Persamaan Garis Singgung Parabola

         Blog Koma - Pada artikel ini kita akan membahas materi Persamaan Garis Singgung Parabola yang merupakan bagian dari "irisan kerucut" dan berkaitan langsung dengan "persamaan parabola". Persamaan Garis Singgung Parabola dibagi menjadi tiga berdasarkan yang diketahui pada soal yaitu pertama : garis singgung parabola melalui titik $ (x_1,y_1) $ dimana titik ini berada pada parabola, kedua : garis singgung parabola yang diketahui gradiennya, dan ketiga : garis singgung parabola yang melalui suatu titik dan titik tersebut tidak berada pada parabola. Untuk ilustrasinya perhatikan gambar berikut ini. Persamaan Garis Singgung Parabola berkaitan erat dengan materi "Kedudukan Garis terhadap Parabola" yang sudah kita pelajari sebelumnya, sehingga disini teman-teman harus mengetahui dulu maksud dari sebuah garis menyinggung sebuah kurva parabola.

         Untuk memudahkan dalam mempelajari materi Persamaan Garis Singgung Parabola ini, kita sebaiknya menguasai beberapa materi dasar yaitu "persamaan parabola", "kedudukan titik terhadap parabola", "Gradien dan Menyusun Persamaan Garis Lurus", dan "Hubungan Dua Garis Lurus".

Persamaan Garis Singgung Parabola (PGSP) Pertama
       Jenis pertama Persamaan Garis Singgung Parabola yaitu garis singgung parabola melalui titik $ (x_1,y_1) $ dimana titik tersebut ada pada parabola. Titik $ (x_1,y_1) $ ini disebut sebagai titik singgungnya. Berikut bentuk persamaan garis singgung parabolanya :
1). Persamaan parabola : $ y^2 = 4px $
       PGSP-nya : $ y.y_1 = 2p(x+x_1) $
2). Persamaan parabola : $ y^2 = -4px $
       PGSP-nya : $ y.y_1 = -2p(x+x_1) $
3). Persamaan parabola : $ x^2 = 4py $
       PGSP-nya : $ x.x_1 = 2p(y+y_1) $
4). Persamaan parabola : $ x^2 = -4py $
       PGSP-nya : $ x.x_1 = -2p(y+y_1) $
5). Persamaan parabola : $ (y-b)^2 = 4p(x-a) $
       PGSP-nya : $ (y-b)(y_1-b) = 2p(x+x_1 - 2a) $
6). Persamaan parabola : $ (y-b)^2 = -4p(x-a) $
       PGSP-nya : $ (y-b)(y_1-b) = -2p(x+x_1 - 2a) $
7). Persamaan parabola : $ (x-a)^2 = 4p(y-b) $
       PGSP-nya : $ (x-a)(x_1-a) = 2p(y+y_1 - 2b) $
8). Persamaan parabola : $ (x-a)^2 = -4p(y-b) $
       PGSP-nya : $ (x-a)(x_1-a) = -2p(y+y_1 - 2b) $

Catatan :
-). Dalam PGSP Pertama ini, kita harus pastikan terlebih dahulu apakah titik $ (x_1,y_1) $ ada pada parabola (dilalui oleh parabola) atau tidak. Silahkan baca artikel lengkapnya di "Kedudukan Titik Terhadap Parabola".
-). Trik Mudah mengingat rumus persamaan garis singgung parabola yang diketahui titik singgung $(x_1,y_1)$ : Tentu kita akan kesulitan jika harus menghafal 8 rumus PGSP di atas, oleh karena itu kita butuh trik khusus. Persamaan garis singgung parabola yang diketahui titik singgungnya, kita sebut CARA BAGI ADIL. CARA BAGI ADIL yaitu jika ada bentuk kuadrat maka kita ubah menjadi perkalian, dan jika ada pangkat satu maka kita ubah menjadi penjumlahan dan dibagi dua. Berikut penjabaran CARA BAGI ADIL Persamaan Garis Singgung Parabola :
$ x^2 \, $ menjadi $ x.x_1 $
$ y^2 \, $ menjadi $ y.y_1 $
$ x \, $ menjadi $ \frac{x+x_1}{2} $
$ y \, $ menjadi $ \frac{y+y_1}{2} $
$ (x-a)^2 \, $ menjadi $ (x-a)(x_1-a) $
$ (y-b)^2 \, $ menjadi $ (y-b)(y_1-b) $
$ x - a \, $ menjadi $ \frac{(x-a)+(x_1 - a)}{2} $
$ y - b \, $ menjadi $ \frac{(y - b)+(y_1 - b)}{2} $
Untuk lebih mudah dalam memahaminya, mari kita pelajari contoh berikut ini.

