Kedudukan Garis terhadap Parabola

         Blog Koma - Setelah mempelajari materi "persamaan parabola dan unsur-unsurnya" yang merupakan bagian dari artikel "irisan kerucut", pada artikel ini kita lanjutkan dengan pembahasan materi Kedudukan Garis terhadap Parabola. Materi Kedudukan Garis terhadap Parabola ini penting untuk kita bahas karena bagian awal dari materi "garis singgung parabola" yang akan kita bahas di artikel berikutnya. Kedudukan Garis terhadap Parabola ada tiga jenis atau tiga kemungkinan yaitu pertama : garis memotong kurva parabola di dua titik yang berbeda, kedua : garis menyinggung parabola (memotong parabola di satu titik), dan ketiga : adalah garis tidak memotong kurva parabola. Tentu dari ketiga jenis kedudukan garis ini, masing-masing memiliki syarat tertentu yang tergantung dari nilai Diskriminannya ($ D$) yang biasa kita pelajari pada materi persamaan kuadrat dan fungsi kuadrat dengan rumus $ D = b^2 -4ac $ .

         Untuk memudahkan dalam mempelajari materi Kedudukan Garis terhadap Parabola ini, teman-teman harus menguasai terlebih dahulu beberapa materi yaitu "persamaan garis lurus", "persamaan parabola", dan cara mencari nilai diskriminan seperti pada materi persamaan kuadrat, serta tentang penyelesaian pertidaksamaan.

Syarat Kedudukan Garis terhadap Parabola
       Perhatikan gambar di atas, ada tiga syarat dalam menentukan kedudukan garis terhadap parabola yaitu :
a). Jika nilai $ D > 0 $ , maka garis memotong parabola di dua titik yang berbeda,
b). Jika nilai $ D = 0 $ , maka garis menyinggung parabola (memotong di satu titik) ,
c). Jika nilai $ D < 0 $ , maka garis tidak memotong parabola.

Langkah-langkah dalam menentukan kedudukan garis terhadap parabola :
1). Substitusi garis ke parabola sehingga terbentuk persamaan kuadrat $ ax^2 + bx+ c = 0 $ atau $ ay^2 + by + c = 0 $ ,
2). Tentukan nilai $ D $ (Diskriminan) dengan rumus $ D = b^2 - 4ac $,
3). Dari langkah (2), nilai $ D $ yang kita peroleh kita cocokkan dengan syarat kududukan garis terhadap parabola di atas.

Contoh Soal Kedudukan Garis terhadap Parabola :

1). Tentukan kedudukan masing-masing garis berikut terhadap parabolanya :
a). garis $ y = 2x + 3 $ terhadap parabola $ x^2 = 2(y-1) $
b). garis $ 2x - 4y - 1 = 0 $ terhadap parabola $ x^2 = 4y $
c). garis $ x - y = -5 $ terhadap parabola $ (y - 2)^2 = 3(x+1) $
Penyelesaian :
a). garis $ y = 2x + 3 $ terhadap parabola $ x^2 = 2(y-1) $
*). Substitusi persamaan garis ke persamaan parabola :
$ \begin{align} x^2 & = 2(y-1) \\ x^2 & = 2(2x + 3-1) \\ x^2 & = 2(2x + 2) \\ x^2 & = 4x + 4 \\ x^2 & - 4x - 4 = 0 \\ a & = 1 , b = -4 , c = -4 \end{align} $
*). Menentukan nilai Diskriminan :
$ D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4. 1. (-4) = 16 + 16 = 32 $
*). Karena nilai $ D = 32 > 0 $ , maka sesuai syarat kedudukan garis terhadap parabola, garis $ y = 2x + 3 $ memotong parabola $ x^2 = 2(y-1) $ di dua titik yang berbeda.

b). garis $ 2x - 4y - 1 = 0 $ terhadap parabola $ x^2 = 4y $
*). Ubah persamaan garisnya :
$ 2x - 4y - 1 = 0 \rightarrow 4y = 2x - 1 $
*). Substitusi persamaan garis ke persamaan parabola :
$ \begin{align} x^2 & = 4y \\ x^2 & = 2x - 1 \\ x^2 & - 2x + 1 = 0 \\ a & = 1 , b = -2 , c = 1 \end{align} $
*). Menentukan nilai Diskriminan :
$ D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4. 1. 1 = 4 - 4 = 0 $
*). Karena nilai $ D = 0 $ , maka sesuai syarat kedudukan garis terhadap parabola, garis $ 2x - 4y - 1 = 0 $ menyinggung parabola $ x^2 = 4y $.

c). garis $ x - y = -5 $ terhadap parabola $ (y - 2)^2 = 3(x+1) $
*). Ubah persamaan garisnya :
$ x - y = -5 \rightarrow x = y - 5 $
*). Substitusi persamaan garis ke persamaan parabola :
$ \begin{align} (y - 2)^2 & = 3(x+1) \\ y^2 - 4y + 4 & = 3((y-5)+1) \\ y^2 - 4y + 4 & = 3(y - 4) \\ y^2 - 4y + 4 & = 3y - 12 \\ y^2 - 7y + 16 & = 0 \\ a & = 1 , b = -7 , c = 16 \end{align} $
*). Menentukan nilai Diskriminan :
$ D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4. 1. 16 = 49 - 64 = -15 $
*). Karena nilai $ D = -15 < 0 $ , maka sesuai syarat kedudukan garis terhadap parabola, garis $ x - y = -5 $ tidak memotong parabola $ (y - 2)^2 = 3(x+1) $.

