Persamaan Parabola dan Unsur-unsurnya

         Blog Koma - Materi yang akan kita bahas berkaitan dengan "irisan kerucut (konik)" adalah parabola. Pada artikel ini kita akan membahas materi Persamaan Parabola dan Unsur-unsurnya. Kurva parabola kita peroleh dari mengiriskan bidang datar dengan bangun ruang berbentuk kerucut. Secara definisi, parabola dapat diartikan sebagai tempat kedudukan titik-titik (misalkan P) sedemikian sehingga jarak titik P dengan titik fokus (titik F) sama dengan jarak titik P ke garis direktris (garis arahnya). Himpunan semua titik $ P(x,y) $ pada kurva parabola dapat kita susun suatu persamaan yaitu persamaan parabola. Untuk cara menemukan persamaan parabola, silahkan baca artikel "Cara Menemukan Persamaan Parabola". Parabola memiliki empat arah yaitu hadap kanan, hadap kiri, hadap atas, dan hadap bawah. Pada artikel ini kita akan lebih fokus pada Persamaan Parabola dan Unsur-unsurnya yang kita lengkapi dengan berbagai contoh soal serta trik mudah dalam mengingat hal-hal yang berkaitan persamaan bola.

Perhatikan ilustrasi kurva parabola dan unsur-unsurnya berikut ini.
Unsur-unsur dari kurva parabola di atas yaitu :
-). Kurva parabolanya ditandai dengan garis lengkung warna biru.
-). Titik $ F(p,0) $ adalah titik Fokus parabola.
-). Titik $ O(0,0) $ adalah titik puncak parabola
-). Garis $ g $ adalah garis arah atau direktris.
-). garis mendatar yang melalui titik Fokus dan titik puncak parabola serta tegak kurus dengan direktris disebut garis sumbu simetri, pada gambar ini garis sumbu simetrinya adalah sumbu X.
-). Garis $ L_1 $ ke $ L_2 $ disebut Latus Rectum dengan panjangnya dapat dihitung yaitu $ L_1L_2 = |4p| $.
-). Jarak titik P ke F sama dengan jarak P ke garis direktris (garis $ g $).

         Sesua dengan arah atau hadap dari kurva parabola, Persamaan Parabola dan Unsur-unsurnya dapat dibagi menjadi empat yaitu hadap kanan, kiri, atas, dan bawah. Sesuai letak titik puncaknya, Persamaan Parabola dan Unsur-unsurnya dapat dibagi menjadi dua yaitu persamaan parabola dengan titik puncak $ (0,0) $ dan persamaan parabola dengan titik puncak $ M(a,b) $. Seperti pada artikel "cara menemukan persamaan parabola", ada empat rumus persamaan parabola yaitu $ x^2 = 4py $, $ x^2 = -4py $, $ y^2 = 4px $ , dan $ y^2 = -4y $ . Untuk memudahkan dalam mengingat persamaan parabola, pada blog ini kita bagi persamaan parabolanya hanya menjadi dua saja yaitu $ x^2 = 4py $ dan $ y^2 = 4px $ dengan nilai $ p $ bisa positif dan juga bisa negatif.

