Agar mudah dalam mempelajari materi Persamaan Garis Singgung Titik diluar Parabola ini, teman-teman harus menguasai materi "persamaan parabola", "persamaan garis lurus", "kedudukan garis terhadap parabola", "kedudukan titik terhadap parabola", dan tentu materi "persamaan garis singgung parabola" tipe pertama dan tipe kedua yang sudah kita pelajari sebelumnya karena kita akan menggunakan cara-cara tersebut juga dalam menentukan persamaan garis singgung bentuk ketiga ini.
Persamaan Garis Singgung Titik diluar Parabola
Persamaan Garis singgung parabola ketiga ini adalah garis singgung melalui titik $ (x_1,y_1) $ dimana titik ini
berada di luar parabola, sehingga akan terbentuk dua garis singgung seperti tampak pada gambar di atas. Ada tiga cara menentukan
Persamaan Garis Singgung Titik diluar Parabola, sebagai berikut :
Cara Pertama Persamaan Garis Singgung Titik diluar Parabola
$\spadesuit \, $ Cara Pertama, Syarat garis menyinggung parabola : $ D = 0 $
Langkah-langkah cara pertama (Cara Diskriminan):
(1). Misalkan garis singgungnya adalah $ y = mx + c $, substitusi titik $ (x_1,y_1) $ ke garis singgung tersebut sehingga kita peroleh bentuk $ y = mx + y_1 - mx_1 $
(2). Substitusi bentuk $ y = mx + y_1 - mx_1 $ ke persamaan parabola, dan kita ubah menjadi bentuk persamaan kuadrat.
(3). Menentukan nilai $ m $ dengan syarat $ D = 0 $
(4). Substitusi nilai $ m $ ke persamaan $ y = mx + y_1 - mx_1 $ yang merupakan persamaan garis singgung parabolanya.
Nilai $ D = b^2 - 4ac $ dari persamaan kuadrat yang terbentuk.
Langkah-langkah cara pertama (Cara Diskriminan):
(1). Misalkan garis singgungnya adalah $ y = mx + c $, substitusi titik $ (x_1,y_1) $ ke garis singgung tersebut sehingga kita peroleh bentuk $ y = mx + y_1 - mx_1 $
(2). Substitusi bentuk $ y = mx + y_1 - mx_1 $ ke persamaan parabola, dan kita ubah menjadi bentuk persamaan kuadrat.
(3). Menentukan nilai $ m $ dengan syarat $ D = 0 $
(4). Substitusi nilai $ m $ ke persamaan $ y = mx + y_1 - mx_1 $ yang merupakan persamaan garis singgung parabolanya.
Nilai $ D = b^2 - 4ac $ dari persamaan kuadrat yang terbentuk.
Sedikit trik, untuk langkah (1) di atas, ubahlah persamaan garisnya menjadi :
Jika persamaan parabolanya $ (x-a)^2 = 4p(y-b) $ , maka ubah menjadi $ y = .... $
Jika persamaan parabolanya $ (y-b)^2 = 4p(x-a) $ , maka ubah menjadi $ x = .... $
Ini bertujuan akan memudahkan dalam perhitungan $ D = 0 $.
Cara Kedua Persamaan Garis Singgung Titik diluar Parabola
$\clubsuit \, $ Cara Kedua, Menggunakan PGSP Kedua
Langkah-langkah cara kedua (PGSP kedua):
(1). Menentukan rumus garis singgung yang akan digunakan :
-). Jika $ x $ pangkat satu, maka PGSP-nya : $ y = mx + \frac{p}{m} $
-). Jika $ y $ pangkat satu, maka PGSP-nya : $ y = mx - m^2p $
-). Jika titik puncak parabolanya $(a,b) $ , maka variabel $ x $ dan $ y $ masing-masing kita kurangkan dengan $ a $ dan $ b $ sehingga bentuknya $ y - b = m(x - a) + \frac{p}{m} $ atau $ y - b = m(x-a) - m^2p $, dengan nilai $ p $ bisa positif atau negatif.
