Perhatikan grafik fungsi $ y = f(x) \, $ berikut ini,
Menentukan Titik Stasioner dan Nilai stasioner suatu fungsi
Misalkan terdapat fungsi $ y = f(x) \, $ yang dapat diturunkan (diferentiable), untuk menentukan titik
stasionernya kita harus menentukan nilai $ x \, $ terlebih dulu dengan cara menggunakan syarat stasioner yaitu :
Syarat Stasioner : $ f^\prime (x) = 0 \, $ (turunan pertama = 0).
Dari syarat stasioner $ f^\prime (x) = 0 \, $ , akan kita peroleh nilai $ x \, $ yang memenuhi persamaan tersebut, anggap saja $ x = c \, $ yang memenuhi $ f^\prime (c) = 0 . \, $ Akan kita peroleh :
Titik ($c, f(c)$) disebut sebagai titik stasioner, dan
Nilai fungsi $ y = f(c) \, $ disebut sebagai Nilai stasionernya.
Catatan :
*). Banyaknya nilai $ x \, $ yang memenuhi persamaan $ f^\prime (x) = 0 \, $ bisa lebih dari satu, ini tergantung dari bentuk fungsinya.
*). Untuk menentukan jenis stasionernya, ada dua cara yaitu menggunakan turunan pertama atau menggunakan turunan kedua.
Syarat Stasioner : $ f^\prime (x) = 0 \, $ (turunan pertama = 0).
Dari syarat stasioner $ f^\prime (x) = 0 \, $ , akan kita peroleh nilai $ x \, $ yang memenuhi persamaan tersebut, anggap saja $ x = c \, $ yang memenuhi $ f^\prime (c) = 0 . \, $ Akan kita peroleh :
Titik ($c, f(c)$) disebut sebagai titik stasioner, dan
Nilai fungsi $ y = f(c) \, $ disebut sebagai Nilai stasionernya.
Catatan :
*). Banyaknya nilai $ x \, $ yang memenuhi persamaan $ f^\prime (x) = 0 \, $ bisa lebih dari satu, ini tergantung dari bentuk fungsinya.
*). Untuk menentukan jenis stasionernya, ada dua cara yaitu menggunakan turunan pertama atau menggunakan turunan kedua.
1). Tentukan titik dan nilai stasioner dari fungsi-fungsi berikut :
a). $ f(x) = \frac{1}{3}x^3 - x^2 - 8x + 1 $
b). $ f(x) = \sin (2x) \, $ untuk $ 0 \leq x \leq 360^\circ $
Penyelesaian :
a). Menentukan nilai $ x \, $ berdasarkan syarat stasioner :
Fungsi awal : $ f(x) = \frac{1}{3}x^3 - x^2 - 8x + 1 \rightarrow f^\prime (x) = x^2 - 2x - 8 $
Syarat stasioner : $ f^\prime (x) = 0 $
$ \begin{align} f^\prime (x) & = 0 \\ x^2 - 2x - 8 & = 0 \\ (x +2)(x-4) & = 0 \\ x = -2 \vee x & = 4 \end{align} $
*). Menentukan nilai stasioner dan titik stasionernya dengan substitusikan nilai $ x = -2 \, $ dan $ x = 4 \, $ ke fungsi awal, kita peroleh :
Untuk $ x = -2 \rightarrow f(-2) = \frac{1}{3}(-2)^3 - (-2)^2 - 8.(-2) + 1 = \frac{31}{3} $ .
Sehingga untuk $ x = -2 \, $ , nilai stasionernya $ \frac{31}{3} \, $ dan titik stasionernya $\left( -2, \frac{31}{3} \right)$ .
Untuk $ x = 4 \rightarrow f(4) = \frac{1}{3}(4)^3 - (4)^2 - 8.(4) + 1 = -\frac{77}{3} $ .
Sehingga untuk $ x = 4 \, $ , nilai stasionernya $ -\frac{77}{3} \, $ dan titik stasionernya $\left( 4, -\frac{77}{3} \right)$ .
