Rabu, 27 Januari 2016

Penyelesaian Persamaan Linear Satu Variabel

         Blog Koma - Matematika SMP : Setelah sebelumnya kita belajar tentang materi "Pengertian Peryataan, Kalimat Terbuka dan Kalimat Tertutup" , kita akan lanjutkan materi Penyelesaian Persamaan Linear Satu Variabel. Hal-hal yang akan kita bahas dalam Penyelesaian Persamaan Linear Satu Variabel yaitu pengertian persamaan linear satu variabel, dan bagaimana cara menentukan himpunan penyelesaiaan persamaannya.

Pengertian Persamaan Linear satu Variabel
       Persamaan linear satu variabel adalah kalimat terbuka yang dihubungkan oleh tanda sama dengan ($=$) dan hanya mempunyai satu variabel berpangkat satu. Bentuk umum persamaan linear satu variabel adalah $ \, ax + b = 0 \, $ dengan $ \, a \neq 0$.

       Variabel adalah lambang (simbol) pada kalimat terbuka yang dapat diganti oleh sebarang anggota himpunan yang telah ditentukan. Variabel biasanya dilambangkan dengan huruf kecil.
Catatan :
*). Pangkat dari suatu variabel $ x \, $ adalah $ n \, $ dapat ditulis : $ x^n $.
*). Khusus untuk pangkat 1, biasanya tidak ditulis. Misalkan variabel $ x \, $ pangkat 1 ditulis $ x \, $ saja.
*). Angka didepan variabel disebut sebagai koefisiennya dan tidak mempengaruhi pangkat dari variabel tersebut. Misalkan, bentuk $ 3x \, $ memiliki pangkat 1 dengan koefisiennya 3.
*). Angka yang tidak memiliki variabel disebut sebagai konstanta. Misalkan, bentuk $ 5x - 7 = 0 \, $ memiliki konstanta $ \, -7 $.
*). Seberapa banyakpun variabel yang sama ditulis dalam suatu persamaan tetap akan dianggap satu variabel saja. Misalkan, bentuk $ 2x - 3 + x^3 + 2x^5 = -5x^\frac{1}{5} + 2x - 7 \, $ tetap variabelnya adalah $ \, x \, $ saja.

Contoh soal persamaan linear satu variabel :
1). Dari bentuk persamaan berikut ini, tentukan manakah yang merupakan persamaan linear satu variabel,
a). $ 2x - 5 = 7 $
b). $ x^2 + 3x = 2 $
c). $ \frac{2}{5}x = 3 $
d). $ 3x - 2y = 8 $
e). $ 3(x-1) = x + 5 - \frac{1}{7}x $
f). $ x^\frac{3}{2} - 5 = 2 + 5x $
Penyelesaian :
a). $ 2x - 5 = 7 $
Variabel pada $ 2x - 5 = 7 \, $ adalah $ x \, $ dan berpangkat 1, sehingga merupakan persamaan linear satu variabel.

b). $ x^2 + 3x = 2 $
Variabel pada $ x^2 + 3x = 2 \, $ adalah $ x \, $ dan berpangkat 1 dan 2, sehingga bukan persamaan linear satu variabel.

c). $ \frac{2}{5}x = 3 $
Variabel pada $ \frac{2}{5}x = 3 \, $ adalah $ x \, $ dan berpangkat 1, sehingga merupakan persamaan linear satu variabel.

d). $ 3x - 2y = 8 $
Variabel pada $ 3x - 2y = 8 \, $ adalah $ x \, $ dan $ y \, $ , karena variabelnya lebih dari 1 maka bentuk $ \, 3x - 2y = 8 \, $ bukan persamaan linear satu variabel.

e). $ 3(x-1) = x + 5 - \frac{1}{7}x $
Variabel pada $ 3(x-1) = x + 5 - \frac{1}{7}x \, $ adalah $ x \, $ dan berpangkat 1, sehingga merupakan persamaan linear satu variabel.

f). $ x^\frac{3}{2} - 5 = 2 + 5x $
Variabel pada $ x^\frac{3}{2} - 5 = 2 + 5x \, $ adalah $ x \, $ dan berpangkat $ \, \frac{3}{2} \, $ dan 1, sehingga bukan persamaan linear satu variabel.

Himpunan Penyelesaian Persamaan Linear Satu Variabel
       Himpunan penyelesaian Persamaan Linear Satu Variabel adalah himpunan semua pengganti dari variabel-variabel pada kalimat terbuka sehingga kalimat tersebut bernilai benar.

