Pertidaksamaan Trigonometri

         Blog Koma - Pertidaksamaan Trigonometri merupakan pertidaksamaan yang memuat bentuk trigonometri seperti sin, cos, tan, sec, csc, dan cot. Yang namanya pertidaksamaan pasti akan memuat tanda ketaksamaan seperti $ >, \, \geq , \, \leq, \, $ dan $ < \, $ . Untuk memudahkan mempelajari materi pertidaksamaan trigonometri, kita harus menguasai dulu materi "penyelesaian persamaan trigonometri". Untuk bisa menyelesaikan bentuk pertidaksamaan trigonometri, maka kita harus mampu menyelesaiakan persamaan trigonometrinya dulu.

Penyelesaian Pertidaksamaan Trigonometri
       Secara garis besar, apapun jenis pertidaksamaannya, penyelesaiannya menggunakan langkah umum penyelesaian pertidaksamaan yang bisa kita baca pada materi "Pertidaksamaan secara Umum". Hanya saja kali ini pertidaksamaan yang melibatkan bentuk trigonometri yang tentu akan lebih sulit lagi.

Langkah-langkah penyelesaian pertidaksamaan trigonometri :
i). Tentukan besar sudut pembuat nolnya (akar-akarnya) dengan cara ubah semua tanda ketaksamaan menjadi persamaan ( = ), lalu sesesaikan persamaan yang terbentuk untuk mencari akar-akarnya.

ii). Semua akar-akarnya kita kita gambar pada garis bilangan dan tentukan tanda setiap daerah yang terbentuk ( + atau - ).

iii). Arsir daerah yang diminta (arsir positif kalau tanda ketaksamaannya lebih dari ( > ) atau arsir negatif kalau tanda ketaksamaannya kurang dari ( < ) ).

iv). Buat himpunan penyelesaiannya dari daerah arsiran yang terbentuk.
Contoh :
1). Tentukan himpunan penyelesaian (HP) pertidaksamaan trigonometri $ 2\sin x \leq 1 \, $ untuk interval $ 0 \leq x \leq 360^\circ $
Penyelesaian :
*). Menentukan akar-akar persamaannya
$ \begin{align} 2\sin x & \leq 1 \, \, \, \, \, \text{(bagi 2)} \\ \sin x & \leq \frac{1}{2} \\ \sin x & = \frac{1}{2} \\ x & = \{ -210^\circ , \, 30^\circ , \, 150^\circ , \, 390^\circ \} \end{align} $

Nilai $ x \, $ yang kita ambil adalah yang mendekati interval yang diminta ($ 0 \leq x \leq 360^\circ $ ) .
*). Buat garis bilangan dan menentukan tandanya
Cek tanda ( + atau - ) : dengan uji titik ( dalam trigonometri adalah sudutnya) .
Daerah $ -210^\circ \leq x \leq 30^\circ \, $ kita pilih nilai $ x = 0^\circ $ , lalu kita uji ke pertidaksamaan :
$ 2\sin x \leq 1 \rightarrow 2\sin x - 1 \leq 0 $
$ x = 0^\circ \rightarrow 2\sin x - 1 = 2\sin 0^\circ - 1 = 2.0 -1 = -1 \, $ (hasilnya negatif).
Karena ketika $ x = 0^\circ \, $ kita uji dan nilainya negatif, maka daerah interval $ -210^\circ \leq x \leq 30^\circ \, $ bernilai negatif. Dan untuk daerah interval yang lainnya, tandanya selang-seling dengan patokan daerah interval $ -210^\circ \leq x \leq 30^\circ $ .
*). Daerah yang diarsir adalah daerah bertanda negatif karena yang diminta adalah kurang dari ( $ \leq $ ) .
*). Menentukan himpunan penyelesaian :
$ HP_1 = \{ -210^\circ \leq x \leq 30^\circ \vee 150^\circ \leq x \leq 390^\circ \} $
Tapi yang diminta adalah interval $ x \, $ yaitu : $ 0^\circ \leq x \leq 360^\circ $
Sehingga solusinya adalah irisan dari $ HP_1 $ dan syarat interval $ 0^\circ \leq x \leq 360^\circ $
$ HP = HP_1 \cup \{ 0^\circ \leq x \leq 360^\circ\} = \{ 0^\circ \leq x \leq 30^\circ \vee 150^\circ \leq x \leq 360^\circ \} $
irisan masksudnya himpunan yang memenuhi kedua himpunan, untuk lebih lengkapnya, silahkan baca materi irisan pada artikel "Pertidaksamaan secara Umum".
Jadi, solusinya adalah $ HP = \{ 0^\circ \leq x \leq 30^\circ \vee 150^\circ \leq x \leq 360^\circ \} $

