Menentukan Titik Berat Segitiga

         Blog Koma - Pada artikel ini kita akan membahas materi Menentukan Titik Berat Segitiga. Pada segitiga terdapat garis-garis istimewa seperti garis sumbu, garis tinggi, garis bagi, dan garis berat, dimana rumus-rumus panjangnya bisa teman-teman baca pada artikel "Panjang Garis-garis Istimewa pada Segitiga" serta pembuktiannya pada artikel "Panjang Garis Berat pada Segitiga dan Pembuktiannya". Garis berat segitiga ada tiga yang ditarik dari masing-masing ketiga titik sudut segitiga. Perpotongan ketiga garis berat tersebut pada sebuah titik disebut titik berat segitiga. Bagaimana cara Menentukan Titik Berat Segitiga tersebut? Untuk Menentukan Titik Berat Segitiga, salah satunya menggunakan penerapan materi vektor yaitu "perbandingan vektor pada ruas garis". Hal-hal yang harus kita kuasai untuk mempermudah mempelajari materi Menentukan Titik Berat Segitiga ini yaitu "pengertian vektor", "panjang vektor", "vektor posisi", "kesamaan dua vektor, sejajar, dan segaris (kelipatan)", "penjumlahan dan pengurangan vektor", dan "perkalian vektor dengan skalar".

Peengertian garis berat dan titik berat

$ \spadesuit \, $ Pengertian garis berat segitiga
       Garis berat sebuah segitiga adalah garis yang melalui sebuah titik sudut dan membagi sisi didepan sudut menjadi dua bagian sama panjang. Pada gambar di atas, yang termasuk garis berat adalah garis AE, garis BD, dan garis CF.

$ \spadesuit \, $ Pengertian titik berat segitiga
       Titik berat segitiga adalah titik perpotongan antara ketiga garis berat segitiga. Pada gambar di atas, titik P adalah titik berat segitiga ABC.

Perbandingan ruas garis pada titik berat segitiga

       Perhatikan ilustrasi gambar di atas, masing-masing garis berat terhadap titik berat (titik P) memiliki perbandingan $ 2 : 1 $ yaitu $ AP : PE = 2 : 1 $ , $ BP : PD = 2 : 1 $, dan $ CP : PF = 2 : 1 $.

Rumus menentukan titik berat segitiga

$ \clubsuit \, $ Vektor di R$^2$
       Misalkan terdapat segitiga ABC dengan koordinat masing-masing titik sudutnya $ A(x_1,y_1) $ , $ B(x_2,y_2) $ , dan $ C(x_3,y_3) $. Titik berat segitiga ABC dapat kita tentukan dengan rumus :
Titik berat $ = \left( \frac{x_1+x_2+x_3}{3} , \frac{y_1+y_2+y_3}{3} \right) $

$ \clubsuit \, $ Vektor di R$^3$
       Misalkan terdapat segitiga ABC dengan koordinat masing-masing titik sudutnya $ A(x_1,y_1,z_1) $ , $ B(x_2,y_2,z_2) $ , dan $ C(x_3,y_3,z_3) $. Titik berat segitiga ABC dapat kita tentukan dengan rumus :
Titik berat $ = \left( \frac{x_1+x_2+x_3}{3} , \frac{y_1+y_2+y_3}{3} , \frac{z_1+z_2+z_3}{3} \right) $

Catatan :
Untuk pembuktian teori di atas, silahkan teman-teman lihat di bagian bawah setelah contoh-contoh soalnya.

Contoh soal Menentukan Titik Berat Segitiga :

1). Tentukan koordinat titik berat segitiga ABC dengan koordinat masing-masing titik sudut $ A(-1,2) $ , $ B(3, -2) $ , dan $ C(1,6) $ !
Penyelesaian :
*). Titik berat $ \Delta$ABC yaitu :
$ \begin{align} \text{Titik berat } & = \left( \frac{x_1+x_2+x_3}{3} , \frac{y_1+y_2+y_3}{3} \right) \\ & = \left( \frac{-1 + 3 + 1}{3} , \frac{2 + (-2) + 6}{3} \right) \\ & = \left( \frac{3}{3} , \frac{6}{3} \right) \\ & = \left( 1 , 2 \right) \end{align} $
Jadi, titik berat segitiga ABC adalah $ (1,2 ) . \, \heartsuit $.