(2). Substitusi titik $ (x_1,y_1) $ ke persamaan garis singgung dari langkah (1) dan kita tentukan nilai $ m $.
(3). Nilai $ m $ yang kita peroleh substitusi ke persamaan garis singgun dari langkah (1), itulah persamaan garis singgung parabolanya.
Langkah-langkah cara kedua (PGSP kedua):
(1). Menentukan rumus garis singgung yang akan digunakan :
-). Jika $ x $ pangkat satu, maka PGSP-nya : $ y = mx + \frac{p}{m} $
-). Jika $ y $ pangkat satu, maka PGSP-nya : $ y = mx - m^2p $
-). Jika titik puncak parabolanya $(a,b) $ , maka variabel $ x $ dan $ y $ masing-masing kita kurangkan dengan $ a $ dan $ b $ sehingga bentuknya $ y - b = m(x - a) + \frac{p}{m} $ atau $ y - b = m(x-a) - m^2p $, dengan nilai $ p $ bisa positif atau negatif.
(2). Substitusi titik $ (x_1,y_1) $ ke persamaan garis singgung dari langkah (1) dan kita tentukan nilai $ m $.
(3). Nilai $ m $ yang kita peroleh substitusi ke persamaan garis singgun dari langkah (1), itulah persamaan garis singgung parabolanya.
Cara Ketiga Persamaan Garis Singgung Titik diluar Parabola
$\heartsuit \, $ Cara Ketiga, Menggunakan PGSP Pertama
Langkah-langkah cara ketiga (PGSP Pertama):
(1). Lakukan CARA BAGI ADIL pada persamaan parabola yang diketahui,
(2). Substitusi titik $ (x_1,y_1) $ ke persamaan BAGI ADIL pada langkah (1), sehingga kita peroleh bentuk persamaan garis,
(3). Menentukan titik potong antara persamaan garis pada langkah (2) dengan persamaan parabola, titik potong yang kita peroleh adalah sebagai titik singgung antara garis dan parabola.
(4). Substitusi masing-masing titik potong ke persamaan BAGI ADIL pada langkah (1), itulah persamaan garis singgung parabolanya.
Langkah-langkah cara ketiga (PGSP Pertama):
(1). Lakukan CARA BAGI ADIL pada persamaan parabola yang diketahui,
(2). Substitusi titik $ (x_1,y_1) $ ke persamaan BAGI ADIL pada langkah (1), sehingga kita peroleh bentuk persamaan garis,
(3). Menentukan titik potong antara persamaan garis pada langkah (2) dengan persamaan parabola, titik potong yang kita peroleh adalah sebagai titik singgung antara garis dan parabola.
(4). Substitusi masing-masing titik potong ke persamaan BAGI ADIL pada langkah (1), itulah persamaan garis singgung parabolanya.
Contoh Soal Persamaan Garis Singgung Titik diluar Parabola :
Contoh 1). Tentukan persamaan garis singgung pada parabola $ (x+1)^2 = -4(y-2) $ di titik $ (1,2) $!
Penyelesaian :
*). Kita cek dulu kedudukan titik $ (1,2) $ terhadap parabolanya :
$ \begin{align} (x,y)=(1,2) \rightarrow (x+1)^2 & = -4(y-2) \\ (1+1)^2 & ... -4(2-2) \\ 4 & ... 0 \\ 4 & > 0 \end{align} $
Karena ruas kanan $ > $ ruas kiri, maka titik $ (1,2) $ ada di luar parabola $ (x+1)^2 = -4(y-2) $ .
