Operasi Hitung pada Matriks

         Blog Koma - Operasi hitung pada matriks yang ada pada matriks adalah operasi pnjumlahan, operasi pengurangan, perkalian bilangan real dengan matriks (perkalian skalar), dan perkalian dua matriks (perkalian matriks). Untuk memudahkan dalam penguasaan operasi hitung pada matriks, kita harus memahami tentang ordo matriks yang bisa sobat baca pada artikel "Pengenalan Matriks". Berikut penjelasan masing-masing.

         Operasi hitung pada matriks sebenarnya tidaklah sulit, hanya butuh ketelitian ekstra dalam perhitungannya. Dari semua operasi hitung yang akan kita bahas, operasi Perkalian dua matriks yang agak sulit bentuk perhitungannya, karena kita akan mengkombinasikan operasi perkalian dan penjumlahan. Tapi tenang saja, dengan banyak berlatih melakukan perkalian dua matriks, maka kita pasti akan terbiasa dalam melakukan operasi perhitungan dua matriks atau lebih.

         Pada Operasi hitung matriks, kenapa tidak ada pembagian? ini terjadi karena pada perkalian matriks tidak bersifat komutatif. Semisalkan bentuk $ \frac{A}{B} = \frac{1}{B} \times A \neq A \times \frac{1}{B} \, $ . Dari bentuk inilah maka operasi hitung pembagian pada matriks tidak ada. Yang ada nantinya adalah bentuk invers dari matriks dikalikan dengan matriks bukan inversnya.

Penjulahan dua matriks
Misalkan A dan B adalah matriks berordo $ m \times n \, $ dengan elemen-elemen $ a_{ij} \, $ dan $ b_{ij} $ . Jika matriks C adalah jumlah matriks A dengan matriks B, ditulis C = A + B, matriks C juga berordo $ m \times n \, $ dengan elemen-elemen ditentukan oleh:
$ c_{ij} = a_{ij} + b_{ij} \, $ (untuk semua $ i \, $ dan $ j$).
Sifat-sifat penjumlahan pada matriks
*). Komutatif : $A + B = B + A$
*). Assosiatif : $(A + B) + C = A + (B + C) $
*). penjumlahan berulang : $ kA = \underbrace{A + A + A + ... + A}_{\text{sebanyak } k} $
Pengurangan dua matriks
Misalkan A dan B adalah matriks berordo $ m \times n \, $ dengan elemen-elemen $ a_{ij} \, $ dan $ b_{ij} $ . Jika matriks C adalah pengurangan matriks A dengan matriks B, ditulis C = A $ - $ B, matriks C juga berordo $ m \times n \, $ dengan elemen-elemen ditentukan oleh:
$ c_{ij} = a_{ij} - b_{ij} \, $ (untuk semua $ i \, $ dan $ j$).
Catatan:
Dua matriks dapat dijumlahkan atau dikurangkan jika dan hanya jika memiliki ordo yang sama. Ordo matriks hasil penjumlahan atau pengurangan dua matriks sama dengan ordo matriks yang dijumlahkan.

Untuk lebih memahami maksud dari teori di atas, langsung saja kita simak contoh - contoh berikut.
Contoh 1
Diketahui matriks -matriks berikut :
$ A = \left( \begin{matrix} 2 & -1 & 3 \\ 1 & 4 & -2 \end{matrix} \right) , \, B = \left( \begin{matrix} 5 & 2 & -1 \\ 2 & 1 & 3 \end{matrix} \right) $
$ C = \left( \begin{matrix} 3 & 2 \\ -1 & 6 \end{matrix} \right), \, D = \left( \begin{matrix} x & -1 \\ 2 & y + 3 \end{matrix} \right) $
Tentukan hasil dari :
a). $ A + B \, $ b). $ A - B \, $ c). $ A + C \, $ d). $ C + D $
Penyelesaian :
a). $ A + B $
$ \begin{align} A + B & = \left( \begin{matrix} 2 & -1 & 3 \\ 1 & 4 & -2 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 5 & 2 & -1 \\ 2 & 1 & 3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 2 + 5 & -1 + 2 & 3 + (-1) \\ 1 + 2 & 4 + 1 & (-2) + 3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 7 & 1 & 2 \\ 3 & 5 & 1 \end{matrix} \right) \end{align} $
b). $ A - B $
$ \begin{align} A - B & = \left( \begin{matrix} 2 & -1 & 3 \\ 1 & 4 & -2 \end{matrix} \right) - \left( \begin{matrix} 5 & 2 & -1 \\ 2 & 1 & 3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 2 - 5 & -1 - 2 & 3 - (-1) \\ 1 - 2 & 4 - 1 & (-2) - 3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -3 & -3 & 4 \\ -1 & 3 & -5 \end{matrix} \right) \end{align} $
c). $ A + C $
Operasi hitung $ A + C \, $ tidak bisa dilakukan karena ordonya berbeda.
d). $ C + D $
$ \begin{align} C + D & = \left( \begin{matrix} 3 & 2 \\ -1 & 6 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} x & -1 \\ 2 & y + 3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 3 + x & 2 + (-1) \\ (-1) + 2 & 6 + (y + 3) \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} x + 3 & 1 \\ 1 & y + 9 \end{matrix} \right) \end{align} $

