Selasa, 05 Januari 2016

Dalil Stewart pada Segitiga dan Pembuktiannya


         Blog Koma - Salah satu dalil garis pada segitiga yang tidak kalah penting adalah dalil Stewart. Pada artikel ini kita membahas materi dalil Stewart pada segitiga dan pembuktiannya. Salah satu kegunaan dalil Stewart adalah untuk membuktikan rumus panjang garis berat dan panjang garis bagi sebuah segitiga. Dan untuk mudah dalam membuktikan, silahkan baca tentang dalil proyeksi pada materi "Panjang Garis Tinggi pada Segitiga dan Pembuktiannya".

Konsep Dalil Stewart pada Segitiga
       Dalil Stewart menyatakan hubungan antara sisi-sisi segitiga dengan panjang ruas garis yang menghubungkan titik sudut dengan sisi yang ada dihadapan sudut tersebut. perhatikan gambar segitiga ABC berikut,
Jika titik D terletak pada sisi BC pada sigitiga ABC, sehingga panjang $ BD = m , \, DC = n , \, $ dan $ m + n = a , \, $ maka panjang sebarang garis $ AD = d \, $ yaitu :

$ AD^2 . BC = AC^2.BD + AB^2 . DC - BD.DC.BC \, $
atau $ \, d^2 . a = b^2.m + c^2 . n - m.n.a $
Contoh soal Dalil Stewart pada segitiga :
1). Diketahui segitiga ABC dengan panjang sisi-sisinya AB = 4 cm, BC = 8 cm, dan AC = 6 cm. Titik D terletak pada sisi BC dengan BD = 2 cm dan titik E terletak pada sisi AC dengan panjang AE = 4 cm. Tentukan panjang DE?
Penyelesaian :
*). Kita gunakan dalil Stewart.
*). Menentukan panjang AD dengan dalil Stewart pada $\Delta$ABC
$ \begin{align} AD^2 . BC & = BD. AC^2 + DC.AB^2 - BD.DC.BC \\ AD^2 . 8 & = 2. 6^2 + 6.4^2 - 2.6.8 \\ AD^2 . 8 & = 72 + 96 - 96 \\ AD^2 . 8 & = 72 \\ AD^2 & = 9 \\ AD & = \sqrt{9} = 3 \end{align} $
Sehingga panjang AD = 3 cm.
*). Menentukan panjang DE dengan dalil Stewart pada $\Delta$ADC
$ \begin{align} DE^2 . AC & = CE.AD^2 + EA.DC^2 - CE.EA.AC \\ DE^2 . 6 & = 2.3^2 + 4.6^2 - 2.4.6 \\ DE^2 . 6 & = 18 + 144 - 48 \\ DE^2 . 6 & = 18 + 96 \\ DE^2 . 6 & = 114 \\ DE^2 & = 19 \\ DE & = \sqrt{19} \end{align} $
Jadi, panjang DE = $\sqrt{19} $ cm.

2). Pada sebuah segitiga ABC, diketahui AB = 8 cm, BC = 7 cm, dan AC = 6 cm. Pada perpanjangan AB terdapat titik D, sehingga BD = 1/2 AD. Hitunglah panjang CD.
Penyelesaian :
*). Karena panjang BD = 1/2 AD, maka BD = AB = 8 cm.
*). Gambar ilustrasinya :
*). Kita terapkan dalil stewart pada segitiga ACD.
$ \begin{align} CB^2.AD & = AB.CD^2 + BD.AC^2 - AB.BD.AD \\ 7^2.16 & = 8.CD^2 + 8.6^2 - 8.8.16 \, \, \, \, \, \text{(bagi 8)} \\ 49.2 & = CD^2 + 36 - 8.16 \\ 98 & = CD^2 + 36 - 128 \\ 98 & = CD^2 -92 \\ CD^2 & = 190 \\ CD & = \sqrt{190} \end{align} $
Jadi, panjang $ CD = \sqrt{190} \, $ cm.
Catatan : soal nomor 2 ini bisa diselesaikan menggunakan rumus panjang garis berat.