Persamaan Parabola dan unsur-unsurnya, titik puncak $ (0,0) $
$\clubsuit \, $ Bentuk pertama yaitu : $ y^2 = 4px $
Unsur-unsurnya :
1). Titik puncak $ (0,0) $
2). Titik Fokus $ F(p,0) $
3). Persamaan direktris : $ x = -p $
4). Sumbu Simetri : $ y = 0 $
5). Parabola searah sumbu X, jika $ p > 0 $ (positif) maka menghadap ke kanan, dan jika $ p <0 br="" ke="" kiri.="" kurva="" maka="" menghadap="" negatif="" parabola="">
$\spadesuit \, $ Bentuk Kedua yaitu : $ x^2 = 4py $
Unsur-unsurnya :
1). Titik puncak $ (0,0) $
2). Titik Fokus $ F(0, p) $
3). Persamaan direktris : $ y = -p $
4). Sumbu Simetri : $ x = 0 $
5). Parabola searah sumbu Y, jika $ p > 0 $ (positif) maka menghadap ke atas, dan jika $ p <0 bawah.="" div="" ke="" kurva="" maka="" menghadap="" negatif="" parabola="">
Persamaan Parabola dan unsur-unsurnya, titik puncak $ M(a,b) $
$\clubsuit \, $ Bentuk pertama yaitu : $ (y-b)^2 = 4p(x-a) $
Unsur-unsurnya :
1). Titik puncak $ (a,b) $
2). Titik Fokus $ F(a+p,0) $
3). Persamaan direktris : $ x = a-p $
4). Sumbu Simetri : $ y = b $
5). Parabola searah sumbu X, jika $ p > 0 $ (positif) maka menghadap ke kanan, dan jika $ p <0 br="" ke="" kiri.="" kurva="" maka="" menghadap="" negatif="" parabola="">
$\spadesuit \, $ Bentuk Kedua yaitu : $ (x-a)^2 = 4p(y-b) $
Unsur-unsurnya :
1). Titik puncak $ (a,b) $
2). Titik Fokus $ F(0,b+ p) $
3). Persamaan direktris : $ y =b -p $
4). Sumbu Simetri : $ x = a $
5). Parabola searah sumbu Y, jika $ p > 0 $ (positif) maka menghadap ke atas, dan jika $ p <0 bawah.="" div="" ke="" kurva="" maka="" menghadap="" negatif="" parabola="">

Trik Mudah Mengingat persamaan parabola dan unsur-unsurnya.
*). Bentuk $ y^2 = 4px $ atau $ (y-b)^2 = 4p(x-a) $ :
-). Memiliki arah kurva searah sumbu X (ke kanan atau ke kiri), ciri-cirinya $ x $ pangkat satu.
-). Jika diketahui titik puncak dan Fokus, yang berubah $ x $ (absisnya).
-). Memiliki direktris $ x = ... $
-). Rumus Fokus Plus ($+$) dan direktris minus ($-$) :
$ \, \, \, \, \, F(a+p, b) \, $ dan $ x = a - p $

*). Bentuk $ x^2 = 4py $ atau $ (x-b)^2 = 4p(y-a) $ :
-). Memiliki arah kurva searah sumbu Y (ke atas atau ke bawah), ciri-cirinya $ y $ pangkat satu.
-). Jika diketahui titik puncak dan Fokus, yang berubah $ y $ (absisnya).
-). Memiliki direktris $ y = ... $
-). Rumus Fokus Plus ($+$) dan direktris minus ($-$) :
$ \, \, \, \, \, F(a, b+p) \, $ dan $ y = b - p $

*). Ciri-ciri umum :
-). Untuk titik puncak $ (a,b) $ , $ a $ mengurangkan $ x $ dan $ b $ mengurangkan $ y $,
dari $ y^2 = 4px $ menjadi $ (y - b)^2 = 4p(x-a) $.
dari $ x^2 = 4py $ menjadi $ (x - a)^2 = 4p(y - b) $.
-). Titik Fokus selalu ada di adalam parabola dan direktris ada di luar kurva serta titik puncak selalu ada di antara titik fokus dan direktris.

Contoh-contoh Soal Persamaan Parabola dan Unsur-unsurnya :

1). Tentukan koordinat titik puncak, titik fokus, persamaan direktris, persamaan sumbu simetri, dan panjang latus rectum dari persamaan parabola :
a). $ y^2 = 12x $
b). $ y^2 = - 6x $
Penyelesaian :
a). $ y^2 = 12x $
*). Bentuk $ y^2 = 12x $ mirip dengan persamaan parabola $ y^2 = 4px $, artinya :
$ 4p = 12 \rightarrow p = 3 $.
Titik puncak : $ (0,0) $
Titik fokus : $ F(p,0) = (3,0) $
Direktris : $ x = -p \rightarrow x = -3 $
Sumbu simetri : $ y = 0 $
Panjang latus rektum $ = |4p| = |4.3| = 12 $
*). Untuk grafiknya, karena persamaan parabolanya $ y^2 = 12x $ yaitu $ x $ yang pangkat satu maka kurva parabola searah sumbu X, dan nilai $ p = 3 $ positif maka arahnya ke kanan.

