Keliling Irisan Dua Lingkaran Bentuk 3

         Blog Koma - Setelah mempelajari artikel "keliling irisan dua lingkaran bentuk 1" dan "keliling irisan dua lingkaran bentuk 2", kita lanjutkan pada artikel ini pembahasan materi Keliling Irisan Dua Lingkaran Bentuk 3. Adapun bentuk irisan dua lingkaran bentuk 3 yaitu kedua pusat lingkaran berada disebelah kiri garis perpotongan lingkaran atau disebelah kanan (kedua pusat lingkaran berada pada satu ruas terhadap garis perpotongan lingkaran). Seperti biasanya, keliling daerah arsiran irisan dua lingkaran berbentuk busur-busur pada masing-masing kedua lingkaran, sehingga untuk menghitung kelilingnya teman-teman harus mengetahui rumus panjang busur pada lingkaran. Berikut penjelasan menghitung rumus keliling irisannya.

Keliling Irisan Dua Lingkaran Bentuk 3

       Perhatikan gambar irisan dua lingkaran bentuk 3 berikut ini.

Dari gambar tersebut, keliling irisan dua lingkaran tersebut adalah penjumlahan dari dua busur yang terbentuk yaitu busur 1 (pada lingkaran kecil) dan busur 2 (pada lingkaran besar). Misalkan jari-jari lingkaran kecil adlah $ r $ dan jari-jari lingkaran besar adalah $ R $. Besar sudut pada busur 1 adalah $ 360^\circ - x $ dan besar sudut busur 2 adalah $ y $.

$\spadesuit $ Menentukan keliling irisan dua lingkaran bentuk 3
Untuk menentukan keliling irisannya, kita harus menentukan panjang kedua busurnya, yaitu :
*). Busur 1 pada lingkaran kecil dengan sudut $ 360^\circ - x $ :
busur 1 = $ \frac{360^\circ - x}{360^\circ} . 2 \pi . r = \frac{360^\circ - x}{180^\circ} . \pi . r $
*). Busur 2 pada lingkaran Besar :
busur 2 = $ \frac{\angle CAD}{360^\circ} . 2 \pi . R = \frac{y}{180^\circ} . \pi . R $
*). Sehingga keliling irisannya :
Keliling irisan = busur 1 + busur 2.
Keliling irisan = $ \frac{360^\circ - x}{180^\circ} . \pi . r + \frac{y}{180^\circ} . \pi . R $

Keliling irisan = $ \pi \left( \frac{360^\circ - x}{180^\circ} . r + \frac{y}{180^\circ} . R \right) $

$ \clubsuit $ Menentukan besar sudut
Untuk menentukan besarnya sudut masing-masing busur, kita menggunakan aturan kosinus. Misalkan besar sudut CAD pada busur 2, besar sudutnya :
$ \cos \angle CAD = \frac{AD^2 + AC^2 - CD^2}{2.AD.AC} = \frac{R^2 + R^2 - CD^2}{2.R.R} $
$ \cos \angle CAD = \frac{2R^2 - CD^2}{2R^2} $

$\clubsuit $ Menentukan panjang garis CD
Sebelum menentukan jarak atau panjang CD, kita harus menentukan titik C dan D (titik potong kedua lingkaran) terlebih dahulu. Untuk menentukan panjang CD, kita gunakan konsep jarak antar dua titik, misalkan titik C($x_1,y_1$) dan D($x_2,y_2$) , jarak atau panjang CD adalah
$ CD = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2-y_1)^2} $

Contoh Soal Keliling irisan dua lingkaran bentuk 3 :
1). Tentukan Keliling irisan dua lingkaran dengan persamaan lingkaran masing-masing $ (x - 2)^2 + ( y - 1)^2 = 4 $ dan $ (x - 1)^2 + ( y - 1)^2 = 7 $ ?