Silahkan baca : "Kedudukan titik terhadap parabola"
*). Karena titik yang dilalui oleh garis singgung ada di luar parabola, maka ada tiga cara untuk menentukan persamaan garis singgungnya, yaitu :
CARA PERTAMA : Cara Diskriminan
Langkah (1). Misalkan persamaan garis singgungnya adalah $ y = mx + c $,
-). Substitusi titik $ (x,y) = (1,2) $ ke garis singgung :
$ \begin{align} y & = mx + c \\ 2 & = m.1 + c \\ c & = 2 - m \end{align} $
Sehingga persamaan garis singgungnya :
$ y = mx + c \rightarrow y = mx + 2-m $.
Langkah (2). Substitusi $ y = mx + 2 - m $ ke persamaan parabolanya :
$ \begin{align} (x+1)^2 & = -4(y-2) \\ (x+1)^2 & = -4((mx + 2 - m)-2) \\ x^2 + 2x + 1 & = -4(mx - m) \\ x^2 + 2x + 1 & = -4mx + 4m \\ x^2 + 4mx + 2x + 1 - 4m & = 0 \\ x^2 + (4m + 2)x + ( 1 - 4m) & = 0 \\ a = 1, b = 4m + 2, c & = 1 - 4m \end{align} $
Langkah (3). Syarat bersinggungan : $ D = 0 $
$ \begin{align} D & = 0 \\ b^2 - 4ac & = 0 \\ (4m+2)^2 - 4.1.( 1 - 4m) & = 0 \\ 16m^2 + 16m + 4 - 4 + 16m & = 0 \\ 16m^2 + 32m & = 0 \\ 16m(m + 2) & = 0 \\ m = 0 \vee m & = -2 \end{align} $
Langkah (4). Substitusi nilai $ m = 0 $ dan $ m = -2 $ ke $ y = mx + 2 - m $
$ \begin{align} m = 0 \rightarrow y & = 0.x + 2 - 0 \\ y & = 2 \\ m = -2 \rightarrow y & = -2x + 2 - (-2) \\ y & = -2x + 4 \end{align} $
Jadi, persamaan garis singgungnya adalah $ y = 2 $ atau $ y = -2x + 4 $.
CARA KEDUA : Menggunakan PGSP Kedua
Langkah (1). Menentukan garis singgung yang akan digunakan :
-). Bentuk $ (x+1)^2 = -4(y-2) $ sama dengan $ (x-a)^2 = 4p(y-b) $
Sehingga $ 4p = -4 \rightarrow p = -1 $.
$ x - a = x+1 \rightarrow a = -1 $
$ y - b = y -2 \rightarrow b = 2 $
*). Dari $ (x+1)^2 = -4(y-2) $ , yang pangkat satu adalah $ y $
PGSP-nya : $ y = mx - m^2p $
Karena ada titik puncak $ (a,b) $ , maka
PGSP-nya : $ y- b = m(x-a) - m^2p $
-). Substitusi $ a = -1, b = 2 , $ dan $ p = -1 $ ke garisnya :
$ y- b = m(x-a) - m^2p \rightarrow y - 2 = m(x+1) + m^2 $
Langkah (2). Substitusi titik $ (x,y) = (1,2) $ ke garisnya :
$ \begin{align} y - 2 & = m(x+1) + m^2 \\ 2 - 2 & = m(1+1) + m^2 \\ 0 & = 2m + m^2 \\ 0 & = m( 2 + m) \\ x & = 0 \vee m = -2 \end{align} $
Langkah (3). Substitusi nilai $ m = 0 $ atau $ m = -2 $ ke garis singgungnya :
$ \begin{align} m = 0 \rightarrow y - 2 & = m(x+1) + m^2 \\ y - 2 & = 0.(x+1) + 0^2 \\ y - 2 & = 0 \\ y & = 2 \\ m = -2 \rightarrow y - 2 & = m(x+1) + m^2 \\ y - 2 & = -2(x+1) + (-2)^2 \\ y - 2 & = -2x - 2 + 4 \\ y & = -2x + 4 \end{align} $
Jadi, persamaan garis singgungnya adalah $ y = 2 $ atau $ y = -2x + 4 $.
