Rabu, 29 Juli 2015

Pembahasan Soal Eksponen UK 1.1 (sifat eksponen) Kurikulum 2013 Kelas X

         Blog Koma - Untuk mengerjakan soal-soal UK 1.1 ini, kita harus menguasai terlebih dahulu tentang sifat-sifat eksponen dengan baik dan benar. Setelah itu baru kita akan dapat dengan lebih mudah dalam mengerjakannya. Pembahasan Soal Eksponen UK 1.1 ini kami sajikan dengan harapan bisa membantu teman-teman untuk menjawab soal-soal yang ada pada buku wajib matematika kurikulum 2013 kelas X.

         Untuk Soal-soal Eksponen UK 1.1 (sifat eksponen) Kurikulum 2013 Kelas X yang akan kita bahas, memang terdiri dari soal-soal yang menurut kami sangat menantang untuk kita kerjakan. Bahkan menurut kami, beberapa soal yang ada adalah soal-soal setingkat olimpiade, sehingga tidak mudah bagi kita untuk mengerjakannya. Semoga pembahasan yang ada pada artikel ini bisa membantu kita semua, dan bisa menambah wawasan dalam mempelajari dan memperdalam materi eksponen.

         Untuk memudahkan mempelajari Pembahasan Soal Eksponen UK 1.1 (sifat eksponen) Kurikulum 2013 Kelas X ini, sebaiknya teman-teman mempelajari dulu baik-baik materi eksponen, seperti : bentuk umum eksponen, sifat-sifat eksponen, persamaan eksponen, pertidaksamaan eksponen dan lainnya yang terkait dengan eksponen (perpangkatan).

         Berikut soal dan pembahasan soal eksponen UK 1.1 kurikulum 2013 kelas X.
Soal no. 1
Sederhanakan hasil operasi bilangan berpangkat berikut :
a. $ 2^5 \times 2^9 \times 2^{12} = 2^{5+9+12} = 2^{26} $
$\begin{align} \text{b. } 2^5 \times 3^6 \times 4^6 & = 2^5 \times 3^6 \times (2^2)^6 \\ & = 2^5 \times 3^6 \times 2^{12} \\ & = 2^{5+12} \times 3^6 = 2^{17} \times 3^6 \end{align} $
$\begin{align} \text{c. } \frac{2^5 \times 3^5 \times 4^2 }{12^2} & = \frac{2^5 \times 3^5 \times 4^2 }{(3\times 4)^2} \\ & = \frac{2^5 \times 3^5 \times \not{4}^2 }{ 3^2 \times \not{4}^2} \\ & = 2^5 \times 3^{5-2} = 2^5 \times 3^3 \end{align} $
$\begin{align} \text{d. } \frac{(-5)^6 \times 25^2}{125} & = \frac{(-1 \times 5)^6 \times (5^2)^2}{5^3} \\ & = \frac{(-1)^6 \times (5)^6 \times 5^4}{5^3} \\ & = 1 \times 5^{6+4-3} = 5^7 \end{align} $
$\begin{align} \text{e. } \frac{3^7 \times 7^3 \times 2}{(42)^3} & = \frac{3^7 \times 7^3 \times 2}{(3 \times 7 \times 2)^3} \\ & = \frac{3^7 \times \not{7}^3 \times 2}{3^3 \times \not{7}^3 \times 2^3} \\ & = 3^{7-3} \times 2^{1-3} = 3^4 \times 2^{-2} = \frac{3^4}{2^2} \end{align} $
Soal no. 2
Dengan menggunakan sifat bilangan berpangkat, sederhanakanlah bentuk berikut.
