Sudut Antara Dua Garis pada Dimensi Tiga

         Blog Koma - Setelah mempelajari konsep jarak pada dimensi tiga, pada artikel ini kita akan melanjutkan pembahasan materi yang berkaitan dengan dimensi tiga yaitu Sudut Antara Dua Garis pada Dimensi Tiga. Besarnya Sudut Antara Dua Garis pada Dimensi Tiga bisa kita hitung jika kedua garis sudah berptongan, jika tidak maka harus ada yang kita geser sejajar garis awal sehingga kedua garis berpotongan. Jika kedua garis tersebut sejajar maka besar sudutnya $ 0^\circ $ karena jika kita geser maka kedua garis akan berimpit. Namun pada soal-soal biasanya jarang kita temukan dimana kedua garisnya sejajar. Dalam penghitungan Sudut Antara Dua Garis pada Dimensi Tiga melibatkan konsep trigonometri. Ada dua rumus dasar trigonometri yang akan kita gunakan yaitu "perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku" dan "penereapan trigonometri pada segitiga yaitu aturan kosinus". Ini artinya, untuk memudahkan mempelajari materi Sudut Antara Dua Garis pada Dimensi Tiga ini, teman-teman harus menguasai kedua materi trigonometri tersebut. Karena berkaitan dengan rumus trigonometri, maka pada soal-soal selain menyakan besar Sudut Antara Dua Garis, juga menanyakan nilai perbandingan trigonometrinya seperti nilai sin, nilai cos, nilai tan, dan lainnya.

Sudut Antara Dua Garis pada Dimensi Tiga
       Misalkan terdapat garis $ g $ dan $ h $. Jika kedua garis belum berpotongan, maka geser salah satu (atau keduanya) sehingga kedua garis berpotongan. Dalam menggeser garis harus tetap sejajar dengan posisi garis awalnya. Sudut yang terbentuk adalah pada perpotongan kedua garis yang dibatasi kedua garis (baik garis awal maupun garis hasil pergeserannya).

Langkah-langkah Menentukan Sudut Antara Dua Garis pada Dimensi Tiga :
1). Jika kedua garis belum berpotongan, maka geser sehingga berpotongan.
2). Hubungakan kedua ujung garis sehingga terbentuk segitiga.
3). Ada dua kemungkinan besar sudutnya, yaitu :
(i). Besar sudut langsung bisa ditebak
     a). Segitiga sama sisi, besar sudutnya $ 60^\circ $
     b). Sudut siku-siku, besar sudutnya $ 90^\circ $
     c). Segitiga siku-siku sama kaki, besar sudutnya $ 45^\circ $
(ii). Sudut tidak bisa langsung ditebak, ada dua cara yaitu :
a). Terbentuk segitiga siku-siku. Perhitungan sudutnya menggunakan "perbandingan trigonometri dasar" yaitu $ \sin = \frac{de}{mi} $ , $ \cos = \frac{sa}{mi} $ , dan $ \tan = \frac{de}{sa} $.
b). Bukan segitiga siku-siku. Perhitungannya menggunakan "aturan cosinus" yaitu
$ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A \rightarrow \cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} $
$ b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B \rightarrow \cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} $
$ c^2 = b^2 + a^2 - 2ba \cos C \rightarrow \cos C = \frac{b^2 + a^2 - c^2}{2ba} $
Catatan :
*). Baik diketahui atau tidak panjang rusuk pada kubus, untuk memudahkan sebaiknya kita pilih panjang rusuk yang mudah bagi kita dalam melakukan perhitungan, misalkan kita pilih panjang rusuknya 2, atau 4, atau 6, dan lainnya.
*). Kedu garis boleh diperpanjang atau diperpendek yang bertujuan untuk memudahkan dalam perhitungan karena sudutnya akan tetap besarnya.

Contoh soal Sudut Antara Dua Garis pada Dimensi Tiga :

1). Pada kubus ABCD.EFGH, tentukan besarnya sudut antara BG dan CH?
Penyelesaian :
*). Karena BG dan CH belum berpotongan, geser salah satu, misal kita geser CH ke BE (CH dan BE sejajar), sehingga sudutnya sama dengan BG dan BE.
*). Hubungkan kedua ujung garis yaitu E ke G sehingga terbentuk segitiga EBG. sehingga
$ \angle (BG, CH) = \angle (BG, BE) = \angle EBG $
*). Karena segitiga EBG sama sisi, maka besar sudutnya $ 60^\circ $.
Jadi, besar sudut BG dan CH adalah $ 60^\circ $.
Catatan : kita juga bisa menggeser BG ke AH sehingga sudutnya AHC = $ 60^\circ $

2). Pada kubus ABCD.EFGH, tentukan besarnya sudut antara AE dan FG?
Penyelesaian :
*). Karena AE dan FG belum berpotongan, geser salah satu, misal kita geser FG ke AD (FG dan AD sejajar), sehingga sudutnya sama dengan AE dan AD.
$ \angle (AE, FG) = \angle (AE, AD) = \angle EAD $
*). Karena AE dan AD tegak lurus, maka besar sudutnya $ 90^\circ $.
Jadi, besar sudut AE dan FG adalah $ 90^\circ $.
Catatan : kita juga bisa menggeser AE ke FB sehingga sudutnya BFG = $ 90^\circ $