Perkalian Suatu Bilangan Real dengan Matriks
Misalkan A adalah suatu matriks berordo $ m \times n \, $ dengan elemen-elemen $ a_{ij} \, $ dan $ k \, $ adalah suatu bilangan real. Matriks C adalah hasil perkalian bilangan real $ k \, $ terhadap matriks A, dinotasikan: $ C = k.A, \, $ bila matriks C berordo $ m \times n \, $ dengan elemen-elemennya ditentukan oleh: $ c_{ij} = k.a_{ij} $ (untuk semua $ i \, $ dan $ j$).
Contoh 2
Diketahui matriks -matriks berikut :
$ A = \left( \begin{matrix} 2 & -1 \\ 1 & 4 \end{matrix} \right) , \, B = \left( \begin{matrix} 5 & 2 \\ 2 & 1 \end{matrix} \right) $
Tentukan hasil dari :
a). $ 3A \, $ b). $ -2B \, $ c). $ A + 3B \, $ d). $ 2A - 3B $
Penyelesaian :
a). $ 3A $
$ \begin{align} 3A & = 3\left( \begin{matrix} 2 & -1 \\ 1 & 4 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 3.2 & 3.(-1) \\ 3.1 & 3.4 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 6 & -3 \\ 3 & 12 \end{matrix} \right) \end{align} $
b). $ -2B $
$ \begin{align} -2 B & = -2 \left( \begin{matrix} 5 & 2 \\ 2 & 1 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -2.5 & -2.2 \\ -2.2 & -2.1 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -10 & -4 \\ -4 & -2 \end{matrix} \right) \end{align} $
c). $ A + 3B $
$ \begin{align} A + 3B & = \left( \begin{matrix} 2 & -1 \\ 1 & 4 \end{matrix} \right) + 3\left( \begin{matrix} 5 & 2 \\ 2 & 1 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 2 & -1 \\ 1 & 4 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 15 & 6 \\ 6 & 3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 2 + 15 & -1 + 6 \\ 1 + 6 & 4 + 3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 17 & 5 \\ 7 & 7 \end{matrix} \right) \end{align} $ d). $ 2A - 3B $
$ \begin{align} 2A - 3B & = 2\left( \begin{matrix} 2 & -1 \\ 1 & 4 \end{matrix} \right) - 3\left( \begin{matrix} 5 & 2 \\ 2 & 1 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 4 & -2 \\ 2 & 8 \end{matrix} \right) - \left( \begin{matrix} 15 & 6 \\ 6 & 3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 4 - 15 & -2 - 2 \\ 2 - 2 & 8 - 1 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -11 & -4 \\ 0 & 7 \end{matrix} \right) \end{align} $

