertidaksamaan ada banyak, diantaranya yaitu Pertidaksamaan linear, pertidaksamaan kuadrat, pertidaksamaan pecahan (rasional), pertidaksamaan bentuk akar (irrasional), pertidaksamaan nilai mutlak, pertidaksamaan eksponen, pertidaksamaan logaritma, pertidaksamaan trigonometri, dan pertidaksamaan dalam bentuk kombinasinya (gabungan beberapa jenis pertidaksamaan). Nah, ternyata Cara Menentukan Tanda + atau - pada Garis Bilangan sama semua, termasuk cara penyelesaiannya mengikuti langkah-langkah umum di atas. Berikut Cara Menentukan Tanda + atau - pada Garis Bilangan secara lebih mendalam dengan berbagai bentuk atau jenis pertidaksamaan.

Cara menentukan tanda $+$ atau $ - $ pada garis bilangan
       Untuk menentukan tanda $ + $ atau $ - $ pada garis bilangan, nolkan ruas kanan pertidaksamaan, kemudian pilih angka dari selang yang terbentuk pada garis bilangan dan substitusikan ke persamaan yang terbentuk di ruas kiri.
Catatan :
*). Kami sarankan untuk memilih $ x $ yang mudah di hitung ketika kita substitusikan ke persamaannya.
*). Jangan memilih akar-akarnya sebagai titik uji.

Cara Menentukan Tanda + atau - pada Garis Bilangan yang dijelaskan di atas adalah secara garis besar yaitu kita harus mengecek satu persatu setiap intervalnya. Namun, jika intervalnya ada banyak, maka akan banyak waktu yang terbuang untuk mengecek satu persatu tanda untuk setiap intervalnya. Nah untuk memudahkan, kita akan bahas trik-trik khusus dalam Cara Menentukan Tanda + atau - pada Garis Bilangan. Kita bagi dalam dua bentuk fungsi yaitu fungsi aljabar dan fungsi trigonometri dengan pembahasannya masing-masing.

$ \spadesuit \, $ Cara Menentukan Tanda + atau - pada Garis Bilangan Pertidaksamaan Fungsi Aljabar.
       Ada dua kemungkinan tanda yang terbentuk yaitu :
1). Tanda selang-seling jika akarnya sebanyak ganjil,
2). Tanda tidak selang-seling jika akarnya sebanyak genap.
Catatan :
*). Tanda selang-seling maskudnya adalah setelah + pasti $ - $ atau sebaliknya yaitu setelah $ - $ pasti $ + $.
*). Jika teman-teman tidak yakin dengan tanda + atau $ - $ yang sudah dibuat, maka sebaiknya kita uji satu persatu intervalnya untuk memastikan tanda + atau $ - $ nya sudah benar, karena jawaban akhir kita tergantung dari benar atau salahnya garis bilangan dan tandanya.

Contoh soal Cara Menentukan Tanda + atau - pada Garis Bilangan

1). Tentukan garis bilangan dari pertidaksamaan berikut :
a). $ x(x-1)(x+3) \geq 0 $
b). $ (x+2)^2(x-5)(x+1)^3 > 0 $
c). $ (x+3)(x-1)^3(x+1)^5 \leq 0 $
d). $ (x+4)^3(x-1)^2 \geq 0 $
Penyelesaian :
a). $ x(x-1)(x+3) \geq 0 $
*). Menentukan Akar-akar pertidaksamaan:
Faktor dari $ x(x-1)(x+3) = 0 $ yaitu $ x, x - 1, x + 3 $
-). faktor I : $ x = 0 \, $ , ada satu akar (sebanyak ganjil)
-). faktor II : $ x - 1 = 0 \rightarrow x = 1 \, $ , ada satu akar (sebanyak ganjil)
-). faktor III : $ x + 3 = 0 \rightarrow x = -3 \, $ , ada satu akar (sebanyak ganjil)
*). Karena semua akar-akarnya masing-masing sebanyak ganjil, maka pasti tandanya akan selang-seling untuk interval yang bergantian. Berikut kita cek salah satu interval yang paling kiri dengan memilih $ x = -4 $.
$ x = -4 \rightarrow x(x-1)(x+3) = -4.(-4-1)(-4+3) = - \times - \times - = - $ (negatif)
Berikut gambar garis bilangannya :
Karena tanda ketaksamaannya $ \geq $ (ada sama dengannya), maka akar-akarnya ikut jadi penyelesaian sehingga pada garis bilangannya diberi bulatan penuh. Misalkan kita cek salah satu akarnya yaitu $ x = 1 $ :
$ x = 1 \rightarrow x(x-1)(x+3) \geq 0 \rightarrow 1.(1-1)(1+3) \geq 0 \rightarrow 0 \geq 0 \, $ (BENAR).

