Kedudukan Titik terhadap Parabola

         Blog Koma - Pada artikel ini kita akan membahas materi Kedudukan Titik terhadap Parabola. Sebenarnya materi Kedudukan Titik terhadap Parabola ini bisa kita gabungkan dengan materi "Kedudukan Garis terhadap Parabola", hanya saja penulis tidak melakukannya. Padahal Kedudukan Titik terhadap Parabola ini sangat penting dalam kaitannya dengan pembahasan "persamaan garis singgung parabola" yang melalui sebuah titik, dimana kita harus tahu apakah titik yang dilalui oleh garis singgung tersebut ada pada parabola (dilalui oleh parabola) atau tidak (di dalam atau di luar parabola). Ada tiga kemungkinan Kedudukan Titik terhadap Parabola yaitu titik ada di dalam parabola, titik ada pada parabola (dilalui oleh parabola), dan titik ada di luar parabola. Berikut ilustrasi gambar Kedudukan Titik $ A(x_1,y_1) $ terhadap Parabola.

         Untuk memudahkan mempelajari materi Kedudukan Titik terhadap Parabola, teman-teman harus menguasai materi "persamaan parabola dan unsur-unsurnya", operasi hitungan dasar, dan "penyelesaian pertidaksamaan secara umum".

Menentukan Kedudukan Titik terhadap Parabola
       Sebenarnya untuk mengetahui Kedudukan Titik terhadap Parabola tidaklah sulit, caranya yaitu tinggal kita substitusi titik tersebut ke persamaan parabolanya sehingga akan kita peroleh tiga kemungkinan yaitu :

1). Jika nilai ruas kiri $ < $ ruas kanan (lebih kecil), maka titik ada di dalam parabola (di dalam lengkungan parabola),

2). Jika nilai ruas kiri $ = $ ruas kanan, maka titik ada pada parabola (titik dilalui oleh parabola),

3). Jika nilai ruas kiri $ > $ ruas kanan (lebih besar), maka titik ada di luar parabola.
Catatan :
Bentuk kuadrat harus ada di ruas kiri (harus sesuai bentuk umum persamaan parabola), misalkan bentuknya $ 4(x-2) = (y+1)^2 $ maka harus diubah menjadi $ (y+1)^2 = 4(x-2) $.

Contoh Soal Kedudukan Titik terhadap Parabola :

1). Tentukan kedudukan titik $ (-2,3) $ terhadap parabola $ x^2 = 4y $!
Penyelesaian :
*). Substitusi titik $ (-2,3) $ ke persamaan parabola :
$ \begin{align} (x,y)=(-2,3) \rightarrow x^2 & = 4y \\ (-2)^2 & ... 4\times 3 \\ 4 & ... 12 \\ 4 & < 12 \end{align} $
Karena ruas kiri $ < $ ruas kanan ( $ 4 < 12 $) , maka titik $ (-2,3) $ ada di dalam parabola. Berikut ilustrasi gambarnya,

2). Tentukan kedudukan titik $ (1,4) $ terhadap parabola $ (y-1)^2 = 3(x+2) $!
Penyelesaian :
*). Substitusi titik $ (1,4) $ ke persamaan parabola :
$ \begin{align} (x,y)=(1,4) \rightarrow (y-1)^2 & = 3(x+2) \\ (4-1)^2 & ... 3(1+2) \\ 3^2 & ... 3 \times 3 \\ 9 & ... 9 \\ 9 & = 9 \end{align} $
Karena ruas kiri $ = $ ruas kanan ( $ 9 = 9 $) , maka titik $ (1,4) $ ada pada parabola. Berikut ilustrasi gambarnya,

3). Tentukan kedudukan titik $ (2,1) $ terhadap parabola $ (x+1)^2 = -6y $!
Penyelesaian :
*). Substitusi titik $ (2,1) $ ke persamaan parabola :
$ \begin{align} (x,y)=(2,1) \rightarrow (x+1)^2 & = -6y \\ (2+1)^2 & ... -6 \times 1 \\ 3^2 & ... -6 \times 1 \\ 9 & ... -6 \\ 9 & > -6 \end{align} $
Karena ruas kiri $ > $ ruas kanan ( $ 9 > -6 $) , maka titik $ (2,1) $ ada di luar parabola. Berikut ilustrasi gambarnya,

4). Jika titik $ (0,3) $ ada pada parabola (dilalui parabola) $ (y+3)^2 = 2p (x-2) $ , maka tentukan nilai $ p^2 - 80 $!
Penyelesaian :
*). Substitusi titik $(0,3) $ ke persamaan parabolanya :
$ \begin{align} (x,y) = (0,3) \rightarrow (y+3)^2 & = 2p (x-2) \\ (3+3)^2 & = 2p (0-2) \\ 6^2 & = 2p \times -2 \\ 36 & = -4p \\ p & = \frac{36}{-4} = -9 \end{align} $
*). Sehingga nilai :
$ p^2 - 80 = (-9)^2 - 80 = 81 - 80 = 1 $
Jadi, nilai $ p^2 - 80 = 1 $.

5). Jika titik $ (-1,6) $ ada di luar parabola $ (x-3)^2 = 4(y-b) $ , maka tentukan nilai $ b $ yang memenuhi!
Penyelesaian :
*). Substitusi titik $ (-1,6) $ dan syarat ada di luar adalah $ > $ :
$ \begin{align} (x,y) = (-1,6) \rightarrow (x-3)^2 & = 4(y-b) \\ (-1-3)^2 & > 4(6-b) \\ 4^2 & > 24 - 4b \\ 16 & > 24 - 4b \\ 4b & > 24 - 16 \\ 4b & > 8 \\ b & > 2 \end{align} $
Jadi, nilai $ b $ yang memenuhi adalah $ b > 2 $.

6). Jika titik $ (1,k) $ ada di dalam parabola $ (y - 1)^2 = 2(x + 1) $ , maka nilai $ k $ yang memenuhi adalah ....!
Penyelesaian :
*). Substitusi titik $ (1,k) $ dan syarat ada di luar adalah $ < $ :
$ \begin{align} (x,y) = (1,k) \rightarrow (y - 1)^2& = 2(x + 1) \\ (k - 1)^2 & < 2(1 + 1) \\ k^2 - 2k + 1 & < 4 \\ k^2 - 2k -3 & < 0 \\ (k + 1)(k-3) & < 0 \\ k = -1 \vee k & = 3 \end{align} $
garis bilangannya :
Solusinya : $ -1 < k < 3 $.
Silahkan baca : "pertidaksamaan secara umum".
Jadi, nilai $ k $ yang memenuhi adalah $ -1 < k < 3 $.

       Demikian pembahasan materi Kedudukan Titik terhadap Parabola dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan "irisan kerucut".

Tidak ada komentar:

Posting Komentar