3). Pada kubus ABCD.EFGH, tentukan besarnya sudut antara AH dan BC?
Penyelesaian :
*). Karena AH dan BC belum berpotongan, geser salah satu, misal kita geser BC ke AD (BC dan AD sejajar), sehingga sudutnya sama dengan AH dan AD.
*). Hubungkan kedua ujung garis yaitu H ke D sehingga terbentuk segitiga ADH. sehingga
$ \angle (AH, BC) = \angle (AH, AD) = \angle DAH $
*). Karena segitiga ADH siku-siku sama kaki dengan AD = DH,
maka besar sudutnya $ \angle DAH = 45^\circ $.
Jadi, besar sudut AH dan BC adalah $ 45^\circ $.
Catatan : kita juga bisa menggeser AH ke BG sehingga sudutnya CBG = $ 45^\circ $

4). Pada kubus ABCD.EFGH memiliki panjang rusuk 2018. Jika $ \theta $ adalah sudut yang terbentuk oleh AG dan AC, maka tentukan nilai $ \sin \theta $!
Penyelesaian :
*). AG dan AC berptongan di A sehingga sudutnya :
$ \theta = \angle (AG, AC) = \angle CAG $
*). Meskipun pada soal diketahui panjang rusuknya 2018, kita pilih panjang rusuk yang mudah dihitung yaitu 2. (nilainya akan sama karena pada trigonometri menggunakan konsep perbandingan sehingga pasti bisa disederhanakan).
*). Segitiga CAG siku-siku di C dengan panjang :
$ AG = s\sqrt{3} = 2\sqrt{3} $ , $ AC = 2\sqrt{2} = 2\sqrt{2} $ dan $ CG = 2 $.
*). Menentukan nilai $ \sin \theta $ :
$ \sin \theta = \frac{de}{mi} = \frac{CG}{AG} = \frac{2}{2\sqrt{3}} = \frac{1}{3}\sqrt{3} $
Jadi, nilai $ \sin \theta = \frac{1}{3}\sqrt{3} $.

5). Pada kubus ABCD.EFGH, tentukan besarnya sudut antara CE dan BG?
Penyelesaian :
*). Pilih panjang rusuknya 2 cm
*). Karena CE dan BG belum berpotongan, geser salah satu, misal kita geser BG ke PQ (BG dan AQ sejajar), dimana CE dan PQ berpotongan di O, sehingga sudutnya sama dengan OE dan OQ.
*). Hubungkan kedua ujung garis yaitu E ke Q sehingga terbentuk segitiga EOQ. sehingga
$ \angle (CE, BG) = \angle (CE, PQ) = \angle (OE, OQ) = \angle EOQ $
*). Menentukan panjang sisi-sisi segitiga EOQ,
$ OE = \frac{1}{2}CE = \frac{1}{2}(2\sqrt{3}) = \sqrt{3} $
$ OQ = \frac{1}{2}BG = \frac{1}{2}(2\sqrt{2}) = \sqrt{2} $
Pada segitiga EHQ :
$ EQ = \sqrt{EH^2 + HQ^2} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5} $
*). Menentukan besar sudut EOQ dengan aturan cosinus :
$ \begin{align} \cos \angle EOQ & = \frac{OE^2 + OQ^2 - EQ^2}{2.OE.OQ} \\ & = \frac{(\sqrt{3})^2 + (\sqrt{2})^2 - (\sqrt{5})^2}{2.\sqrt{3}.\sqrt{2}} \\ & = \frac{3 + 2 - 5}{2\sqrt{6} } \\ & = \frac{0}{2\sqrt{6} } \\ \cos \angle EOQ & = 0 \\ EOQ & = 90^\circ \end{align} $
Jadi, besar sudut CE dan BG adalah $ 90^\circ $.

6). Pada kubus ABCD.EFGH dan titik P terletak di tengah CG. Misalkan $ \theta $ adalah sudut yang terbentuk oleh BP dan AG, maka tentukan nilai $ \tan \theta$?
Penyelesaian :
*). Pilih panjang rusuknya 2 cm
*). Karena BP dan AG belum berpotongan, geser salah satu, misal kita geser BP ke GQ (BP dan GQ sejajar), sehingga sudutnya sama dengan AG dan GQ.
*). Hubungkan kedua ujung garis yaitu A ke Q sehingga terbentuk segitiga AGQ. sehingga
$ \angle (AG, BP) = \angle (AG, GQ) = \angle AGQ $

