Persamaan Garis Singgung Titik diluar Parabola

         Blog Koma - Pada artikel ini kita akan membahas materi Persamaan Garis Singgung Titik diluar Parabola. Sebenarnya materi ini adalah kelanjutan dari artikel "Persamaan Garis Singgung Parabola" yang mana kita bagi menjadi tiga bagian yaitu pertama : persamaan garis singgung melalui titik $(x_1,y_1) $ dimana titik ini ada pada parabola (disebut titik singgung), kedua : persamaan garis singgung diketahui gradiennya $(m)$, dan ketiga garis singgung melalui titik $ (x_1,y_1) $ dimana titik ini ada di luar parabola yang akan kita bahas pada artikel ini yaitu Persamaan Garis Singgung Titik diluar Parabola. Kenapa Persamaan Garis Singgung Titik diluar Parabola ini kita bahas dalam artikel sendiri? Ini kami lakukan karena pada artikel "persamaan garis singgung parabola" sudah panjang artikelnya, dan jika kita paksakan Persamaan Garis Singgung Titik diluar Parabola dibahas disana maka artikelnya akan menjadi sangat panjang dan akan membuat teman-teman kelelahan mempelajarinya.

         Agar mudah dalam mempelajari materi Persamaan Garis Singgung Titik diluar Parabola ini, teman-teman harus menguasai materi "persamaan parabola", "persamaan garis lurus", "kedudukan garis terhadap parabola", "kedudukan titik terhadap parabola", dan tentu materi "persamaan garis singgung parabola" tipe pertama dan tipe kedua yang sudah kita pelajari sebelumnya karena kita akan menggunakan cara-cara tersebut juga dalam menentukan persamaan garis singgung bentuk ketiga ini.

Persamaan Garis Singgung Titik diluar Parabola
       Persamaan Garis singgung parabola ketiga ini adalah garis singgung melalui titik $ (x_1,y_1) $ dimana titik ini berada di luar parabola, sehingga akan terbentuk dua garis singgung seperti tampak pada gambar di atas. Ada tiga cara menentukan Persamaan Garis Singgung Titik diluar Parabola, sebagai berikut :
Cara Pertama Persamaan Garis Singgung Titik diluar Parabola
$\spadesuit \, $ Cara Pertama, Syarat garis menyinggung parabola : $ D = 0 $
Langkah-langkah cara pertama (Cara Diskriminan):
(1). Misalkan garis singgungnya adalah $ y = mx + c $, substitusi titik $ (x_1,y_1) $ ke garis singgung tersebut sehingga kita peroleh bentuk $ y = mx + y_1 - mx_1 $
(2). Substitusi bentuk $ y = mx + y_1 - mx_1 $ ke persamaan parabola, dan kita ubah menjadi bentuk persamaan kuadrat.
(3). Menentukan nilai $ m $ dengan syarat $ D = 0 $
(4). Substitusi nilai $ m $ ke persamaan $ y = mx + y_1 - mx_1 $ yang merupakan persamaan garis singgung parabolanya.
Nilai $ D = b^2 - 4ac $ dari persamaan kuadrat yang terbentuk.
Silahkan baca syarat garis menyinggung parabola pada artikel "Kedudukan garis terhadap parabola".

Sedikit trik, untuk langkah (1) di atas, ubahlah persamaan garisnya menjadi :
Jika persamaan parabolanya $ (x-a)^2 = 4p(y-b) $ , maka ubah menjadi $ y = .... $
Jika persamaan parabolanya $ (y-b)^2 = 4p(x-a) $ , maka ubah menjadi $ x = .... $
Ini bertujuan akan memudahkan dalam perhitungan $ D = 0 $.

Cara Kedua Persamaan Garis Singgung Titik diluar Parabola
$\clubsuit \, $ Cara Kedua, Menggunakan PGSP Kedua
Langkah-langkah cara kedua (PGSP kedua):
(1). Menentukan rumus garis singgung yang akan digunakan :
-). Jika $ x $ pangkat satu, maka PGSP-nya : $ y = mx + \frac{p}{m} $
-). Jika $ y $ pangkat satu, maka PGSP-nya : $ y = mx - m^2p $
-). Jika titik puncak parabolanya $(a,b) $ , maka variabel $ x $ dan $ y $ masing-masing kita kurangkan dengan $ a $ dan $ b $ sehingga bentuknya $ y - b = m(x - a) + \frac{p}{m} $ atau $ y - b = m(x-a) - m^2p $, dengan nilai $ p $ bisa positif atau negatif.
(2). Substitusi titik $ (x_1,y_1) $ ke persamaan garis singgung dari langkah (1) dan kita tentukan nilai $ m $.
(3). Nilai $ m $ yang kita peroleh substitusi ke persamaan garis singgun dari langkah (1), itulah persamaan garis singgung parabolanya.
Silahkan baca tentang PGSP Kedua pada artikel "Persamaan garis singgung parabola" sebelumnya.