b). $ (x+2)^2(x-5)(x+1)^3 > 0 $
*). Menentukan Akar-akar pertidaksamaan:
Faktor dari $ (x+2)^2(x-5)(x+1)^3 = 0 $ yaitu $ (x+2)^2, (x-5), (x+1)^3 $
-). faktor I : $ (x+2)^2 = 0 \rightarrow (x+2)(x+2) = 0 \rightarrow x = -2 , x = -2 $,
ada dua akar (sebanyak genap) sehingga interval kiri dan kanannya tidak selang-seling.
-). faktor II : $ (x-5) = 0 \rightarrow x = 5 \, $ ,
ada satu akar (sebanyak ganjil) sehingga interval kiri dan kanannya selang-seling.
-). faktor III : $ (x+1)^3 = 0 \rightarrow (x + 1)(x+1)(x+1) = 0 \rightarrow x = -1, x = -1, x = -1$ ,
ada tiga akar (sebanyak ganjil) sehingga interval kiri dan kanannya selang-seling.
*). Berikut kita cek salah satu interval yang memuat angka $ x = 0 $
$ x = 0 \rightarrow (x+2)^2(x-5)(x+1)^3 = (0+2)^2(0-5)(0+1)^3 = + \times - \times + = - $ (negatif)
Artinya interval yang memuat angka $ 0 $ bertanda $ - $ . Berikut gambar garis bilangannya :
Karena tanda ketaksamaannya $ > $ (tidak ada sama dengannya), maka akar-akarnya tidak ikut jadi penyelesaian sehingga pada garis bilangannya diberi bulatan kosong. Misalkan kita cek salah satu akarnya yaitu $ x = 1 $ :
$ x = -1 \rightarrow (x+2)^2(x-5)(x+1)^3 > 0 \rightarrow (-1+2)^2(-1-5)(-1+1)^3 > 0 \rightarrow 0 > 0 \, $ (SALAH).

c). $ (x+3)(x-1)^3(x+1)^5 \leq 0 $
*). Menentukan Akar-akar pertidaksamaan:
Faktor dari $ (x+3)(x-1)^3(x+1)^5 = 0 $ yaitu $ (x+3), (x-1)^3, (x+1)^5 $
-). faktor I : $ x + 3 = 0 \rightarrow x = -3 $,
ada satu akar (sebanyak ganjil) sehingga interval kiri dan kanannya selang-seling.
-). faktor II : $ (x-1)^3 = 0 \rightarrow x = 1, x = 1, x = 1 \, $ ,
ada tiga akar (sebanyak ganjil) sehingga interval kiri dan kanannya selang-seling.
-). faktor III : $ (x+1)^5 = 0 \rightarrow x = -1, x = -1, x = -1, x = -1, x = -1 $ ,
ada lima akar (sebanyak ganjil) sehingga interval kiri dan kanannya selang-seling.
*). Berikut kita cek salah satu interval yang memuat angka $ x = 0 $
$ x = 0 \rightarrow (x+3)(x-1)^3(x+1)^5 = (0+3)(0-1)^3(0+1)^5 = + \times - \times + = - $ (negatif)
Artinya interval yang memuat angka $ 0 $ bertanda $ - $ . Berikut gambar garis bilangannya :
Karena tanda ketaksamaannya $ \leq $ (ada sama dengannya), maka akar-akarnya ikut jadi penyelesaian sehingga pada garis bilangannya diberi bulatan penuh.

d). $ (x+4)^3(x-1)^2 \geq 0 $
*). Menentukan Akar-akar pertidaksamaan:
Faktor dari $ (x+4)^3(x-1)^2 = 0 $ yaitu $ (x+4)^3,(x-1)^2 $
-). faktor I : $ (x+4)^3 = 0 \rightarrow x = -4, x = -4 , x = -4 $,
ada tiga akar (sebanyak ganjil) sehingga interval kiri dan kanannya selang-seling.
-). faktor II : $ (x-1)^2 = 0 \rightarrow x = 1, x = 1 \, $ ,
ada dua akar (sebanyak genap) sehingga interval kiri dan kanannya tidak selang-seling.
*). Berikut kita cek salah satu interval yang memuat angka $ x = 0 $
$ x = 0 \rightarrow (x+4)^3(x-1)^2 = (0+4)^3(0-1)^2 = + \times + = + $ (positif)
Artinya interval yang memuat angka $ 0 $ bertanda $ + $ . Berikut gambar garis bilangannya :
Karena tanda ketaksamaannya $ \geq $ (ada sama dengannya), maka akar-akarnya ikut jadi penyelesaian sehingga pada garis bilangannya diberi bulatan penuh.
Solusi dari bentuk garis bilangannya adalah $ x \geq 1 $.

