Kamis, 28 Januari 2016

Pertidaksamaan Linear Satu Variabel


         Blog Koma - Matematika SMP : Pada artikel ini kita akan membahas materi Pertidaksamaan Linear Satu Variabel yang merupakan lanjutan dari materi sebelumnya yaitu "Persamaan Linear Satu Variabel". Untuk memudahkan mempelajari materi Pertidaksamaan Linear Satu Variabel, silahkana baca dulu "Pengertian Peryataan, Kalimat Terbuka dan Kalimat Tertutup" terutama tentang kalimat terbuka.

Pengertian Pertidaksamaan
       Kalimat terbuka yang menyatakan hubungan ketidaksamaan ( menggunakan tanda ketaksamaan : $<, >$, $\leq$ , atau $ \geq$ ) disebut pertidaksamaan.

Cara membaca tanda ketaksamaan :
$ < \, $ dibaca kurang dari,
$ \leq \, $ dibaca kurang dari atau sama dengan,
$ > \, $ dibaca lebih dari,
$ \geq \, $ lebih dari atau sama dengan.

       Grafik himpunan penyelesaian persamaan linear satu variabel ditunjukkan pada suatu garis bilangan, yaitu berupa noktah (titik). Demikian halnya pada pertidaksamaan linear satu variabel.

Contoh Soal.
1). Misalkan $ x \, $ adalah bilangan bulat. Apa arti dari pertidaksamaan berikut ini,
a). $ x < 2 $
b). $ x \leq 2 $
c). $ x > 2 $
d). $ x \geq 2 $
Penyelesaian :
a). $ x < 2 $
Bentuk $ x < 2 \, $ dibaca $ x \, $ kurang dari 2, artinya nilai $ x \, $ lebih kecil dari 2 (angka 2 tidak termasuk), sehingga himpunan nilai $ x \, $ yang memenuhi adalah $ x = \{ ...,-3,-2,-1,0,1 \} $.
Garis bilangannya :

b). $ x \leq 2 $
Bentuk $ x \leq 2 \, $ dibaca $ x \, $ kurang dari atau sama dengan 2, artinya nilai $ x \, $ lebih kecil dari 2 serta sama dengan 2 (angka 2 termasuk), sehingga himpunan nilai $ x \, $ yang memenuhi adalah $ x = \{ ...,-3,-2,-1,0,1,2 \} $.
Garis bilangannya :

c). $ x > 2 $
Bentuk $ x > 2 \, $ dibaca $ x \, $ lebih dari 2, artinya nilai $ x \, $ lebih besar dari 2 (angka 2 tidak termasuk), sehingga himpunan nilai $ x \, $ yang memenuhi adalah $ x = \{ 3,4,5,6,.... \} $.
Garis bilangannya :

d). $ x \geq 2 $
Bentuk $ x \geq 2 \, $ dibaca $ x \, $ lebih dari atau sama dengan 2, artinya nilai $ x \, $ lebih besar dari 2 serta sama dengan 2 (angka 2 termasuk), sehingga himpunan nilai $ x \, $ yang memenuhi adalah $ x = \{ 2,3,4,5,6,.... \} $.
Garis bilangannya :

Pengertian Pertidaksamaan Linear Satu Variabel
       Pertidaksamaan linear satu variabel adalah pertidaksamaan yang hanya mempunyai satu variabel dan berpangkat satu (linear). Bentuk umum pertidaksamaan linear satu variabel yaitu :
$ ax + b > 0 \, $ atau $ ax + b \geq 0 \, $ atau $ ax + b \leq 0 \, $ atau $ ax + b < 0 $.
Contoh soal pertidaksamaan linear satu variabel :
2). Dari bentuk-bentuk berikut, tentukan yang merupakan pertidaksamaan linear dengan satu variabel.
a). $ x - 3 < 5 $
b). $ a \leq 1 - 2b $
c). $ x^2 - 3x \geq 4 $
d). $ 2x + 3 \leq \frac{1}{3}(x - 1) - 7 $
Penyelesaian :
a). $ x - 3 < 5 $
Pertidaksamaan $ x - 3 < 5 \, $ mempunyai satu variabel, yaitu $ x \, $ dan berpangkat 1, sehingga $ x - 3 < 5 \, $ merupakan pertidaksamaan linear satu variabel.

b). $ a \leq 1 - 2b $
Pertidaksamaan $ a \leq 1 - 2b \, $ mempunyai dua variabel, yaitu $ a $ dan $ b $ yang masing-masing berpangkat 1. Dengan demikian $ a \leq 1 - 2b \, $ bukan suatu pertidaksamaan linear satu variabel.

c). $ x^2 - 3x \geq 4 $
Karena pertidaksamaan $ x^2 - 3x \geq 4 \, $ mempunyai variabel $ x \, $ dan $ x^2 $, maka $ x^2 - 3x \geq 4 \, $ bukan merupakan pertidaksamaan linear satu variabel.

d). $ 2x + 3 \leq \frac{1}{3}(x - 1) - 7 $
Pertidaksamaan $ 2x + 3 \leq \frac{1}{3}(x - 1) - 7 \, $ mempunyai satu variabel, yaitu $ x \, $ dan berpangkat 1, sehingga $ 2x + 3 \leq \frac{1}{3}(x - 1) - 7 \, $ merupakan pertidaksamaan linear satu variabel.

Penyelesaian Pertidaksamaan Linear Satu Variabel
       Pengganti variabel dari suatu pertidaksamaan, sehingga menjadi pernyataan yang benar disebut penyelesaian dari pertidaksamaan linear satu variabel.