Contoh Soal Persamaan Garis Singgung Parabola (PGSP Pertama) :

1). Tentukan Persamaan Garis singgung pada parabola $ x^2 = 6y $ di titik $(3, \frac{3}{2})$!
Penyelesaian :
*). Kita cek kedudukan titik $ (3, \frac{3}{2})$ pada parabola $ x^2 = 6y $ :
$ \begin{align} (x,y) = (3, \frac{3}{2}) \rightarrow x^2 & = 6y \\ 3^2 & ... 6 \times \frac{3}{2} \\ 9 & ... 9 \\ 9 & = 9 \end{align} $
Karena hasilnya ruas kiri $ = $ ruas kanan (ruas kiri = 9 dan ruas kanan = 9), maka titik $ (3, \frac{3}{2})$ ada pada parabola $ x^2 = 6y $ sehingga untuk menentukan PGSP-nya bisa menggunakan CARA BAGI ADIL.
*). Menentukan PGSP :
Titik singgungnya $ (x_1,y_1) = (3, \frac{3}{2}) $
$ \begin{align} x^2 & = 6y \\ x.x_1 & = 6. \frac{y + y_1}{2} \\ x.x_1 & = 3 (y + y_1) \\ x.3 & = 3 (y + \frac{3}{2}) \\ 3x & = 3 y + \frac{9}{2} \, \, \, \, \, \, \text{(kali } \frac{2}{3} ) \\ 2x & = 2y + 3 \\ 2x - 2y & = 3 \end{align} $
Jadi, persamaan garis singgungnya adalah $ 2x - 2y = 3 $.

Catatan :
-). Untuk contoh soal berikutnya yang terkait dengan PGSP Pertama ini, titik yang dilalui oleh parabola selalu ada pada parabola sehingga kita tidak perlu mengecek kedudukan titik tersebut lagi. Namun jika teman-teman ingin mengecek kedudukan titiknya, kami persilahkan agar lebih lengkap caranya.

2). Tentukan persamaan garis singgung parabola berikut :
a). Parabola $ y^2 = -\frac{1}{3}x $ di titik $ (-12 , 2) $
b). Parabola $ (y-1)^2 = 2(x + 3) $ di titik $ ( 5, -3 ) $
c). Parabola $ (x- 2)^2 = 3( y + 3 ) $ di titik $ (-1, 0) $
Penyelesaian :
*). Kita kerjakan dengan CARA BAGI ADIL,
a). Parabola $ y^2 = -\frac{1}{3}x $ di titik $ (-12 , 2) $
*). Titik singgungnya $ (x_1,y_1) = (-12,2) $
$ \begin{align} y^2 & = -\frac{1}{3}x \\ y.y_1 & = -\frac{1}{3}. \frac{x+x_1}{2} \\ y.y_1 & = -\frac{1}{6}. (x+x_1) \\ y.2 & = -\frac{1}{6}. (x+(-12)) \\ 2y & = -\frac{1}{6} (x- 12) \, \, \, \, \, \, \text{(kali -6)} \\ -12y & = (x- 12) \\ x - 12y & = -12 \end{align} $
Jadi, persamaan garis singgung parabolanya : $ x - 12y + 12 = 0 $.

