Untuk memudahkan dalam mempelajari materi Kedudukan Titik terhadap Hiperbola, kita harus menguasai beberapa materi inti seperti "persamaan Hiperbola", dan "penyelesaian pertidaksamaan". Untuk lebih lengkapnya, mari kita bahas syarat apa saja untuk mengetahui jenis masing-masing kedudukan titik terhadap Hiperbola berikut ini.
Syarat Kedudukan Titik terhadap Hiperbola
Untuk mengetahui Kedudukan Titik terhadap Hiperbola, kita
substitusi titik tersebut ke persamaan Hiperbolanya sehingga akan kita peroleh tiga kemungkinan yaitu :
1). Jika nilai ruas kiri $ < $ ruas kanan (lebih kecil), maka titik ada di luar Hiperbola,
2). Jika nilai ruas kiri $ = $ ruas kanan, maka titik ada pada Hiperbola (titik dilalui oleh Hiperbola),
3). Jika nilai ruas kiri $ > $ ruas kanan (lebih besar), maka titik ada di dalam Hiperbola.
1). Jika nilai ruas kiri $ < $ ruas kanan (lebih kecil), maka titik ada di luar Hiperbola,
2). Jika nilai ruas kiri $ = $ ruas kanan, maka titik ada pada Hiperbola (titik dilalui oleh Hiperbola),
3). Jika nilai ruas kiri $ > $ ruas kanan (lebih besar), maka titik ada di dalam Hiperbola.
Bentuk persamaan Hiperbolanya harus memenuhi bentuk umumnya, setelah itu baru bisa kita substitusi titik yang mau kita cek kedudukannya terhadap Hiperbola tersebut. Bentuk yang dimaksud adalah $ \frac{(x-p)^2}{a^2} - \frac{(y-q)^2}{b^2} = 1 $ atau $ -\frac{(x-p)^2}{b^2}+ \frac{(y-q)^2}{a^2} = 1 $ atau $ Ax^2 - By^2 + Cx + Dy + E = 0 $ atau $ -Ax^2 + By^2 + Cx + Dy + E = 0 $.
Contoh Soal Kedudukan Titik terhadap Hiperbola :
1). Tentukan kedudukan titik $ (2,-1) $ terhadap Hiperbola $ \frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1 $!
Penyelesaian :
*). Substitusi titik $ (2,-1) $ ke persamaan Hiperbola :
$ \begin{align} (x,y)=(2,-1) \rightarrow \frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} & = 1 \\ \frac{2^2}{9} - \frac{(-1)^2}{16} & ... 1 \\ \frac{4}{9} - \frac{1}{16} & ... 1 \\ \frac{55}{144} & ... 1 \\ \frac{55}{144} & < 1 \end{align} $
Karena ruas kiri $ < $ ruas kanan ( $ \frac{55}{144} < 1 $) , maka titik $ (2,-1) $ ada di luar Hiperbola. Berikut ilustrasi gambarnya,
2). Tentukan kedudukan titik $ (1,3) $ terhadap Hiperbola $ -\frac{(x-1)^2}{16} + \frac{(y+2)^2}{25} = 1 $!
Penyelesaian :
*). Substitusi titik $ (1,3) $ ke persamaan Hiperbola :
$ \begin{align} (x,y)=(1,3) \rightarrow -\frac{(x-1)^2}{16} + \frac{(y+2)^2}{25} & = 1 \\ -\frac{(1-1)^2}{16} + \frac{(3+2)^2}{25} & ... 1 \\ -\frac{0}{16} + \frac{25}{25} & ... 1 \\ 0 + 1 & ... 1 \\ 1 & = 1 \end{align} $
Karena ruas kiri $ = $ ruas kanan ( $ 1 = 1 $) , maka titik $ (1,3) $ ada pada Hiperbola (titik tersebut dilalui oleh kurva Hiperbola). Berikut ilustrasi gambarnya,
3). Tentukan kedudukan titik $ (2,1) $ terhadap Hiperbola $ 9x^2 - 4y^2 + 16y - 20 = 0 $!