Suatu pertidaksamaan dapat dinyatakan ke dalam pertidaksamaan yang ekuivalen dengan cara sebagai berikut.
a). Menambah atau mengurangi kedua ruas dengan bilangan yang sama tanpa mengubah tanda ketidaksamaan.
b). Mengalikan atau membagi kedua ruas dengan bilangan positif yang sama tanpa mengubah tanda ketidaksamaan.
c). Mengalikan atau membagi kedua ruas dengan bilangan negatif yang sama, tetapi tanda ketidaksamaan berubah, dimana
1). $ > \, $ menjadi <
2). $ < $ menjadi $ > $
3). $ \leq $ menjadi $ \geq $
4). $ \geq $ menjadi $ \leq $ .

Catatan :
Pertidaksamaan linear satu variabel dapat diselesaikan dengan bentuk ekuivalennya.
Contoh soal penyelesaian pertidaksamaan linear satu variabel :
3). Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan linear satu variabel berikut ini.
a). $ 3x - 2 > 4 $
b). $ 3x - 2 \geq 4 $
c). $ x - 2 \leq 3x + 2 $
dengan $ x \, $ adalah bilangan bulat.
Penyelesaian :
a). $ 3x - 2 > 4 $
*). Kita gunakan bentuk ekuivalennya :
$ \begin{align} 3x - 2 & > 4 \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas ditambahkan 2)} \\ 3x - 2 + 2 & > 4 + 2 \\ 3x & > 6 \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas ditambahkan 3)} \\ \frac{3x}{3} & > \frac{6}{3} \\ x & > 2 \end{align} $
Sehingga penyelesaiannya adalah $ x > 2 \, $ atau
himpunan penyelesaiannya : $ x = \{3,4,5,6,...\} \, $
dengan $ x \, $ adalah bilangan bulat.

b). $ 3x - 2 \geq 4 $
*). Kita gunakan bentuk ekuivalennya :
$ \begin{align} 3x - 2 & \geq 4 \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas ditambahkan 2)} \\ 3x - 2 + 2 & \geq 4 + 2 \\ 3x & \geq 6 \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas ditambahkan 3)} \\ \frac{3x}{3} & \geq \frac{6}{3} \\ x & \geq 2 \end{align} $
Sehingga penyelesaiannya adalah $ x \geq 2 \, $ atau
himpunan penyelesaiannya : $ x = \{2,3,4,5,6,...\} \, $
dengan $ x \, $ adalah bilangan bulat.

c). $ x - 2 \leq 3x + 2 $
*). Kita gunakan bentuk ekuivalennya :
$ \begin{align} x - 2 & \leq 3x + 2 \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas ditambahkan 2)} \\ x - 2 + 2 & \leq 3x + 2 + 2 \\ x & \leq 3x + 4 \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dikurangkan } 3x) \\ x - 3x & \leq 3x + 4 - 3x \\ -2x & \leq 4 \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dibagi -2, tanda ketaksamaan dibalik)} \\ \frac{-2x}{-2} & \geq \frac{4}{-2} \\ x & \geq -2 \end{align} $
Sehingga penyelesaiannya adalah $ x \geq -2 \, $ atau
himpunan penyelesaiannya : $ x = \{-2,-1,0,1,2,3,...\} \, $
dengan $ x \, $ adalah bilangan bulat.

4). Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $ 4x - 2 \leq 5 + 3x $ , untuk $ x $ variabel pada himpunan bilangan asli. Kemudian, gambarlah grafik himpunan penyelesaiannya.
Penyelesaian :
$ \begin{align} 4x - 2 & \leq 5 + 3x \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas ditambahkan 2)} \\ 4x - 2 + 2 & \leq 5 + 3x + 2 \\ 4x & \leq 7 + 3x \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dikurangkan } 3x) \\ 4x - 3x & \leq 7 + 3x - 3x \\ x & \leq 7 \end{align} $
Sehingga penyelesaiannya adalah $ x \leq 7 \, $ atau
himpunan penyelesaiannya : $ x = \{1,2,3,...,6,7\} \, $
untuk $ x \, $ adalah bilangan asli.
Garis bilangannya :

5). Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan $ \frac{1}{2}x + 3 \leq \frac{1}{5} x \, $ , dengan $ x \, $ adalah variabel pada himpunan $ \{-15,-14,-13,...,-1,0\} $.
Penyelesaian :
*). Untuk memudahkan menyelesaikan pertidaksamaan linear satu variabel dalam bentuk pecahan, sebaiknya kita kalikan dengan KPK dari penyebut yang ada.
*). Bentuk $ \frac{1}{2}x + 3 \leq \frac{1}{5} x \, $ memiliki penyebut 2 dan 5, sehingga KPKnya adalah 10.
$ \begin{align} \frac{1}{2}x + 3 & \leq \frac{1}{5} x \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dikalikan 10)} \\ 10 \times \left( \frac{1}{2}x + 3 \right) & \leq 10 \times \frac{1}{5} x \\ 10 \times \frac{1}{2}x + 10 \times 3 & \leq 2x \\ 5x + 30 & \leq 2x \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dikurangkan 30)} \\ 5x + 30 - 30 & \leq 2x - 30 \\ 5x & \leq 2x - 30 \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dikurangkan } 2x) \\ 5x - 2x & \leq 2x - 30 - 2x \\ 3x & \leq - 30 \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dibagi 3)} \\ \frac{3x}{3} & \leq \frac{- 30}{3} \\ x & \leq -10 \end{align} $
Sehingga penyelesaiannya adalah $ x \leq -10 \, $ atau
himpunan penyelesaiannya : $ x = \{-15,-14,...,-10 \} \, $
untuk $ x \, $ adalah himpunan bilangan $ \{-15,-14,-13,...,-1,0\} $.

Tidak ada komentar:

Poskan Komentar