Pembuktian Matriks Pencerminan garis y=mx+c

         Blog Koma - Setelah sebelumnya kita belajar tentang "Pencerminan terhadap Garis $y=mx+c$", dimana pengerjaan transformasinya sama seperti rotasi dengan pusat $(0,c)$ dan sudut rotasi $ \theta $ serta $ \tan \theta = m $ sehingga matriks rotasinya adalah $ \left( \begin{matrix} \cos 2 \theta & \sin 2 \theta \\ \sin 2 \theta & -\cos 2 \theta \end{matrix} \right) $ . Nah, pada artikel ini kita akan membahas Pembuktian Matriks Pencerminan garis $y=mx+c$ , artinya kita akan mempelajari cara menemukan matriks rotasi $ \left( \begin{matrix} \cos 2 \theta & \sin 2 \theta \\ \sin 2 \theta & -\cos 2 \theta \end{matrix} \right) $.

         Untuk memudahkan mempelajari materi Pembuktian Matriks Pencerminan garis $y=mx+c$, sebaiknya teman-teman memahami beberapa materi trigonometri yaitu diantaranya "Perbandingan Trigonometri pada Segitiga Siku-Siku", "Rumus Trigonometri untuk Jumlah dan Selisih Dua Sudut", "kesamaan dua buah matriks", dan "Matriks Transformasi Geometri".

Matriks Pencerminan garis $y=mx+c$

       Adapun matriks pencerminan garis $ y = mx + c $
yaitu : MT $ = \left( \begin{matrix} \cos 2 \theta & \sin 2 \theta \\ \sin 2 \theta & -\cos 2 \theta \end{matrix} \right) $

Pembuktian Matriks Pencerminan garis $y=mx+c$
Perhatikan ilustrasi gambar berikut, terdapat titik $A(a,b)$ dicerminkan terhadap garis $ y = mx + c $ menghasilkan bayangan $A^\prime (a^\prime , b^\prime )$.

Keterangan berdasarkan gambar:
Jari-jari lingkaran adalah $ r $,
Sudut yang dibentuk oleh titik $A(a,b)$ terhadap sumbu mendatar = $ \beta $,
Sudut yang dibentuk oleh garis $ y = mx + c $ terhadap sumbu mendatar = $ \theta $,
Sudut yang dibentuk oleh garis $ y = mx + c $ terhadap titik $A(a,b) = \theta - \beta $,
Sudut yang dibentuk oleh garis $A^\prime (a^\prime , b^\prime ) $ terhadap $ y = mx + c = \theta - \beta $,
Sudut yang dibentuk oleh titik $A^\prime (a^\prime , b^\prime ) $ terhadap sumbu mendatar = $ 2\theta - \beta $,

*). Perhatikan segitiga OCA :
Sudut COA adalah $ \beta $ dengan panjang $ OC = a , \, OA = r $, dan $ AC = b $, sehingga :
$ \sin \beta = \frac{de}{mi} = \frac{AC}{OA} = \frac{b}{r} \rightarrow b = r \sin \beta $ .
$ \cos \beta = \frac{sa}{mi} = \frac{OC}{OA} = \frac{a}{r} \rightarrow a = r \cos \beta $ .

*). Perhatikan segitiga OBA$^\prime$ :
Sudut BOA$^\prime$ adalah $ (2\theta - \beta ) $ dengan panjang $ OB = a^\prime , \, OA^\prime = r $, dan $ BA^\prime = b^\prime $, sehingga :
$ \sin (2\theta - \beta ) = \frac{de}{mi} = \frac{BA^\prime}{OA^\prime} = \frac{b^\prime}{r} \rightarrow b^\prime = r \sin (2\theta - \beta ) $ .
$ \cos (2\theta - \beta ) = \frac{sa}{mi} = \frac{OB}{OA^\prime} = \frac{a^\prime}{r} \rightarrow a^\prime = r \cos (2\theta - \beta ) $ .

*). Rumus trigonometri jumlah atau selisih sudut :
$ \sin (A - B ) = \sin A \cos B - \cos A \sin B $
$ \cos (A - B ) = \cos A \cos B + \sin A \sin B $

*). Menentukan hubungan $ A^\prime (a^\prime , b^\prime ) $ dan $ A(a,b) $ :
$ \begin{align} a^\prime & = r \cos (2\theta - \beta ) \\ b^\prime & = r \sin (2\theta - \beta ) \\ \left( \begin{matrix} a^\prime \\ b^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} r \cos (2\theta - \beta ) \\ r \sin (2\theta - \beta ) \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} r (\cos 2\theta \cos \beta + \sin 2\theta \sin \beta ) \\ r ( \sin 2\theta \cos \beta - \cos 2\theta \sin \beta ) \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} r \cos 2\theta \cos \beta + r\sin 2\theta \sin \beta ) \\ r \sin 2\theta \cos \beta - r\cos 2\theta \sin \beta \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} \cos 2\theta . r \cos \beta + \sin 2\theta . r\sin \beta ) \\ \sin 2\theta .r\cos \beta - \cos 2\theta .r\sin \beta \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} \cos 2\theta . a + \sin 2\theta .b ) \\ \sin 2\theta .a - \cos 2\theta .b \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} a^\prime \\ b^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} \cos 2\theta & \sin 2\theta \\ \sin 2\theta & - \cos 2\theta \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} a^\prime \\ b^\prime \end{matrix} \right) & = (MT) . \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) \end{align} $
Artinya kita peroleh $ MT = \left( \begin{matrix} \cos 2\theta & \sin 2\theta \\ \sin 2\theta & - \cos 2\theta \end{matrix} \right) $.
Terbukti yang kita inginkan.

       Demikian pembahasan materi Pembuktian Matriks Pencerminan garis y=mx+c . Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan Pembuktian Matriks Pencerminan Dua Garis Sembarang.

Artikel Terkait