$\begin{align} \text{a. } 2x^3 \times 7x^4 \times (3x)^2 & = 2x^3 \times 7x^4 \times 3^2 \times x^2 \\ & = (2 \times 7 \times 9) \times x^{3+4+2} = 126x^9 \end{align} $
$\begin{align} \text{b. } \left( \frac{-2p}{q} \right)^3 \times (-q)^4 \times \frac{2}{5}p^2 & = \frac{(-2p)^3}{q^3} \times q^4 \times \frac{2}{5}p^2 \\ & = \frac{(-2)^3 \times (p)^3}{q^3} \times q^4 \times \frac{2}{5}p^2 \\ & = \frac{-(2)^3 \times (p)^3}{q^3} \times q^4 \times \frac{2}{5}p^2 \\ & = \frac{-(2)^{3+1}}{5} \times q^{4-3} \times p^{3+2} \\ & = - \frac{2^4}{5} \times q \times p^5 = - \frac{2^4}{5} q p^5 \end{align} $
$\begin{align} \text{c. } y^5 \times (x\times y)^3 \left( \frac{1}{x^2 \times y} \right) & = y^5 \times x^3 \times y^3 \times \frac{1}{x^2 \times y} \\ & = y^{5+3-1} \times x^{3-2} = y^7x \end{align} $
$\begin{align} \text{d. } & (a\times b \times c)^4 \times \frac{3}{(b \times c)^3} \times \frac{b^3}{27a^5} \\ & = a^4 \times b^4 \times c^4 \times \frac{3}{b^3 \times c^3} \times \frac{b^3}{3^3 \times a^5} \\ & = 3^{1-3} \times a^{4-5} \times b^{4-3+3} \times c^{4-3} \\ & = 3^{-2} \times a^{-1} \times b^4 \times c^1 = \frac{b^4c}{9a} \end{align} $
$\begin{align} \text{e. } \frac{-4a^3\times 2b^5}{\left( \frac{8a}{b} \right)} & = -\not{4}a^3\times \not{2}b^5 \times \frac{b}{\not{8}a} \\ & = -a^3\times b^5 \times \frac{b}{a} \\ & = - a^{3-1} \times b^{5+1} = -a^2b^6 \end{align} $
$\begin{align} \text{f. } \frac{1}{x^2y}\times \frac{2x}{3y^2}\times \frac{5}{3x} \times (4y)^2 & = \frac{1}{x^2y}\times \frac{2x}{3y^2}\times \frac{5}{3x} \times 4^2 y^2 \\ & = \frac{1}{x^2y}\times \frac{2x}{3y^2}\times \frac{5}{3x} \times (2^2)^2 y^2 \\ & = \frac{1}{x^2y}\times \frac{2\not{x}}{3\not{y}^2}\times \frac{5}{3\not{x}} \times 2^4 \not{y}^2 \\ & = \frac{1}{x^2y}\times \frac{2}{3}\times \frac{5}{3} \times 2^4 \\ & = \frac{2^5\times 5}{3^2x^2y} \end{align} $
$\begin{align} \text{g. } & (-a \times b)^3 \times \left( \frac{-b}{2a} \right)^4 \times \left( \frac{3a}{b} \right)^5 \\ & = (-a)^3 \times (b)^3 \times \frac{(-b)^4}{(2a)^4} \times \frac{(3a)^5}{(b)^5} \\ & = -(a)^3 \times b^3 \times \frac{b^4}{2^4a^4} \times \frac{3^5a^5}{b^5} \\ & = - \frac{3^5}{2^4} \times a^{3-4+5} \times b^{3 + 4 - 5} \\ & = - \frac{3^5}{2^4} a^4 \times b^2 \end{align} $
$\begin{align} \text{h. } & \left( \frac{24a^3\times b^8}{6a^5 \times b} \right) \times \left( \frac{4b^3 \times a}{2a^3} \right)^2 \\ & = \left( 4 \times a^{3-5} \times b^{8-1} \right) \times \left( 2 \times b^3 \times a^{1-3} \right)^2 \\ & = \left( 2^2 \times a^{-2} \times b^{7} \right) \times \left( 2 \times b^3 \times a^{-2} \right)^2 \\ & = \left( 2^2 \times a^{-2} \times b^{7} \right) \times \left( 2^2 \times b^6 \times a^{-4} \right) \\ & = 2^{2+2} \times a^{-2 + (-4)} \times b^{7 + 6} \\ & = 2^4 \times a^{-6} \times b^{13} = \frac{2^4 b^{13}}{a^6} \end{align} $
$\begin{align} \text{i. } & \left( \frac{36(x\times 2y)^2}{3x\times y^2} \right) : \left( \frac{12x(3y)^2}{9x^2y} \right)^2 \\ & = \left( \frac{36(x\times 2y)^2}{3x\times y^2} \right) \times \left( \frac{ 9x^2y}{12x(3y)^2} \right)^2 \\ & = \left( \frac{12x^2 \times 2^2y^2}{x\times y^2} \right) \times \left( \frac{ 9x^2y}{12x\times 3^2y^2} \right)^2 \\ & = \left( \frac{3 \times 2^2 \times x^2 \times 2^2y^2}{x\times y^2} \right) \times \left( \frac{ x^2y}{3\times 2^2 \times x\times y^2} \right)^2 \\ & = \left( 3 \times 2^4 \times x \right) \times \left( \frac{ x}{3\times 2^2 \times y} \right)^2 \\ & = \left( 3 \times 2^4 \times x \right) \times \left( \frac{ x^2}{3^2\times 2^4 \times y^2} \right) \\ & = \frac{x^3}{3y^2} \end{align} $
$\begin{align} \text{j. } & \left( \frac{(-p)^3\times (-q)^2 \times r^3}{-3(p^2q)^3} \right) : \left( \frac{2pqr^3}{-12(qr)^2} \right) \\ & = \left( \frac{(-p)^3\times (-q)^2 \times r^3}{-3(p^2q)^3} \right) \times \left( \frac{-12(qr)^2}{2pqr^3} \right) \\ & = \left( \frac{-(p)^3\times q^2 \times r^3}{-3p^6q^3} \right) \times \left( \frac{-6q^2r^2}{pqr^3} \right) \\ & = \left( \frac{p^{3-6} \times q^{2-3} \times r^3}{3} \right) \times \left( -6 \times p^{-1} \times q^{2-1} \times r^{2-3} \right) \\ & = \left( \frac{p^{-3} \times q^{-1} \times r^3}{3} \right) \times \left( -6 \times p^{-1} \times q^1 \times r^{-1} \right) \\ & = -2 \times p^{-3 + (-1)} \times q^{-1+1} \times r^{3 + (-1)} \\ & = -2 \times p^{-4} \times r^2 = -\frac{2r^2}{p^4} \end{align} $
Soal no. 3
Hitunglah hasil operasi bilangan berpangkat berikut.