Cara I :
*). Menentukan panjang sisi-sisi segitiga AGQ,
$ AG = s\sqrt{3} = 2\sqrt{3} $
Pada segitiga ABQ :
$ AQ = \sqrt{AB^2 + BQ^2} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5} $
$ GQ = AQ = \sqrt{5} $
*). Menentukan nilai cosinus sudut AGQ dengan aturan cosinus :
$ \begin{align} \cos \angle AGQ & = \frac{AG^2 + GQ^2 - AQ^2}{2.AG.GQ} \\ & = \frac{(2\sqrt{3})^2 + (\sqrt{5})^2 - (\sqrt{5})^2}{2.2\sqrt{3}.\sqrt{5}} \\ & = \frac{12 + 5 - 5}{4\sqrt{15} } \\ & = \frac{12}{4\sqrt{15} } \\ \cos \angle EOQ & = \frac{3}{\sqrt{15} } = \frac{sa}{mi} \end{align} $
Dengan pythagoras :
$ depan = \sqrt{mi^2 - sa^2} = \sqrt{(\sqrt{15})^2 - 3^2} = \sqrt{6} $
Sehingga nilai $ \tan \theta = \frac{de}{sa} = \frac{\sqrt{6}}{3} = \frac{1}{3}\sqrt{6} $
Jadi, nilai $ \tan \theta = \frac{1}{3}\sqrt{6} $.

Cara II :
*). Dari cara I di atas, kita taris garis QR yang memotong AG di tengah-tengah dimana QR tegak lurus dengan AG.
*). Perhatikan segitiga GOQ siku-siku di O :
$ OG = \frac{1}{2}AG = \sqrt{3} $ dan $ OQ = \frac{1}{2} QR = \sqrt{2} $
sehingga nilai :
$ \tan \theta = \frac{de}{sa} = \frac{QO}{OG} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{1}{3}\sqrt{6} $
Jadi, nilai $ \tan \theta = \frac{1}{3}\sqrt{6} $.

7). Pada kubus ABCD.EFGH, terdapat titik R yang merupakan perpanjangan rusuk CG dengan perbandingan $ CG : GR = 2:1 $. Tentukan nilai $ \sin \theta $ dimana $ \theta $ adalah sudut yang terbentuk antara CR dan AR!
Penyelesaian :
*). Pilih panjang rusuknya 2 cm
*). CR dan AR berpotongan di R sehingga sudutnya $ \theta = \angle ARC $
*). Menentukan panjang sisi segitiga ACR siku-siku di C
$ AC = 2\sqrt{2} $ , $ CQ = 3 $
$ AR = \sqrt{AC^2 + CR^2} = \sqrt{(2\sqrt{2})^2 + 3^2} = \sqrt{17} $
Sehingga nilai :
$ \sin \theta = \frac{de}{mi} = \frac{AC}{AR} = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{17}} = \frac{2}{17}\sqrt{34} $
Jadi, nilai $ \sin \theta = \frac{2}{17}\sqrt{34} $

8). Pada kubus ABCD.EFGH dan titik P terletak di tengah-tengah CG. Tentukan nilai $ \cos \theta $ dimana $ \theta $ adalah sudut yang terbentuk antara BP dan CE!
Penyelesaian :
*). Pilih panjang rusuknya 2 cm
*). Karena BP dan CE belum berpotongan, geser salah satu, misal kita geser BP ke EQ (BP dan EQ sejajar), sehingga sudutnya sama dengan CE dan EQ. Titik Q terletak pada kubus di atasnya yang panjang rusuknya sama yaitu 2. Kubus baru ini kita buat untuk memudahkan dalam penghitungan.
*). Hubungkan kedua ujung garis yaitu C ke Q sehingga terbentuk segitiga CEQ. sehingga
$ \angle (CE, BP) = \angle (CE, EQ) = \angle CEQ = \theta $
*). Menentukan panjang sisi-sisi segitiga CEQ,
$ CE = s\sqrt{3} = 2\sqrt{3} $
Pada segitiga HEQ :
$ EQ = \sqrt{EH^2 + HQ^2} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5} $
Pada segitiga CDQ :
$ CQ = \sqrt{CD^2 + DQ^2} = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{13} $
*). Menentukan nilai cosinus sudut CEQ dengan aturan cosinus :
$ \begin{align} \cos \angle CEQ & = \frac{CE^2 + EQ^2 - CQ^2}{2.CE.EQ} \\ \cos \theta & = \frac{(2\sqrt{3})^2 + (\sqrt{5})^2 - (\sqrt{13})^2}{2.2\sqrt{3}.\sqrt{13}} \\ & = \frac{12 + 5 - 13}{4\sqrt{39} } \\ & = \frac{4}{4\sqrt{39} } \\ \cos \theta & = \frac{1}{\sqrt{39} } = \frac{1}{39}\sqrt{39} \end{align} $
Jadi, nilai $ \cos \theta = \frac{1}{39}\sqrt{39} $.

       Demikian pembahasan materi Sudut Antara Dua Garis pada Dimensi Tiga dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan dimensi tiga yaitu "Sudut Antara Garis dan Bidang pada Dimensi Tiga".

Tidak ada komentar:

Posting Komentar