2). Himpunan penyelesaian dari $ 2\cos ^2 x < 3\sin x + 3 \, $ pada interval $ 0 \leq x \leq 2\pi \, $ adalah ...?
Penyelesaian :
*). Gunakan identitas untuk menyamakan trigonometrinya yaitu :
$ \sin ^2 x + \cos ^2 x = 1 \rightarrow \cos ^2 x = 1 - \sin ^2 x $
*). Menentukan akar-akarnya :
$ \begin{align} 2\cos ^2 x & < 3\sin x + 3 \\ 2( 1 - \sin ^2 x ) & < 3\sin x + 3 \\ 2 - 2 \sin ^2 x & < 3\sin x + 3 \\ 2 - 2 \sin ^2 x - 3\sin x - 3 & < 0 \\ - 2 \sin ^2 x - 3\sin x - 1 & < 0 \, \, \, \, \, \, \text{(kali -1, tanda dibalik)} \\ 2 \sin ^2 x + 3\sin x + 1 & > 0 \\ 2 \sin ^2 x + 3\sin x + 1 & = 0 \\ (2 \sin x + 1) ( \sin x + 1) & = 0 \\ (2 \sin x + 1) = 0 \vee ( \sin x + 1) & = 0 \\ \sin x = - \frac{1}{2} \vee \sin x & = -1 \end{align} $
*). Disini kita langsung menentukan besar sudut yang memenuhi persamaan :
$ \sin x = - \frac{1}{2} \rightarrow x = -30^\circ = -\frac{\pi}{6} , \, x = 210^\circ = \frac{7\pi}{6} , \, x = 330^\circ = \frac{11\pi}{6} , \, x = 570^\circ = \frac{19\pi}{6}$
$ \sin x = - 1 \rightarrow x = 270^\circ = \frac{3\pi}{2} $
Akar-akar yang kita pilih yang berdekatan dengan interval $ 0 \leq x \leq 2\pi $
*). Menentukan garis bilangan, tanda , dan arsirannya.
Cek $ x = 0^\circ \rightarrow 2 \sin ^2 x + 3\sin x + 1 = 2 \sin ^2 0^\circ + 3\sin 0^\circ + 1 = 1 \, $ (positif)
Cek $ x = \frac{8\pi}{6} = 240^\circ \rightarrow 2 \sin ^2 x + 3\sin x + 1 = 2 \sin ^2 240^\circ + 3\sin 240^\circ + 1 = -0,098 \, $ (negatif)
Cek $ x = \frac{10\pi}{6} = 300^\circ \rightarrow 2 \sin ^2 x + 3\sin x + 1 = 2 \sin ^2 300^\circ + 3\sin 300^\circ + 1 = -0,098 \, $ (negatif)
Cek $ x = 2\pi = 360^\circ \rightarrow 2 \sin ^2 x + 3\sin x + 1 = 2 \sin ^2 360^\circ + 3\sin 360^\circ + 1 = 1 \, $ (positif)
Yang di arsir daerah bertanda positif karena permintaannya lebih dari ( > ).
*). Dari daerah yang diarsir dan interval $ 0 \leq x \leq 2\pi \, $ , maka solusinya adalah $ HP = \{0^\circ \leq x < \frac{7\pi}{6} \vee \frac{11\pi}{6} < x \leq 2\pi \} $
Jadi, solusinya : $ HP = \{0^\circ \leq x < \frac{7\pi}{6} \vee \frac{11\pi}{6} < x \leq 2\pi \}$

Catatan :
Untuk menentukan tanda pada garis bilangan terutama pada pertidaksamaan trigonometri, kita harus lebih teliti lagi karena terkadang ada beberapa daerah memiliki tanda yang sama seperti pada contoh nomor 2 di atas.

11 komentar:

  1. kenapa koq ada -210 dan 390 di soal awal ya? bukannya seharusnya cuma 30,150 aja? tolong beri penjelasannya....

    BalasHapus
    Balasan
    1. nilai $ x \, $ yang memenuhi $ \sin x = \frac{1}{2} \, $ diantaranya $ 30^\circ \, $ dan $ 150^\circ \, $. Namun kita harus ingat, fungsi trigonometri itu periodik, artinya ada tak hingga banyaknya penyelesaian. Coba saja baca materi persamaan trigonometri.

      akar-akar yang kita ambil dari $ \sin x = \frac{1}{2} \, $ adalah akar-akar sekitar daerah $ 0^\circ \, $ sampai $ 360^\circ \, $ dimana termasuk sudut diluarnya yaitu $ -210^\circ \, $ dan $ 390^circ $.

      Intinya kita ambil semua akar-akar dari persamaan yang ada, tapi kita usahakan yang berdekatan atau disekitar interval yang diminta. Seperti itu penjelasannya.
      Terima kasih untuk kunjungannya ke blog koma ini.