3). Diketahui sebuah segitiga ABC dengan AC = 8 cm, AB = 6 cm dan BC = 12 cm. Titik D pada AB dan titik E pada AC sehingga AD:AB = 1:3 dan BE = CE. Hitunglah panjang DE!
Penyelesaian :
*). Panjang AD:AB = 1:3 ,
Panjang $ AD = \frac{1}{3} AB = \frac{1}{3} . 6 = 2 $.
Panjang $ DB = \frac{2}{3} AB = \frac{2}{3} . 6 = 4 $.
Misalkan panjang $ BE = EC = x , \, $ sehingga $ EA = 8 - x $.
*). Ilustrasi gambar segitiga ABC.
*). Dalil Stewart pada $\Delta$ABC menentukan panjang BE ($x$),
$ \begin{align} BE^2.AC & = CE.AB^2 + EA.BC^2 - CE.EA.AC \\ x^2.8 & = x.6^2 + (8-x).12^2 - x.(8-x).8 \\ 8x^2 & = 36x + 1152 - 144x - 64x + 8x^2 \\ 172x & = 1152 \\ x & = \frac{1152}{172} = \frac{288}{43} \end{align} $
Sehingga panjang $ BE = x = \frac{288}{43} \, $ cm.
Panjang $ EA = 8 - x = 8 - \frac{288}{43} = \frac{56}{43} $ .
*). Kita terapkan dalil stewart pada segitiga AEB.
$ \begin{align} DE^2.AB & = AD.BE^2 + DB.EA^2 - AD.DB.AB \\ DE^2.6 & = 2.(\frac{288}{43})^2 + 4.(\frac{56}{43})^2 - 2.4.6 \\ DE^2.6 & = 2.(\frac{82944}{1849}) + 4.(\frac{3136}{1849}) - 48 \\ DE^2.6 & = \frac{165888}{1849} + \frac{12544}{1849} - 48 \\ DE^2.6 & = \frac{178432}{1849} - 48 \\ DE^2.6 & = \frac{178432}{1849} - \frac{88752}{1849} \\ DE^2.6 & = \frac{89680}{1849} \\ DE^2 & = \frac{89680}{11094} \\ DE & = \sqrt{\frac{89680}{11094}} \\ DE & = \sqrt{\frac{89680}{11094}} \end{align} $
Jadi, panjang $ DE = \sqrt{\frac{89680}{11094}} \, $ cm.