Cara Ketiga Persamaan Garis Singgung Titik diluar Parabola
$\heartsuit \, $ Cara Ketiga, Menggunakan PGSP Pertama
Langkah-langkah cara ketiga (PGSP Pertama):
(1). Lakukan CARA BAGI ADIL pada persamaan parabola yang diketahui,
(2). Substitusi titik $ (x_1,y_1) $ ke persamaan BAGI ADIL pada langkah (1), sehingga kita peroleh bentuk persamaan garis,
(3). Menentukan titik potong antara persamaan garis pada langkah (2) dengan persamaan parabola, titik potong yang kita peroleh adalah sebagai titik singgung antara garis dan parabola.
(4). Substitusi masing-masing titik potong ke persamaan BAGI ADIL pada langkah (1), itulah persamaan garis singgung parabolanya.
Silahkan baca tentang PGSP Pertama (CARA BAGI ADIL) pada artikel "Persamaan garis singgung parabola" sebelumnya.

Contoh Soal Persamaan Garis Singgung Titik diluar Parabola :

Contoh 1). Tentukan persamaan garis singgung pada parabola $ (x+1)^2 = -4(y-2) $ di titik $ (1,2) $!
Penyelesaian :
*). Kita cek dulu kedudukan titik $ (1,2) $ terhadap parabolanya :
$ \begin{align} (x,y)=(1,2) \rightarrow (x+1)^2 & = -4(y-2) \\ (1+1)^2 & ... -4(2-2) \\ 4 & ... 0 \\ 4 & > 0 \end{align} $
Karena ruas kanan $ > $ ruas kiri, maka titik $ (1,2) $ ada di luar parabola $ (x+1)^2 = -4(y-2) $ .
Silahkan baca : "Kedudukan titik terhadap parabola"
*). Karena titik yang dilalui oleh garis singgung ada di luar parabola, maka ada tiga cara untuk menentukan persamaan garis singgungnya, yaitu :

CARA PERTAMA : Cara Diskriminan
Langkah (1). Misalkan persamaan garis singgungnya adalah $ y = mx + c $,
-). Substitusi titik $ (x,y) = (1,2) $ ke garis singgung :
$ \begin{align} y & = mx + c \\ 2 & = m.1 + c \\ c & = 2 - m \end{align} $
Sehingga persamaan garis singgungnya :
$ y = mx + c \rightarrow y = mx + 2-m $.
Langkah (2). Substitusi $ y = mx + 2 - m $ ke persamaan parabolanya :
$ \begin{align} (x+1)^2 & = -4(y-2) \\ (x+1)^2 & = -4((mx + 2 - m)-2) \\ x^2 + 2x + 1 & = -4(mx - m) \\ x^2 + 2x + 1 & = -4mx + 4m \\ x^2 + 4mx + 2x + 1 - 4m & = 0 \\ x^2 + (4m + 2)x + ( 1 - 4m) & = 0 \\ a = 1, b = 4m + 2, c & = 1 - 4m \end{align} $
Langkah (3). Syarat bersinggungan : $ D = 0 $
$ \begin{align} D & = 0 \\ b^2 - 4ac & = 0 \\ (4m+2)^2 - 4.1.( 1 - 4m) & = 0 \\ 16m^2 + 16m + 4 - 4 + 16m & = 0 \\ 16m^2 + 32m & = 0 \\ 16m(m + 2) & = 0 \\ m = 0 \vee m & = -2 \end{align} $
Langkah (4). Substitusi nilai $ m = 0 $ dan $ m = -2 $ ke $ y = mx + 2 - m $
$ \begin{align} m = 0 \rightarrow y & = 0.x + 2 - 0 \\ y & = 2 \\ m = -2 \rightarrow y & = -2x + 2 - (-2) \\ y & = -2x + 4 \end{align} $
Jadi, persamaan garis singgungnya adalah $ y = 2 $ atau $ y = -2x + 4 $.

CARA KEDUA : Menggunakan PGSP Kedua
Langkah (1). Menentukan garis singgung yang akan digunakan :
-). Bentuk $ (x+1)^2 = -4(y-2) $ sama dengan $ (x-a)^2 = 4p(y-b) $
Sehingga $ 4p = -4 \rightarrow p = -1 $.
$ x - a = x+1 \rightarrow a = -1 $
$ y - b = y -2 \rightarrow b = 2 $
*). Dari $ (x+1)^2 = -4(y-2) $ , yang pangkat satu adalah $ y $
PGSP-nya : $ y = mx - m^2p $
Karena ada titik puncak $ (a,b) $ , maka
PGSP-nya : $ y- b = m(x-a) - m^2p $
-). Substitusi $ a = -1, b = 2 , $ dan $ p = -1 $ ke garisnya :
$ y- b = m(x-a) - m^2p \rightarrow y - 2 = m(x+1) + m^2 $
Langkah (2). Substitusi titik $ (x,y) = (1,2) $ ke garisnya :
$ \begin{align} y - 2 & = m(x+1) + m^2 \\ 2 - 2 & = m(1+1) + m^2 \\ 0 & = 2m + m^2 \\ 0 & = m( 2 + m) \\ x & = 0 \vee m = -2 \end{align} $
Langkah (3). Substitusi nilai $ m = 0 $ atau $ m = -2 $ ke garis singgungnya :
$ \begin{align} m = 0 \rightarrow y - 2 & = m(x+1) + m^2 \\ y - 2 & = 0.(x+1) + 0^2 \\ y - 2 & = 0 \\ y & = 2 \\ m = -2 \rightarrow y - 2 & = m(x+1) + m^2 \\ y - 2 & = -2(x+1) + (-2)^2 \\ y - 2 & = -2x - 2 + 4 \\ y & = -2x + 4 \end{align} $
Jadi, persamaan garis singgungnya adalah $ y = 2 $ atau $ y = -2x + 4 $.