Contoh soal himpunan penyelesaian persamaan linear satu variabel :
2). Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan $ x - 3 = 1 \, $ ?
Penyelesaian :
Bentuk $ x - 3 = 1 \, $ memeiliki penyelesaian untuk $ x = 4 \, $ karena $ 4 - 3 = 1 \, $.
Sehingga himpunan penyelesaiannya adalah $ x = \{ 4 \} $.

Persamaan yang ekuivalen
       Dua persamaan atau lebih dikatakan ekuivalen jika mempunyai himpunan penyelesaian yang sama dan dinotasikan dengan tanda " $\Leftrightarrow$ ".
Contoh persamaan yang ekuivalen :
3). Pada persamaan $ x - 5 = 4$ , jika $ x $ diganti 9 maka akan bernilai benar, sehingga himpunan penyelesaian dari $ x - 5 = 4 \, $ adalah {9}. Perhatikan jika kedua ruas masing-masing ditambahkan dengan bilangan 5 maka
$ \begin{align} x - 5 & = 4 \\ \Leftrightarrow x - 5 + 5 & = 4 + 5 \\ \Leftrightarrow x + 0 & = 9 \\ \Leftrightarrow x & = 9 \end{align} $
Dengan kata lain, persamaan $ x - 5 = 4 \, $ ekuivalen dengan persamaan $ x = 9$, atau ditulis $x - 5 = 4 \Leftrightarrow x = 9 $.

Cara Menyelesaikan Persamaan Linear Satu Variabel
       Untuk memudahkan menyelesaikan persamaan linear satu variabel, kita akan menggukanan konsep persamaan yang ekuivalen.

Suatu persamaan dapat dinyatakan ke dalam persamaan yang ekuivalen dengan cara
a). menambah atau mengurangi kedua ruas dengan bilangan yang sama;
b). mengalikan atau membagi kedua ruas dengan bilangan yang sama.
Contoh Soal :
4). Tentukan 4 bentuk yang setara (ekuivalen) dengan persamaan linear $ 2x - 1 = 5 $
Penyelesaian :
*). Berikut bentuk-bentuk yang ekuivalen :
i). kedua ruas ditambahkan 1,
$ \begin{align} 2x - 1 & = 5 \\ 2x - 1 + 1 & = 5 + 1 \\ 2x & = 6 \end{align} $
sehingga bentuk ekuivalen persamaannya adalah $ 2x = 6 $.

ii). kedua ruas dikurangkan 3 ,
$ \begin{align} 2x - 1 & = 5 \\ 2x - 1 - 3 & = 5 -3 \\ 2x - 4 & = 2 \end{align} $
sehingga bentuk ekuivalen persamaannya adalah $ 2x - 4 = 2 $.

iii). kedua ruas dikalikan 2,
$ \begin{align} 2x - 1 & = 5 \\ 2 \times (2x - 1 ) & = 2 \times 5 \\ 4x - 2 & = 10 \end{align} $
sehingga bentuk ekuivalen persamaannya adalah $ 4x - 2 = 10 $.

iv). kedua ruas dibagi 4,
$ \begin{align} 2x - 1 & = 5 \\ \frac{(2x - 1 )}{4} & = \frac{5}{4} \\ \frac{2x }{4} - \frac{1 }{4} & = \frac{5}{4} \\ \frac{x }{2} - \frac{1 }{4} & = \frac{5}{4} \\ \frac{1 }{2} x - \frac{1 }{4} & = \frac{5}{4} \end{align} $
sehingga bentuk ekuivalen persamaannya adalah $ \frac{1 }{2} x - \frac{1 }{4} = \frac{5}{4} $.

Jadi persamaan $ 2x - 1 = 5 \, $ ekuivalen atau setara dengan persamaan
$ 2x = 6, \, 2x - 4 = 2, \, 4x - 2 = 10, \, \frac{1 }{2} x - \frac{1 }{4} = \frac{5}{4} $.

5). Tentukan penyelesaian dari persamaan $ 2x - 1 = 5 $
Penyelesaian :
*). Untuk menyelesaiannya, kita gunakan sifat ekuvalen.
$ \begin{align} 2x - 1 & = 5 \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas ditambah 1)} \\ 2x - 1 + 1 & = 5 + 1 \\ 2x & = 6 \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dibagi 2)} \\ \frac{2x}{2} & = \frac{6}{2} \\ x & = 3 \end{align} $
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah $ x = \{ 3 \} $.

6). Tentukan penyelesaian persamaan linear $ 4x - 3 = 3x + 5 $
Penyelesaian :
*). Untuk menyelesaiannya, kita gunakan sifat ekuvalen.
$ \begin{align} 4x - 3 & = 3x + 5 \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas ditambah 3)} \\ 4x - 3 + 3 & = 3x + 5 + 3 \\ 4x & = 3x + 8 \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dikurangkan } 3x) \\ 4x - 3x & = 3x + 8 - 3x \\ x & = 8 \end{align} $
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah $ x = \{ 8 \} $.