Penyelesaian :
*). gambar irisan kedua lingkaran :

persamaan lingkaran dan jari-jarinya,
$ (x - 2)^2 + ( y - 1)^2 = 4 \rightarrow r = \sqrt{4} = 2 $ (lingkaran kecil)
$ (x - 1)^2 + ( y - 1)^2 = 7 \rightarrow R = \sqrt{7} $ (lingkaran besar)
*). Menentukan titik potong kedua lingkaran.
$ L_1 : \, (x - 2)^2 + ( y - 1)^2 = 4 \rightarrow x^2 + y^2 - 4x - 2y + 1 = 0 $
$ L_2 : \, (x - 1)^2 + ( y - 1)^2 = 7 \rightarrow x^2 + y^2 - 2x - 2y -5 = 0 $
Eliminasi kedua persamaan lingkaran :
$ \begin{array}{cc} x^2 + y^2 - 4x - 2y + 1 = 0 & \\ x^2 + y^2 - 2x - 2y -5 = 0 & - \\ \hline -2x + 6 = 0 & \\ x = 3 & \end{array} $
substitusi nilai $ x = 3 \, $ ke persamaan lingkaran 1.
$\begin{align} x = 3 \rightarrow (x - 2)^2 + ( y - 1)^2 & = 4 \\ (3 - 2)^2 + ( y - 1)^2 & = 4 \\ 1 + ( y - 1)^2 & = 4 \\ ( y - 1)^2 & = 3 \\ ( y - 1) & = \pm \sqrt{3} \\ y & = 1 \pm \sqrt{3} \\ y = 1 + \sqrt{3} \vee y & = 1 - \sqrt{3} \end{align} $
Sehingga titik potong kedua lingkaran: C($3,1 + \sqrt{3}$ ) dan D($3,1 - \sqrt{3}$)
*). Panjang CD
CD = $ \sqrt{(3-3 )^2 + [(1 + \sqrt{3}) - (1 - \sqrt{3}) ]^2 } = 2\sqrt{3} $
*). Menentukan besar sudut CAD (segitiga besar) :
$ \begin{align} \cos \angle CAD & = \frac{2R^2 - CD^2}{2R^2} \\ \cos y & = \frac{2(\sqrt{7})^2 - (2\sqrt{3})^2}{2(\sqrt{7})^2} \\ \cos y & = \frac{14 - 12}{14} \\ \cos y & = \frac{2}{14} \\ \cos y & = \frac{1}{7} \\ y & = arc \, \cos \frac{1}{7} \\ y & = 81,787^\circ \end{align} $
*). Menentukan besar sudut CBD (segitiga kecil) :
$ \begin{align} \cos \angle CBD & = \frac{2r^2 - CD^2}{2r^2} \\ \cos x & = \frac{2(2)^2 - (2\sqrt{3})^2}{2(2)^2} \\ \cos x & = \frac{8 - 12}{8} \\ \cos x & = \frac{-4}{8} \\ \cos x & = -\frac{1}{2} \\ x & = arc \, \cos -\frac{1}{2} \\ x & = 120^\circ \end{align} $
*). Menentukan Keliling irisan :
$ \begin{align} \text{Keliling irisan } & = \pi \left( \frac{360^\circ - x}{180^\circ} . r + \frac{y}{180^\circ} . R \right) \\ & = (3,14). \left( \frac{360^\circ - 120^\circ}{180^\circ} . 2 + \frac{81,787^\circ}{180^\circ} . \sqrt{7} \right) \\ & = (3,14). \left( \frac{240^\circ}{180^\circ} . 2 + \frac{81,787^\circ}{180^\circ} . \sqrt{7} \right) \\ & = (3,14). \left( 2,667 + 1,202 \right) \\ & = (3,14). \left( 3,869 \right) \\ & = 12,149 \end{align} $
Jadi, keliling irisan kedua lingkaran tersebut adalah $ 12,149 \, $ satuan keliling. $ \heartsuit $

       Demikian pembahasan materi Keliling Irisan Dua Lingkaran Bentuk 3 dan contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan Keliling Irisan Dua Lingkaran Bentuk 4.