$\begin{align} \text{a. } \left( -\frac{2}{3} \right)^4 \times \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{6} \right)^2 & = \frac{2^4}{3^4} \times \left(\frac{2}{6} \right)^2 \\ & = \frac{2^4}{3^4} \times \left(\frac{1}{3} \right)^2 = \frac{2^4}{3^4} \times \frac{1}{3^2} \\ & = \frac{2^4}{3^{4+2}} = \frac{2^4}{3^6} \end{align} $
$\begin{align} \text{b. } & (-5)^3 \times \left( \frac{1}{15} \right)^2 \times \left( \frac{10}{3} \right)^4 \times \left( \frac{9}{5} \right)^5 \\ & = -(5)^3 \times \left( \frac{1}{3\times 5} \right)^2 \times \left( \frac{2 \times 5}{3} \right)^4 \times \left( \frac{3^2}{5} \right)^5 \\ & = -(5)^3 \times \frac{1}{3^2 \times 5^2} \times \frac{2^4 \times 5^4}{3^4} \times \frac{3^{10}}{5^5} \\ & = -5^{3+4-2-5} \times 3^{10-2-4} \times 2^4 = - 5^0 \times 3^4 \times 2^4 = - 3^4 \times 2^4 \end{align} $
$\begin{align} \text{c. } & \frac{3x^2 \times y^3}{24x} \times (2y)^2 \, ; \, \, \text{untuk } x = 2 \, \text{ dan } y = 3 \\ & = \frac{x \times y^3}{8} \times 2^2y^2 = \frac{1}{2} \times x\times y^5 \\ & = \frac{1}{2} \times 2 \times 3^5 = 3^5 \end{align} $
$\begin{align} \text{d. } & \frac{\left( \frac{2}{3} x\right)^2 \times \left( \frac{3}{4} \right) (-y)^3}{xy^2} \, ; \, \, \text{untuk } x = \frac{1}{2} \, \text{ dan } y = \frac{1}{3} \\ & = \frac{ \frac{2^2}{3^2} x^2 \times \left( \frac{3}{4} \right) -(y)^3}{xy^2} \\ & = - \frac{1}{3}xy = - \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} = - \frac{1}{18} \end{align} $
$\begin{align} \text{e. } & \frac{3p^2 \times (-3)^4}{(-2p)^2 \times (-3q)^2} \times 4\left( \frac{q}{p} \right)^2 \, ; \, \text{untuk } p = 4 \, \text{ dan } q = 6 \\ & = \frac{3p^2 \times 3^4}{2^2p^2 \times 3^2q^2} \times 4\left( \frac{q^2}{p^2} \right) \\ & = \frac{3^2}{p^2} = \frac{9}{4^2} = \frac{9}{16} \end{align} $
$\begin{align} \text{f. } & \frac{\left( x^\frac{3}{2} + y^{-\frac{3}{2}} \right) \left( x^\frac{3}{2} - y^{-\frac{3}{2}} \right) x^{-1}y}{\left( x^2 + y^{-1} + y^{-2} \right)} \, ; \, \, \text{untuk } x = \frac{1}{2} \, \text{ dan } y = \frac{1}{2} \\ & \text{ Menggunakan sifat : } (p+q)(p-q) = p^2 - q^2 \\ & = \frac{\left( x^\frac{3}{2} + y^{-\frac{3}{2}} \right) \left( x^\frac{3}{2} - y^{-\frac{3}{2}} \right) x^{-1}y}{\left( x^2 + y^{-1} + y^{-2} \right)} \\ & = \frac{\left( \left( x^\frac{3}{2} \right)^2 - \left( y^{-\frac{3}{2}} \right)^2 \right) \frac{1}{x} \times y}{\left( x^2 + \frac{1}{y} + \frac{1}{y^2} \right)} \\ & = \frac{\left( x^3 - y^{-3} \right) \frac{y}{x}}{\left( x^2 + \frac{1}{y} + \frac{1}{y^2} \right)} \\ & = \frac{\left( x^3 - \frac{1}{y^3} \right) \frac{y}{x}}{\left( x^2 + \frac{1}{y} + \frac{1}{y^2} \right)} \\ & = \frac{\left( \left( \frac{1}{2} \right)^3 - \frac{1}{\left( \frac{1}{2} \right)^3} \right) \frac{\left( \frac{1}{2} \right)}{\left( \frac{1}{2} \right)}}{\left( \left( \frac{1}{2} \right)^2 + \frac{1}{\left( \frac{1}{2} \right)} + \frac{1}{\left( \frac{1}{2} \right)^2} \right)} \\ & = \frac{\left( \frac{1}{8} - 8 \right) }{\left( \frac{1}{4} + 2 + 4 \right)} = \frac{\left( \frac{1}{8} - 8 \right) }{\left( \frac{1}{4} + 6 \right)} \\ & = \frac{\left( \frac{1}{8} - 8 \right) }{\left( \frac{1}{4} + 6 \right)} \times \frac{8}{8} = \frac{1-64}{2 + 48} = - \frac{63}{50} \end{align} $
Soal no. 4
Hitunglah : $ \begin{align} \frac{1^{-4}+2^{-4}+3^{-4}+4^{-4}+...}{1^{-4}+3^{-4}+5^{-4}+7^{-4}+...} \end{align}$
Penyelesaian :
Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu memodifikasi penyebutnya.