CARA KETIGA : Menggunakan PGSP Ketiga
Langkah (1). Menentukanpersamaa BAGI ADIL
$ \begin{align} (x+1)^2 & = -4(y-2) \\ (x+1)(x_1 + 1) & = -4.\frac{(y-2)+(y_1 - 2)}{2} \\ (x+1)(x_1 + 1) & = -2(y+y_1 - 4) \end{align} $
Langkah (2). Substitusi titik $ (x_1,y_1) = (1,2) $ ke persamaan bagi adil :
$ \begin{align} (x+1)(x_1 + 1) & = -2(y+y_1 - 4) \\ (x+1)(1 + 1) & = -2(y+2 - 4) \\ (x+1).2 & = -2(y- 2) \, \, \, \, \, \text{(bagi 2)} \\ x + 1 & = - (y- 2) \\ x + 1 & = - y + 2 \\ y & = -x + 1 \end{align} $
Langkah (3). Menentukan titik potong garis $ y = -x + 1 $ dengan parabola $ (x+1)^2 = -4(y-2) $ dengan cara substitusi garis ke parabolanya :
$ \begin{align} (x+1)^2 & = -4(y-2) \\ (x+1)^2 & = -4((-x+1)-2) \\ x^2 + 2x + 1 & = -4(-x - 1) \\ x^2 + 2x + 1 & = 4x + 4 \\ x^2 - 2x - 3 & = 0 \\ (x + 1)(x - 3) & = 0 \\ x = -1 \vee x & = 3 \end{align} $
Untuk $ x = -1 \rightarrow y = -x + 1 = -(-1) + 1 = 2 $
Untuk $ x = 3 \rightarrow y = -x + 1 = -3 + 1 = -2 $
Titik singgungnya adalah $ (-1,2 ) $ dan $ (3,-2) $.
Langkah (4). Substitusi titik singgung ke persamaan Bagi Adil :
$ \begin{align} \text{untuk } (x_1,y_1) & = (-1,2) \rightarrow \\ (x+1)(x_1 + 1) & = -2(y+y_1 - 4) \\ (x+1)(-1 + 1) & = -2(y+2 - 4) \\ (x+1). 0 & = -2(y- 2) \\ 0 & = -2(y- 2) \\ y & = 2 \\ \text{untuk } (x_1,y_1) & = (3,-2) \rightarrow \\ (x+1)(x_1 + 1) & = -2(y+y_1 - 4) \\ (x+1)(3 + 1) & = -2(y+ (-2) - 4) \\ 4(x+1) & = -2(y- 6) \\ 4x + 4 & = -2y + 12 \\ 2y & = -4x + 8 \\ y & = -2x + 4 \end{align} $
Jadi, persamaan garis singgungnya adalah $ y = 2 $ atau $ y = -2x + 4 $.

Contoh 2). Tentukan persamaan garis singgung pada parabola $ y^2 = 4(x-1) $ di titik $ (-1,1) $!
Penyelesaian :
*). Kita cek dulu kedudukan titik $ (-1,1) $ terhadap parabolanya :
$ \begin{align} (x,y)=(-1,1) \rightarrow y^2 & = 4(x-1) \\ 1^2 & ... 4(-1-1) \\ 1 & ... -8 \\ 1 & > -8 \end{align} $
Karena ruas kanan $ > $ ruas kiri, maka titik $ (-1,1) $ ada di luar parabola $ y^2 = 4(x-1) $ .
*). Karena titik yang dilalui oleh garis singgung ada di luar parabola, maka ada tiga cara untuk menentukan persamaan garis singgungnya. Namun, sebagai bahan untuk berlatih, contoh soal nomor 2 ini kami berikan untuk pembaca mengerjakan sendiri. Jawabannya, persamaan garis singgung yang terbentuk adalah $ y = -x $ atau $ 2y = x + 3 $. Selamat mencoba.

       Demikian pembahasan materi Persamaan Garis Singgung Titik diluar Parabola dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan "irisan kerucut".

Tidak ada komentar:

Posting Komentar