4). Diketahui ada sebuah trapesium. Sisi-sisi sejajar trapesium adalah 16 cm dan 10 cm. Panjang kaki-kakinya 8 cm dan 10 cm. Hitunglah panjang kedua diagonalnya!
Penyelesaian :
*). ilustrasi gambar trapesiumnya.
*). Misalkan panjang $ AC = x \, $ dan $ BD = y $ .
Misalkan juga $ AE = x_1 , \, EC = x_2, \, DE = y_1, \, EB = y_2 $
dengan $ x_1 + x_2 = x \, $ dan $ \, y_1 + y_2 = y $.
*). Segitiga AED sebangun dengan segitiga BEC.
Karena sebangun, maka perbandingan sisi yang bersesuaian sama.
$ \frac{AE}{EC} = \frac{AD}{BC} \rightarrow \frac{x_1}{x_2} = \frac{10}{16} \rightarrow \frac{x_1}{x_2} = \frac{5}{8} $.
Sehingga : $ x_1 = \frac{5}{13} x \, $ dan $ x_2 = \frac{8}{13}x $.
$ \frac{DE}{EB} = \frac{AD}{BC} \rightarrow \frac{y_1}{y_2} = \frac{10}{16} \rightarrow \frac{y_1}{y_2} = \frac{5}{8} $.
Sehingga : $ y_1 = \frac{5}{13} y \, $ dan $ y_2 = \frac{8}{13}y $.
*). Menerapkan dalil stewart pada segitiga ACD.
$ \begin{align} DE^2.AC & = AE.CD^2 + EC.AD^2 - AE.EC.AC \\ y_1^2.x & = x_1.8^2 + x_2.10^2 - x_1.x_2.x \, \, \, \, \, \text{....pers(i)} \end{align} $
*). Menerapkan dalil stewart pada segitiga ACB.
$ \begin{align} BE^2.AC & = AE.BC^2 + EC.AB^2 - AE.EC.AC \\ y_2^2.x & = x_1.(16)^2 + x_2.10^2 - x_1.x_2.x \, \, \, \, \, \text{....pers(ii)} \end{align} $
*). Eliminasi pers(i) dan pers(ii),
$ \begin{array}{cc} y_1^2.x = x_1.8^2 + x_2.10^2 - x_1.x_2.x & \\ y_2^2.x = x_1.(16)^2 + x_2.10^2 - x_1.x_2.x & - \\ \hline x(y_1^2 - y_2^2) = -192x_1 & \end{array} $
*). Substitusi nilai $ x_1, y_1 , y_2 $,
$ \begin{align} x(y_1^2 - y_2^2) & = -192x_1 \\ x((\frac{5}{13} y)^2 - (\frac{8}{13} y)^2) & = -192.\frac{5}{13} x \\ x(\frac{25}{169} y^2 - \frac{64}{169} y^2) & = -192.\frac{5}{13} x \\ x.\frac{-39}{169} y^2 & = -192.\frac{5}{13} x \\ \frac{39}{169} y^2 & = 192.\frac{5}{13} \\ \frac{3}{13} y^2 & = 192.\frac{5}{13} \\ 3 y^2 & = 192 . 5 \\ y^2 & = \frac{192.5}{3} = 64 . 5 \\ y & = \sqrt{64. 5} = 8 \sqrt{5} \end{align} $
*). Menerapkan dalil stewart pada segitiga ADB.
$ \begin{align} AE^2.BD & = DE.AB^2 + EB.AD^2 - DE.EB.DB \\ x_1^2.y & = y_1.10^2 + y_2.10^2 - y_1.y_2.y \, \, \, \, \, \text{....pers(iii)} \end{align} $
*). Menerapkan dalil stewart pada segitiga CDB.
$ \begin{align} CE^2.BD & = DE.BC^2 + EB.CD^2 - DE.EB.DB \\ x_2^2.y & = y_1.16^2 + y_2.8^2 - y_1.y_2.y \, \, \, \, \, \text{....pers(iv)} \end{align} $
*). Eliminasi pers(iii) dan pers(iv),
$ \begin{array}{cc} x_1^2.y = y_1.10^2 + y_2.10^2 - y_1.y_2.y & \\ x_2^2.y = y_1.16^2 + y_2.8^2 - y_1.y_2.y & - \\ \hline y(x_1^2 - x_2^2) = -156y_1 + 36y_2 & \end{array} $
*). Substitusi nilai $ x_1,x_2, y_1 , y_2 $,
$ \begin{align} y(x_1^2 - x_2^2) & = -156y_1 + 36y_2 \\ y((\frac{5}{13} x)^2 - (\frac{8}{13} x)^2) & = -156.\frac{5}{13} y + 36. \frac{8}{13} y \\ y(\frac{25}{169} x^2 - \frac{64}{169} x^2) & = -156.\frac{5}{13} y + 36. \frac{8}{13} y \\ y.\frac{-39}{169} x^2 & = -156.\frac{5}{13} y + 36. \frac{8}{13} y \\ \frac{-3}{13} x^2 & = -156.\frac{5}{13} + 36. \frac{8}{13} \\ -3 x^2 & = -156.5 + 36. 8 \\ -3 x^2 & = -492 \\ x^2 & = 164 \\ x & = \sqrt{164} \end{align} $
Jadi, panjang diagonal-diagonalnya adalah $ 8 \sqrt{5} \, $ cm dan $ \sqrt{164} \, $ cm.