Jadi, titik stasionernya adalah $\left( -2, \frac{31}{3} \right) \, $ dan $\left( 4, -\frac{77}{3} \right)$ .
b). Menentukan nilai $ x \, $ berdasarkan syarat stasioner :
Fungsi awal : $ f(x) = \sin (2x) \rightarrow f^\prime (x) = 2 \cos (2x) $
Syarat stasioner : $ f^\prime (x) = 0 $
$ \begin{align} f^\prime (x) & = 0 \\ 2 \cos (2x) & = 0 \\ \cos (2x) & = 0 \\ 2x & = 90^\circ \rightarrow x = 45^\circ \\ 2x & = 270^\circ \rightarrow x = 135^\circ \\ 2x & = 450^\circ \rightarrow x = 225^\circ \\ 2x & = 630^\circ \rightarrow x = 315^\circ \end{align} $
Untuk menyelesaikan persamaan trigonometri, silahkan baca materinya lebih lanjut pada artikel "penyelesaian persamaan trigonometri".
*). Menentukan nilai stasioner dan titik stasionernya dengan substitusikan nilai $ x = \{ 45^\circ, 135^\circ, 225^\circ, 315^\circ \} $ ke fungsi awal, kita peroleh :
Untuk $ x = 45^\circ \rightarrow f(45^\circ) = \sin ( 2 \times 45^\circ ) = \sin 90^\circ = 1 $ .
Sehingga untuk $ x = 45^\circ \, $ , nilai stasionernya $ 1 \, $ dan titik stasionernya $\left( 45^\circ , 1 \right)$ .
Untuk $ x = 135^\circ \rightarrow f(135^\circ) = \sin ( 2 \times 135^\circ ) = \sin 270^\circ = -1 $ .
Sehingga untuk $ x = 135^\circ \, $ , nilai stasionernya $ -1 \, $ dan titik stasionernya $\left( 135^\circ , -1 \right)$ .
Untuk $ x = 225^\circ \rightarrow f(225^\circ) = \sin ( 2 \times 225^\circ ) = \sin 450^\circ = 1 $ .
Sehingga untuk $ x = 225^\circ \, $ , nilai stasionernya $ 1 \, $ dan titik stasionernya $\left( 225^\circ , 1 \right)$ .
Untuk $ x = 315^\circ \rightarrow f(315^\circ) = \sin ( 2 \times 315^\circ ) = \sin 630^\circ = -1 $ .
Sehingga untuk $ x = 315^\circ \, $ , nilai stasionernya $ -1 \, $ dan titik stasionernya $\left( 315^\circ , -1 \right)$ .
Jadi, titik stasionernya adalah $\{ \left( 45^\circ , 1 \right), \left( 135^\circ , -1 \right),\left( 225^\circ , 1 \right), \left( 315^\circ , -1 \right) \} $ .
Menentukan jenis stasioner menggunakan turunan pertama
Misalkan fungsi $ y = f(x) \, $ dan $ x = c \, $ memenuhi syarat stasioner $ f^\prime (c) = 0 , \, $
artinya kita peroleh nilai stasionernya $ f(c) \, $ dan titik stasionernya ($c,f(c)$).
Kita akan uji titik disebelah kiri ($x=a$) dan sebelah kanan ($x = b$) pada $ x = c \, $ yaitu $ a < c < b \, $ dengan cara substitusi
titik yang mau diuji ke fungsi turunan pertamanya untuk menentukan jenis stasionernya. Ada 4 kemungkinan yang akan kita peroleh yaitu :
i). Jika nilai $ f^\prime (a) > 0 \, $ dan $ f^\prime (b) > 0 \, $ , maka jenis stasionernya adalah titik belok. Berikut garis bilangannya,
ii). Jika nilai $ f^\prime (a) > 0 \, $ dan $ f^\prime (b) < 0 \, $ , maka jenis stasionernya adalah maksimum (titik balik maksimum). Berikut garis bilangannya,
iii). Jika nilai $ f^\prime (a) < 0 \, $ dan $ f^\prime (b) > 0 \, $ , maka jenis stasionernya adalah minimum (titik balik minimum). Berikut garis bilangannya,
iii). Jika nilai $ f^\prime (a) < 0 \, $ dan $ f^\prime (b) < 0 \, $ , maka jenis stasionernya adalah titik belok. Berikut garis bilangannya,
i). Jika nilai $ f^\prime (a) > 0 \, $ dan $ f^\prime (b) > 0 \, $ , maka jenis stasionernya adalah titik belok. Berikut garis bilangannya,
