Jarak Dua Garis pada Dimensi Tiga

         Blog Koma - Pada artikel ini kita akan membahas materi Jarak Dua Garis pada Dimensi Tiga. Sebelumnya juga telah kita bahas jarak pada dimensi tiga yaitu jarak dua titik dan jarak titik ke garis pada artikel "Konsep Jarak pada Dimensi Tiga atau Bangun Ruang", serta "jarak titik ke bidang pada dimensi tiga". Sebagai kelanjutannya, kita bahas Jarak Dua Garis pada Dimensi Tiga yang tentu akan lebih sulit dalam penghitungannya dibandingkan dengan konsep jarak sebelumnya. Jarak Dua Garis pada Dimensi Tiga yang kita bahas adalah jarak antara dua garis yang tidak berpotongan, karena jika kedua garis tersebut berpotongan, maka sudah bisa kita pastikan jaraknya nol.

         Jarak Dua Garis pada Dimensi Tiga akan kita bagi menjadi tiga bagian yaitu jarak antara dua garis yang sejajar, jarak antara dua garis yang bersilangan tegak lurus, dan jarak antara dua garis yang bersilangan namun tidak tegak lurus. Untuk memudahkan mempelajri materi Jarak Dua Garis pada Dimensi Tiga ini, teman-teman harus menguasai terlebih dahulu konsep jarak titik ke titik, konsep jarak titik ke garis, dan konsep jarak titik ke bidang.

Jarak Dua garis Sejajar pada Dimensi Tiga
Perhatikan ilustrasi gambar berikut,
garis $ g $ sejajar garis $ l $.

Langkah-langkah menentukan jarak kedua garis $ g $ dan $ l $ yaitu :
1). Buat bidang W yang tegak lurus terhadap kedua garis,
2). Tentukan titik potong bidang terhadap kedua garis, misalkan berpotongan di P dan Q
3). Jarak $ g $ ke $ l $ = jarak titik P ke Q.

Contoh soal Jarak Dua Garis Sejajar pada Dimensi Tiga:

1). Pada kubus ABCD.EFGH memiliki panjang rusuk 4 cm. Tentukan :
a). Jarak BC dan AD,
b). Jarak BC dan EH,
c). Jarak BG dan AH.
Penyelesaian :
a). Jarak BC dan AD,
*). Kita pilih bidang yang memotong BC dan AD tegak lurus kedua garis tersebut yaitu bidang ABFE. Bidang ABFE memotong BC dan AD di A dan B, sehingga jaraknya adalah AB yaitu 4 cm.
Jadi, jarak BC dan AD adalah 4 cm.

b). Jarak BC dan EH,
*). Kita pilih bidang yang memotong BC dan EH tegak lurus kedua garis tersebut yaitu bidang ABFE. Bidang ABFE memotong BC dan EH di B dan E, sehingga jaraknya adalah BE yaitu $ 4\sqrt{2} \, $ cm.
Jadi, jarak BC dan EH adalah $ 4\sqrt{2} \, $ cm.

c). Jarak BG dan AH.
*). Kita pilih bidang yang memotong BG dan AH tegak lurus kedua garis tersebut yaitu bidang CDEF. Bidang CDEF memotong BG dan AH di P dan Q, sehingga jaraknya adalah PQ = AB yaitu 4 cm.
Jadi, jarak BG dan AH adalah 4 cm.

Catatan :
Sebenarnya kita tidak harus membuat bidang untuk menentukan jarak kedua garis tersebut, namun kita juga cukup membuat sebuah garis bantu yang tentu tegak lurus dengan kedua garis yang mau kita cari jaraknya.