b). Parabola $ (y-1)^2 = 2(x + 3) $ di titik $ ( 5, -3 ) $
*). Titik singgungnya $ (x_1,y_1) = (5,-3) $
$ \begin{align} (y-1)^2 & = 2(x + 3) \\ (y-1)(y_1 - 1) & = 2. \frac{(x + 3) + (x_1+3)}{2} \\ (y-1)(y_1 - 1) & = (x + x_1 + 6) \\ (y-1)(-3 - 1) & = x + 5 + 6 \\ (y-1)(-4) & = x + 11 \\ -4y + 4 & = x + 11 \\ - x -4y & = 7 \\ x + 4y & = - 7 \end{align} $
Jadi, persamaan garis singgung parabolanya : $ x + 4y = -7 $.

c). Parabola $ (x- 2)^2 = 3( y + 3 ) $ di titik $ (-1, 0) $
*). Titik singgungnya $ (x_1,y_1) = (-1,0) $
$ \begin{align} (x- 2)^2 & = 3( y + 3 ) \\ ( x - 2)(x_1-2) & = 3. \frac{(y + 3) + (y_1+3)}{2} \\ 2( x - 2)(x_1-2) & = 3. [(y + 3) + (y_1+3)] \\ 2( x - 2)(x_1-2) & = 3. (y+y_1 + 6) \\ 2( x - 2)(-1-2) & = 3. (y+0 + 6) \\ 2( x - 2)(-3) & = 3. (y + 6) \, \, \, \, \, \text{(bagi 3)} \\ -2( x - 2) & = y + 6 \\ -2 x + 4 & = y + 6 \\ -2 x - y & = 2 \\ 2 x + y & = -2 \end{align} $
Jadi, persamaan garis singgung parabolanya : $ 2x + y = -2 $.

3). Tentukan persamaan garis singgung parabola berikut :
a). parabola $ x^2 + 2x - 3y - 5 = 0 $ di titik $ (2,1) $
b). parabola $ 3y^2 + 4x - 18y - 5 = 0 $ di titik $ (-4,-1) $
Penyelesaian :
*). Kita gunakan CARA BAGI ADIL :
a). parabola $ x^2 + 2x - 3y - 5 = 0 $ di titik $ (2,1) $
*). Titik singgungnya $ (x_1,y_1) = (2,1) $
$ \begin{align} x^2 + 2x - 3y - 5 & = 0 \\ x.x_1 + 2. \frac{x+x_1}{2} - 3.\frac{y+y_1}{2} - 5 & = 0 \\ x.2 + \frac{x+2}{1} - 3.\frac{y+1}{2} - 5 & = 0 \, \, \, \text{(kali 2)} \\ 4x + 2(x+2) - 3(y+1) - 10 & = 0 \\ 4x + 2x+4 - 3y - 3 - 10 & = 0 \\ 6x - 3y - 9 & = 0 \end{align} $
Jadi, persamaan garis singgung parabolanya : $ 6x - 3y - 9 = 0 $.

b). parabola $ 3y^2 + 4x - 18y - 5 = 0 $ di titik $ (-4,-1) $
*). Titik singgungnya $ (x_1,y_1) = (-4,-1) $
$ \begin{align} 3y^2 + 4x - 18y - 5 & = 0 \\ 3y.y_1 + 4. \frac{x+x_1}{2} - 18. \frac{y+y_1}{2} - 5 & = 0 \\ 3y.y_1 +2(x+x_1) - 9(y+y_1) - 5 & = 0 \\ 3y.(-1) +2(x+(-4)) - 9(y+(-1)) - 5 & = 0 \\ -3y + 2x - 8 - 9y + 9 - 5 & = 0 \\ 2x - 12y - 4 & = 0 \, \, \, \, \, \text{(bagi 2)} \\ x - 6y - 2 & = 0 \end{align} $
Jadi, persamaan garis singgung parabolanya : $ x - 6y - 2 = 0 $.