2). Tentukan bentuk garis bilangan dan tandanya dari pertidaksamaan berikut ini :
a). $ x^2(x-3)^2(x+2)^4 > 0 $
b). $ x^2(x-3)^2(x+2)^4 < 0 $
c). $ x^2(x-3)^2(x+2)^4 \geq 0 $
d). $ x^2(x-3)^2(x+2)^4 \leq 0 $
Penyelesaian :
a). $ x^2(x-3)^2(x+2)^4 > 0 $
*). Menentukan Akar-akar pertidaksamaan:
Faktor dari $ x^2(x-3)^2(x+2)^4 = 0 $ yaitu $ x^2, (x-3)^2, (x+2)^4 $
-). faktor I : $ x^2 = 0 \rightarrow x.x = 0 \rightarrow x = 0 , x = 0 $,
ada dua akar (sebanyak genap) sehingga interval kiri dan kanannya tidak selang-seling.
-). faktor II : $ (x-3)^2 = 0 \rightarrow x = 3, x = 3 \, $ ,
ada dua akar (sebanyak genap) sehingga interval kiri dan kanannya tidak selang-seling.
-). faktor III : $ (x+2)^4 = 0 \rightarrow x = -2, x = -2, x = -2 , x = -2 $ ,
ada empat akar (sebanyak genap) sehingga interval kiri dan kanannya tidak selang-seling.
*). Berikut kita cek salah satu interval yang memuat angka $ x = 1 $
$ x = 1 \rightarrow x^2(x-3)^2(x+2)^4 = 1^2(1-3)^2(1+2)^4 = + \times + \times + = + $ (positif)
Artinya interval yang memuat angka $ 1 $ bertanda $ + $ . Berikut gambar garis bilangannya :
Karena tanda ketaksamaannya $ > $ (tidak ada sama dengannya), maka akar-akarnya tidak ikut jadi penyelesaian sehingga pada garis bilangannya diberi bulatan kosong.
Solusinya adalah : $ x < -2 $ atau $ -2 < x < 0 $ atau $ 0 < x < 3 $ atau $ x > 3 $.

Contoh soal nomor 2 ini sebenarnya mirip, hanya saja tanda ketaksamaannya saja yang berbeda. Sehingga garis bilangannya mirip hanya saja yang berbeda adalah daerah arsiran dan bulatannya.

b). $ x^2(x-3)^2(x+2)^4 < 0 $
gambar garis bilangannya :

Karena tanda ketaksamaannya $ < $ (tidak ada sama dengannya), maka akar-akarnya tidak ikut jadi penyelesaian sehingga pada garis bilangannya diberi bulatan kosong.
Solusinya adalah himpunan kosong karena tidak ada interval yang bertanda $ - $ (negatif).

c). $ x^2(x-3)^2(x+2)^4 \geq 0 $
gambar garis bilangannya : 
Karena tanda ketaksamaannya $ \geq $ (ada sama dengannya), maka akar-akarnya ikut jadi penyelesaian sehingga pada garis bilangannya diberi bulatan penuh.
Solusinya adalah : $ x \in R $ (Semua nilai $ x $ memenuhi).

d). $ x^2(x-3)^2(x+2)^4 \leq 0 $
gambar garis bilangannya : 
Karena tanda ketaksamaannya $ \leq $ (ada sama dengannya), maka akar-akarnya ikut jadi penyelesaian sehingga pada garis bilangannya diberi bulatan penuh.
Solusinya adalah : $ x = -2, x = 0 , x = 3 $ (hanya akar-akarnya saja).

3). Tentukan garis bilangan dan tandanya dari pertidaksamaan berikut :
a). $ \frac{(x-1)(x+2)^2}{(x+1)^3(x-3)} \leq 0 $
b). $ \frac{(x+5)(x+3)^2}{(x+1)^2(x+3)^3} > 0 $
Penyelesaian :
a). $ \frac{(x-1)(x+2)^2}{(x+1)^3(x-3)} \leq 0 $
*). Menentukan Akar-akar pertidaksamaan:
Pembilangnya :
Faktor dari $ (x-1)(x+2)^2 = 0 $ yaitu $ (x-1), (x+2)^2 $
-). faktor I : $ (x-1) = 0 \rightarrow x = 1 $,
ada satu akar (sebanyak ganjil) sehingga interval kiri dan kanannya selang-seling.
-). faktor II : $ (x+2)^2 = 0 \rightarrow x = -2, x = -2 \, $ ,
ada dua akar (sebanyak genap) sehingga interval kiri dan kanannya tidak selang-seling.
Penyebutnya :
Faktor dari $ (x+1)^3(x-3) = 0 $ yaitu $ (x+1)^3, (x-3) $
-). faktor III : $ (x+1)^3 = 0 \rightarrow x = -1 , x = -1, x = -1 $,
ada tiga akar (sebanyak ganjil) sehingga interval kiri dan kanannya selang-seling.
-). faktor IV : $ (x-3) = 0 \rightarrow x = 3 \, $ ,
ada satu akar (sebanyak ganjil) sehingga interval kiri dan kanannya selang-seling.
*). Berikut kita cek salah satu interval yang memuat angka $ x = 1 $
$ x = 0 \rightarrow \frac{(x-1)(x+2)^2}{(x+1)^3(x-3)} = \frac{(0-1)(0+2)^2}{(0+1)^3(0-3)} = + $ (positif)
Artinya interval yang memuat angka $ 0 $ bertanda $ + $ . Berikut gambar garis bilangannya :
Karena tanda ketaksamaannya $ \leq $ (ada sama dengannya), maka akar-akarnya ikut jadi penyelesaian sehingga pada garis bilangannya diberi bulatan penuh kecuali akar-akar penyebutnya karena penyebut pecahan tidak boleh bernilai nol.