2). Pada kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm. Jika titik P adalah titik perpotongan diagonal alas dan titik Q adalah titik perpotongan diagonal tutup, maka tentukan jarak PE dan CQ!
Penyelesaian :
*). Perhatikan Ilustrasi gambar berikut.
*). Kita buat garis yaitu garis AG yang tegak lurus dengan garis PE dan CQ dimana garis AG memotong kedua garis tersebut di titik M dan N. Ini artinya jarak PE dan CQ sama dengan jarak M ke N.
*). Perhatikan garis AG yang merupakan diagonal ruang, titik M dan N membagi garis AG menjadi 3 bagian sama panjang sehingga jarak MN adalah
Panjang MN $ = \frac{1}{3} AG = \frac{1}{3} \times 6\sqrt{3} = 2\sqrt{3} $ .
Jadi, jarak PE dan CQ adalah $ 2\sqrt{3} \, $ cm.

Jarak Dua garis Bersilangan Tegak Lurus pada Dimensi Tiga
Perhatikan ilustrasi gambar berikut,
garis $ g $ dan garis $ l $ bersilangan tegak lurus.

Langkah-langkah menentukan jarak kedua garis $ g $ dan $ l $ yaitu :
1). Buat bidang W melalui garis $ g $ dan tegak lurus garis $ l $,
2). Misalkan bidang W memotong garis $ l $ di titik P,
3). Jarak $ g $ ke $ l $ = jarak titik P ke garis $ g $.

Catatan :
Untuk memudahkan dalam menentukan apakah kedua garis bersialngan tegak lurus atau tidak, sebaiknya teman-teman menguasa terlebih dahulu materi "sudut antara dua garis pada dimensi tiga", karena pada artikel ini tidak akan kita jelaskan lagi kenapa kedua garis tegak lurus atau tidak.

Contoh soal Jarak Dua Garis Bersilangan Tegak Lurus pada Dimensi Tiga:

3). Pada kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm, tentukan jarak AB dan CF!
Penyelesaian :
*). Garis AB dan CF bersilangan tegak lurus. Kita pilih bidang melalui CF dan tegak lurus AB yaitu bidang BCGF yang memotong AB di B. Sehingga jarak AB ke CF sama saja dengan jarak titik B ke CF.
*). Dari gambar, jarak B ke CF sama dengan setengah dari diagonal BG, sehingga
jarak B ke CF $ = \frac{1}{2}BG = \frac{1}{2} \times 6\sqrt{2} = 3\sqrt{2} $
Jadi, jarak AB dan CF adalah $ 3\sqrt{2} \, $ cm.

4). Pada kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm, tentukan jarak BG dan DE!
Penyelesaian :
*). Garis BG dan DE bersilangan tegak lurus. Kita pilih bidang melalui BG dan tegak lurus DE yaitu bidang BGHA yang memotong DE di Q. Sehingga jarak BG ke DE sama saja dengan jarak titik P ke BG yang sama juga dengan jarak A ke B karena garis AH sejajar BG.
Jarak P ke BG = panjang AB = 6 cm.
Jadi, jarak BG dan DE adalah 6 cm.

5). Sebuah kubus ABCD.EFGH memiliki panjang rusuk 12 cm. Tentukan jarak BG dan CE!
Penyelesaian :
*). Garis BG tegak lurus dengan garis CE. Kita pilih bidang melalui BG dan tegak lurus CE yaitu bidang BDG yang memotong CE di titik P. Sehingga jarak BG ke CE sama saja dengan jarak titik P ke BG atau panjang PQ.
*). Perhatikan $\Delta GNC $ , panjang GN :
$ GN = \sqrt{CN^2 + CG^2} = \sqrt{(6\sqrt{2})^2 + 12^2} = 6\sqrt{6} $
*). Perhatikan $ \Delta GNC $ , luasnya :
$ \begin{align} \frac{1}{2}.NC. CG & = \frac{1}{2}. GN . PC \\ NC. CG & = GN . PC \\ 6\sqrt{2}. 12 & = 6\sqrt{6} . PC \\ PC & = \frac{12\sqrt{2}}{\sqrt{6}} = 4\sqrt{3} \end{align} $
*). Perhatikan $ \Delta GPC $ :
$ GP = \sqrt{CG^2 - PC^2} = \sqrt{ 12^2 - (4\sqrt{3})^2} = 4\sqrt{6} $
*). Perhatikan $ \Delta GNB $ :
$ \Delta GPQ $ sebangun dengan $ \Delta GNB $, sehingga perbandingan sisi yang bersesuaian sama yaitu :
$ \begin{align} \frac{PQ}{NB} & = \frac{GP}{GB} \\ \frac{PQ}{6\sqrt{2}} & = \frac{4\sqrt{6}}{12\sqrt{2}} \, \, \, \, \, \, \text{(sederhanakan)} \\ \frac{PQ}{1} & = \frac{4\sqrt{6}}{2} \\ PQ & = 2\sqrt{6} \end{align} $
Jadi, jarak BG dan CE adalah $ 2\sqrt{6} \, $ cm.