2). Diketahui $ \Delta$PQR dengan koordinat titik sudut $ P(1, -2,3) $ , $ Q(5, 1, -1) $ , dan $ R(-3, -5, 4) $. Tentukan koordinat titik berat segitiga PQR tersebut!
Penyelesaian :
$ \begin{align} \text{Titik berat } & = \left( \frac{x_1+x_2+x_3}{3} , \frac{y_1+y_2+y_3}{3} , \frac{z_1+z_2+z_3}{3} \right) \\ & = \left( \frac{1 + 5 + (-3)}{3} , \frac{-2 + 1 + (-5)}{3} , \frac{3 + (-1) + 4}{3} \right) \\ & = \left( \frac{3}{3} , \frac{-6}{3} , \frac{6}{3} \right) \\ & = \left( 1 , -2 , 2 \right) \end{align} $
Jadi, titik berat segitiga PQR adalah $ (1 , -2 , 2 ) . \, \heartsuit $.

3). Segitiga KLM memiliki titik sudut $ K(p,1,2) $, $ L(1, q, -1) $ , dan $ M(3, 0 , r) $. Jika titik berat segitiga KLM adalah $ (1,1,-1) $ , maka tentukan koordinat titik sudut K, L, dan M serta tentukan nilai $ ( p + 2q + r)^{2017} $!
Penyelesaian :
*). Menentukan nilai $ p , q, r $ dari titik beratnya :
$ \begin{align} \text{Titik berat } & = (1,1,-1) \\ \left( \frac{x_1+x_2+x_3}{3} , \frac{y_1+y_2+y_3}{3} , \frac{z_1+z_2+z_3}{3} \right) & = (1,1,-1) \\ \left( \frac{p+1+3}{3} , \frac{1+q+0}{3} , \frac{2+ (-1) + r}{3} \right) & = (1,1,-1) \\ \left( \frac{p+4}{3} , \frac{1+q}{3} , \frac{1 + r}{3} \right) & = (1,1,-1) \end{align} $
*). Dari kesamaan dua buah vektor, kita peroleh :
$ \frac{p+4}{3} = 1 \rightarrow p + 4 = 3 \rightarrow p = -1 $
$ \frac{1+q}{3} = 1 \rightarrow 1 + q = 3 \rightarrow q = 2 $
$ \frac{1 + r}{3} = -1 \rightarrow 1 + r = -3 \rightarrow r = -4 $
Sehingga koordinat masing-masing titik sudut segitiga KLM yaitu :
$ K(p,1,2) = (-1,1,2) $ , $ L(1, q, -1) = (1, 2, -1) $, dan $ M(3, 0 , r) = (3, 0 , -4) $.
*). Menentukan nilai $ ( p + 2q + r)^{2017} $ :
$ ( p + 2q + r)^{2017} = ( -1 + 2.2 + (-4))^{2017} = (-1)^{2017} = -1 $.
Jadi, nilai $ ( p + 2q + r)^{2017} = -1 . \, \heartsuit $

4). Diketahui persegipanajng ABCD dengan $ A(0,0) $ , $ B(3,0) $ , $ C(3,6) $ , dan $ D(0,6) $. Jika titik P adalah titik berat segitiga ABC dan titik Q adalah titik berat segitiga ACD, maka tentukan :
a). Panjang PQ,
b). Apakah titik P dan Q terletak pada bidang diagonal BD?
Penyelesaian :
*). Ilustrasi gambar.