7). Tentukan penyelesaian persamaan linear $ 3x + 13 = 5 - x $
Penyelesaian :
*). Untuk menyelesaiannya, kita gunakan sifat ekuvalen.
$ \begin{align} 3x + 13 & = 5 - x \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dikurang 13)} \\ 3x + 13 - 13 & = 5 - x - 13 \\ 3x & = -8 - x \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas ditambah } x) \\ 3x + x & = -8 - x + x \\ 4x & = -8 \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dikali } \frac{1}{4}) \\ \frac{1}{4} \times 4x & = \frac{1}{4} \times (-8 ) \\ x & = -2 \end{align} $
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah $ x = \{ -2 \} $.

8). Tentukan penyelesaian persamaan linear $ \frac{1}{2}x - 2 = 1 $
Penyelesaian :
*). Untuk menyelesaiannya, kita gunakan sifat ekuvalen.
$ \begin{align} \frac{1}{2}x - 2 & = 1 \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas ditambahkan 2)} \\ \frac{1}{2}x - 2 + 2 & = 1 + 2 \\ \frac{1}{2}x & = 3 \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dikalikan 2)} \\ 2 \times \frac{1}{2}x & = 2 \times 3 \\ x & = 6 \end{align} $
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah $ x = \{ 6 \} $.

9). Tentukan penyelesaian persamaan linear $ \frac{1}{5}x - 2 = \frac{x-1}{2} $
Penyelesaian :
*). Jika persamaan linearnya memuat pecahan lebih dari satu, maka untuk memudahkan dalam menyelesaikannya kita harus mengalikan dengan KPK dari penyebut pecahan yang merupakan bagian dari sifat ekuivalen.
*). Bentuk $ \frac{1}{5}x - 2 = \frac{x-1}{2} \, $ memuat pecahan dengan penyebut 5 dan 2 dengan KPKnya 10, ini artinya kedua ruas kita kalikan 10.
$ \begin{align} \frac{1}{5}x - 2 & = \frac{x-1}{2} \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dikalikan 10)} \\ 10 \times \left( \frac{1}{5}x - 2 \right) & = 10 \times \left( \frac{x-1}{2} \right) \\ 10 \times \frac{1}{5}x - 10 \times 2 & = \frac{10(x-1)}{2} \\ 2x - 20 & = 5(x-1) \\ 2x - 20 & = 5x - 5 \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas ditambahkan 20)} \\ 2x - 20 + 20 & = 5x - 5 + 20 \\ 2x & = 5x + 15 \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dikurangkan } 5x) \\ 2x - 5x & = 5x + 15 - 5x \\ -3x & = 15 \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dibagi } -3) \\ \frac{-3x}{-3} & = \frac{15}{-3} \\ x & = -5 \end{align} $
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah $ x = \{ -5 \} $.

Cara II : Menyamakan penyebutnya,
$ \begin{align} \frac{1}{5}x - 2 & = \frac{x-1}{2} \\ \frac{1}{5}x - 2 & = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2} \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas ditambahkan 2)} \\ \frac{1}{5}x - 2 + 2 & = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2} + 2 \\ \frac{1}{5}x & = \frac{1}{2}x + \frac{3}{2} \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dikurangkan } \frac{1}{2}x ) \\ \frac{1}{5}x - \frac{1}{2}x & = \frac{1}{2}x + \frac{3}{2} - \frac{1}{2}x \\ \frac{2}{10}x - \frac{5}{10}x & = \frac{3}{2} \\ \frac{-3}{10}x & = \frac{3}{2} \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dikalikan } \frac{-10}{3} ) \\ \frac{-10}{3} \times \frac{-3}{10}x & = \frac{-10}{3} \times \frac{3}{2} \\ x & = \frac{-30}{6} \\ x & = -5 \end{align} $
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah $ x = \{ -5 \} $.

10). Persamaan linear $ 3x - 2 = m - x \, $ memiliki penyelesaian untuk $ x = 3. \, $ Tentukan nilai $ m $.
Penyelesaian :
*). Karena $ x = 3 \, $ adalah solusinya, maka bisa kita substitusikan ke persamaannya
$ \begin{align} x = 3 \rightarrow 3x - 2 & = m - x \\ 3 \times 3 - 2 & = m - 3 \\ 9 - 2 & = m - 3 \\ 7 & = m - 3 \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas ditambahkan 3) } \\ 7 + 3 & = m - 3 + 3 \\ 10 & = m \end{align} $
Jadi, kita peroleh nilai $ m = 10 $ .

Tidak ada komentar:

Posting Komentar