Rumus Panjang Berkaitan Perkalian Dot

         Blog Koma - Setelah membahas materi "Perkalian dot dua vektor", pada artikel ini kita lanjutkan dengan pembahasan materi Rumus Panjang Berkaitan Perkalian Dot. Sebenarnya artikel Rumus Panjang Berkaitan Perkalian Dot ini merupakan kelanjutan atau lebih tepatnya bagian dari materi perkalian dot dua vektor, hanya saja agar tidak terlalu banyak yang dipelajari (artikel terlalu panjang), maka penulisannya kami pisah di sini. Hal-hal yang akan kita bahas adalah contoh-contoh soal dan pembuktian Rumus Panjang Berkaitan Perkalian Dot. Karena masih terkait dengan perkalian dot, maka untuk memudahkan dalam mempelajari materi Rumus Panjang Berkaitan Perkalian Dot, sebaiknya teman-teman harus menguasai definisi perkalian dot dua vektor dan nilai trigonometri sudut-sudut istimewa. Dan tentu kita juga harus memahami pengertian panjang pada vektor. Langsung saja kita pelajari rumus-rumusnya yang dilengkapi dengan contoh-contoh berikut ini.

Rumus Panjang Berkaitan Perkalian Dot

       Misalkan terdapat vektor $ \vec{a} $, $ \vec{b} $ , dan $ \vec{c} $ dengan $ \theta _1 $ sudut antara $ \vec{a} $ dan $ \vec{b} $, $ \theta _2 $ sudut antara $ \vec{b} $ dan $ \vec{c} $ , $ \theta _3 $ sudut antara $ \vec{a} $ dan $ \vec{c} $ , serta terdapat bilangan real $m $ , $ n $ , dan $ k $. Berlaku rumus-rumus panjang berkaitan perkalian dot berikut ini :

i). $ \vec{a}.\vec{a} = \vec{a}^2 = |\vec{a}|^2 $
ii). $ |\vec{a} + \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 +2|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta _1 $
iii). $ |\vec{a} - \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta _1 $
iv). $ |m\vec{a} + n\vec{b}|^2 = m^2|\vec{a}|^2 + n^2|\vec{b}|^2 + 2mn|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta _1 $
$ \begin{align} \text{v). } & |\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} |^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + \\ & \, \, 2(|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta _1 + |\vec{b}||\vec{c}| \cos \theta _2 + |\vec{a}||\vec{c}| \cos \theta _3 ) \\ \text{vi).} & |m\vec{a} + n\vec{b} + k\vec{c} |^2 = |m^2\vec{a}|^2 + n^2|\vec{b}|^2 + k^2|\vec{c}|^2 + \\ & \, \, 2(mn|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta _1 + nk|\vec{b}||\vec{c}| \cos \theta _2 + mk|\vec{a}||\vec{c}| \cos \theta _3 ) \end{align} $

Catatan :
Rumus panjang di atas masih dalam bentuk kuadrat dan dapat kita ubah dengan pengakaran.
Misalkan kita ambil satu rumus panjang berikut ini,
$ |\vec{a} + \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 +2|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta _1 $
kita ubah menjadi :
$ |\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 +2|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta _1 } $

Contoh soal Rumus Panjang Berkaitan Perkalian Dot :

1). Vektor $ \vec{a} $ dan $ \vec{b} $ membentuk sudut $ 45^\circ $. Jika diketahui $ |\vec{a}| = 3 $ dan $ |\vec{b}| = \sqrt{2} $ , maka tentukan :
a). $ \vec{a}(\vec{a} - \vec{b}) $
b). $ \vec{a}(2\vec{a} + 3\vec{b}) $
c). $ |\vec{a}+\vec{b}| $
d). $ |\vec{a} - \vec{b}| $
e). $ |\vec{a} - 3\vec{b}| $
f). $ |2\vec{a} + 3\vec{b}| $
Penyelesaian :
a). $ \vec{a}(\vec{a} - \vec{b}) $
$ \begin{align} \vec{a}(\vec{a} - \vec{b}) & = \vec{a}.\vec{a} - \vec{a}.\vec{b} \\ & = |\vec{a}|^2 - |\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta \\ & = 3^2 - 3. \sqrt{2} \cos 45^\circ \\ & = 9 - 3\sqrt{2} . \frac{1}{2}\sqrt{2} \\ & = 9 - 3 = 6 \end{align} $