$ \begin{align} & \frac{1^{-4}+2^{-4}+3^{-4}+4^{-4}+...}{1^{-4}+3^{-4}+5^{-4}+7^{-4}+...} \\ & = \frac{(1^{-4}+2^{-4}+3^{-4}+4^{-4}+...)}{(1^{-4}+3^{-4}+5^{-4}+7^{-4}+...)+(2^{-4} - 2^{-4} + 4^{-4} - 4^{-4} + 6^{-4}-6^{-4} + ...)} \\ & = \frac{(1^{-4}+2^{-4}+3^{-4}+4^{-4}+...)}{(1^{-4}+3^{-4}+5^{-4}+7^{-4}+...)+(2^{-4} + 4^{-4} + 6^{-4} + 8^{-4}+ ...) - (2^{-4} + 4^{-4} + 6^{-4} + 8^{-4} +...)} \\ & = \frac{(1^{-4}+2^{-4}+3^{-4}+4^{-4}+...)}{(1^{-4}+2^{-4}+3^{-4}+4^{-4}+5^{-4}+6^{-4}+ 7^{-4}+...)- (2^{-4} + 4^{-4} + 6^{-4} +8^{-4}+ ...)} \\ & = \frac{(1^{-4}+2^{-4}+3^{-4}+4^{-4}+...)}{(1^{-4}+2^{-4}+3^{-4}+4^{-4}+...)- (2^{-4} + 4^{-4} + 6^{-4} +8^{-4}+ ...)} \\ & = \frac{(1^{-4}+2^{-4}+3^{-4}+4^{-4}+...)}{(1^{-4}+2^{-4}+3^{-4}+4^{-4}+...)- 2^{-4}(1^{-4} + 2^{-4} + 3^{-4} +4^{-4}+ ...)} \\ & \text{pembilang dan penyebut dibagi dengan } \, (1^{-4}+2^{-4}+3^{-4}+4^{-4}+...) \\ & = \frac{1}{1- 2^{-4}\times 1} \\ & = \frac{1}{1- \frac{1}{2^4}} = \frac{1}{1-\frac{1}{16}} = \frac{1}{\frac{15}{16}} = \frac{16}{15} \end{align} $
Soal no. 5
Sederhanakanlah : $ \begin{align} \frac{a^\frac{5}{3}b^\frac{1}{2} - a^\frac{2}{3}b^\frac{3}{2}}{a^\frac{7}{6}b^\frac{1}{2} - a^\frac{2}{3}b} \end{align}$
Penyelesaian :
$\spadesuit \, $ Untuk menyelesaikan soal ini, kita menggunakan sifat pemfaktoran :
$ p^2 - q^2 = (p+q)(p-q) $
Artinya kalau pangkatnya satu, maka menjadi :
$ p - q = (p^\frac{1}{2} + q^\frac{1}{2} )(p^\frac{1}{2} - q^\frac{1}{2} ) $
Sehingga bentuk : $ a - b = (a^\frac{1}{2} + b^\frac{1}{2} )(a^\frac{1}{2} - b^\frac{1}{2} ) $
$\spadesuit \, $ Menyederhanakan soalnya
$\begin{align} & \frac{a^\frac{5}{3}b^\frac{1}{2} - a^\frac{2}{3}b^\frac{3}{2}}{a^\frac{7}{6}b^\frac{1}{2} - a^\frac{2}{3}b} \\ & = \frac{(a\times a^\frac{2}{3}b^\frac{1}{2} - a^\frac{2}{3}(b\times b^\frac{1}{2})}{(a^\frac{1}{2} \times a^\frac{2}{3})b^\frac{1}{2} - a^\frac{2}{3}(b^\frac{1}{2} \times b^\frac{1}{2})} \\ & = \frac{a^\frac{2}{3} \times b^\frac{1}{2} (a-b)}{a^\frac{2}{3} \times b^\frac{1}{2}(a^\frac{1}{2} - b^\frac{1}{2})} \\ & = \frac{(a-b)}{(a^\frac{1}{2} - b^\frac{1}{2})} \\ & = \frac{(a^\frac{1}{2} + b^\frac{1}{2} )(a^\frac{1}{2} - b^\frac{1}{2} )}{(a^\frac{1}{2} - b^\frac{1}{2})} \\ & = a^\frac{1}{2} + b^\frac{1}{2} \end{align} $
Jadi, bentuk sederhananya adalah $ a^\frac{1}{2} + b^\frac{1}{2} . \heartsuit $
Soal no. 6
Tentukan nilai $ x \, $ yang memenuhi persamaan berikut
a). $ 2^x = 8 $
     $ 2^x = 8 \rightarrow 2^x = 2^3 \rightarrow x = 3 $

b). $ 4^x = 0,125 $
     $ 4^x = 0,125 \rightarrow (2^2)^x = \frac{1}{8} \rightarrow 2^{2x} = 2^{-3} $