Perkalian Dua Matriks


Jika C adalah matriks hasil perkalian matriks A$_{m \times n} \, $ dan matriks B$_{n \times p} \, $, dinotasikan C = A $ \times $ B, maka
*). Matriks C berordo $ m \times p$.
*). Elemen-elemen matriks C pada baris ke-$i$ dan kolom ke-$j$, dinotasikan $c_{ij}$, diperoleh dengan cara mengalikan elemen baris ke-$i$ matriks A dan elemen kolom ke-$j$ matriks B, kemudian dijumlahkan.
Dinotasikan $ c_{ij} = a_{i1}.b_{1j} + a_{i2}.b_{2j} + a_{i3}.b_{3j} + ... + a_{in}.b_{nj} $
Catatan :
*). pada perkalian dua matriks $ AB \, $ hasilnya belum tentu sama dengan $ BA $
*). Dua matriks bisa dikalikan jika dan hanya jika banyak kolom matriks pertama sama dengan banyak baris matriks kedua.
Sifat-sifat perkalian pada matriks
*). Assosiatif : $(A \times B) \times C = A \times (B \times C) $
*). Distributif : $ A \times (B+C) = A \times B + A \times C $
*). Pangkat : $ A^n = \underbrace{A \times A \times A \times ... \times A}_{n \text{ faktor}} $
Contoh 3
Diketahui matriks -matriks berikut :
$ A = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) , \, B = \left( \begin{matrix} e & f \\ g & h \end{matrix} \right) $
$ C = \left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix} \right) , \, D = \left( \begin{matrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{matrix} \right) $
$ P = \left( \begin{matrix} -1 & 3 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix} \right) , \, Q = \left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ -3 & 5 \\ 6 & -2 \end{matrix} \right) $
Tentukan hasil dari :
a). $ AB \, $ b). $ CD \, $ c). $ DC \, $ d). $ PQ $ e). $PC$
Penyelesaian :
a). $ AB $
$ \begin{align} AB & = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} e & f \\ g & h \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} \text{baris 1 } \times \text{ kolom 1} & \text{baris 1 } \times \text{ kolom 2} \\ \text{baris 2 } \times \text{ kolom 1} & \text{baris 2 } \times \text{ kolom 2}\end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} a.e+b.g & a.f + b.h \\ c.e + d.g & c.f + d.h \end{matrix} \right) \end{align} $
b). $ CD $
$ \begin{align} CD & = \left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} \text{baris 1 } \times \text{ kolom 1} & \text{baris 1 } \times \text{ kolom 2} \\ \text{baris 2 } \times \text{ kolom 1} & \text{baris 2 } \times \text{ kolom 2}\end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 1.5+2.7 & 1.6+2.8 \\ 3.5 + 4.7 & 3.6 + 4.8 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 5+14 & 6+16 \\ 15 + 28 & 18 + 32 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{matrix} \right) \end{align} $
c). $ DC $
$ \begin{align} DC & = \left( \begin{matrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} \text{baris 1 } \times \text{ kolom 1} & \text{baris 1 } \times \text{ kolom 2} \\ \text{baris 2 } \times \text{ kolom 1} & \text{baris 2 } \times \text{ kolom 2}\end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 5.1+6.3 & 5.2+6.4 \\ 7.1 + 8.3 & 7.2 + 8.4 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 5+18 & 10+24 \\ 7 + 24 & 14 + 32 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 23 & 24 \\ 31 & 46 \end{matrix} \right) \end{align} $
terlihat bahwa hasil $ CD \neq DC $

d). $ PQ $
$ \begin{align} PQ & = \left( \begin{matrix} -1 & 3 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ -3 & 5 \\ 6 & -2 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} \text{baris 1 } \times \text{ kolom 1} & \text{baris 1 } \times \text{ kolom 2} \\ \text{baris 2 } \times \text{ kolom 1} & \text{baris 2 } \times \text{ kolom 2}\end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -1.1 + 3.(-3) + 2.6 & -1.2 + 3.5 + 2.(-2) \\ 1.1 + 1. (-3) + 1.6 & 1.2 + 1. 5 + 1.(-2) \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -1 + (-9) + 12 & -2 + 15 + (-4) \\ 1 + (-3) + 6 & 2 + 5 + (-2) \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 2 & 9 \\ 4 & 5 \end{matrix} \right) \end{align} $
e). $ PC $
operasi $ PC \, $ tidak bisa dihitung karena tidak memenuhi syarat ordonya, yaitu banyak kolom matriks $ P \, $ (3 kolom) tidak sama dengan banyak baris matriks $ C \, $ (ada 2 baris).

         Demikian untuk pembahasan operasi hitung pada matriks. Sobat bisa melanjutkan membaca materi determinan dan invers suatu matriks. Kami yakin, dengan banyak berlatih operasi hitung pada matriks, maka teman-teman pasti akan bisa untuk melahap semua soal-soal yang berkaitan dengan operasi hitung matriks seperti operasi penjumlahan, pengurangan, kali skalar, dan kali dua matriks. Semoga materi pada artikel ini bermanfaat untuk kita semua. Terima kasih untuk kunjungannya ke blog koma ini.

Tidak ada komentar:

Posting Komentar