Rumus Luas Elips dan Pembuktiannya

         Blog Koma - Elips merupakan materi yang berkaitan erat dengan irisan kerucut yang dibahas pada salah satu materi peminatan pada kurikulum 2013. Pada artikel ini kita akan khusus membahas tentang Rumus Luas Elips dan Pembuktiannya serta langsung aplikasinya pada contoh untuk mencari luas sebuah Elips yang diketahui persamaan elipsnya. Secara definisi, pengertian elips adalah himpunan semua titik (tempat kedudukan titik-titik) dimana jumlah jarak tiap titik terhadap dua titik tertentu yang bukan elemen himpunan tersebut adalah tetap. Dua titik tertentu itu disebut titik fokus atau titik api.

         Namun yang kita tekankan pada artikel Rumus Luas Elips dan Pembuktiannya yaitu bagaimana cara menghitung luas sebuah elips dimana materi ini secara tidak langsung ada kaitannya dengan materi transformasi yaitu luas awal dan luas bayangan yang persamaannya berbentuk persamaan elips. Langsung saja kita simak bersama rumus luas elips berikut ini beserta contoh soal luas elipsnya.

Rumus Luas Elips
       Persamaan elips secara umum berbentuk :
i). Titik pusat elips $(0,0) $ :
$ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \, $ atau $ \frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1 $
ii). Titik pusat elips $(m,n) $ :
$ \frac{(x-m)^2}{a^2} + \frac{(y-n)^2}{b^2} = 1 \, $ atau $ \frac{(x-m)^2}{b^2} + \frac{(y-n)^2}{a^2} = 1 $
dengan $ a > b $

Memiliki Rumus Luas :
Luas $ \, = \pi \times a \times b $.
dimana $ \pi = \frac{22}{7} \, $ atau $ \pi = 3,14 $

Contoh menghitung luas elips :
1). Tentukan luas elips yang memiliki persamaan $ \frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1 \, $ ?
Penyelesaian :
*). Menentukan nilai $ a \, $ dan $ b $
dari persamaan elips : $ \frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1 \, $ maka
$ a^2 = 16 \rightarrow a = 4 $
$ b^2 = 9 \rightarrow b = 3 $
*). Menentukan luas elipsnya :
$\begin{align} \text{Luas } & = \pi \times a \times b \\ & = \pi \times 4 \times 3 \\ & = 12 \pi \end{align} $
Jadi, luas elipsnya adalah $ 12 \pi . \, \heartsuit $

2). Tentukan luas elips yang memiliki persamaan $ \frac{(x-3)^2}{25} + \frac{(y+1)^2}{49} = 1 \, $ ?
Penyelesaian :
*). Menentukan nilai $ a \, $ dan $ b $
dari persamaan elips : $ \frac{(x-3)^2}{25} + \frac{(y+1)^2}{49} = 1 \, $ maka
$ a^2 = 49 \rightarrow a = 7 $
$ b^2 = 25 \rightarrow b = 5 $
*). Menentukan luas elipsnya :
$\begin{align} \text{Luas } & = \pi \times a \times b \\ & = \pi \times 7 \times 5 \\ & = 35 \pi \end{align} $
Jadi, luas elipsnya adalah $ 35 \pi . \, \heartsuit $

3). Tentukan luas elips yang memiliki persamaan $ \frac{(x+2)^2}{8} + \frac{(y-1)^2}{4} = 1 \, $ ?
Penyelesaian :
*). Menentukan nilai $ a \, $ dan $ b $
dari persamaan elips : $ \frac{(x+2)^2}{8} + \frac{(y-1)^2}{4} = 1 \, $ maka
$ a^2 = 8 \rightarrow a = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} $
$ b^2 = 4 \rightarrow b = 2 $
*). Menentukan luas elipsnya :
$\begin{align} \text{Luas } & = \pi \times a \times b \\ & = \pi \times 2\sqrt{2} \times 2 \\ & = 4\sqrt{2} \pi \end{align} $
Jadi, luas elipsnya adalah $ 4\sqrt{2} \pi . \, \heartsuit $