b). $ \vec{a}(2\vec{a} + 3\vec{b}) $
$ \begin{align} \vec{a}(2\vec{a} + 3\vec{b}) & = 2\vec{a}.\vec{a} + 3\vec{a}.\vec{b} \\ & = 2|\vec{a}|^2 + 3|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta \\ & = 2(3)^2 + 3.3.\sqrt{2}. \cos 45^\circ \\ & = 18 + 9\sqrt{2}. \frac{1}{2}\sqrt{2} \\ & = 18 + 9 = 27 \end{align} $

c). $ |\vec{a}+\vec{b}| $
$ \begin{align} |\vec{a}+\vec{b}| & = \sqrt{|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 +2|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta } \\ & = \sqrt{3^2 + (\sqrt{2})^2 +2.3.\sqrt{2} \cos 45^\circ } \\ & = \sqrt{9 + 2 + 6\sqrt{2} . \frac{1}{2}\sqrt{2} } \\ & = \sqrt{11 + 6 } = \sqrt{17} \end{align} $

d). $ |\vec{a} - \vec{b}| $
$ \begin{align} |\vec{a} - \vec{b}| & = \sqrt{|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta } \\ & = \sqrt{3^2 + (\sqrt{2})^2 - 2.3.\sqrt{2} \cos 45^\circ } \\ & = \sqrt{9 + 2 - 6\sqrt{2} . \frac{1}{2}\sqrt{2} } \\ & = \sqrt{11 - 6 } = \sqrt{5} \end{align} $

e). $ |\vec{a} - 3\vec{b}| $
$ \begin{align} |\vec{a} - 3\vec{b}| & = \sqrt{|\vec{a}|^2 + 9|\vec{b}|^2 - 3.2|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta } \\ & = \sqrt{3^2 + 9(\sqrt{2})^2 - 6.3.\sqrt{2} \cos 45^\circ } \\ & = \sqrt{9 + 18 - 18\sqrt{2} . \frac{1}{2}\sqrt{2} } \\ & = \sqrt{27 - 18 } = \sqrt{9} = 3 \end{align} $

f). $ |2\vec{a} + 3\vec{b}| $
$ \begin{align} |2\vec{a} + 3\vec{b}| & = \sqrt{4|\vec{a}|^2 + 9|\vec{b}|^2 + 2.3.2|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta } \\ & = \sqrt{4(3^2) + 9(\sqrt{2})^2 - 13.3.\sqrt{2} \cos 45^\circ } \\ & = \sqrt{36 + 18 - 39\sqrt{2} . \frac{1}{2}\sqrt{2} } \\ & = \sqrt{54 - 39 } = \sqrt{15} \end{align} $

2). Diketahui panjang vektor $ |\vec{a}| = 4 $ , $ |\vec{b}| = 2 $ , $ |\vec{c}| = 3 $. Sudut $ \vec{a} $ dan $ \vec{b} $ adalah $ 60^\circ $ , sudut $ \vec{b} $ dan $ \vec{c} $ adalah $ 45^\circ $ , sudut antara $ \vec{a} $ dan $ \vec{c} $ adalah $ 30^\circ $ .
a). Tentukan $ |\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}|^2 $
b). Jika $ |\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}|^2 = p + q\sqrt{2} - r\sqrt{3} $ , maka nilai $ p - q + r $ adalah ....?
Penyelesaian :
a). Menentukan $ |\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}|^2 $
$ \begin{align} |\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} |^2 & = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + 2(|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta _1 + |\vec{b}||\vec{c}| \cos \theta _2 + |\vec{a}||\vec{c}| \cos \theta _3 ) \\ & = 4^2 + 2^2 + 3^2 + 2(4.2 \cos 60^\circ + 2.3. \cos 45^\circ + 4.3 \cos 30^\circ ) \\ & = 16 + 4 + 9 + 2(8. \frac{1}{2} +6. \frac{1}{2}\sqrt{2} + 12. \frac{1}{2}\sqrt{3} ) \\ & = 29 + 2(4 +3\sqrt{2} + 6\sqrt{3} ) \\ & = 29 + 8 +6\sqrt{2} + 12\sqrt{3} \\ & = 37 +6\sqrt{2} + 12\sqrt{3} \end{align} $
Jadi, nilai $ |\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}|^2 = 37 +6\sqrt{2} + 12\sqrt{3} $.