a). Panjang PQ,
-). Menentukan titik berat segitiga ABC :
$ \begin{align} \text{Titik berat } & = \left( \frac{x_1+x_2+x_3}{3} , \frac{y_1+y_2+y_3}{3} \right) \\ & = \left( \frac{0 + 3 + 3}{3} , \frac{0 + 0 + 6}{3} \right) \\ & = \left( \frac{6}{3} , \frac{6}{3} \right) \\ & = \left( 2 , 2 \right) \end{align} $
sehingga titik P(2,2)
-). Menentukan titik berat segitiga ACD :
$ \begin{align} \text{Titik berat } & = \left( \frac{x_1+x_2+x_3}{3} , \frac{y_1+y_2+y_3}{3} \right) \\ & = \left( \frac{0 + 3 + 0}{3} , \frac{0 + 6 + 6}{3} \right) \\ & = \left( \frac{3}{3} , \frac{12}{3} \right) \\ & = \left( 1 , 4 \right) \end{align} $
sehingga titik Q(1,4)
-). Menentukan panjang PQ dimana P(2,2) dan Q(1,4) :
$ |PQ| = \sqrt{(1-2)^2 + (4-2)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5} $.
Jadi, panjang PQ adalah $ \sqrt{5} \, $ satuan panjang.

b). Apakah titik P dan Q terletak pada bidang diagonal BD?
*). Untuk mengetahui terletak atau tidaknya titik pada sebuah garis, cuku kita cek apakah titik-titik tersebut segaris (kolinear) atau tidak. Titik K, L , dan M segaris jika $ \vec{KL} = k \vec{LM} $ (salah satu vektor adalah kelipatan dari vektor yang lainnya).
-). Apakah titik $ B(3,0) $ , $ P(2,2) $ dan $ D(0,6) $ segaris? mari kita cek :
$ \begin{align} \vec{BP} & = k \vec{PD} \\ \vec{p} - \vec{b} & = k ( \vec{d} - \vec{p} ) \\ (2,2) - (3,0) & = k ( (0,6) - (2,2) ) \\ (-1, 2) & = k ( -2 , 4 ) \\ (-1, 2) & = ( -2k , 4k ) \end{align} $
Kita peroleh :
$ -2k = -1 \rightarrow k = \frac{1}{2} $
$ 4k = 2 \rightarrow k = \frac{1}{2} $
Karena terdapat nilai $ k $ yang sama maka berlaku $ \vec{BP} = k \vec{PD} \rightarrow \vec{BP} = \frac{1}{2} \vec{PD} $ , sehingga titik P segaris dengan titik B dan D, artinya titik berat P terletak pada bidang diagonal BD.
-). Apakah titik $ B(3,0) $ , $ Q(1,4) $ dan $ D(0,6) $ segaris? mari kita cek :
$ \begin{align} \vec{BQ} & = n \vec{QD} \\ \vec{q} - \vec{b} & = n ( \vec{d} - \vec{q} ) \\ (1,4) - (3,0) & = n ( (0,6) - (1,4) ) \\ (-2, 4) & = n ( -1 , 2 ) \\ (-2, 4) & = ( -n , 2n ) \end{align} $
Kita peroleh :
$ -n = -2 \rightarrow n = 2 $
$ 2n = 4 \rightarrow n = 2 $
Karena terdapat nilai $ n $ yang sama maka berlaku $ \vec{BQ} = n \vec{QD} \rightarrow \vec{BQ} = 2 \vec{QD} $ , sehingga titik Q segaris dengan titik B dan D, artinya titik berat Q terletak pada bidang diagonal BD.
Jadi, kesimpulannya titik berat P dan Q terletak pada bidang diagonal BD.

$ \spadesuit \, $ Pembuktian Perbandingan ruas garis pada titik berat segitiga
*). Perhatikan ilustrasi gambar berikut.