ii). Jika nilai $ f^\prime (a) > 0 \, $ dan $ f^\prime (b) < 0 \, $ , maka jenis stasionernya adalah maksimum (titik balik maksimum). Berikut garis bilangannya,
iii). Jika nilai $ f^\prime (a) < 0 \, $ dan $ f^\prime (b) > 0 \, $ , maka jenis stasionernya adalah minimum (titik balik minimum). Berikut garis bilangannya,
iii). Jika nilai $ f^\prime (a) < 0 \, $ dan $ f^\prime (b) < 0 \, $ , maka jenis stasionernya adalah titik belok. Berikut garis bilangannya,
2). Tentukan nilai stasioner dan jenisnya dari fungsi berikut $ f(x) = \frac{1}{3}x^3 - \frac{5}{2}x^2 + 6x $
Penyelesaian :
*). Fungsi awal : $ f(x) = \frac{1}{3}x^3 - \frac{5}{2}x^2 + 6x $
$ f^\prime (x) = x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3) $
*). Menentukan nilai $ x \, $ dari syarat stasioner : $ f^\prime (x) = 0 $
$ \begin{align} f^\prime (x) & = 0 \\ x^2 - 5x + 6 & = 0 \\ (x-2)(x-3) & = 0 \\ x = 2 \vee x & = 3 \end{align} $
*). Menentukan nilai stasionernya,
substitusi ke fungsi awal : $ f(x) = \frac{1}{3}x^3 - \frac{5}{2}x^2 + 6x $
Untuk $ x = 2 \, $ nilai stasionernya $ f(2) = \frac{1}{3}.2^3 - \frac{5}{2}.2^2 + 6.2 = 4\frac{2}{3} $
sehingga titik stasionernya : $ (2,4\frac{2}{3}) $
Untuk $ x = 3 \, $ nilai stasionernya $ f(3) = \frac{1}{3}.3^3 - \frac{5}{2}.3^2 + 6.3 = 4\frac{1}{2} $
sehingga titik stasionernya : $ (3, 4\frac{1}{2}) $
*). Menentukan jenis stasionernya :
Kita peroleh nilai $ x = 2 \, $ dan $ x = 3 , \, $ akan kita uji titik disekitar 2 dan 3 dengan mensubstitusikannya ke turunan pertama yaitu $ f^\prime (x) = (x-2)(x-3) $ .
Untuk $ x = 0 \, $ disebelah kirinya 2,
$ x = 0 \rightarrow f^\prime (0) = (0-2)(0-3) = 6 \, $ (positif),
Untuk $ x = 2,5 \, $ diantara 2 dan 3,
$ x = 2,5 \rightarrow f^\prime (2,5) = (2,5-2)(2,5-3) = -0,25 \, $ (negatif),
Untuk $ x = 4 \, $ disebelah kanannya 3,
$ x = 4 \rightarrow f^\prime (4) = (4-2)(4-3) = 2 \, $ (positif),
Garis bilangannya :
Dari garis bilangan terlihat bahwa ,
untuk $ x = 2 \, $ nilai stasionernya adalah $ 4\frac{2}{3} \, $ jenisnya maksimum.
Sehingga titik stasioner $ (2,4\frac{2}{3}) \, $ jenisnya titik balik maksimum.
untuk $ x = 3 \, $ nilai stasionernya adalah $ 4\frac{1}{2} \, $ jenisnya minimum.
Sehingga titik stasioner $ (3,4\frac{1}{2}) \, $ jenisnya titik balik minimum.
Menentukan jenis stasioner menggunakan turunan Kedua
Misalkan fungsi $ y = f(x) \, $ dan $ x = c \, $ memenuhi syarat stasioner $ f^\prime (c) = 0 , \, $
artinya kita peroleh nilai stasionernya $ f(c) \, $ dan titik stasionernya ($c,f(c)$). Untuk menentukan jenis stasionernya, kita akan menggunakan turunan
kedua, artinya $ x = c \, $ kita substitusikan ke turunan kedua dengan 3 kemungkinan yaitu :
i). Jika $ f^{\prime \prime } (c) > 0 \, $ maka jenisnya minimum (grafik cekung ke atas).
ii). Jika $ f^{\prime \prime } (c) = 0 \, $ maka jenisnya belok (titik belok).
iii). Jika $ f^{\prime \prime } (c) < 0 \, $ maka jenisnya maksimum (grafik cekung ke bawah).
Catatan : perubahan kecekungan disebut titik belok.
i). Jika $ f^{\prime \prime } (c) > 0 \, $ maka jenisnya minimum (grafik cekung ke atas).
ii). Jika $ f^{\prime \prime } (c) = 0 \, $ maka jenisnya belok (titik belok).
iii). Jika $ f^{\prime \prime } (c) < 0 \, $ maka jenisnya maksimum (grafik cekung ke bawah).