b). $ y^2 = - 6x $
*). Bentuk $ y^2 = - 6x $ mirip dengan persamaan parabola $ y^2 = 4px $, artinya :
$ 4p = -6 \rightarrow p = -\frac{3}{2} $.
Titik puncak : $ (0,0) $
Titik fokus : $ F(p,0) = (-\frac{3}{2},0) $
Direktris : $ x = -p \rightarrow x = -(-\frac{3}{2}) \rightarrow x = \frac{3}{2} $
Sumbu simetri : $ y = 0 $
Panjang latus rektum $ = |4p| = |4.(-\frac{3}{2})| = |-6| = 6 $
*). Untuk grafiknya, karena persamaan parabolanya $ y^2 = -6x $ yaitu $ x $ yang pangkat satu maka kurva parabola searah sumbu X, dan nilai $ p = -\frac{3}{2} $ negatif maka arahnya ke kiri.

2). Tentukan koordinat titik puncak, titik fokus, persamaan direktris, persamaan sumbu simetri, dan panjang latus rectum dari persamaan parabola :
a). $ x^2 = 8y $
b). $ x^2 = -12y $
Penyelesaian :
a). $ x^2 = 8y $
*). Bentuk $ x^2 = 8y $ mirip dengan persamaan parabola $ x^2 = 4py $, artinya :
$ 4p = 8 \rightarrow p = 2 $.
Titik puncak : $ (0,0) $
Titik fokus : $ F(0,p) = (0,2) $
Direktris : $ y = -p \rightarrow y = -2 $
Sumbu simetri : $ x = 0 $
Panjang latus rektum $ = |4p| = |4.2| = 8 $
*). Untuk grafiknya, karena persamaan parabolanya $ x^2 = 8y $ yaitu $ y $ yang pangkat satu maka kurva parabola searah sumbu Y, dan nilai $ p = 2 $ positif maka arahnya ke atas.

b). $ x^2 = -12y $
*). Bentuk $ x^2 = -12y $ mirip dengan persamaan parabola $ x^2 = 4py $, artinya :
$ 4p = -12 \rightarrow p = -3 $.
Titik puncak : $ (0,0) $
Titik fokus : $ F(0,p) = (0,-3) $
Direktris : $ y = -p \rightarrow y = -(-3) \rightarrow y = 3 $
Sumbu simetri : $ x = 0 $
Panjang latus rektum $ = |4p| = |4.(-3)| = 12 $
*). Untuk grafiknya, karena persamaan parabolanya $ x^2 = -12y $ yaitu $ y $ yang pangkat satu maka kurva parabola searah sumbu Y, dan nilai $ p = -3 $ negatif maka arahnya ke bawah.

3). Tentukan koordinat titik puncak, titik fokus, persamaan direktris, persamaan sumbu simetri, dan panjang latus rectum dari persamaan parabola :
a). $ (y+1)^2 = 12(x-3) $
b). $ (y-2)^2 = -8(x+5) $
Penyelesaian :
a). $ (y+1)^2 = 12(x-3) $
*). Bentuk $ (y+1)^2 = 12(x-3) $ mirip dengan persamaan parabola $ (y-b)^2 = 4p(x-a) $, artinya :
$ 4p = 12 \rightarrow p = 3 $.
$ x - a = x - 3 \rightarrow a = 3 $
$ y - b = y + 1 \rightarrow b = -1 $
$ a + p = 3 + 3 = 6 $ dan $ a - p = 3-3 = 0 $
Titik puncak : $ (a,b) = (3,-1) $
Titik fokus : $ F(a+p,b) = (6,-1) $
Direktris : $ x = a-p \rightarrow x = 0 $
Sumbu simetri : $ y = b \rightarrow y = -1 $
Panjang latus rektum $ = |4p| = |4.3| = 12 $
*). Untuk grafiknya, karena persamaan parabolanya $ (y+1)^2 = 12(x-3) $ yaitu $ x $ yang pangkat satu maka kurva parabola searah sumbu X, dan nilai $ p = 3 $ positif maka arahnya ke kanan.
 