*). Untuk menentukan perbandingan garis yang diminta, kita akan kerjakan dengan menggunakan konsep perbandingan vektor.
*). Dengan konsep titik-titik segaris (kolinear) , kita peroleh :
Misalkan $ \vec{AB} = \vec{q} $ dan $ \vec{AC} = \vec{p} $.
$ \vec{AF} = \frac{1}{2}\vec{AB} = \frac{1}{3}\vec{q} $ dan $ \vec{AD} = \frac{1}{2}\vec{AC} = \frac{1}{2}\vec{p} $.
-). Vektor $\vec{FP} $ segaris dengan $ \vec{FC} $ sehingga berlaku kelipatan :
$ \vec{FP} = n\vec{FC} \rightarrow \frac{\vec{FP}}{\vec{FC}} = \frac{n}{1} $ sehingga $ \frac{\vec{FP}}{\vec{PC}} = \frac{n}{1-n} $
-). Vektor $\vec{DP} $ segaris dengan $ \vec{DB} $ sehingga berlaku kelipatan :
$ \vec{DP} = m\vec{DB} \rightarrow \frac{\vec{DP}}{\vec{DB}} = \frac{m}{1} $ sehingga $ \frac{\vec{DP}}{\vec{PB}} = \frac{m}{1-m} $
-). Vektor $\vec{AP} $ segaris dengan $ \vec{AE} $ sehingga berlaku kelipatan :
$ \vec{AP} = x\vec{AE} \rightarrow \frac{\vec{AP}}{\vec{AE}} = \frac{x}{1} $ sehingga $ \frac{\vec{AP}}{\vec{PE}} = \frac{x}{1-x} $
*). Menentukan vektor $ \vec{AP} $ dari $ \vec{FP}:\vec{PC} = n : 1-n $
$ \vec{AP} = \frac{n\vec{AC} + (1-n)\vec{AF}}{n + (1-n)} = \frac{n\vec{p} + (1-n).\frac{1}{2}\vec{q}}{1} = n\vec{p} + \frac{1-n}{2}\vec{q} $.
*). Menentukan vektor $ \vec{AP} $ dari $ \vec{DP}:\vec{PB} = m : 1-m $
$ \vec{AP} = \frac{m\vec{AB} + (1-m)\vec{AD}}{m + (1-m)} = \frac{m\vec{q} + (1-m).\frac{1}{2}\vec{p}}{1} = m\vec{q} + \frac{1-m}{2}\vec{p} $.
*). Menentukan vektor $ \vec{AP} $ dari $ \vec{BE}:\vec{EC} = 1 : 1 $
$ \vec{AP} = x \vec{AE} = x \frac{\vec{AB} + \vec{AC}}{1 + 1} = x\frac{\vec{q} + \vec{p}}{2} = \frac{x}{2}\vec{q} + \frac{x}{2}\vec{p} $.
*). Ketiga bentuk vektor $ \vec{AP} $ di atas sama yaitu :
$ \vec{AP} = n\vec{p} + \frac{1-n}{2}\vec{q} \, $ .... (i)
$ \vec{AP} = m\vec{q} + \frac{1-m}{2}\vec{p} \, $ .... (ii)
$ \vec{AP} = \frac{x}{2}\vec{q} + \frac{x}{2}\vec{p} \, $ .... (iii)
*). Menentukan nilai $ n , m , x $ dengan menyamakan koefisien vektor sejenis :
-). Bentuk (i) dan (iii) :
Koefisien $ \vec{p} \rightarrow n = \frac{x}{2} $
Koefisien $ \vec{q} \rightarrow \frac{1-n}{2} = \frac{x}{2} $
Artinya $ n = \frac{1-n}{2} \rightarrow 2n = 1- n \rightarrow 3n = 1 \rightarrow n = \frac{1}{3} $.
Nilai $ \frac{x}{2} = n \rightarrow \frac{x}{2} = \frac{1}{3} \rightarrow x = \frac{2}{3} $.
-). Pers(ii) dan (iii) dan gunakan $ x = \frac{2}{3} $ :
Koefisien $ \vec{q} \rightarrow m = \frac{x}{2} \rightarrow m = \frac{\frac{2}{3} }{2} = \frac{1}{3} $
Sehingga kita peroleh nilai :
$ n = \frac{1}{3}, m = \frac{1}{3} $ , dan $ x = \frac{2}{3} $
*). Menentukan perbandingan yang diminta :
$ \vec{AP}:\vec{PE} = x : 1-x = \frac{2}{3} : 1 - \frac{2}{3} = \frac{2}{3} : \frac{1}{3} = 2 : 1 $
$ \vec{BP}:\vec{PD} = 1 - m : m = 1 - \frac{1}{3} : \frac{1}{3} = \frac{2}{3} : \frac{1}{3} = 2 : 1 $
$ \vec{CP}:\vec{PF} = 1 - n : n = 1 - \frac{1}{3} : \frac{1}{3} = \frac{2}{3} : \frac{1}{3} = 2 : 1 $
Jadi, kita peroleh perbandingan $ AP : PE = 2 : 1 $ , $ BP : PD = 2 : 1 $, dan $ CP : PF = 2 : 1 $.