4). Tentukan luas elips yang memiliki persamaan $ 2x^2 + 3y^2 -4x + 12y + 8 = 0 \, $ ?
Penyelesaian :


*). Kita ubah terlebih dulu menjadi bentuk umum dengan melengkapkan kuadrat sempurna yaitu $ x^2 +kx = (x+\frac{k}{2})^2 - (\frac{k}{2})^2 $. Mari kita ubah persamaan pada soalnya,
$\begin{align} 2x^2 + 3y^2 -4x + 12y + 8 & = 0 \\ 2x^2 -4x + 3y^2 + 12y + 8 & = 0 \\ 2[x^2 -2x] + 3[y^2 + 4y] + 8 & = 0 \\ 2[(x - \frac{2}{2})^2 - (\frac{2}{2})^2] + 3[(y+\frac{4}{2})^2 - (\frac{4}{2})^2] + 8 & = 0 \\ 2[(x - 1)^2 - (1)^2] + 3[(y+2)^2 - (2)^2] + 8 & = 0 \\ 2[(x - 1)^2 - 1] + 3[(y+2)^2 - 4] + 8 & = 0 \\ 2(x - 1)^2 - 2 \times 1 + 3(y+2)^2 - 3 \times 4 + 8 & = 0 \\ 2(x - 1)^2 - 2 + 3(y+2)^2 - 12 + 8 & = 0 \\ 2(x - 1)^2 + 3(y+2)^2 - 6 & = 0 \\ 2(x - 1)^2 + 3(y+2)^2 & = 6 \\ \frac{2(x - 1)^2 + 3(y+2)^2}{6} & = \frac{6}{6} \\ \frac{(x - 1)^2}{3} + \frac{(y+2)^2}{2} & = 1 \end{align} $
Sehingga bentuk umumnya : $ \frac{(x - 1)^2}{3} + \frac{(y+2)^2}{2} = 1 $
*). Menentukan nilai $ a \, $ dan $ b $
dari persamaan elips : $ \frac{(x - 1)^2}{3} + \frac{(y+2)^2}{2} = 1 \, $ maka
$ a^2 = 3 \rightarrow a = \sqrt{3} $
$ b^2 = 2 \rightarrow b = \sqrt{2} $
*). Menentukan luas elipsnya :
$\begin{align} \text{Luas } & = \pi \times a \times b \\ & = \pi \times \sqrt{3} \times \sqrt{2} \\ & = \sqrt{6} \pi \end{align} $
Jadi, luas elipsnya adalah $ \sqrt{6} \pi . \, \heartsuit $

Pembuktian Rumus Luas Elips
Luas $ \, = \pi \times a \times b $.
dimana $ \pi = \frac{22}{7} \, $ atau $ \pi = 3,14 $

         Untuk bisa membuktikan rumus luas elips ini, ada beberapa teori yang akan kita gunakan yaitu konsep trigonometri sudut rangkap , identitas trigonometri, penerapan integral pada luas daerah, dan integral substitusi trigonometri. Kita akan membuktikan rumusnya dengan menggunakan luas daerah penerapan dari integral. Rumus sudut rangkap yang kita gunakan adalah $ \cos ^2 \theta = \frac{1}{2} ( 1 + \cos 2 \theta ) $. Sementara teknik integral substitusi yang akan kita gunakan adalah bentuk $ \sqrt{a^2 - x^2} \, $ yang akan kita substitusi dengan $ x = a \sin \theta $ . Kemudian rumus identitas trigonometrinya yaitu $ 1 - \sin ^2 \theta = \cos ^2 \theta $ .

Proses pembuktiannya :
$\spadesuit \, $ Perhatikan gambar elips berikut ini!