     $ 2x = -3 \rightarrow x = -\frac{3}{2} $

c). $ \left( \frac{2}{5} \right)^x = 1 $
     $ \left( \frac{2}{5} \right)^x = 1 \rightarrow \left( \frac{2}{5} \right)^x = \left( \frac{2}{5} \right)^0 \rightarrow x = 0 $
Soal no. 7
Sederhanakanlah : $ \begin{align} \frac{(2^{n+2})^2-2^2 \times 2^{2n}}{2^n \times 2^{n+2}} \end{align}$
Penyelesaian :
$\clubsuit \,$ Untuk menyelesaikan soal ini, kita menggunakan sifat-sifat eksponen :
$ (a^m)^n = a^{m.n} \, $ dan $ a^m . a^n = a^{m+n} $
$\clubsuit \,$ Menyelesaikan soalnya
$\begin{align} & \frac{(2^{n+2})^2-2^2 \times 2^{2n}}{2^n \times 2^{n+2}} \\ & = \frac{(2^{2n+4})-2^2 \times 2^{2n}}{2^n \times 2^{n} \times 2^2 } \\ & = \frac{(2^{2n} \times 2^4)-4 \times 2^{2n}}{2^{n+n} \times 4 } \\ & = \frac{(2^{2n} \times 16)-4 \times 2^{2n}}{2^{2n} \times 4 } \\ & = \frac{\not{2}^{2n} (16-4)}{\not{2}^{2n} \times 4 } \\ & = \frac{(16-4)}{ 4 } = \frac{12}{4} = 3 \end{align} $
Jadi, hasilnya adalah 3. $ \heartsuit $
Soal no. 8
      Misalkan kamu diminta menghitung $ 7^{64}. \, $ Berapa banyak perkalian yang kamu lakukan untuk mendapatkan nilai akhirnya? Bandingkan jawabanmu dengan temanmu. Pemenang diantara kalian adalah yang dapat mencari hasilnya dengan melakukan perkalian sesedikit mungkin. Coba tulisnkan prosedur mengalikan yang paling sedikit perkaliannya untuk menghitung $ 7^{64}. \, $ Apakah prosedur tersebut dapat dipergunakan untuk pangkat positif berapapun?
Penyelesaian :
$\spadesuit \, $ Bentuk $ 7^{64} \, $ dengan $ n = 64 $
Untuk menentukan banyaknya cara perkalian minimum (sesedikit mungkin), pangkatnya kita jabarkan.
$ n = 64 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \, $ dan $ k = 6 $
$ 7^{64} = (((((7^2)^2)^2)^2)^2)^2 $
Banyaknya cara perkalian sesedikit mungkin :
ada $(2+2+2+2+2+2)-6 = 6 \, $ perkalian.
$\spadesuit \, $ Prosedurnya :
Hasilnya kita misalkan dalam bentuk aljabar karena sangat besar.
$7^2 = 7 \times 7 = a \, $ ada 1 perkalian
$ [7^2]^2 = a \times a = b \, $ ada 1 perkalian
$ [(7^2)^2]^2 = b \times b = c \, $ ada 1 perkalian
$ [((7^2)^2)^2]^2 = c \times c = d \, $ ada 1 perkalian
$ [(((7^2)^2)^2)^2]^2 = d \times d = e \, $ ada 1 perkalian
$ [((((7^2)^2)^2)^2)^2]^2 = e \times e = f \, $ ada 1 perkalian
Artinya banyak perkalian sebanyak $ 1 + 1+1+1+1+1 = 6 \, $ kali untuk memperoleh hasilnya (hasil akhirnya adalah $ f \, $) .
Jadi, bentuk $ 7^{64}, \, $ banyaknya perkalian (sesedikit mungkin) ada 6 perkalian.
Prosedur ini berlaku untuk pangkat bulat positif berapapun.