5). Sisi-sisi sejajar sebuah trapesium 6 cm dan 36 cm. Panjang diagonalnya 21 cm dan 28 cm. Hitunglah panjang kaki-kaki trapesium tersebut!
Penyelesaian :
*). Perhatikan ilustrasi gambar di bawah ini.
*). Menentukan panjang masing pada trapesium.
Diagonal AC = 28 cm, diagonal BD = 21 cm.
Sisi-sisi sejajar : AD = 6 cm dan BC = 36 cm.
*). Segitiga AED sebangun dengan segitiga BEC.
$ \frac{AE}{EC} = \frac{AD}{BC} \rightarrow \frac{AE}{EC} = \frac{6}{36} \rightarrow \frac{AE}{EC} = \frac{1}{6} $
Sehingga : $ AE = \frac{1}{7} AC = \frac{1}{7}. 28 = 4 \, $ dan $ EC = \frac{6}{7} AC = \frac{6}{7}. 28 = 24 $ .
$ \frac{DE}{EB} = \frac{AD}{BC} \rightarrow \frac{DE}{EB} = \frac{6}{36} \rightarrow \frac{DE}{EB} = \frac{1}{6} $
Sehingga : $ DE = \frac{1}{7} BD = \frac{1}{7}. 21 = 3 \, $ dan $ EB = \frac{6}{7} BD = \frac{6}{7}. 21 = 18 $ .
*). Menerapkan dalil stewart pada segitiga ACD.
$ \begin{align} DE^2.AC & = AE.CD^2 + EC.AD^2 - AE.EC.AC \\ 3^2.28 & = 4.CD^2 + 24.6^2 - 4.24.28 \\ 252 & = 4.CD^2 + 864 - 2688 \\ 252 & = 4.CD^2 - 1824 \\ 4.CD^2 & = 2076 \\ CD^2 & = \frac{2076}{4} = 519 \\ CD & = \sqrt{519} \end{align} $
*). Menerapkan dalil stewart pada segitiga ACB.
$ \begin{align} BE^2.AC & = AE.BC^2 + EC.AB^2 - AE.EC.AC \\ 18^2.28 & = 4.(36)^2 + 24.AB^2 - 4.24.28 \\ 9072 & = 5184 + 24.AB^2 - 2688 \\ 24.AB^2 & = 6576 \\ AB^2 & = 274 \\ AB & = \sqrt{274} \end{align} $
Jadi, panjang kaki-kaki trapesium tersebut adalah $ \sqrt{519} \, $ cm dan $ \sqrt{274} \, $ cm.