b). $ (y-2)^2 = -8(x+5) $
*). Bentuk $ (y-2)^2 = -8(x+5) $ mirip dengan persamaan parabola $ (y-b)^2 = 4p(x-a) $, artinya :
$ 4p = -8 \rightarrow p = -2 $.
$ x - a = x +5 \rightarrow a = -5 $
$ y - b = y -2 \rightarrow b = 2 $
$ a + p = -5 + (-2) = -7 $ dan $ a - p = -5 - (-2) = -3 $
Titik puncak : $ (a,b) = (-5,2) $
Titik fokus : $ F(a+p,b) = (-7,2) $
Direktris : $ x = a-p \rightarrow x = -3 $
Sumbu simetri : $ y = b \rightarrow y = 2 $
Panjang latus rektum $ = |4p| = |4.(-2)| = 8 $
*). Untuk grafiknya, karena persamaan parabolanya $ (y-2)^2 = -8(x+5) $ yaitu $ x $ yang pangkat satu maka kurva parabola searah sumbu X, dan nilai $ p = -2 $ negatif maka arahnya ke kiri.

4). Tentukan koordinat titik puncak, titik fokus, persamaan direktris, persamaan sumbu simetri, dan panjang latus rectum dari persamaan parabola :
a). $ (x-2)^2 = 6(y-3) $
b). $ x^2 = -16(y+5) $
c). $ (x+1)^2 = 12y $
Penyelesaian :
a). $ (x-2)^2 = 6(y-3) $
*). Bentuk $ (x-2)^2 = 6(y-3) $ mirip dengan persamaan parabola $ (x-a)^2 = 4p(y-b) $, artinya :
$ 4p = 6 \rightarrow p = \frac{3}{2} $.
$ x - a = x - 2 \rightarrow a = 2 $
$ y - b = y -3 \rightarrow b = 3 $
$ b + p = 3 + \frac{3}{2} = \frac{9}{2} $ dan $ b - p = 3-\frac{3}{2} = \frac{3}{2} $
Titik puncak : $ (a,b) = (2,3) $
Titik fokus : $ F(a,b+p) = (2, \frac{9}{2}) $
Direktris : $ y = b-p \rightarrow y = \frac{3}{2} $
Sumbu simetri : $ x = a \rightarrow x = 2 $
Panjang latus rektum $ = |4p| = |4.\frac{3}{2}| = 6 $
*). Untuk grafiknya, karena persamaan parabolanya $ (x-2)^2 = 6(y-3) $ yaitu $ y $ yang pangkat satu maka kurva parabola searah sumbu Y, dan nilai $ p = \frac{3}{2} $ positif maka arahnya ke atas.

b). $ x^2 = -16(y+5) $
*). Bentuk $ x^2 = -16(y+5) $ mirip dengan persamaan parabola $ (x-a)^2 = 4p(y-b) $, artinya :
$ 4p = -16 \rightarrow p = -4 $.
$ x - a = x \rightarrow a = 0 $
$ y - b = y + 5 \rightarrow b = -5 $
$ b + p = -5 + (-4) = -9 $ dan $ b - p = -5 - (-4) = -1 $
Titik puncak : $ (a,b) = (0,-4) $
Titik fokus : $ F(a,b+p) = (0, -9) $
Direktris : $ y = b-p \rightarrow y = -1 $
Sumbu simetri : $ x = a \rightarrow x = 0 $
Panjang latus rektum $ = |4p| = |4.(-4)| = |-16| = 16 $
*). Untuk grafiknya, karena persamaan parabolanya $ x^2 = -16(y+5) $ yaitu $ y $ yang pangkat satu maka kurva parabola searah sumbu Y, dan nilai $ p = -4 $ negatif maka arahnya ke bawah.

c). $ (x+1)^2 = 12y $
*). Bentuk $ (x+1)^2 = 12y $ mirip dengan persamaan parabola $ (x-a)^2 = 4p(y-b) $, artinya :
$ 4p = 12 \rightarrow p = 3 $.
$ x - a = x + 1 \rightarrow a = -1 $
$ y - b = y \rightarrow b = 0 $
$ b + p = 0 + 3 = 3 $ dan $ b - p = 0-3 = -3 $
Titik puncak : $ (a,b) = (-1,0) $
Titik fokus : $ F(a,b+p) = (-1,3) $
Direktris : $ y = b-p \rightarrow y = -3 $
Sumbu simetri : $ x = a \rightarrow x = -1 $
Panjang latus rektum $ = |4p| = |4.(-4)| = |-16| = 16 $
*). Untuk grafiknya, karena persamaan parabolanya $ (x+1)^2 = 12y $ yaitu $ y $ yang pangkat satu maka kurva parabola searah sumbu Y, dan nilai $ p = 3 $ positif maka arahnya ke atas.