Catatan : perubahan kecekungan disebut titik belok.
3). Tentukan jenis stasioner dari fungsi pada soal nomor 2 di atas.
Penyelesaian :
Fungsi awal : $ f(x) = \frac{1}{3}x^3 - \frac{5}{2}x^2 + 6x $
$ f^\prime (x) = x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3) $
$ f^{\prime \prime } (x) = 2x - 5 $
*). Dari perhitungan sebelumnya diperoleh $ x = 2 \, $ dan $ x = 3 $.
*). Cek turunan kedua untuk menentukan jenis stasionernya :
untuk $ x = 2 \rightarrow f^{\prime \prime } (2) = 2.2 - 5 = -1 < 0 \, $ (negatif), artinya pada saat $ x = 2 \, $ jenis stasionernya adalah maksimum.
untuk $ x = 3 \rightarrow f^{\prime \prime } (3) = 2.3 - 5 = 1 > 0 \, $ (positif), artinya pada saat $ x = 3 \, $ jenis stasionernya adalah minimum.
Jadi, jenis stasioner yang diperoleh sama dengan cara menggunakan turunan pertama pada contoh soal nomor 2.
4). Tentukan nilai stasioner dan jenisnya dari fungsi $ f(x) = \sin (2x) \, $ untuk $ 0 \leq x \leq 360^\circ $
Penyelesaian :
*). Soal contoh 4 ini sama dengan soal contoh 1 bagian b, artinya kita telah memperoleh nilai $ x \, $ yang memenuhi syarat stasioner yaitu : $ x = \{ 45^\circ, 135^\circ, 225^\circ, 315^\circ \} $
*). Menentukan turunan kedua :
fungsi awal : $ f(x) = \sin (2x) $
$ f^\prime (x) = 2 \cos 2x \, $ dan $ f^{\prime \prime } (x) = -4 \sin 2x $
*). Menentukan jenis stasionernya menggunakan turunan kedua : $ f^{\prime \prime } (x) = -4 \sin 2x $
Untuk $ x = 45^\circ \rightarrow f^{\prime \prime } (45^\circ) = -4 \sin 2 \times 45^\circ = -4 \sin 90^\circ = -4 \, $ (negatif), artinya pada saat $ x = 45^\circ \, $ jenis stasionernya adalah maksimum.
Untuk $ x = 135^\circ \rightarrow f^{\prime \prime } (135^\circ) = -4 \sin 2 \times 135^\circ = -4 \sin 270^\circ = 4 \, $ (positif), artinya pada saat $ x = 135^\circ \, $ jenis stasionernya adalah minimum.
Untuk $ x = 225^\circ \rightarrow f^{\prime \prime } (225^\circ) = -4 \sin 2 \times 225^\circ = -4 \sin 450^\circ = -4 \, $ (negatif), artinya pada saat $ x = 225^\circ \, $ jenis stasionernya adalah maksimum.
Untuk $ x = 315^\circ \rightarrow f^{\prime \prime } (315^\circ) = -4 \sin 2 \times 315^\circ = -4 \sin 630^\circ = 4 \, $ (positif), artinya pada saat $ x = 315^\circ \, $ jenis stasionernya adalah minimum.
5). Diketahui fungsi $ y = mx^3 + nx^2 $ dengan $ m $ dan $ n $ konstan, memiliki titik stasioner pada titik ($1, -1$). Tentukan nilai $ m $ dan $ n $.
Penyelesaian :
*). Fungsi awal : $ y = mx^3 + nx^2 $
$ f^\prime (x) = 3mx^2 + 2nx $
*). Titik ($1,-1$) adalah titik stasioner, artinya titik tersebut dilalui oleh grafik sehingga bisa kita substitusikan langsung ke fungsinya :
$ \begin{align} (x,y) = (1,-1) \rightarrow y & = mx^3 + nx^2 \\ -1 & = mx. 1^3 + n.1^2 \\ m + n & = -1 \, \, \, \, \, \text{....pers(i)} \end{align} $
*). Syarat stasioner : $ f^\prime (x) = 0 $
Karena titik ($1,-1$) adalah titik stasioner, maka untuk $ x = 1 \, $ (absisnya) pasti memenuhi syarat stasioner yaitu $ f^\prime (1) = 0 $
$ \begin{align} f^\prime (x) & = 3mx^2 + 2nx \\ f^\prime (1) & = 0 \\ 3m.1^2 + 2n.1 & = 0 \\ 3m + 2n & = 0 \, \, \, \, \, \text{....pers(ii)} \end{align} $
*). Eliminasi pers(i) dan pers(ii) :
$ \begin{array}{c|c|cc } m + n = -1 & \times 2 & 2m + 2n = -2 & \\ 3m + 2n = 0 & \times 1 & 3m + 2n = 0 & - \\ \hline & & -n = -2 & \\ & & n = 2 & \end{array} $
Pers(i) : $ m + n = -1 \rightarrow m + (2) = -1 \rightarrow m = -3 $ .