Penyelesaian :
*). Substitusi titik $ (2,1) $ ke persamaan Hiperbola :
$ \begin{align} (x,y)=(2,1) \rightarrow 9x^2 - 4y^2 + 16y - 20 & = 0 \\ 9(2)^2 - 4.1^2 + 16.1 - 20 & ... 0 \\ 36 - 4 + 16 - 20 & ... 0 \\ 28 & ... 0 \\ 28 & > 0 \end{align} $
Karena ruas kiri $ > $ ruas kanan ( $ 28 > 0 $) , maka titik $ (2,1) $ ada di dalam Hiperbola. Berikut ilustrasi gambarnya,
4). Jika titik $ (3,-2) $ ada pada Hiperbola (dilalui Hiperbola) $ \frac{(x-p)^2}{4} - \frac{(y+2)^2}{9} = 1 $ , maka tentukan nilai $ p_1 + p_2 $!
Penyelesaian :
*). Substitusi titik $(3,-1) $ ke persamaan Hiperbolanya :
$ \begin{align} (x,y) & = (3,-2) \\ \frac{(x-p)^2}{4} - \frac{(y+2)^2}{9} & = 1 \\ \frac{(3-p)^2}{4} - \frac{(-2+2)^2}{9} & = 1 \\ \frac{(3-p)^2}{4} - \frac{0}{9} & = 1 \\ \frac{(3-p)^2}{4} & = 1 \\ (3-p)^2 & = 4 \\ 3-p & = \pm \sqrt{4} = \pm 2 \\ 3-p = 2 \vee 3 - p & = -2 \\ p_1 = 1 \vee p_2 & = 5 \\ \end{align} $
*). Sehingga nilai :
$ p_1 + p_2 = 1 + 5 = 6 $
Jadi, nilai $ p_1 + p_2 = 6 $.
5). Jika titik $ (1,2) $ ada di luar Hiperbola $ -2x^2 + ky^2 + 3x- 4y + 9 = 0 $ , maka tentukan nilai $ k $ yang memenuhi!
Penyelesaian :
*). Substitusi titik $ (1,2) $ dan syarat ada di luar adalah $ < $ :
$ \begin{align} (x,y) & = (1,2) \\ -2x^2 + ky^2 + 3x- 4y + 9 & = 0 \\ -2.1^2 + k.2^2 + 3.1- 4.1 + 9 & < 0 \\ -2 + 4k + 3 - 4 + 9 & < 0 \\ 4k + 8 & < 0 \\ 4k & < - 8 \\ k & < -2 \end{align} $
Jadi, nilai $ k $ yang memenuhi adalah $ k < -2 $.
6). Titik $ (1,k) $ ada di dalam Hiperbola $ -\frac{(x-1)^2}{4} + \frac{(y+2)^2}{9} = 1 $. Misalkan $ p $ adalah himpunan selain $ k $ yang memenuhi penyelesaian soal. Jika $ M $ menyatakan nilai maksimum dari $ p $ dan $ N $ menyatakan nilai minimum dari $ p $ , maka tentukan nilai $ M - N $ dengan $ M $ dan $ N $ adalah bilangan bulat!
Penyelesaian :
*). Substitusi titik $ (1,k) $ dan syarat ada di dalam adalah $ > $ :
$ \begin{align} (x,y) & = (1,k) \\ -\frac{(x-1)^2}{4} + \frac{(y+2)^2}{9} & = 1 \\ -\frac{(1-1)^2}{4} + \frac{(k+2)^2}{9} & > 1 \\ -\frac{0}{4} + \frac{k^2 + 4k + 4}{9} & > 1 \\ \frac{k^2 + 4k + 4}{9} & > 1 \\ k^2 + 4k + 4 & > 9 \\ k^2 + 4k -5 & > 0 \\ (k +5)(k-1) & > 0 \\ k = -5 \vee k & = 1 \end{align} $
Garis bilangannya :
Sehingga himpunan $ p $ adalah $ \{ -5 \leq p \leq 1 \} $.
Artinya nilai $ M = 1 $ dan $ N = -5 $.
Sehingga nilai $ M - N = 1 - (-5) = 6 $.
Jadi, nilai $ M - N = 6 $.
Demikian pembahasan materi Kedudukan Titik terhadap Hiperbola dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan "irisan kerucut" yaitu "Kedudukan Garis terhadap Hiperbola".