b). $ \frac{(x+5)(x+3)^2}{(x+1)^2(x+3)^3} > 0 $
*). Menentukan Akar-akar pertidaksamaan:
Pembilangnya :
Faktor dari $ (x+5)(x+3)^2 = 0 $ yaitu $ (x+5), (x+3)^2 $
-). faktor I : $ (x+5) = 0 \rightarrow x = -5 $,
ada satu akar (sebanyak ganjil) sehingga interval kiri dan kanannya selang-seling.
-). faktor II : $ (x+3)^2 = 0 \rightarrow x = -3, x = -3 $, ada dua akar
Penyebutnya :
Faktor dari $ (x+1)^2(x+3)^3 = 0 $ yaitu $ (x+1)^2, (x+3)^3 $
-). faktor III : $ (x+1)^2 = 0 \rightarrow x = -1 , x = -1 $,
ada dua akar (sebanyak genap) sehingga interval kiri dan kanannya tidak selang-seling.
-). faktor IV : $ (x+3)^3 = 0 \rightarrow x = -3, x = -3, x = -3 $ ,ada tiga akar.
Akar pembilang dan penyebut ada yang sama yaitu $ x = -3 $ yang totalnya menjadi lima akar (sebanyak ganjil) sehingga interval kiri dan kanannya selang-seling.
*). Berikut kita cek salah satu interval yang memuat angka $ x = 1 $
$ x = 0 \rightarrow \frac{(x+5)(x+3)^2}{(x+1)^2(x+3)^3} = \frac{(0+5)(0+3)^2}{(0+1)^2(0+3)^3} = + $ (positif)
Artinya interval yang memuat angka $ 0 $ bertanda $ + $ . Berikut gambar garis bilangannya :
Karena tanda ketaksamaannya $ > $ (tidak ada sama dengannya), maka akar-akarnya tidak ikut jadi penyelesaian sehingga pada garis bilangannya diberi bulatan kosong.

$ \clubsuit \, $ Cara Menentukan Tanda + atau - pada Garis Bilangan Pertidaksamaan Fungsi Trigonometri.
       Untuk pertidaksamaan yang melibatkan fungsi trigonometri, saran terbaik kami adalah sebaiknya kita cek satu persatu interval yang terbentuk karena pada pertidaksamaan trigonometri bentuk grafiknya yang periodik sehingga sulit bagi kita membuat kesimpulan tanda + atau $ - $ untuk interval-intervalnya. Jadi, teman-teman harus bersabar ya ketika menjumpai soal pertidaksamaan trigonometri. Dan demi hasil akhir yang benar, sebaiknya kita cek satu persatu intervalnya dengan substitusi $ x $ yang dipilih ke persamaan trigonometrinya. Seperti penyelesaian umum pertidaksamaan, menentukan akar-akar persamaan trigonometri agak lebih sulit dibandingkan dengan bentuk aljabar. Artinya jangan sampai sia-sia penyelesaian kita karena terjadi kesalahan pada garis bilangan dan tandanya. Silahkan baca artikelnya pada link "pertidaksamaan trigonometri". Tetap Semangad !!!^_^!!!

       Demikian pembahasan materi Cara Menentukan Tanda + atau - pada Garis Bilangan dan contoh-contohnya. Semoga artikel ini bermanfaat untuk kita semua yang lagi mempelajari materi pertidaksamaan.

2 komentar:

  1. thank you. Artikelnya sangat membantu. Keep it up!

    BalasHapus
  2. Materi ini sangat bagus sekali. Saya izin untuk menyalin ulang artikel ini dengan beberapa tambahan pribadi dari saya. Untuk menjaga amanah ilmiah, sumber dari konsep-matematika akan tetap saya cantumkan.

    Terima kasih

    BalasHapus

Catatan: Hanya anggota dari blog ini yang dapat mengirim komentar.