Untuk penjelasan lengkap tentang melakukan perkalian sesedikit mungkin, langsung saja klik "Cara Melakukan Banyak Perkalian Sesedikit Mungkin" .
Soal no. 9
Berdasarkan sifat bilangan 7, tentukan angka satuan dari $ 7^{1234} + 7^{2341} + 7^{3412} + 7^{4123} \, $ tanpa menghitung tuntas!
Penyelesaian :
$\clubsuit \,$ Perhatikan sifat perpangkatan angka 7 :
$\left. \begin{array}{cc} \text{Bilangan} & \text{satuan} \\ 7^1 & 7 \\ 7^2 & 9 \\ 7^3 & 3 \\ 7^4 & 1 \end{array} \right\} \, 4 \, \text{ pengulangan} $ $\left. \begin{array}{cc} \text{Bilangan} & \text{satuan} \\ 7^5 & 7 \\ 7^6 & 9 \\ 7^7 & 3 \\ 7^8 & 1 \end{array} \right\} \, 4 \, \text{ pengulangan} $
Artinya perpangkatan bilangan 7 menghasilkan angka satuan yang berulang (periodik) pada saat periode keempat.
Misalkan, satuan dari $ 7^{21} = ....?$
$ 7^{21} = 7^{4\times 5 + 1} = 7^{4 \times 5} \times 7^1 = (7^4)^5 \times 7^1 $
Satuan $ 7^{21} = (\text{satuan } 7^4)^5 \times \text{satuan } 7^1 = (1)^5 \times 7 = 7 $
artinya satuan $ 7^{21} \, $ adalah 7.
$\clubsuit \,$ Menyelesaikan soalnya
Satuan dari : $ 7^{1234} + 7^{2341} + 7^{3412} + 7^{4123} $
*). $ 7^{1234} = 7^{4\times 308 + 2 } = 7^{4 \times 308} \times 7^2 = (7^4)^{308} \times 7^2 $
Satuan $ 7^{1234} = (\text{satuan } 7^4)^{308} \times \text{satuan } 7^2 = (1)^{308} \times 9 = 9 $
*). $ 7^{2341} = 7^{4\times 585 + 1 } = 7^{4 \times 585} \times 7^1 = (7^4)^{585} \times 7^1 $
Satuan $ 7^{2341} = (\text{satuan } 7^4)^{585} \times \text{satuan } 7^1 = (1)^{585} \times 7 = 7 $
*). $ 7^{3412} = 7^{4\times 853} = 7^{4 \times 853} = (7^4)^{853}$
Satuan $ 7^{1234} = (\text{satuan } 7^4)^{853} = (1)^{853} = 1 $
*). $ 7^{4123} = 7^{4\times 1030 + 3 } = 7^{4 \times 1030} \times 7^3 = (7^4)^{1030} \times 7^3 $
Satuan $ 7^{4123} = (\text{satuan } 7^4)^{1030} \times \text{satuan } 7^3 = (1)^{1030} \times 3 = 3 $
Sehingga diperoleh :
$\begin{align} & \text{satuan } 7^{1234} + 7^{2341} + 7^{3412} + 7^{4123} \\ & = \text{satuan } 7^{1234} + \text{satuan } 7^{2341} + \text{satuan } 7^{3412} + \text{satuan } 7^{4123} \\ & = \text{satuan } (9 + 7 + 1 + 3) \\ & = \text{satuan } (20) \\ & = 0 \end{align} $
Jadi, satuan dari $ 7^{1234} + 7^{2341} + 7^{3412} + 7^{4123} \, $ adalah 0. $ \heartsuit$
Soal no. 10
Tentukan angka satuan dari $ \left((6)^{26} \right)^{62} \, $ berdasarkan sifat bilangan 6, tanpa menghitung tuntas. Selanjutnya lakukan hal tersebut berdasarkan sifat bilangan 2, 3, 4, 5, 8, 9.
Penyelesaian :
$\spadesuit \, $ sifat perpangkatan bilangan 6 :
$ \begin{array}{cc} \text{Bilangan} & \text{satuan} \\ 6^1 & 6 \\ 6^2 & 6 \\ 6^3 & 6 \\ 6^4 & 6 \end{array} $
Artinya perpangkatan bilangan 6 menghasilkan angka satuan yang sama untuk pangkat berapapun yaitu satuannya tetap 6.
Sehingga diperoleh :
Satuan dari $ \left((6)^{26} \right)^{62} \, $ adalah 6.
$\spadesuit \, $ sifat perpangkatan bilangan 2 :
$\left. \begin{array}{cc} \text{Bilangan} & \text{satuan} \\ 2^1 & 2 \\ 2^2 & 4 \\ 2^3 & 8 \\ 2^4 & 6 \end{array} \right\} \, 4 \, \text{ pengulangan} $ $\left. \begin{array}{cc} \text{Bilangan} & \text{satuan} \\ 2^5 & 2 \\ 2^6 & 4 \\ 2^7 & 8 \\ 2^8 & 6 \end{array} \right\} \, 4 \, \text{ pengulangan} $
Artinya perpangkatan bilangan 2 menghasilkan angka satuan yang berulang (periodik) pada saat periode keempat.