Jarak Dua garis Bersilangan tidak Tegak Lurus pada Dimensi Tiga
Perhatikan ilustrasi gambar berikut,
garis $ g $ dan garis $ l $ bersilangan tidak tegak lurus.

Langkah-langkah menentukan jarak kedua garis $ g $ dan $ l $ yaitu :
1). Buat bidang W melalui garis $ g $ dan sejajar garis $ l $,
2). pilih sembarang satu titik pada garis $ l $, misalkan titik P
3). Jarak $ g $ ke $ l $ = jarak titik P ke bidang W.

Contoh soal Jarak Dua Garis Bersilangan tidak Tegak Lurus pada Dimensi Tiga:

6). Pada kubus ABCD.EFGH yang memiliki panjang rusuk 6 cm, tentukanlah jarak CH dan BD!
Penyelesaian :
*). Garis CH dan BD bersilangan tidak tegak lurus. Kita buat bidang melalui CH dan sejajar BD yaitu bidang CFH, sehingga jarak yang kita hitung sama saja dengan jarak garis BD ke bidang CFH. Untuk memudahkan, kita pilih titik P di tengah-tengah BD, sehingga jaraknya sama dengan jarak P ke bidang CFH. Kita buat bidang melalui titik P dan tegak lurus bidang CFH yaitu biang ACGE yang berpotongan dengan bidang CFH di garis CM, sehingga jaraknya sekarang sama dengan jarak P ke garis CM yaitu panjang PQ.
*). Untuk memudahkan menghitung jarak P ke CM, kita hubungakan titik P ke M dan ke C sehingga terbentuk segitiga CPM yang siku-siku di P.
*). Perhatikan $ \Delta CGM $,
$ CM = \sqrt{GC^2 + GM^2} = \sqrt{6^2 + (3\sqrt{2})^2} = 3\sqrt{6} $
Panjang $ PC = \frac{1}{2}AC = 3\sqrt{2} \, $ dan PM = 6 .
*). Perhatikan segitiga CPM, dengan konsep luas $ \Delta CPM $ :
$ \begin{align} \frac{1}{2}. PC. PM & = \frac{1}{2}. CM. PQ \\ PC. PM & = CM. PQ \\ 3\sqrt{2}. 6 & = 3\sqrt{6}. PQ \, \, \, \, \, \, \text{(sederhanakan)} \\ 6 & = \sqrt{3}. PQ \\ PQ & = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3} \end{align} $
Jadi, jarak CH dan BD adalah $ 2\sqrt{3} \, $ cm.

Catatan :
Perhatikan contoh soal nomor 5 dan 6 di atas, kesulitan utamanya adalah menentukan bidang yang dimaksud sehingga membutuhkan imajinasi yang tinggi untuk bisa menjawab soal-soal ini. Nah, sebagai alternatif penyelesaian lainnya, kami menyajikan penyelesaian jarak antara dua garis menggunakan konsep vektor yang menurut kami lebih mudah dalam mengerjakannya soal-soalnya bahkan untuk berbagai variasi soal lainnya yang lebih sulti. Silahkan baca artikelnya pada "Aplikasi vektor : Jarak dua garis".

       Demikian pembahasan materi Jarak Dua Garis pada Dimensi Tiga dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan dimensi tiga yaitu "jarak garis dan bidang pada dimensi tiga".