$ \clubsuit \, $ Pembuktian Rumus menentukan titik berat segitiga
       Misalkan titik A, B, C, P, dan E memiliki vektor posisi masing-masing $ \vec{a} $, $ \vec{b} $ , $ \vec{c} $ , $ \vec{p} $ , dan $ \vec{e} $ .
Paerhatikan gambar berikut :

-). Perhatikan perbandingan $ \vec{BE}:\vec{EC} = 1 : 1 $ , sehingga
$ \vec{e} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2} $.
-). $\vec{AP} $ dan $ \vec{AE} $ segaris, sehingga :
$ \begin{align} \vec{AP} & = \frac{2}{3}\vec{AE} \\ \vec{p} - \vec{a} & = \frac{2}{3}( \vec{e} - \vec{a}) \\ \vec{p} & = \frac{2}{3} \vec{e} - \frac{2}{3}\vec{a} + \vec{a} \\ & = \frac{2}{3} . \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2} + \frac{1}{3}\vec{a} \\ & = \frac{1}{3} (\vec{b} + \vec{c}) + \frac{1}{3}\vec{a} \\ & = \frac{1}{3} (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) \end{align} $
Sehingga vektor posisi titik beratnya : $ \vec{p} = \frac{1}{3} (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) $.

-). Vektor di R$^2$
       Misalkan terdapat segitiga ABC dengan koordinat masing-masing titik sudutnya $ A(x_1,y_1) $ , $ B(x_2,y_2) $ , dan $ C(x_3,y_3) $. RUmus titik berat segitiganya :
$ \begin{align} \vec{p} & = \frac{1}{3} (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) \\ & = \frac{1}{3} ((x_1,y_1) + (x_2,y_2) + (x_3,y_3)) \\ & = \frac{1}{3} (x_1+ x_2 + x_3,y_1+y_2+y_3) \\ & = \left( \frac{x_1+x_2+x_3}{3} , \frac{y_1+y_2+y_3}{3} \right) \end{align} $
Jadi, terbukti bahwa rumus titik berat adalah
Titik berat $ = \left( \frac{x_1+x_2+x_3}{3} , \frac{y_1+y_2+y_3}{3} \right) $

-). Vektor di R$^3$
       Misalkan terdapat segitiga ABC dengan koordinat masing-masing titik sudutnya $ A(x_1,y_1,z_1) $ , $ B(x_2,y_2,z_2) $ , dan $ C(x_3,y_3,z_3) $. RUmus titik berat segitiganya :
$ \begin{align} \vec{p} & = \frac{1}{3} (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) \\ & = \frac{1}{3} ((x_1,y_1,z_1) + (x_2,y_2,z_2) + (x_3,y_3,z_3)) \\ & = \frac{1}{3} (x_1+ x_2 + x_3,y_1+y_2+y_3, z_1 + z_2 + z_3) \\ & = \left( \frac{x_1+x_2+x_3}{3} , \frac{y_1+y_2+y_3}{3} , \frac{z_1+z_2+z_3}{3} \right) \end{align} $
Jadi, terbukti bahwa rumus titik berat adalah
Titik berat $ = \left( \frac{x_1+x_2+x_3}{3} , \frac{y_1+y_2+y_3}{3} , \frac{z_1+z_2+z_3}{3} \right) $

       Demikian pembahasan materi Menentukan Titik Berat Segitiga dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan aplikasi vektor yaitu "pembuktian dalil Menelaus dan Ceva dengan Vektor".