Persamaan Garis Singgung Parabola (PGSP) Kedua
       Jenis Kedua Persamaan Garis Singgung Parabola yaitu garis singgung parabola yang diketahui gradiennya ($m$). Berikut bentuk persamaan garis singgung parabolanya :
1). Persamaan parabola : $ y^2 = 4px $
       PGSP-nya : $ y = mx + \frac{p}{m} $
2). Persamaan parabola : $ y^2 = -4px $
       PGSP-nya : $ y = mx - \frac{p}{m} $
3). Persamaan parabola : $ x^2 = 4py $
       PGSP-nya : $ y = mx - m^2p $
4). Persamaan parabola : $ x^2 = -4py $
       PGSP-nya : $ y = mx + m^2p $
5). Persamaan parabola : $ (y-b)^2 = 4p(x-a) $
       PGSP-nya : $ y - b = m(x-a) + \frac{p}{m} $
6). Persamaan parabola : $ (y-b)^2 = -4p(x-a) $
       PGSP-nya : $ y - b = m(x-a) - \frac{p}{m} $
7). Persamaan parabola : $ (x-a)^2 = 4p(y-b) $
       PGSP-nya : $ y - b = m(x - a) - m^2p $
8). Persamaan parabola : $ (x-a)^2 = -4p(y-b) $
       PGSP-nya : $ y - b = m(x - a) + m^2p $

Catatan :
-). Gradien garis $ px + qy + r = 0 $ adalah $ m = \frac{-p}{q} $. Dua garis sejajar memiliki gradien sama, dan dua garis tegak lurus maka perkalian gradien kedua garis sama dengan $ - 1 $.
-). Trik mudah mengingat persamaan garis singgung diketahui gradiennya : Tentu kita tidak ingin mengingat kedelapan rumus di atas, karena kita pasti akan mudah lupa saking banyaknya rumus yang harus kita pelajari, Benarkan?!!!^_^!!!. Kita cukup mengingat dua bentuk rumusnya saja tergantung dari jenis persamaan parabolanya dan variabel mana yang pangkat satu ($x $ atau $y$), yaitu :
1). Jika $ x $ pangkat satu, maka PGSP-nya : $ y = mx + \frac{p}{m} $
2). Jika $ y $ pangkat satu, maka PGSP-nya : $ y = mx - m^2p $
dengan nilai $ p $ bisa positif atau negatif.
-). Jika titik puncak parabolanya $(a,b) $ , maka variabel $ x $ dan $ y $ masing-masing kita kurangkan dengan $ a $ dan $ b $ sehingga bentuknya $ y - b = m(x - a) + \frac{p}{m} $ atau $ y - b = m(x-a) - m^2p $ .
-). INGAT, titik $ (a,b) $ artinya $ a $ adalah absis $(x)$ dan $ b $ adalah ordinat $(y)$.

Contoh Soal Persamaan garis singgung parabola (PGSP Kedua) :

4). Tentukan persamaan garis singgung parabola :
a). Parabola $ y^2 = 4x $ dengan gradien $ 2 $
b). Parabola $ (y- 1)^2 = -8(x + 2) $ dengan gradien $ -1 $
Penyelesaian :
a). Parabola $ y^2 = 4x $ dengan gradien $ 2 $
*). Menentukan nilai $ p $ dari persamaan parabolanya:
Bentuk $ y^2 = 4x $ sama dengan $ y^2 = 4px $
Sehingga $ 4p = 4 \rightarrow p = 1 $.
*). Dari $ y^2 = 4x $ , yang pangkat satu adalah $ x $
PGSP-nya : $ y = mx + \frac{p}{m} $
*). Menentukan PGSP dengan $ p = 1 $ dan $ m = 2 $ :
$ \begin{align} y & = mx + \frac{p}{m} \\ y & = 2x + \frac{1}{2} \end{align} $
Jadi, persamaan garis singgung parabolanya : $ y = 2x + \frac{1}{2} $.