Sehingga diperoleh :
$ \left((2)^{26} \right)^{62} = 2^{26 \times 62} = 2^{1612} = 2^{4\times 403} = (2^4)^{403} $
Satuan $ \left((2)^{26} \right)^{62} = (\text{satuan } 2^4 )^{403} = \text{satuan } (6)^{403} = 6 \, $
(menggunakan sifat bilangan 6)
$\spadesuit \, $ sifat perpangkatan bilangan 3 :
$\left. \begin{array}{cc} \text{Bilangan} & \text{satuan} \\ 3^1 & 3 \\ 3^2 & 9 \\ 3^3 & 7 \\ 3^4 & 1 \end{array} \right\} \, 4 \, \text{ pengulangan} $ $\left. \begin{array}{cc} \text{Bilangan} & \text{satuan} \\ 3^5 & 3 \\ 3^6 & 9 \\ 3^7 & 7 \\ 3^8 & 1 \end{array} \right\} \, 4 \, \text{ pengulangan} $
Artinya perpangkatan bilangan 3 menghasilkan angka satuan yang berulang (periodik) pada saat periode keempat.
Sehingga diperoleh :
$ \left((3)^{26} \right)^{62} = 3^{26 \times 62} = 3^{1612} = 3^{4\times 403} = (3^4)^{403} $
Satuan $ \left((3)^{26} \right)^{62} = (\text{satuan } 3^4 )^{403} = \text{satuan } (1)^{403} = 1 $
$\spadesuit \, $ sifat perpangkatan bilangan 4 :
$\left. \begin{array}{cc} \text{Bilangan} & \text{satuan} \\ 4^1 & 4 \\ 4^2 & 6 \end{array} \right\} \, 2 \, \text{ pengulangan} $ $\left. \begin{array}{cc} \text{Bilangan} & \text{satuan} \\ 4^3 & 4 \\ 4^4 & 6 \end{array} \right\} \, 2 \, \text{ pengulangan} $
Artinya perpangkatan bilangan 4 menghasilkan angka satuan yang berulang (periodik) pada saat periode kedua.
Sehingga diperoleh :
$ \left((4)^{26} \right)^{62} = 4^{26 \times 62} = 4^{1612} = 4^{4\times 403} = (4^4)^{403} $
Satuan $ \left((4)^{26} \right)^{62} = (\text{satuan } 4^4 )^{403} = \text{satuan } (6)^{403} = 6 $
(menggunakan sifat bilangan 6)
$\spadesuit \, $ sifat perpangkatan bilangan 5 :
$ \begin{array}{cc} \text{Bilangan} & \text{satuan} \\ 5^1 & 5 \\ 5^2 & 5 \\ 5^3 & 5 \\ 5^4 & 5 \end{array} $
Artinya perpangkatan bilangan 5 menghasilkan angka satuan yang sama untuk pangkat berapapun yaitu satuannya tetap 5.
Sehingga diperoleh :
Satuan dari $ \left((5)^{26} \right)^{62} \, $ adalah 5.
$\spadesuit \, $ sifat perpangkatan bilangan 8 :
$\left. \begin{array}{cc} \text{Bilangan} & \text{satuan} \\ 8^1 & 8 \\ 8^2 & 4 \\ 8^3 & 2 \\ 8^4 & 6 \end{array} \right\} \, 4 \, \text{ pengulangan} $ $\left. \begin{array}{cc} \text{Bilangan} & \text{satuan} \\ 8^5 & 8 \\ 8^6 & 4 \\ 8^7 & 2 \\ 8^8 & 6 \end{array} \right\} \, 4 \, \text{ pengulangan} $
Artinya perpangkatan bilangan 8 menghasilkan angka satuan yang berulang (periodik) pada saat periode keempat.
Sehingga diperoleh :
$ \left((8)^{26} \right)^{62} = 8^{26 \times 62} = 8^{1612} = 8^{4\times 403} = (8^4)^{403} $
Satuan $ \left((8)^{26} \right)^{62} = (\text{satuan } 8^4 )^{403} = \text{satuan } (6)^{403} = 6 $
(menggunakan sifat bilangan 6)
$\spadesuit \, $ sifat perpangkatan bilangan 9 :
$\left. \begin{array}{cc} \text{Bilangan} & \text{satuan} \\ 9^1 & 9 \\ 9^2 & 1 \end{array} \right\} \, 2 \, \text{ pengulangan} $ $\left. \begin{array}{cc} \text{Bilangan} & \text{satuan} \\ 9^3 & 9 \\ 9^4 & 1 \end{array} \right\} \, 2 \, \text{ pengulangan} $
Artinya perpangkatan bilangan 9 menghasilkan angka satuan yang berulang (periodik) pada saat periode kedua.