Pembuktian Dalil Stewart dengan aturan Cosinus
       Untuk pembuktian pertama ini kita akan menggunakan aturan cosinus. Teori aturan cosinus bisa di baca pada artikel "Penerapan Trigonometri pada Segitiga : Aturan Sinus, Aturan Cosinus, Luas Segitiga".
*). Panjang untuk sisi masing-masing terlihat pada gambar di atas.
khususnya adalah $ m + n = a $.
*). Misalkan sudut $ ABD = y \, $ dan sudut $ ADC = x $.
Sudut $ x \, $ dan $ y \, $ saling berpelurus, sehingga jumlahnya $ 180^\circ$.
$ y + x = 180^\circ \rightarrow y = 180^\circ - x $.
Sehingga : $ \cos y = \cos (180^\circ - x ) = - \cos x $.
*). Aturan Cosinus pada segitiga ABD,
$ c^2 = d^2 + m^2 - 2.d.m .\cos y $
$ \rightarrow c^2 = d^2 + m^2 - 2.d.m .(-\cos x) $
$ \rightarrow c^2 = d^2 + m^2 + 2dm\cos x \, $ , kalian dengan $ n \, $ kedua ruas :
$ c^2.n = d^2.n + m^2.n + 2dmn\cos x \, $ ....pers(i).
*). Aturan Cosinus pada segitiga ACD,
$ b^2 = d^2 + n^2 - 2.d.n .\cos x \, $ , kalian dengan $ m \, $ kedua ruas :
$ b^2.m = d^2.m + n^2.m - 2dmn\cos x \, $ ....pers(ii).
*). Eliminasi pers(i) dan pers(ii) :
$ \begin{array}{cc} b^2.m = d^2.m + n^2.m - 2dmn\cos x & \\ c^2.n = d^2.n + m^2.n + 2dmn\cos x & + \\ \hline b^2.m + c^2.n = d^2(m+n) + mn(m+n) & \\ b^2.m + c^2.n = d^2.a + m.n.a & \\ d^2.a = b^2.m + c^2.n - m.n.a & \end{array} $
Sehingga terbukti panjang $ AD = d \, $ diperoleh dari rumus :
$ d^2.a = b^2.m + c^2.n - m.n.a \, $ atau
$ AD^2 . BC = AC^2.BD + AB^2 . DC - BD.DC.BC $
Pembuktian Dalil Stewart dengan dalil proyeksi
       Teori dalil proyeksi bisa kita baca pada materi "Panjang Garis Tinggi pada Segitiga dan Pembuktiannya" yang dibagi menjadi dua yaitu dalil proyeksi segitiga tumpul dan dalil proyeksi segitiga lancip.
Pada gambar kita proyeksikan garis AD pada garis BD yang hasilnya adalah DE.
*). Panjang untuk sisi masing-masing terlihat pada gambar di atas.
khususnya adalah $ m + n = a $.
*). Dalil proyeksi lancip pada segitiga BAD,
$ c^2 = d^2 + m^2 - 2 . m . ED \, $ , kalian dengan $ n \, $ kedua ruas :
$ c^2.n = d^2.n + m^2.n - 2 . m .n. ED \, $ ....pers(iii).
*). Dalil proyeksi tumpul pada segitiga CAD,
$ b^2 = d^2 + n^2 + 2.n .ED \, $ , kalian dengan $ m \, $ kedua ruas :
$ b^2.m = d^2.m + n^2.m + 2 . m .n. ED \, $ ....pers(iv).
*). Eliminasi pers(iii) dan pers(iv) :
$ \begin{array}{cc} b^2.m = d^2.m + n^2.m + 2 . m .n. ED & \\ c^2.n = d^2.n + m^2.n - 2 . m .n. ED & + \\ \hline b^2.m + c^2.n = d^2(m+n) + mn(m+n) & \\ b^2.m + c^2.n = d^2.a + m.n.a & \\ d^2.a = b^2.m + c^2.n - m.n.a & \end{array} $
Sehingga terbukti panjang $ AD = d \, $ diperoleh dari rumus :
$ d^2.a = b^2.m + c^2.n - m.n.a \, $ atau
$ AD^2 . BC = AC^2.BD + AB^2 . DC - BD.DC.BC $

Catatan:
Seetelah saya mulai menyusun materi yang berkaitan dengan Dalil Stewart, ternyata saya sangat kagum dengan kegunaan dalil ini, tidak hanya untuk membuktikan panjang garis berat dan garis bagi, ternyata bisa juga digunakan untuk membuktikan teorema pythagoras pada segitiga siku-siku.
Ini sedikit tantangan untuk kita semua, coba selesaikan beberapa soal berikut ini,
i). Coba buktikan teorema pythagaoras menggunakan dali Stewart, silahkan konstruksinya bebas.
ii). Buktikan untuk sebarang jajar genjang, berlaku bahwa jumlah kuadrat sisi-sisi diagonalnya sama dengan dua kali jumlah kuadrat sisi-sisinya sejajarnya.
Selamat untuk mencoba bagi teman-teman yang tertarik untuk memecahkan masalah di atas.

Tidak ada komentar:

Poskan Komentar