Jadi, kita peroleh nilai $ m = -3 \, $ dan $ n = 2 $ .
6). Fungsi $ f(x) = ax^4 + x^2 + 3b \, $ memiliki titik belok ($1,-3$). Tentukan nilai $ 6a - 18 b $ ?
Penyelesaian :
*). Titik ($1,-3$) adalah titik belok, artinya titik tersebut dilalui oleh grafik fungsinya sehingga bisa kita substitusi ke fungsinya.
$ \begin{align} (x,y) = (1,-3) \rightarrow y & = ax^4 + x^2 + 3b \\ -3 & = a.1^4 + 1^2 + 3b \\ a + 3b & = -4 \, \, \, \, \, \text{....pers(i)} \end{align} $
*). Menentukan turunan kedua fungsi $ f(x) = ax^4 + x^2 + 3b $
$ f^\prime (x) = 4ax^3 + 2x \, $ dan $ f^{\prime \prime }(x) = 12ax^2 + 2 $
*). Syarat titik belok adalah $ f^{\prime \prime }(x) = 0 $
*). Titik ($1,-3$) adalah titik belok sehingga $ x = 1 \, $ (absisnya) memenuhi syarat titik belok yaitu $ f^{\prime \prime }(1) = 0 $
$ f^{\prime \prime }(1) = 0 \rightarrow 12a.1^2 + 2 = 0 \rightarrow a = - \frac{1}{6} $.
Pers(i) : $ a + 3b = -4 \rightarrow - \frac{1}{6} + 3b = -4 \rightarrow b = - \frac{23}{18} $
Jadi, nilai $ 6a - 18 b = 6(- \frac{1}{6}) - 18(- \frac{23}{18}) = - 1 + 23 = 22 $ .
7). Tentukan nilai stasioner dan jenisnya dari fungsi $ f(x) = 4x^5 - 5x^4 $ ?
Penyelesaian :
*). Fungsi awal : $ f(x) = 4x^5 - 5x^4 $
$ f^\prime (x) = 20x^4 - 20x^3 = 20x^3(x - 1) \, $ dan $ f^{\prime \prime } (x) = 80x^3 - 60x^2 $
*). Menentukan nilai $ x \, $ dari syarat stasioner : $ f^\prime (x) = 0 $
$ \begin{align} f^\prime (x) & = 0 \\ 20x^4 - 20x^3 & = 0 \\ 20x^3(x - 1) & = 0 \\ x = 0 \vee x & = 1 \end{align} $
*). Menentukan nilai stasionernya,
substitusi ke fungsi awal : $ f(x) = 4x^5 - 5x^4 $
Untuk $ x = 0 \, $ nilai stasionernya $ f(0) = 4.0^5 - 5.0^4 = 0 $
sehingga titik stasionernya : $ (0,0) $
Untuk $ x = 1 \, $ nilai stasionernya $ f(1) = 4.1^5 - 5.1^4 = -1 $
sehingga titik stasionernya : $ (1, -1) $
*). Menentukan jenis stasionernya menggunakan turunan kedua : $ f^{\prime \prime } (x) = 80x^3 - 60x^2 $
Untuk $ x = 0 \rightarrow f^{\prime \prime } (0) = 80.0^3 - 60.0^2 = 0 \, $ , artinya pada saat $ x = 0 \, $ jenis stasionernya adalah titik belok.
Untuk $ x = 1 \rightarrow f^{\prime \prime } (1) = 80.1^3 - 60.1^2 = 20 \, $ (positif) , artinya pada saat $ x = 1 \, $ jenis stasionernya adalah minimum.
Jadi, diperoleh titik stasioner (0,0) jenisnya titik belok dan titik stasioner (1,20) jenisnya titik balik minimum.