Sehingga diperoleh :
$ \left((9)^{26} \right)^{62} = 9^{26 \times 62} = 9^{1612} = 9^{4\times 403} = (9^4)^{403} $
Satuan $ \left((9)^{26} \right)^{62} = (\text{satuan } 9^4 )^{403} = \text{satuan } (1)^{403} = 1 $
Soal no. 11
Tunjukkan bahwa $ 1^{2001} + 2^{2001} + 3^{2001} + ... + 2001^{2001} \, $ adalah kelipatan 13.
Penyelesaian :
$\clubsuit \,$ Untuk menunjukkan kelipatan 13, maka harus terbentuk
$ 1^{2001} + 2^{2001} + 3^{2001} + ... + 2001^{2001} = 13\times k \, $ ....pers(i)
dengan $ k \, $ adalah bilangan bulat positif.
$\clubsuit \,$ Pemfaktoran yang digunakan :
$ a^n + b^n = (a+b)(a^{n-1} - a^{n-2}b+a^{n-3}b^2 - ... - b^{n-1}) $
dengan $ n \, $ adalah bilangan ganjil.
Bilangan 2002 dan 1001 adalah kelipatan 13 :
$ 2002 = 13 \times 154 = 13 \times p \, $ dan $ 1001 = 13 \times 77 = 13 \times q $
$\clubsuit \,$ Memodifikasi soal menjadi kelipatan 13
$ \begin{align} & 1^{2001} + 2^{2001} + 3^{2001} + ... + 2001^{2001} \\ & = (1^{2001}+2001^{2001}) + (2^{2001}+2000^{2001}) + ...\\ & +(1000^{2001} + 1002^{2001}) + 1001^{2001} \\ & = (1+2001)(1^{2000}-1^{1999}.2001 + ...-2001^{2000})+ \\ & + (2+2000)(2^{2000}-2^{1999}.2000 + ...-2000^{2000})+... +1001^{2001} \\ & = (2002)(1^{2000}-1^{1999}.2001 + ...-2001^{2000})+ \\ & + (2002)(2^{2000}-2^{1999}.2000 + ...-2000^{2000})+...+1001^{2001} \\ & = (2002)(k_1)+ (2002)(k_2)+...+(13 \times q)^{2001} \\ & = (13\times p)(k_1)+ (13\times p)(k_2)+...+(13)(13^{2000}) \times (q)^{2001} \\ & = (13)(pk_1)+ (13)(pk_2)+...+(13 )(n) \\ & = 13 (pk_1 + pk_2 + ...+n) \\ & = 13 \times k \end{align} $
Berdasarkan pers(i), terbukti bahwa $ 1^{2001} + 2^{2001} + 3^{2001} + ... + 2001^{2001} \, $ adalah kelipatan 13.
Disini, kita memisalkan semua aljabar yang ada seperti $ p,q, k_1,k_2,...,n,k \, $ adalah suatu bilangan bulat positif tertentu.
Jadi, terbukti yang diinginkan. $ \heartsuit $
Soal no. 12
Bagaimana cara termudah untuk mencari $ \begin{align} \frac{3^{2008}(10^{2013} + 5^{2012} \times 2^{2011} )}{5^{2012}(6^{2010} + 3^{2009} \times 2^{2008}) } \end{align} $
Penyelesaian :
$\spadesuit \, $ Sifat-sifat eksponen
$ (ab)^n = a^n \times b^n ; \, \, \, $ dan $ a^{m+n} = a^m \times a^n $
$\spadesuit \, $ Menyederhanakan soalnya
$ \begin{align} & \frac{3^{2008}(10^{2013} + 5^{2012} \times 2^{2011} )}{5^{2012}(6^{2010} + 3^{2009} \times 2^{2008}) } \\ & = \frac{3^{2008}((5\times 2)^{2013} + 5^{2012} \times 2^{2011} )}{5^{2012}((3\times 2)^{2010} + 3^{2009} \times 2^{2008}) } \\ & = \frac{3^{2008}(5^{2013}\times 2^{2013} + 5^{2012} \times 2^{2011} )}{5^{2012}(3^{2010} \times 2^{2010} + 3^{2009} \times 2^{2008}) } \\ & = \frac{3^{2008} \times 5^{2012} \times 2^{2011}(5^{1}\times 2^{2} + 1 )}{5^{2012} \times 3^{2009} \times 2^{2008}(3^{1} \times 2^{2} + 1) } \\ & = \frac{2^{3}(5\times 4 + 1 )}{ 3^{1} (3 \times 4 + 1) } \\ & = \frac{8\times (21 )}{ 3 \times (13) } \\ & = \frac{8\times (7 )}{ 13 } = \frac{56}{13} \end{align} $
Jadi, nilainya adalah $ \frac{56}{13} . \heartsuit $

1 komentar: