Asimtot Tegak dan Mendatar Fungsi Aljabar

         Blog Koma - Pada artikel ini kita akan membahas materi Asimtot Tegak dan Mendatar Fungsi Aljabar. Apa sih asimtot itu? Asimtot adalah suatu garis lurus yang akan didekati oleh suatu kurva baik secara tegak (asimtot tegak) atau secara mendatar (asimtot mendatar) atau mendekati miring (disebut asimtot miring, akan kita pelajari pada materi lainnya termasuk pada asimtot kurva hiperbola). Garis yang kita sebut asimtot ini akan selalu didekati oleh kurva namun tidak pernah bersentuhan atau tidak akan berpotongan antara garis dan kurva tersebut di titik jauh tak terhingga (jaraknya semakin lama semakin kecil mendekati nol). Di sini, kurva yang kita maksud adalah grafik selain garis lurus. Apakah semua fungsi aljabar memiliki asimtot? Tentuk jawabannya tidak. Kita akan coba bahas seperti apa syarat suatu fungsi aljabar memiliki asimtot tetak atau asimtot mendatar.

         Sebagai gambaran bentuk dari Asimtot Tegak dan Mendatar Fungsi Aljabar, perhatikan grafik dibawah ini dari fungsi $ f(x) = \frac{x+1}{x-2} $. Persamaan asimtot tegaknya adalah $ x = 2 $ dan persamaan asimtot mendatarnya adalah $ y = 1 $. Untuk titik-titik jauh tak terhingga (ujung-ujung grafik lengkung) semakin mendekati asimtotnya.

         Untuk mempermudah mempelajari materi Asimtot Tegak dan Mendatar Fungsi Aljabar ini, sebaiknya teman-teman menguasai materi "grafik persamaan garis lurus", "limit fungsi aljabar", dan "limit tak hingga". Tentu yang lebih ditekankan di sini adalah penguasaan materi limitnya.

Asimtot Tegak Fungsi Aljabar

       Fungsi $ y = f(x) $ memiliki asimtot tegak misalkan $ x = a $ jika terpenuhi $ \displaystyle \lim_{x \to a } f(x) = +\infty $ atau $ \displaystyle \lim_{x \to a } f(x) = -\infty $ . Artinya terdapat $ x = a $ yang jika kita cari nilai limit mendakati $ a $ akan menghasilkan nilai $ +\infty $ atau $ -\infty $ (dimana $ a \neq \infty $) . Untuk fungsi aljabar, kondisi ini (memiliki asimtot tegak) jika fungsinya berbentuk pecahan.

       Fungsi $ y = \frac{f(x)}{g(x)} $ memiliki asimtot $ x = a $ jika $ g(a) = 0 $ dan $ f(a) \neq 0 $, artinya $ x = a $ adalah akar dari $ g(x) $ yang sebagai penyebutnya dan berbeda dengan akar pembilangnya (INGAT : suatu bilangan dibagi $ 0 $ pada limit hasilnya $ \infty$). Suatu fungsi aljabar bisa memiliki lebih dari satu asimtot tegak.

Asimtot Mendatar Fungsi Aljabar

       Fungsi $ y = f(x) $ memiliki asimtot mendatar misalkan $ y = b $ jika terpenuhi $ \displaystyle \lim_{x \to +\infty } f(x) = b $ atau $ \displaystyle \lim_{x \to -\infty } f(x) = b $ dengan $ b \neq +\infty $ atau $ b \neq -\infty$. Artinya untuk $ x $ mendekati $ +\infty $ atau $ -\infty $ maka nilai fungsinya akan mendekati nilai konstanta tertentu yaitu $ b $. Agar memiliki asimtot mendatar, biasanya fungsinya berbentuk pecahan.