5). Tentukan koordinat titik puncak, titik fokus, persamaan direktris, persamaan sumbu simetri, dan panjang latus rectum dari persamaan parabola :
a). $ x^2 + 4x - 6y - 14 = 0 $
b). $ y^2 - 6y - 4x - 11 = 0 $
c). $ x^2 + 12y - 24 = 0 $
d). $ 2y^2 - 3x + 15 = 0 $
Penyelesaian :
*). Untuk memudahkan mengerjakan soal nomor 5 ini, kita ubah dulu persamaan pada soal menjadi bentuk persamaan parabola pada teori di atas dengan cara melengkapkan kuadrat sempurna. Silahkan pelajari artikelnya di "Cara melengkapkan Kuadrat Sempurna".

a). Mengubah persamaan parabola:
$ \begin{align} x^2 + 4x - 6y - 14 & = 0 \\ x^2 + 4x & = 6y + 14 \\ (x + \frac{4}{2})^2 - (\frac{4}{2})^2 & = 6y + 14 \\ (x + 2)^2 - 4 & = 6y + 14 \\ (x + 2)^2 & = 6y + 18 \\ (x + 2)^2 & = 6(y + 3) \end{align} $
Sehingga bentuk persamaannya menjadi $ (x+2)^2 = 6(y+3) $, langkah berikutnya mirip dengan contoh 4 di atas.
b). Mengubah persamaan parabola:
$ \begin{align} y^2 - 6y - 4x - 11 & = 0 \\ y^2 - 6y & = 4x + 11 \\ (y- \frac{6}{2})^2 - (\frac{6}{2})^2 & = 4x + 11 \\ (y- 3)^2 - 9 & = 4x + 11 \\ (y- 3)^2 & = 4x + 20 \\ (y- 3)^2 & = 4(x + 5) \end{align} $
Sehingga bentuk persamaannya menjadi $ (y- 3)^2 = 4(x + 5) $, langkah berikutnya mirip dengan contoh 3 di atas.
c). Mengubah persamaan parabola :
$ \begin{align} x^2 + 12y - 24 & = 0 \\ x^2 & = -12y + 24 \\ x^2 & = -12(y - 2) \end{align} $
Sehingga bentuk persamaannya menjadi $ x^2 = -12(y - 2) $, langkah berikutnya mirip dengan contoh 4 di atas.
d). Mengubah persamaan parabola :
$ \begin{align} 2y^2 - 3x + 15 & = 0 \\ 2y^2 & = 3x - 15 \\ 2y^2 & = 3(x - 5) \, \, \, \, \, \, \text{(bagi 2)} \\ y^2 & = \frac{3}{2}(x - 5) \end{align} $
Sehingga bentuk persamaannya menjadi $ y^2 = \frac{3}{2}(x - 5) $, langkah berikutnya mirip dengan contoh 3 di atas.

6). Tentukan persamaan parabola jika diketahui :
a). titik puncak $ (-1,2) $ dan Fokus $ (3,2) $
b). titik puncak $ (2,-3) $ dan Fokus $ (2,-4) $
Penyelesaian :
*). Perhatikan titik puncak dan titik fokusnya, jika yang berubah $ x $ (absisnya) maka persamaannya $ (y-b)^2 = 4p(x-a) $ , dan jika yang berubah $ y $ (ordinatnya), maka persamaannya $ (x-a)^2 = 4p(y-b) $.