b). Pada soal bagian (a) , kita sudah memperoleh :
$ |\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}|^2 = 37 +6\sqrt{2} + 12\sqrt{3} $, sehingga :
$ \begin{align} |\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}|^2 & = p + q\sqrt{2} - r\sqrt{3} \\ 37 +6\sqrt{2} + 12\sqrt{3} & = p + q\sqrt{2} - r\sqrt{3} \end{align} $
artinya nilai $ p = 37, q = 6 $ dan $ r = -12 $.
*). Mennetukan nilai $ p - q + r $
$ p - q + r = 37 - 6 + (-12) = 19 $
Jadi, nilai $ p - q + r = 19 $

3). Jika $ |\vec{a}| = 5 $ , $ |\vec{b}| = 3, $ dan $ |\vec{a}+\vec{b}| = 7$ , maka tentukan nilai $ |\vec{a} - \vec{b}| $!
Penyelesaian :
*). Menentukan nilai $ 2\vec{a}.\vec{b} $ :
$ \begin{align} |\vec{a} + \vec{b}|^2 & = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 +2|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta \\ |\vec{a} + \vec{b}|^2 & = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 +2 \vec{a}.\vec{b} \\ 7^2 & = 5^2 + 3^2 +2 \vec{a}.\vec{b} \\ 49 & = 25 + 9 + 2 \vec{a}.\vec{b} \\ 2 \vec{a}.\vec{b} & = 15 \end{align} $
*). Menentukan nilai $ |\vec{a} - \vec{b}| $ :
$ \begin{align} |\vec{a} - \vec{b}|^2 & = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta \\ & = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2 \vec{a}.\vec{b} \\ & = 5^2 + 3^2 - 15 \\ & = 25 + 9 - 15 \\ |\vec{a} - \vec{b}|^2 & = 19 \\ |\vec{a} - \vec{b}| & = \sqrt{19} \end{align} $
Jadi, nilai $ |\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{19} $.

Cara II :
*). Jumlahkan kedua rumus berikut :
$ \begin{array}{cc} |\vec{a} + \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 +2 \vec{a}.\vec{b} & \\ |\vec{a} - \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2 \vec{a}.\vec{b} & + \\ \hline |\vec{a} + \vec{b}|^2 + |\vec{a} - \vec{b}|^2 = 2(|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2) & \end{array} $
*). Menentukan nilai $ |\vec{a} - \vec{b}| $ :
$ \begin{align} |\vec{a} + \vec{b}|^2 + |\vec{a} - \vec{b}|^2 & = 2(|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2) \\ 7^2 + |\vec{a} - \vec{b}|^2 & = 2(5^2 + 3^2) \\ 49 + |\vec{a} - \vec{b}|^2 & = 68 \\ |\vec{a} - \vec{b}|^2 & = 19 \\ |\vec{a} - \vec{b}| & = \sqrt{19} \end{align} $
Hasilnya sama dengan cara pertama di atas.

4). Diketahui sudut antara tiap pasang vektor $ \vec{a} $ , $ \vec{b} $ , dan $ \vec{c} $ adalah $ 60^\circ $ di dalam R$^3$, serta $ |\vec{a}| = 4 $ , $ |\vec{b}| = 2 $ , dan $ |\vec{c}| = 6 $. Tentukan nilai $ |\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}| $ !
Penyelesaian :
$ \begin{align} |\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} |^2 & = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + 2(|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta _1 + |\vec{b}||\vec{c}| \cos \theta _2 + |\vec{a}||\vec{c}| \cos \theta _3 ) \\ & = 4^2 + 2^2 + 6^2 + 2(4.2 \cos 60^\circ + 2.6. \cos ^\circ + 4.6 \cos 60^\circ ) \\ & = 16 + 4 + 36 + 2(8. \frac{1}{2} +12. \frac{1}{2} + 24. \frac{1}{2} ) \\ & = 56 + 2(4 + 6 + 12 ) \\ & = 56 + 44 \\ |\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} |^2 & = 100 \\ |\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} | & = 10 \end{align} $
Jadi, nilai $ |\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}| = 10 $.

5). Diketahui $ |\vec{a}| = 3, |\vec{b}| = 5 $ , dan $ |\vec{c} = 2 $. Jika $ \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = 0 $ , maka tentukan :
a). $ \vec{a} . \vec{b} $
b). $ \vec{b} . \vec{c} $
c). $ \vec{a} . \vec{c} $
d). $ \vec{a} . \vec{b} + \vec{b}.\vec{c} + \vec{a}.\vec{c} $
Penyelesaian :
*). Pada sebuah vektor, panjang vektor $ \vec{p} $ sama dengan panjang vektor $ -\vec{p} $ atau dapat kita tulis $ |\vec{p}| = |-\vec{p}| $.
a). Menentukan $ \vec{a} . \vec{b} $
$ \begin{align} \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} & = 0 \\ \vec{a} + \vec{b} & = - \vec{c} \\ |\vec{a} + \vec{b}|^2 & = |- \vec{c}|^2 \\ |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + 2\vec{a}.\vec{b} & = |\vec{c}|^2 \\ \vec{a}.\vec{b} & = \frac{|\vec{c}|^2 - |\vec{a}|^2 - |\vec{b}|^2 }{2} \\ & = \frac{2^2 - 3^2 - 5^2 }{2} \\ & = \frac{-30}{2} = -15 \end{align} $
Sehingga nilai $ \vec{a} . \vec{b} = -15 $.