Catatan asimtot mendatar :
i). Cukup terpenuhi salah satu saja yaitu $ \displaystyle \lim_{x \to +\infty } f(x) = b $ atau $ \displaystyle \lim_{x \to -\infty } f(x) = b $, maka $ y = b $ sudah bisa dikatakan sebagai persamaan asimtot mendatar fungsi $ y = f(x) $.
ii). Karena penghitungannya menggunakan limit $ x $ mendekati $ +\infty $ atau $ x $ mendekati $ -\infty $ maka ada tiga kemungkinan hasilnya untuk fungsi berbentuk pecahan yaitu :
a). pangkat pembilang dan penyebut tertingginya sama, maka ada asimtot mendatarnya,
b). pangkat pembilang lebih kecil dari pangkat penyebutnya, maka ada asimtot mendatarnya yaitu $ y = 0 $,
c). pangkat pembilang lebih besar dari pangkat penyebutnya, maka ada tidak ada asimtot mendatarnya, akan tetapi kemungkinan besar memiliki asimtot miring.

Contoh Soal Asimtot Tegak dan Mendatar Fungsi Aljabar :

1). Tentukan persamaan asimtot tegak dan asimtot mendatar fungsi $ f(x) = \frac{x+1}{x-2} $ jika ada!
Penyelesaian :
*). Asimtot tegaknya :
Perhatikan penyebutnya yaitu $ x - 2 $ yang memiliki akar $ x = 2 $. Sehingga persamaan asimtot tegaknya adalah $ x = 2 $ karena $ \displaystyle \lim_{x \to 2 } \, \frac{x+1}{x-2} = \infty $.
*). Asimtot mendatar :
-). Nilai limit untuk $ x $ mendekati $ + \infty $
$ \displaystyle \lim_{x \to + \infty } \, \frac{x+1}{x-2} = 1 $
-). Nilai limit untuk $ x $ mendekati $ - \infty $
$ \displaystyle \lim_{x \to - \infty } \, \frac{x+1}{x-2} = 1 $
Sehingga persamaan asimtot mendatarnya adalah $ y = 1 $.

Catatan :
Untuk memudahkan dalam menentukan persamaan asimtot mendatarnya, kita harus benar-benar menguasai materi limt tak hingga yang bisa teman-teman baca pada artikel "penyelesaian limit tak hingga".

2). Tentukan persamaan asimtot tegak dan asimtot mendatar dari fungsi $ f(x) = \frac{3}{x^2 - 3x - 10 } $ !
Penyelsaian :
*). Asimtot tegaknya :
Perhatikan penyebutnya yaitu $ x^2 - 3x - 10 = (x+2)(x-5) $ yang memiliki akar $ x = -2 $ dan $ x = 5 $. Sehingga persamaan asimtot tegaknya adalah $ x = -2 $ dan $ x = 5 $ karena $ \displaystyle \lim_{x \to - 2 } \, \frac{3}{x^2 - 3x - 10 } = \infty $ dan $ \displaystyle \lim_{x \to 5 } \, \frac{3}{x^2 - 3x - 10 } = \infty $.
*). Asimtot mendatar :
-). Nilai limit untuk $ x $ mendekati $ +\infty $
$ \displaystyle \lim_{x \to +\infty } \, \frac{3}{x^2 - 3x - 10 } = \frac{3}{\infty} = 0 $
-). Nilai limit untuk $ x $ mendekati $ -\infty $
$ \displaystyle \lim_{x \to -\infty } \, \frac{3}{x^2 - 3x - 10 } = \frac{3}{\infty} = 0 $
Sehingga persamaan asimtot mendatarnya adalah $ y = 0 $.

3). Tentukan persamaan asimtot tegak dan asimtot mendatar dari fungsi $ f(x) = \frac{3x^2 + x - 5}{x^2 + 2x} $ !
Penyelsaian :
*). Asimtot tegaknya :
Perhatikan penyebutnya yaitu $ x^2 + 2x = x(x+2) $ yang memiliki akar $ x = -2 $ dan $ x = 0 $. Sehingga persamaan asimtot tegaknya adalah $ x = -2 $ dan $ x = 0 $ karena $ \displaystyle \lim_{x \to - 2 } \, \frac{3x^2 + x - 5}{x^2 + 2x} = \infty $ dan $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \, \frac{3x^2 + x - 5}{x^2 + 2x} = \infty $.
*). Asimtot mendatar :
-). Nilai limit untuk $ x $ mendekati $ + \infty $
$ \displaystyle \lim_{x \to +\infty } \, \frac{3x^2 + x - 5}{x^2 + 2x} = \frac{3}{1} = 3 $
-). Nilai limit untuk $ x $ mendekati $ - \infty $
$ \displaystyle \lim_{x \to -\infty } \, \frac{3x^2 + x - 5}{x^2 + 2x} = \frac{3}{1} = 3 $
Sehingga persamaan asimtot mendatarnya adalah $ y = 3 $.

4). Tentukan persamaan asimtot tegak dan asimtot mendatar dari fungsi $ f(x) = \frac{x^3+1}{x-1} $!
Penyelsaian :
*). Asimtot tegaknya :
Perhatikan penyebutnya yaitu $ (x-1) $ yang memiliki akar $ x = 1 $ . Sehingga persamaan asimtot tegaknya adalah $ x = 1 $ karena $ \displaystyle \lim_{x \to 1 } \, \frac{x^3+1}{x-1} = \infty $.
*). Asimtot mendatar :
Nilai limit untuk $ x $ mendekati $ \infty $
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, \frac{x^3+1}{x-1} = \infty $
Sehingga fungsi $ f(x) = \frac{x^3+1}{x-1} $ tidak memiliki asimtot mendatar.

5). Tentukan persamaan asimtot tegak dan asimtot mendatar dari fungsi $ f(x) = \frac{x^2 - 2x - 3}{x+1} $!
Penyelsaian :
*). Coba kita sederhanakan dulu fungsinya :
$ f(x) = \frac{x^2 - 2x - 3}{x+1} = \frac{(x+1)(x-3)}{x+1} = x - 3 $.
Ternyata fungsinya berbentuk $ f(x) = x - 3 $ yang artinya bukan berbentuk pecahan, sehingga tidak memiliki persamaan asimtot tegak dan asimtot mendatar.

6). Tentukan persamaan asimtot tegak dan asimtot mendatar dari fungsi $ f(x) = \frac{x - 5}{\sqrt{x^2-3x+2}} $!
Penyelsaian :
*). Asimtot tegaknya :
Perhatikan penyebutnya yaitu $ x^2-3x+2 = (x-1)(x-2) $ yang memiliki akar $ x = 1 $ dan $ x = 2 $ . Sehingga persamaan asimtot tegaknya adalah $ x = 1 $ dan $ x = 2 $ karena $ \displaystyle \lim_{x \to 1 } \, \frac{x - 5}{\sqrt{x^2-3x+2}} = \infty $ dan $ \displaystyle \lim_{x \to 2 } \, \frac{x - 5}{\sqrt{x^2-3x+2}} = \infty $.
*). Asimtot mendatar :
-). Nilai limit untuk $ x $ mendekati $ + \infty $
$ \displaystyle \lim_{x \to + \infty } \, \frac{x - 5}{\sqrt{x^2-3x+2}} = 1 $
-). Nilai limit untuk $ x $ mendekati $ - \infty $
$ \displaystyle \lim_{x \to - \infty } \, \frac{x - 5}{\sqrt{x^2-3x+2}} = -1 $
Sehingga persamaan asimtot mendatarnya adalah $ y = -1 $ dan $ y = 1 $.