      Hapus
  2. Contoh nomor dua kayanya salah tuh

    BalasHapus
    Balasan
    1. hallow @farhan,

      Terimakasih untuk koreksinya, ini sangat membantu dalam perbaikan materi artikel di blog koma ini.

      Sudah kami perbaiki kesalahannya, yaitu dengan mengganti tanda ketaksamaan pada soal aslinya agar tidak mengubah daerah arsiran pada garis bilangannya.

      Terimakasih untuk kunjungannya ke blog koma ini.

      Selamat belajar.

      Hapus
    2. Mohon maaf mas, apakah selalu +, - plus garis bilangannya? Karena kalo ikutin jawaban mas, ternyata 5/6 pi itu tidak memenuhi jawaban

      Hapus
    3. Hallow @farhan,

      Coba cek ke pertidaksamaan awalnya, untuk $ x = \frac{5}{6}\pi = 150^\circ $ pasti memenuhi.

      $ \begin{align}
      2\cos ^2 x < 3\sin x + 3 \\
      2 \cos ^2 150^\circ < 3 \sin 150^\circ + 3 \\
      2(-\frac{1}{2}\sqrt{3})^2 < 3.\frac{1}{2} + 3 \\
      \frac{3}{2} < \frac{3}{2} + 3 \, \, \, \text{(BENAR)}
      \end{align} $

      Untuk tanda $ + $ atau $ - $, biasanya pada garis bilangan selalu selang-seling (bergantian) sehingga cukup kita cek satu daerah saja. Tanda $ + $ atau $ - $ tidak akan selang-seling jika terdapat akar-akar sama yang banyaknya genap. Namun jika akar-akar sama yang kita peroleh sebanyak ganjil, maka tanda $ + $ atau $ - $ nya pasti selang seling lagi. Ini berlaku untuk semua jenis pertidaksamaan yang menggunakan garis bilangan.

      Seperti itu pembahasannya.

      Apakah mungkin saya harus membuat artikel khusus yang membahas tentang tanda $ + $ atau $ - $ pada garis blangan untuk pertidaksamaan? Menurut @farhan perlu atau tidak? Siapa tahu teman-teman yang lainnya juga benar-benar butuh materi ini secara lebih mendalam!

      Terimakasih untuk kunjungannya ke blog koma ini.

      Hapus
  3. Sorry bukan 150° tapi 10π/6 atau 300°, memenuhi ga pak?

    x = 300°

    2 cos²300° < 3.sin300° + 3
    2 (1/4) < 3. -1/2 √3 + 3
    0,5 < 0,401 (salah)
    Padahal di interval hp 300° temasuj jawaban yang memenuhi

    BalasHapus
    Balasan
    1. Hallow @farhan,

      hehehehehe, iya ya, kalau kita cek $ x = 300^\circ $ ternyata tidak memenuhi pertidaksamaan pada soal.

      Terimakasih untuk koreksinya yang mendalam, saya sangat apresiasi ada pembaca seperti @farhan. Saya berharap pembaca yang lainnya juga bisa sekritis @farhan karena ini sangat membantu dalam perbaikan isi blog koma ini.

      Sudah saya cek lagi dan sudah saya perbaiki. Jika ada kekurangan atau kesalahan yang lainnya, mohon untuk dikoreksi ya, termasuk untuk artikel lainnya juga di blog koma ini.

      Terimakasih untuk kunjungannya ke blog koma.
      Tetap semangat belajar.

      Hapus
  4. Misalnya ada soal

    2cos² > 3sinx + 3

    Maka :
    2(1-sin²x) - 3sinx - 3 > 0
    2 - 2sin²x - 3sinx - 3 > 0
    -2sin²x - 3sinx - 1 > 0
    2sin²x + 3sinx + 1 < 0
    (sin x + 1) (2 sin x + 1) < 0
    -1 < sin x < -1/2

    Maka hp nya
    7π/6 < x < 3π/2 atau 3π/2 < x < 11π/6

    Berarti selang seling tanda plus dan minus ga berlaku??

    Mohon pencerahannya
    Terima kasih

    BalasHapus
    Balasan
    1. Solusinya benar pada interval $ 0 \leq x \leq 2\pi $.

      Iya, biasanya tanda + atau $ - $ itu selang-seling. Namun tidak berlaku untuk semua jenis pertidaksamaan. Salah satunya di pertidaksamaan trigonometri pada contoh 2 ini. Jika di aljabar, selang-seling tidak berlaku jika terdapat akar-akar yang kembar sebanyak genap.

      Berarti menurut saya, saya akan buat artikel yang berkaitan dengan menentukan tanda + atau $ - $ pada garis bilangan, karena ini penting untuk penyelesaian akhir yang benar pada pertidaksamaan.

      Hapus
    2. Terima kasih pak, di tunggu konsep garis bilangan untuk penyelesaian akhir pertidaksamaan trigonometri

      Hapus