a). Titik puncak $ (-1,2) $ dan Fokus $ (3,2) $ , yang berubah $ x $ dari $ - 1 $ menjadi $ 3 $ sehingga persamaannya $ (y-b)^2 = 4p(x-a) $.
-). Titik puncak $ (a,b) = (-1,2) $ , nilai $ a = -1 $ dan $ b = 2 $.
-). Titik fokus $ (a+p,b) = ( 3,2) $
$ a + p = 3 \rightarrow -1 + p = 3 \rightarrow p = 4 $.
-). Persamaan parabolanya :
$ \begin{align} (y-b)^2 & = 4p(x-a) \\ (y-2)^2 & = 4.4(x-(-1)) \\ (y-2)^2 & = 16(x+1) \end{align} $

b). Titik puncak $ (2,-3) $ dan Fokus $ (2,-4) $ , yang berubah $ y $ dari $ - 3 $ menjadi $ -4 $ sehingga persamaannya $ (x - a)^2 = 4p(y-b) $.
-). Titik puncak $ (a,b) = (2,-3) $ , nilai $ a = 2 $ dan $ b = -3 $.
-). Titik fokus $ (a, b+p) = ( 2, - 4) $
$ b + p = -4 \rightarrow -3 + p = -4 \rightarrow p = -1 $.
-). Persamaan parabolanya :
$ \begin{align} (x - a)^2 & = 4p(y-b) \\ (x - 2)^2 & = 4. (-1)(y-(-3)) \\ (x - 2)^2 & = -4(y+3) \end{align} $

7). Tentukan persamaan parabola jika diketahui :
a). titik puncak $ (1,-7) $ dan direktris $ x + 1 = 0 $
b). titik Fokus $ (-3,5) $ dan direktris $ y + 3 = 0 $
Penyelesaian :
*). Perhatikan persamaan direktrisnya, jika persamaannya dalam bentuk $ x = ...$ maka persamaan parabolanya $ (y - b)^2 = 4p(x-a) $ , dan jika persamaan direktrisnya $ y = ... $ maka persamaan parabolanya $ (x - a)^2 = 4p(y-b) $.

a). Direktrisnya $ x +1 = 0 \rightarrow x = -1 $, sehingga persamaan parabolanya $ (y-b)^2 = 4p( x - a) $
Titik puncak $ (a,b) = (1, -7) $ , nilai $ a = 1 $ dan $ b = -7 $
Direktris $ x = a - p \leftrightarrow x = - 1 $
sehingga $ a - p = -1 \rightarrow 1 - p = -1 \rightarrow p = 2 $
-). Persamaan parabolanya :
$ \begin{align} (y-b)^2 & = 4p(x-a) \\ (y-(-7))^2 & = 4.2(x-1) \\ (y+7)^2 & = 8(x-1) \end{align} $

b). Direktrisnya $ y + 3 = 0 \rightarrow y = -3 $, sehingga persamaan parabolanya $ (x-a)^2 = 4p( y - b) $
Titik Fokus $ (a,b+p) = (-3,5) $ , nilai $ a = -3 $ dan $ b + p = 5 $
Direktris $ y = b - p \leftrightarrow y = -3 $
sehingga $ b - p = -3 $
Dari bentuk $ b + p = 5 $ dan $ b - p = -3 $, dengan eliminasi dan substitusi kita peroleh $ b = 1 $ dan $ p = 4 $
-). Persamaan parabolanya :
$ \begin{align} (x-a)^2 & = 4p(y - b) \\ (x-(-3))^2 & = 4.4(y - 1) \\ (x+3)^2 & = 16(y - 1) \end{align} $

8). Tentukan persamaan parabola jika diketahui titik puncak $ (-3,1) $ dan melalui titik $ (5, -7) $ !
Penyelesaian :
*). Karena pada soal tidak ada permintaan arah atau hadap dari parabola, maka semua kemungkinan kita hitung (arah sumbu X dan arah sumbu Y).