b). Parabola $ (y- 1)^2 = -8(x + 2) $ dengan gradien $ -1 $
*). Menentukan nilai $ p $ dan titik puncak :
Bentuk $ (y- 1)^2 = -8(x + 2) $ sama dengan $ (y- b)^2 = 4p(x - a) $
Sehingga $ 4p = -8 \rightarrow p = -2 $.
$ x - a = x + 2 \rightarrow a = -2 $
$ y - b = y - 1 \rightarrow b = 1 $
*). Dari $ (y- 1)^2 = -8(x + 2) $ , yang pangkat satu adalah $ x $
PGSP-nya : $ y = mx + \frac{p}{m} $
Karena ada titik puncak $ (a,b) $ , maka
PGSP-nya : $ y- b = m(x-a) + \frac{p}{m} $
*). Menentukan PGSP dengan $ p = -2 $ dan $ m = -1 $ :
$ \begin{align} y- b & = m(x-a) + \frac{p}{m} \\ y- 1 & = -1.(x-(-2)) + \frac{-2}{-1} \\ y- 1 & = -1.(x+ 2) + 2 \\ y- 1 & = -x - 2 + 2 \\ y & = -x + 1 \end{align} $
Jadi, persamaan garis singgung parabolanya : $ y = -x + 1 $.

5). Tentukan persamaan garis singgung parabola :
a). Parabola $ x^2 = -12y $ dengan gradien $ 3 $
b). Parabola $ (x - 2)^2 = 4(y + 1) $ dengan gradien $ 2 $
Penyelesaian :
a). Parabola $ x^2 = -12y $ dengan gradien $ 3 $
*). Menentukan nilai $ p $ dari persamaan parabolanya:
Bentuk $ x^2 = -12y $ sama dengan $ x^2 = 4py $
Sehingga $ 4p = -12 \rightarrow p = -3 $.
*). Dari $ x^2 = -12y $ , yang pangkat satu adalah $ y $
PGSP-nya : $ y = mx - m^2p $
*). Menentukan PGSP dengan $ p = -3 $ dan $ m = 3 $ :
$ \begin{align} y & = mx - m^2p \\ y & = 3x - 3^2 . (-3) \\ y & = 3x + 27 \end{align} $
Jadi, persamaan garis singgung parabolanya : $ y = 3x + 27 $.

b). Parabola $ (x - 2)^2 = 4(y + 1) $ dengan gradien $ 2 $
*). Menentukan nilai $ p $ dan titik puncak :
Bentuk $ (x - 2)^2 = 4(y + 1) $ sama dengan $ (x - a)^2 = 4p(y-b) $
Sehingga $ 4p = 4 \rightarrow p = 1 $.
$ x - a = x- 2 \rightarrow a = 2 $
$ y - b = y + 1 \rightarrow b = -1 $
*). Dari $ (x - 2)^2 = 4(y + 1) $ , yang pangkat satu adalah $ y $
PGSP-nya : $ y = mx - m^2p $
Karena ada titik puncak $ (a,b) $ , maka
PGSP-nya : $ y- b = m(x-a) - m^2p $
*). Menentukan PGSP dengan $ p = 1 $ dan $ m = 2 $ :
$ \begin{align} y- b & = m(x-a) - m^2p \\ y- (-1) & = 2(x-2) - 2^2. 1 \\ y + 1 & = 2 x- 4 - 4 \\ y & = 2x - 9 \end{align} $
Jadi, persamaan garis singgung parabolanya : $ y = 2x - 9 $.

6). Tentukan persamaan garis singgung pada parabola $ y^2 = -8(x - 3) $ yang sejajar dengan garis $ 4x - 2y + 7 = 0 $ !
Penyelesaian :
*). Menentukan gradien garis singgungnya :
-). Gradien garis $ 4x - 2y + 7 = 0 \rightarrow m_1 = \frac{-4}{-2} = 2 $
-). Karena garis singgung sejajar, maka gradiennya sama yaitu $ m = 2 $.
Silahkan baca artikel : "Hubungan dua garis lurus".
*). Menentukan nilai $ p $ dan titik puncak :
Bentuk $ y^2 = -8(x - 3) $ sama dengan $ (y- b)^2 = 4p(x - a) $
Sehingga $ 4p = -8 \rightarrow p = -2 $.
$ x - a = x - 3 \rightarrow a = 3 $
$ y - b = y \rightarrow b = 0 $
*). Dari $ y^2 = -8(x - 3) $ , yang pangkat satu adalah $ x $
PGSP-nya : $ y = mx + \frac{p}{m} $
Karena ada titik puncak $ (a,b) $ , maka
PGSP-nya : $ y- b = m(x-a) + \frac{p}{m} $
*). Menentukan PGSP dengan $ p = -2 $ dan $ m = 2 $ :
$ \begin{align} y- b & = m(x-a) + \frac{p}{m} \\ y- 0 & = 2(x-3) + \frac{-2}{2} \\ y & = 2x- 6 - 1 \\ y & = 2x-7 \end{align} $
Jadi, persamaan garis singgung parabolanya : $ y = 2x - 7 $.