b). Menentukan $ \vec{b} . \vec{c} $
$ \begin{align} \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} & = 0 \\ \vec{b} + \vec{c} & = - \vec{a} \\ |\vec{b} + \vec{c}|^2 & = |- \vec{a}|^2 \\ |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + 2\vec{b}.\vec{c} & = |\vec{a}|^2 \\ \vec{b}.\vec{c} & = \frac{|\vec{a}|^2 - |\vec{b}|^2 - |\vec{c}|^2 }{2} \\ & = \frac{3^2 - 5^2 - 2^2}{2} \\ & = \frac{-20}{2} = -10 \end{align} $
Sehingga nilai $ \vec{b} . \vec{c} = -10 $.

c). Menentukan $ \vec{a} . \vec{c} $
$ \begin{align} \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} & = 0 \\ \vec{a} + \vec{c} & = - \vec{b} \\ |\vec{a} + \vec{c}|^2 & = |- \vec{b}|^2 \\ |\vec{a}|^2 + |\vec{c}|^2 + 2\vec{a}.\vec{c} & = |\vec{b}|^2 \\ \vec{a}.\vec{c} & = \frac{|\vec{b}|^2 - |\vec{a}|^2 - |\vec{c}|^2 }{2} \\ & = \frac{5^2 - 3^2 - 2^2}{2} \\ & = \frac{20}{2} = 6 \end{align} $
Sehingga nilai $ \vec{a} . \vec{c} = 6 $.

d). Menentukan $ \vec{a} . \vec{b} + \vec{b}.\vec{c} + \vec{a}.\vec{c} $
$ \begin{align} \vec{a} . \vec{b} + \vec{b}.\vec{c} + \vec{a}.\vec{c} & = -15 + (-10) + 6 = -19 \end{align} $
Sehingga nilai $ \vec{a} . \vec{b} + \vec{b}.\vec{c} + \vec{a}.\vec{c} = -19 $.

Cara II bagian (d) :
*). Karena $ \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = 0 $, maka panjangnya $ |\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} | = 0 $.
*). Dari rumus berikut :
$ \begin{align} |\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} |^2 & = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 +2(\vec{a} . \vec{b} + \vec{b}.\vec{c} + \vec{a}.\vec{c}) \\ 0^2 & = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 +2(\vec{a} . \vec{b} + \vec{b}.\vec{c} + \vec{a}.\vec{c}) \\ \vec{a} . \vec{b} + \vec{b}.\vec{c} + \vec{a}.\vec{c} & = - \frac{|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2}{2} \\ & = - \frac{3^2 + 5^2 + 2^2}{2} \\ & = - \frac{38}{2} = - 19 \end{align} $
Sehingga nilai $ \vec{a} . \vec{b} + \vec{b}.\vec{c} + \vec{a}.\vec{c} = -19 $.

6). Diketahui $ |\vec{a}| = 3 $ , $ \vec{b}| = 6 $ , dan $ |\vec{c}| = 2 $. Jika $ 2\vec{a} - \vec{b} + 3\vec{c} = 0 $ , maka tentukan nilia $ \vec{a}.\vec{b} $ !
Penyelesaian :
*). Menentukan $ \vec{a}.\vec{b} $ :
$ \begin{align} 2\vec{a} - \vec{b} + 3\vec{c} & = 0 \\ 2\vec{a} - \vec{b} & = - 3\vec{c} \\ |2\vec{a} - \vec{b}|^2 & = |- 3\vec{c}|^2 \\ |2\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2(2\vec{a}).\vec{b} & = 9| \vec{c}|^2 \\ 4|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 4\vec{a}.\vec{b} & = 9| \vec{c}|^2 \\ \vec{a}.\vec{b} & = \frac{4|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 9| \vec{c}|^2}{4} \\ & = \frac{4(3)^2 + 6^2 - 9(2)^2}{4} \\ & = \frac{36 + 36 - 36}{4} \\ & = \frac{36 }{4} = 9 \end{align} $
Jadi, nilai $ \vec{a}.\vec{b} = 9 $.