a). Parabola searah sumbu X dengan persamaan $ (y-b)^2 = 4p(x-a) $ .
titik puncaknya $ (a,b) = ( -3,1) $
*). Persamaan parabolanya :
$ \begin{align} (y-b)^2 & = 4p(x-a) \\ (y-1)^2 & = 4p(x-(-3)) \\ (y-1)^2 & = 4p(x+3) \, \, \, \, \, \, \text{(i)} \end{align} $
*). Substitusi titik yang dilalui $ (5, -7) $ ke pers(i) :
$ \begin{align} (y-1)^2 & = 4p(x+3) \\ (-7-1)^2 & = 4p(5+3) \\ 64 & = 4p.8 \\ 4p & = 8 \end{align} $
Jadi, persamaan parabolanya $ (y-1)^2 = 8(x+3) $

b). Parabola searah sumbu Y dengan persamaan $ (x - a)^2 = 4p(y - b) $ .
titik puncaknya $ (a,b) = ( -3,1) $
*). Persamaan parabolanya :
$ \begin{align} (x - a)^2 & = 4p(y - b) \\ (x - (-3))^2 & = 4p(y - 1) \\ (x + 3)^2 & = 4p(y - 1) \, \, \, \, \, \, \text{(ii)} \end{align} $
*). Substitusi titik yang dilalui $ (5, -7) $ ke pers(ii) :
$ \begin{align} (x + 3)^2 & = 4p(y - 1) \\ (5 + 3)^2 & = 4p(-7 - 1) \\ 64 & = 4p. (-8) \\ 4p & = -8 \end{align} $
Jadi, persamaan parabolanya $ (x + 3)^2 = -8(y - 1) $

9). Tentukan persamaan parabola jika memiliki titik fokus $ (-2,4) $ dan melalui titik $ (2,1) $ serta searah sumbu Y (parabola menghadap atas atau bawah)!
Penyelesaian :
*). Kurva parabola searah sumbu Y memiliki persamaan $ (x-a)^2 = 4p(y-b) $ .
Titik fokus $ (a, b+p) = ( -2, 4) $ , nilai $ a = -2 $ dan $ b + p = 4 \rightarrow b = 4 - p $
-). Persamaan parabolanya :
$ \begin{align} (x-a)^2 & = 4p(y-b) \\ (x-(-2))^2 & = 4p(y-(4 - p)) \\ (x + 2)^2 & = 4p(y+ p -4) \, \, \, \, \, \, \, \text{....(i)} \end{align} $
-). Substitusikan titik yang dilalui $ (2,1) $ ke pers(i) :
$ \begin{align} (x + 2)^2 & = 4p(y+ p -4) \\ (2 + 2)^2 & = 4p(1+ p -4) \\ 16 & = 4p(p -3) \, \, \, \, \, \, \, \text{(bagi 4)} \\ 4 & = p(p -3) \\ 4 & = p^2 - 3p \\ 0 & = p^2 - 3p - 4 \\ 0 & = (p + 1)(p-4) \\ p & = -1 \vee p = 4 \end{align} $
-). Sehingga persamaan parabolanya :
$ \begin{align} p = -1 \rightarrow (x + 2)^2 & = 4p(y+ p -4) \\ (x + 2)^2 & = 4.(-1)(y+ (-1) -4) \\ (x + 2)^2 & = -4(y - 5) \\ p = 4 \rightarrow (x + 2)^2 & = 4p(y+ p -4) \\ (x + 2)^2 & = 4.4(y+ 4 -4) \\ (x + 2)^2 & = 16y \end{align} $
Jadi, persamaan parabolanya adalah $ (x + 2)^2 = -4(y - 5) $ atau $ (x + 2)^2 = 16y $ .