$ \clubsuit \, $ Elips pada gambar di atas kita bagi menjadi empat bagian yaitu kuadran I, kuadran II, kuadran III, dan kuadran IV dengan masing-masing memiliki luas yang sama. Kita akan cukup menghitung luas kuadran I (daerah yang diarsir), kemudian luas elips adalah empat kali dari luas kuadran I.
$\spadesuit \, $ Permisalan untuk menyelesaikan bentuk integralnya :
*). identitas trigonometri : $ 1 - \sin ^2 \theta = \cos ^2 \theta $.
misalkan $ x = a \sin \theta \, $ maka :
$ \begin{align} \sqrt{a^2 - x^2} & = \sqrt{a^2 - (a \sin \theta)^2} \\ & = \sqrt{a^2 - a^2 \sin ^2 \theta } \\ &= \sqrt{a^2 (1 - \sin ^2 \theta ) } \\ & = \sqrt{a^2 ( \cos ^2 \theta ) } \\ & = a \cos \theta \end{align} $ .
*). turunan terhadap $ \theta $
$ x = a \sin \theta \rightarrow \frac{dx}{d \theta } = a \cos \theta \rightarrow dx = a \cos \theta \, d \theta $
*). Batas integral dari $ x = 0 \, $ sampai $ x = a $
$ x = a \sin \theta \rightarrow \sin \theta = \frac{x}{a} $
$ x = 0 \rightarrow \sin \theta = \frac{0}{a} \rightarrow \sin \theta = 0 \rightarrow \theta = 0 $
$ x = a \rightarrow \sin \theta = \frac{a}{a} \rightarrow \sin \theta = 1 \rightarrow \theta = \frac{\pi}{2} $
*). Mengubah persamaan elips $ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \, $ menjadi $ y = .... $
$ \begin{align} \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} & = 1 \\ \frac{y^2}{b^2} & = 1 - \frac{x^2}{a^2} \\ y^2 & = b^2 - \frac{x^2}{a^2} \times b^2 \\ y^2 & = \frac{b^2 \times a^2}{a^2} - \frac{x^2}{a^2} \times b^2 \\ y^2 & = \frac{b^2}{a^2} ( a^2 - x^2 ) \\ y & = \sqrt{\frac{b^2}{a^2} ( a^2 - x^2 ) } \\ y & = \frac{b}{a} \sqrt{ a^2 - x^2 } \end{align} $
*). Rumus sudut rangkap : $ \cos ^2 \theta = \frac{1}{2} (1 + \cos 2 \theta ) $
$\clubsuit \, $ Pembuktian rumusnya :
$\begin{align} \text{Luas } & = 4 \times \text{luas arsiran} \\ & = 4 \times \int \limits_0^a \frac{b}{a} \sqrt{ a^2 - x^2 } dx \, \, \, \, \, \text{(ganti semua dengan } \theta ) \\ & = 4 \times \int \limits_0^\frac{\pi}{2} \frac{b}{a} \times a \cos \theta \times a \cos \theta \, d \theta \\ & = 4 \times \int \limits_0^\frac{\pi}{2} ab \cos ^2 \theta \, d \theta \\ & = 4ab \int \limits_0^\frac{\pi}{2} \cos ^2 \theta \, d \theta \\ & = 4ab \int \limits_0^\frac{\pi}{2} \frac{1}{2} (1 + \cos 2 \theta ) \, d \theta \\ & = 2ab \int \limits_0^\frac{\pi}{2} (1 + \cos 2 \theta ) \, d \theta \\ & = 2ab [\theta + \frac{1}{2}\sin 2 \theta ]_0^\frac{\pi}{2} \\ & = 2ab [(\frac{\pi}{2} + \frac{1}{2}\sin 2 \frac{\pi}{2} ) - (0 + \frac{1}{2}\sin 2 \times 0 ) ] \\ & = 2ab [(\frac{\pi}{2} + \frac{1}{2}\sin \pi ) - (0 + 0 ) ] \\ & = 2ab [(\frac{\pi}{2} + 0 ) - (0 + 0 ) ] \\ & = 2ab [ \frac{\pi}{2} ] \\ & = \pi \times a \times b \end{align} $
Jadi, terbukti rumus luas elipsnya adalah luas $ = \pi \times a \times b $ .

         Demikian pembahasan materi Rumus Luas Elips dan Pembuktiannya beserta contoh-contohnya. Selanjutnya silahkan baca juga materi lain yang berkaitan dengan elips. Semoga materi ini bisa bermanfaat. Terima kasih.