CARA KETIGA : Menggunakan PGSP Ketiga
Langkah (1). Menentukanpersamaa BAGI ADIL
$ \begin{align} (x+1)^2 & = -4(y-2) \\ (x+1)(x_1 + 1) & = -4.\frac{(y-2)+(y_1 - 2)}{2} \\ (x+1)(x_1 + 1) & = -2(y+y_1 - 4) \end{align} $
Langkah (2). Substitusi titik $ (x_1,y_1) = (1,2) $ ke persamaan bagi adil :
$ \begin{align} (x+1)(x_1 + 1) & = -2(y+y_1 - 4) \\ (x+1)(1 + 1) & = -2(y+2 - 4) \\ (x+1).2 & = -2(y- 2) \, \, \, \, \, \text{(bagi 2)} \\ x + 1 & = - (y- 2) \\ x + 1 & = - y + 2 \\ y & = -x + 1 \end{align} $
Langkah (3). Menentukan titik potong garis $ y = -x + 1 $ dengan parabola $ (x+1)^2 = -4(y-2) $ dengan cara substitusi garis ke parabolanya :
$ \begin{align} (x+1)^2 & = -4(y-2) \\ (x+1)^2 & = -4((-x+1)-2) \\ x^2 + 2x + 1 & = -4(-x - 1) \\ x^2 + 2x + 1 & = 4x + 4 \\ x^2 - 2x - 3 & = 0 \\ (x + 1)(x - 3) & = 0 \\ x = -1 \vee x & = 3 \end{align} $
Untuk $ x = -1 \rightarrow y = -x + 1 = -(-1) + 1 = 2 $
Untuk $ x = 3 \rightarrow y = -x + 1 = -3 + 1 = -2 $
Titik singgungnya adalah $ (-1,2 ) $ dan $ (3,-2) $.
Langkah (4). Substitusi titik singgung ke persamaan Bagi Adil :
$ \begin{align} \text{untuk } (x_1,y_1) & = (-1,2) \rightarrow \\ (x+1)(x_1 + 1) & = -2(y+y_1 - 4) \\ (x+1)(-1 + 1) & = -2(y+2 - 4) \\ (x+1). 0 & = -2(y- 2) \\ 0 & = -2(y- 2) \\ y & = 2 \\ \text{untuk } (x_1,y_1) & = (3,-2) \rightarrow \\ (x+1)(x_1 + 1) & = -2(y+y_1 - 4) \\ (x+1)(3 + 1) & = -2(y+ (-2) - 4) \\ 4(x+1) & = -2(y- 6) \\ 4x + 4 & = -2y + 12 \\ 2y & = -4x + 8 \\ y & = -2x + 4 \end{align} $
Jadi, persamaan garis singgungnya adalah $ y = 2 $ atau $ y = -2x + 4 $.
Contoh 2). Tentukan persamaan garis singgung pada parabola $ y^2 = 4(x-1) $ di titik $ (-1,1) $!
Penyelesaian :
*). Kita cek dulu kedudukan titik $ (-1,1) $ terhadap parabolanya :
$ \begin{align} (x,y)=(-1,1) \rightarrow y^2 & = 4(x-1) \\ 1^2 & ... 4(-1-1) \\ 1 & ... -8 \\ 1 & > -8 \end{align} $
Karena ruas kanan $ > $ ruas kiri, maka titik $ (-1,1) $ ada di luar parabola $ y^2 = 4(x-1) $ .
*). Karena titik yang dilalui oleh garis singgung ada di luar parabola, maka ada tiga cara untuk menentukan persamaan garis singgungnya. Namun, sebagai bahan untuk berlatih, contoh soal nomor 2 ini kami berikan untuk pembaca mengerjakan sendiri. Jawabannya, persamaan garis singgung yang terbentuk adalah $ y = -x $ atau $ 2y = x + 3 $. Selamat mencoba.
Demikian pembahasan materi Persamaan Garis Singgung Titik diluar Parabola dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan "irisan kerucut".