2). Jika garis $ y = 2x+p $ menyinggung kurva $ x^2 = 4(y+1) $ , maka tentukan nilai $ p^2 -3p + 7 $ !
Penyelesaian :
*). Substitusi garis ke persamaan parabola :
$ \begin{align} x^2 & = 4(y+1) \\ x^2 & = 4(2x+p+1) \\ x^2 & = 8x + 4(p+1) \\ x^2 & - 8x - 4(p+1) = 0 \\ a & = 1 , b = -8 , c = -4(p+1) \end{align} $
*). Syarat garis menyinggung parabol : $ D = 0 $
$ \begin{align} D & = 0 \\ b^2 - 4ac & = 0 \\ (-8)^2 - 4.1. (-4(p+1)) & = 0 \\ 64 + 16(p+1) & = 0 \, \, \, \, \, \text{(bagi 16)} \\ 4 + p + 1 & = 0 \\ p & = -5 \end{align} $
Sehingga nilai :
$ p^2 -3p + 7 = (-5)^2 -3.(-5) + 7 = 47 $
Jadi, nilai $ p^2 -3p + 7 = 47 $

3). Sebuah garis $ g $ memiliki gradien $ m $ dan menyinggung parabola $ x^2 = 3(y-2) $. Jika garis $ g $ melalui titik $ (0,q) $ , maka tentukan nilai $ m + 3 $!
Penyelesaian :
*). Menentukan persamaan garis $ g $ yang melalui titik $ (x_1,y_1) = (0,q) $ dan gradien $ m $ :
$\begin{align} y - y_1 & = m(x - x_1) \\ y - q & = m(x -0) \\ y - q & = mx \\ y & = mx + q \end{align} $
*). Substitusi garis ke parabola :
$ \begin{align} x^2 & = 3(y-2) \\ x^2 & = 3( mx + q-2) \\ x^2 & = 3mx + 3q-6 \\ x^2 & - 3mx + 6 - 3q = 0 \\ a & = 1, b = -3m, c = 6 - 3q \end{align} $
*). Syarat garis bersinggungan : $ D = 0 $
$ \begin{align} D & = 0 \\ b^2 - 4ac & = 0 \\ (-3m)^2 - 4.1.(6-3q) & = 0 \\ 9m^2 - 4(6-3q) & = 0 \\ 9m^2 & = 4(6-3q) \\ m^2 & = \frac{4}{9}(6-3q) \\ m & = \pm \sqrt{\frac{4}{9}(6-3q)} \\ & = \pm \frac{2}{3}\sqrt{6 - 3q} \end{align} $
Sehingga nilai $ m + 3 = 3 \pm \frac{2}{3}\sqrt{6 - 3q} $
Jadi, nilai $ m + 3 = 3 \pm \frac{2}{3}\sqrt{6 - 3q} $ .

4). Tentukan semuan nilai $ d $ dengan $ d $ bilangan real sehingga garis $ x = 4dy - 2d $ tidak memotong parabola $ y^2 = \frac{1}{4}(x-3) $ !
Penyelesaian :
*). Substitusi garis ke parabola :
$ \begin{align} y^2 & = \frac{1}{4}(x-3) \\ y^2 & = \frac{1}{4}(4dy - 2d-3) \\ y^2 & = dy - \frac{(2d+3)}{4} \\ y^2 & - dy + \frac{2d+3}{4} = 0 \\ a & = 1, b = -d , c = \frac{2d+3}{4} \end{align} $
*). Syarat tidak berpotongan : $ D < 0 $
$ \begin{align} D & < 0 \\ b^2 - 4ac & < 0 \\ (-d)^2 - 4.1 . \frac{2d+3}{4} & < 0 \\ d^2 - 2d- 3 & < 0 \\ (d + 1)(d-3) & < 0 \\ d = -1 \vee d & = 3 \end{align} $
garis bilangannya :
solusinya : $ \{ -1 < d < 3 \} $.
Jadi, nilai $ d $ agar garis dan bola tidak berpotongan adalah $ \{ -1 < d < 3 \} $.

5). Garis $ y = 2x + r $ memotong parabola $ x^2 = 3y $ di dua titik yang berbeda. Jika $ r $ adalah bilangan bulat terkecil yang memenuhi soal, maka tentukan nilai $ r^2 - 3 $ !
Penyelesaian :
*). Substitusi garis ke parabola :
$ \begin{align} x^2 & = 3y \\ x^2 & = 3(2x + r) \\ x^2 & = 6x + 3r \\ x^2 & - 6x - 3r = 0 \\ a & = 1, b = -6 , c = -3r \end{align} $
*). Syarat tidak berpotongan : $ D > 0 $
$ \begin{align} D & > 0 \\ b^2 - 4ac & > 0 \\ (-6)^2 - 4.1 . (-3r) & > 0 \\ 36 + 12r & > 0 \\ 12r & > -36 \\ r & > -3 \end{align} $
*). Nilai $ r $ bulat yang memenuhi $ r > -3 $ adalah $ \{ -2,-1,0,1,2,3, ... \} $ dengan nilai $ r $ terkecil adalah $ r = -2 $.
Sehingga nilai $ r^2 - 3 = (-2)^2 - 3 = 4 - 3 = 1 $
Jadi, nilai $ r^2 - 3 = 1 $.

       Demikian pembahasan materi Kedudukan Garis terhadap Parabola dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan "irisan kerucut" yaitu "Garis Singgung Parabola".

Tidak ada komentar:

Posting Komentar

Catatan: Hanya anggota dari blog ini yang dapat mengirim komentar.