10. Tentukan persamaan parabola yang memiliki persamaan direktris $ x = -4 $ , sumbu simetri $ y = 4 $ dan melalui titik $ (11, - 8 ) $ !
Penyelesaian :
*). Karena direktrisnya $ x = .... $ maka persamaan parabolanya $ ( y - b)^2 = 4p(x-a) $ dan searah sumbu X.
*). Sumbu simetri $ y = b \leftrightarrow y = 4 $ sehingga $ b = 4 $.
*). Persamaan direktrisnya $ x = a-p \leftrightarrow x = -4 $ sehingga $ a - p = -4 \rightarrow a = p - 4 $
*). Persamaan parabolnya :
$ \begin{align} ( y - b)^2 & = 4p(x-a) \\ ( y - 4)^2 & = 4p(x-(p -4)) \\ ( y - 4)^2 & = 4p(x- p + 4) \, \, \, \, \, \, \text{...(i)} \end{align} $
*). Substitusikan titik yang dilalui $ ( 11, -8 ) $ ke pers(i) :
$ \begin{align} ( y - 4)^2 & = 4p(x- p + 4) \\ ( -8 - 4)^2 & = 4p(11- p + 4) \\ 144 & = 4p(15- p) \, \, \, \, \, \text{(bagi 4)} \\ 36 & = p(15- p) \\ 36 & = 15p - p^2 \\ p^2 - 15p + 36 & = 0 \\ (p - 3)(p - 12) & = 0 \\ p = 3 \vee p & = 12 \end{align} $
*). Substitusi nilai $ p $ ke pers(i) :
$ \begin{align} p = 3 \rightarrow ( y - 4)^2 & = 4p(x- p + 4) \\ ( y - 4)^2 & = 4.3(x- 3 + 4) \\ ( y - 4)^2 & = 12(x+1) \\ p = 12 \rightarrow ( y - 4)^2 & = 4p(x- p + 4) \\ ( y - 4)^2 & = 4.12(x- 12 + 4) \\ ( y - 4)^2 & = 48(x-8) \end{align} $
Jadi, persamaan parabolanya $ ( y - 4)^2 = 12(x+1) $ atau $ ( y - 4)^2 = 48(x-8) $ .

11). Tentukan persamaan parabola yang melalui tiga titik yaitu $ (-2,1) $ , $ (1,4) $ , dan $ (1, -2) $ dan searah sumbu X!
Penyelesaian :
*). Persamaan parabola melaui tiga titik dan searah sumbu X adalah $ y^2 + Ay + Bx + C = 0 $, persamaan parabola melaui tiga titik dan searah sumbu Y adalah $ x^2 + Ax + By + C = 0 $.
*). Pada soal ini parabola searah sumbu X sehingga yang kita gunakan adalah $ y^2 + Ay + Bx + C = 0 $ .
*). Substitusi ketiga titik yang dilalui oleh kurva parabola :
$ \begin{align} (1,4) \rightarrow 16 + 4A + B + C & = 0 \, \, \, \, ....(i) \\ (1,-2) \rightarrow 4 -2A + B + C & = 0 \, \, \, \, ....(ii) \\ (-2,1) \rightarrow 1 + A - 2B + C & = 0 \, \, \, \, ....(iii) \end{align} $
*). Eliminasi pers(i) dan pers(ii) :
$ \begin{array}{cc} 16 + 4A + B + C = 0 & \\ 4 -2A + B + C = 0 & - \\ \hline 12 + 6A = 0 & \\ A = -2 & \end{array} $
Pers(i) : $ 16 + 4A + B + C = 0 \rightarrow 16 + 4.(-2) + B + C = 0 \rightarrow B + C = - 8 \, $ ...(iv)
Pers(iii): $ 1 + A - 2B + C = 0 \rightarrow 1 + (-2) - 2B + C = 0 \rightarrow -2B + C = 1 \, $ ...(v)
*). Eliminasi pers(iv) dan pers(v) :
$ \begin{array}{cc} B + C = -8 & \\ -2B + C = 1 & - \\ \hline 3B = -9 & \\ B = -3 & \end{array} $
Pers(iv): $ B + C = -8 \rightarrow -3 + C = -8 \rightarrow C = -5 $.
Kita peroleh $ A = -2, B = -3 , C = -5 $.
Sehingga persamaan parabolanya :
$ y^2 + Ay + Bx + C = 0 \rightarrow y^2 -2y -3x -5 = 0 $
*). Kita ubah persamaan parabolanya :
$ \begin{align} y^2 -2y -3x -5 & = 0 \\ y^2 -2y & = 3x + 5 \\ (y - \frac{2}{2})^2 - (\frac{2}{2})^2 & = 3x + 5 \\ (y - 1)^2 - 1 & = 3x + 5 \\ (y - 1)^2 & = 3x + 6 \\ (y - 1)^2 & = 3(x + 2) \end{align} $
Jadi, persamaan parabolanya $ (y - 1)^2 = 3(x + 2) $ .

       Demikian pembahasan materi Persamaan Parabola dan Unsur-unsurnya yang dilengkapi dengan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan "irisan kerucut" yaitu "Kedudukan Garis terhadap Parabola".

Tidak ada komentar:

Posting Komentar