7). Tentukan persamaan garis singgung pada parabola $ (x + 1)^2 = -4(y-3) $ yang tegak lurus dengan garis $ -x - 3y = 1 $ !
Penyelesaian :
*). Menentukan gradien garis singgungnya :
-). Gradien garis $ -x - 3y = 1 \rightarrow m_1 = \frac{-(-1)}{-3} = - \frac{1}{3} $
-). Karena garis singgung tegak lurus, maka .
$ m_1 . m_2 = -1 \rightarrow - \frac{1}{3} . m_2 = - 1 \rightarrow m_2 = 3 $.
Artinya gradien garis singgungnya adalah $ m = 3 $.
*). Menentukan nilai $ p $ dan titik puncak :
Bentuk $ (x + 1)^2 = -4(y-3) $ sama dengan $ (x - a)^2 = 4p(y-b) $
Sehingga $ 4p = -4 \rightarrow p = -1 $.
$ x - a = x + 1 \rightarrow a = -1 $
$ y - b = y - 3 \rightarrow b = 3 $
*). Dari $ (x + 1)^2 = -4(y-3) $ , yang pangkat satu adalah $ y $
PGSP-nya : $ y = mx - m^2p $
Karena ada titik puncak $ (a,b) $ , maka
PGSP-nya : $ y- b = m(x-a) - m^2p $
*). Menentukan PGSP dengan $ p = -1 $ dan $ m = 3 $ :
$ \begin{align} y- b & = m(x-a) - m^2p \\ y- 3 & = 3(x-(-1)) - 3^2. (-1) \\ y- 3 & = 3x + 3 + 9 \\ y & = 3x + 15 \end{align} $
Jadi, persamaan garis singgung parabolanya : $ y = 3x + 15 $.

8). Tentukan persamaan garis singgung pada parabola $ x^2 - 2x - 8y - 7 = 0 $ yang tegak lurus dengan garis $ x - 2y - 3 = 0 $ !
Penyelesaian :
*). Untuk mengerjakan contoh soal (8) ini, pertama kita ubah dulu bentuk $ x^2 - 2x - 8y - 7 = 0 $ menjadi $(x - a)^2 = 4p(y-b) $ dengan "cara melengkapkan kuadrat sempurna".
*). Langkah berikutnya mirip dengan contoh soal nomor (7) di atas. Silahkan teman-teman coba sendiri ya, ^_^ , sebagai latihan saja.

Persamaan Garis Singgung Parabola (PGSP) Ketiga
       Jenis Ketiga Persamaan Garis Singgung Parabola yaitu garis singgung parabola yang melalui titik $ (x_1,y_1) $ yang terletak di luar parabola. Bentuk PGSP Ketiga ini :

-). Untuk bentuk PGSP Ketiga ini akan kita lanjutkan lain kali, sementara cukup sampai bentuk PGSP Kedua dulu ya. Semangat belajar, dan bersabar menantikan kelanjutan pembahasan bagian akhirnya.

      Penjelasan untuk PGSP Ketiga ini sudah ada dalam artikel "Persamaan Garis Singgung Titik diluar Parabola". Sengaja kami buat dalam artikel tersendiri karena penjelasannya cukup panjang.

       Demikian pembahasan materi Persamaan Garis Singgung Parabola dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan "irisan kerucut".

Tidak ada komentar:

Posting Komentar

Catatan: Hanya anggota dari blog ini yang dapat mengirim komentar.