Pembuktian Matriks Pencerminan garis y=mx+c

         Blog Koma - Setelah sebelumnya kita belajar tentang "Pencerminan terhadap Garis $y=mx+c$", dimana pengerjaan transformasinya sama seperti rotasi dengan pusat $(0,c)$ dan sudut rotasi $ \theta $ serta $ \tan \theta = m $ sehingga matriks rotasinya adalah $ \left( \begin{matrix} \cos 2 \theta & \sin 2 \theta \\ \sin 2 \theta & -\cos 2 \theta \end{matrix} \right) $ . Nah, pada artikel ini kita akan membahas Pembuktian Matriks Pencerminan garis $y=mx+c$ , artinya kita akan mempelajari cara menemukan matriks rotasi $ \left( \begin{matrix} \cos 2 \theta & \sin 2 \theta \\ \sin 2 \theta & -\cos 2 \theta \end{matrix} \right) $.

         Untuk memudahkan mempelajari materi Pembuktian Matriks Pencerminan garis $y=mx+c$, sebaiknya teman-teman memahami beberapa materi trigonometri yaitu diantaranya "Perbandingan Trigonometri pada Segitiga Siku-Siku", "Rumus Trigonometri untuk Jumlah dan Selisih Dua Sudut", "kesamaan dua buah matriks", dan "Matriks Transformasi Geometri".

Matriks Pencerminan garis $y=mx+c$
       Adapun matriks pencerminan garis $ y = mx + c $
yaitu : MT $ = \left( \begin{matrix} \cos 2 \theta & \sin 2 \theta \\ \sin 2 \theta & -\cos 2 \theta \end{matrix} \right) $

Pembuktian Matriks Pencerminan garis $y=mx+c$
Perhatikan ilustrasi gambar berikut, terdapat titik $A(a,b)$ dicerminkan terhadap garis $ y = mx + c $ menghasilkan bayangan $A^\prime (a^\prime , b^\prime )$.
Keterangan berdasarkan gambar:
Jari-jari lingkaran adalah $ r $,
Sudut yang dibentuk oleh titik $A(a,b)$ terhadap sumbu mendatar = $ \beta $,
Sudut yang dibentuk oleh garis $ y = mx + c $ terhadap sumbu mendatar = $ \theta $,
Sudut yang dibentuk oleh garis $ y = mx + c $ terhadap titik $A(a,b) = \theta - \beta $,
Sudut yang dibentuk oleh garis $A^\prime (a^\prime , b^\prime ) $ terhadap $ y = mx + c = \theta - \beta $,
Sudut yang dibentuk oleh titik $A^\prime (a^\prime , b^\prime ) $ terhadap sumbu mendatar = $ 2\theta - \beta $,

*). Perhatikan segitiga OCA :
Sudut COA adalah $ \beta $ dengan panjang $ OC = a , \, OA = r $, dan $ AC = b $, sehingga :
$ \sin \beta = \frac{de}{mi} = \frac{AC}{OA} = \frac{b}{r} \rightarrow b = r \sin \beta $ .
$ \cos \beta = \frac{sa}{mi} = \frac{OC}{OA} = \frac{a}{r} \rightarrow a = r \cos \beta $ .

*). Perhatikan segitiga OBA$^\prime$ :
Sudut BOA$^\prime$ adalah $ (2\theta - \beta ) $ dengan panjang $ OB = a^\prime , \, OA^\prime = r $, dan $ BA^\prime = b^\prime $, sehingga :
$ \sin (2\theta - \beta ) = \frac{de}{mi} = \frac{BA^\prime}{OA^\prime} = \frac{b^\prime}{r} \rightarrow b^\prime = r \sin (2\theta - \beta ) $ .
$ \cos (2\theta - \beta ) = \frac{sa}{mi} = \frac{OB}{OA^\prime} = \frac{a^\prime}{r} \rightarrow a^\prime = r \cos (2\theta - \beta ) $ .

*). Rumus trigonometri jumlah atau selisih sudut :
$ \sin (A - B ) = \sin A \cos B - \cos A \sin B $
$ \cos (A - B ) = \cos A \cos B + \sin A \sin B $

*). Menentukan hubungan $ A^\prime (a^\prime , b^\prime ) $ dan $ A(a,b) $ :
$ \begin{align} a^\prime & = r \cos (2\theta - \beta ) \\ b^\prime & = r \sin (2\theta - \beta ) \\ \left( \begin{matrix} a^\prime \\ b^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} r \cos (2\theta - \beta ) \\ r \sin (2\theta - \beta ) \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} r (\cos 2\theta \cos \beta + \sin 2\theta \sin \beta ) \\ r ( \sin 2\theta \cos \beta - \cos 2\theta \sin \beta ) \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} r \cos 2\theta \cos \beta + r\sin 2\theta \sin \beta ) \\ r \sin 2\theta \cos \beta - r\cos 2\theta \sin \beta \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} \cos 2\theta . r \cos \beta + \sin 2\theta . r\sin \beta ) \\ \sin 2\theta .r\cos \beta - \cos 2\theta .r\sin \beta \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} \cos 2\theta . a + \sin 2\theta .b ) \\ \sin 2\theta .a - \cos 2\theta .b \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} a^\prime \\ b^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} \cos 2\theta & \sin 2\theta \\ \sin 2\theta & - \cos 2\theta \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} a^\prime \\ b^\prime \end{matrix} \right) & = (MT) . \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) \end{align} $
Artinya kita peroleh $ MT = \left( \begin{matrix} \cos 2\theta & \sin 2\theta \\ \sin 2\theta & - \cos 2\theta \end{matrix} \right) $.
Terbukti yang kita inginkan.

       Demikian pembahasan materi Pembuktian Matriks Pencerminan garis y=mx+c . Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan Pembuktian Matriks Pencerminan Dua Garis Sembarang.

6 komentar:

  1. maaf, panjang AC bukan seharusnya adalah b-c ya?

    BalasHapus
    Balasan
    1. Hallow @Irwansyah,

      Terimakasih untuk tanggapannya.

      Jika kita perhatikan gambar di atas, panjang AC sama dengan y pada titik A sehingga $ AC = b $.

      atau bisa kita lihat AC itu jarak dari titik A ke sumbu X yaitu sama dengan bagian ordinatnya.

      Semoga bisa memperjelas tentang panjang AC.

      Terimakasih untuk kunjungannya ke blog koma ini.
      semoga bisa membantu.

      Hapus
  2. Kok muncul math processing error,, apakah sudah tidak bisa di baca lagi fungsi matematika nya?

    BalasHapus
    Balasan
    1. Hallow @Event,

      Terimakasih untuk kunjungannya ke blog koma ini.

      Muncul "math processing error" biasanya terjadi karena LATEX nya atau karena koneksi internetnya. Untuk mengatasinya, coba di refresh lagi yang halaman yang muncul kata tersebut.

      Semoga terus bisa membantu.

      Hapus
  3. tentukan persamaan lingkaran x pangkat 2 + y pangkat 2 = 9 oleh refleksi berurutan terhadap garis y-2x+1=0 dan 2y+x-8=0

    mohon solusinya terimakasih

    BalasHapus
    Balasan
    1. hallow,

      untuk contoh pembahasan seperti soal di atas, silahkan lihat di link berikut :

      Pencerminan terhadap dua garis sembarang

      semoga bisa membantu.

      Hapus