Pembkuktian Rumus Panjang Berkaitan Perkalian Dot

Ingat definsi perkalian dot dua vektor berikut ini :
       $ \vec{a} . \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta $
dengan $ \theta \, $ adalah sudut kedua vektor.

       Dengan memahami atau bisa membutikan "Rumus Panjang Berkaitan Perkalian Dot" , harapannya kita tidak perlu menghafal semua rumusnya, namun cukup kita ingat Triknya. Trik penjabaran Rumus Panjang Berkaitan Perkalian Dot adalah DIKUADRATKAN.

$ \spadesuit \, $ Pembuktian rumus (i) :
       Vektor $ \vec{a} $ dan $ \vec{a} $ membentuk sudut $ 0^\circ $ (karena berimpit) , sehingga dengan definisi perkalian dot :
$ \begin{align} \vec{a}^2 & = \vec{a}. \vec{a} = |\vec{a}||\vec{a}| \cos 0^\circ \\ & = |\vec{a}|^2 \times 1 \\ & = |\vec{a}|^2 \end{align} $
Jadi, terbukti $ \vec{a}^2 = \vec{a}. \vec{a} |\vec{a}|^2 $

Dari rumus panjang (i) ini memiliki arti : Dua buah vektor yang sama kita kalikan (perkalian dotnya) akan menghasilkan kuadrat dari panjangnya.

$ \spadesuit \, $ Pembuktian rumus (ii) :
$ \begin{align} (\vec{a} + \vec{b} )^2 & = \vec{a}^2 + \vec{b}^2 + 2\vec{a}.\vec{b} \\ |\vec{a} + \vec{b} |^2 & = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + 2|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta _1 \end{align} $
(Terbukti)

$ \spadesuit \, $ Pembuktian rumus (iii) :
$ \begin{align} (\vec{a} - \vec{b} )^2 & = \vec{a}^2 + \vec{b}^2 - 2\vec{a}.\vec{b} \\ |\vec{a} - \vec{b} |^2 & = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta _1 \end{align} $
(Terbukti)

$ \spadesuit \, $ Pembuktian rumus (iv) :
$ \begin{align} (m\vec{a} + n\vec{b} )^2 & = (m\vec{a})^2 + (n\vec{b})^2 + 2(m\vec{a}).(n\vec{b}) \\ |m\vec{a} + n\vec{b} |^2 & = m^2|\vec{a}|^2 + n^2|\vec{b}|^2 + 2mn|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta _1 \end{align} $
(Terbukti)

$ \spadesuit \, $ Pembuktian rumus (v) :
$ \begin{align} (\vec{a} + \vec{b} +\vec{c} )^2 & = \vec{a}^2 + \vec{b}^2 +\vec{c}^2 + 2(\vec{a}.\vec{b} + \vec{b}.\vec{c} + \vec{a}.\vec{c}) \\ |\vec{a} + \vec{b} +\vec{c} |^2 & = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + 2(|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta _1 + |\vec{b}||\vec{c}| \cos \theta _2 + |\vec{a}||\vec{c}| \cos \theta _3) \end{align} $
(Terbukti)

$ \spadesuit \, $ Pembuktian rumus (vi) :
$ \begin{align} (m\vec{a} + n\vec{b} + k\vec{c} )^2 & = (m\vec{a})^2 + (n\vec{b})^2 + (k \vec{c})^2 + 2((m\vec{a}).(n\vec{b}) + (n\vec{b}).(k\vec{c}) + (m\vec{a}).(k\vec{c})) \\ |\vec{a} + \vec{b} +\vec{c} |^2 & = m^2|\vec{a}|^2 + n^2|\vec{b}|^2 + k^2|\vec{c}|^2 + \\ & \, \, \, \, 2(mn|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta _1 + nk|\vec{b}||\vec{c}| \cos \theta _2 + mk|\vec{a}||\vec{c}| \cos \theta _3) \end{align} $
(Terbukti)

       Pembuktian rumus panjang di atas juga melibatkan "sifat perkalian dot dua vektor". Dari bentuk pembuktian di atas, trik dalam penjabaran "Rumus Panjang Berkaitan Perkalian Dot" adalah dengan melakukan pengkuadratan. Dengan cara ini, teman-teman juga bisa membuat atau menjabarkan rumus panjang lainnya.

       Demikian pembahasan materi Rumus Panjang Berkaitan Perkalian Dot dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan "materi vektor tingkat SMA".