7). Tentukan persamaan asimtot tegak dan asimtot mendatar dari fungsi $ f(x) = \sqrt{4x^2 - 2x + 1} - \sqrt{4x^2 + 2x - 5} $!
Penyelsaian :
*). Asimtot tegaknya :
Fungsi $ f(x) = \sqrt{4x^2 - 2x + 1} - \sqrt{4x^2 + 2x - 5} $ tidak memiliki asimtot tegak $ x = a $ karena tidak ada yang memenuhi $ \displaystyle \lim_{x \to a } \, \sqrt{4x^2 - 2x + 1} - \sqrt{4x^2 + 2x - 5} = \infty $.
*). Asimtot mendatar :
-). Kita ubah dulu menjadi bentuk pecahan dengan merasionalkan :
$ \begin{align} f(x) & = \sqrt{4x^2 - 2x + 1} - \sqrt{4x^2 + 2x - 5} \times \frac{\sqrt{4x^2 - 2x + 1} + \sqrt{4x^2 + 2x - 5} }{\sqrt{4x^2 - 2x + 1} + \sqrt{4x^2 + 2x - 5} } \\ f(x) & = \frac{-4x + 6}{\sqrt{4x^2 - 2x + 1} + \sqrt{4x^2 + 2x - 5} } \end{align} $
-). Nilai limit untuk $ x $ mendekati $ + \infty $
$ \displaystyle \lim_{x \to + \infty } \, \frac{-4x + 6}{\sqrt{4x^2 - 2x + 1} + \sqrt{4x^2 + 2x - 5} } = \frac{-4}{2.2} = -1 $
-). Nilai limit untuk $ x $ mendekati $ - \infty $
$ \displaystyle \lim_{x \to - \infty } \, \frac{-4x + 6}{\sqrt{4x^2 - 2x + 1} + \sqrt{4x^2 + 2x - 5} } = \frac{4}{2.2} = 1 $
Sehingga persamaan asimtot mendatarnya adalah $ y = -1 $ dan $ y = 1 $.

       Soal-soal untuk menentukan Asimtot Tegak dan Mendatar Fungsi Aljabar ternyata dikeluarkan pada SBMPTN 2017 (Seleksi Bersama Masuk Perguruan Tinggi Negeri) untuk matematika IPA atau saintek. Berikut saya kami sajikan 4 Soal SBMPTN 2017 berkaitan materi asimtot tegak dan asimtot mendatar fungsi aljabar, silahkan teman-teman mencobanya. Jika kesulitan, maka teman-teman bisa ikuti link pembahasan disetiap soalnya.

Nomor 12, SBMTPN 2017 Kode 165

Diketahui fungsi $ f(x) = \frac{ax+5}{\sqrt{x^2+bx+1}} $ dengan $ a > 0 $ dan $ b < 0 $. Jika grafik fngsi $ f $ mempunyai satu asimtot tegak dan salah satu asimtot datarnya adalah $ y = -3 $ , maka $ a + 2b $ adalah .....
A). $ -2 \, $ B). $ -1 \, $ C). $ 0 \, $ D). $ 1 \, $ E). $ 2 $

Nomor 12, SBMPTN 2017 Kode 166

Jika kurva $ y = \frac{x^3 - 3x +2}{\frac{1}{a}x(x^2-ax-6)} $ mempunyai dua asimtot tegak, maka asimtot datar dari kurva tersebut adalah ....
A). $ y = 1 \, $ B). $ y = \frac{1}{2} \, $
C). $ y=-\frac{1}{2} \, $ D). $ y = -1 \, $
E). $ y = -2 $

Nomor 12, SBMPTN 2017 Kode 167

Di antara pilihan berikut, kurva $ y = \frac{x^3+x^2+1}{x^3+10} $ memotong asimtot datarnya di titik $ x = .... $
A). $ 0 \, $ B). $ 1 \, $ C). $ 2 \, $ D). $ 3 \, $ E). $ 4 $

Nomor 12, SBMPTN 2017 Kode 168

Grafik fungsi $ f(x) = \frac{(x+2)^k(x^2-1)}{(x^2+x-2)(x^2+3x+2)} $ , $ k $ bilangan asli, mempunyai satu asimtot tegak jika $ k = .... $
A). $ 1 \, $ B). $ 2 \, $ C). $ 3 \, $ D). $ 4 \, $ E). $ 5 $

       Demikian pembahasan materi Asimtot Tegak dan Mendatar Fungsi Aljabar dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan "Asimtot miring Fungsi Aljabar" serta "Asimtot Tegak dan Mendatar Fungsi Trigonometri".