Perkalian Silang Dua Vektor

         Blog Koma - Pada artikel ini kita akan membahas materi Perkalian Silang Dua Vektor atau biasa disebut Cross Product. Operasi Perkalian Silang (Cross Product) Dua Vektor merupakan kelanjutan dari operasi lain pada vektor dimana sebelumnya kita telah membahas "penjumlahan dan pengurangan vektor", "perkalian skalar dengan vektor", dan "perkalian dot (perkalian titik) dua vektor". Perkalian Silang Dua Vektor menghasilkan vektor lain yang tegak lurus dengan kedua vektor yang dikalikan. Berbeda dengan perkalian dot yang menghasilkan skalar. Perkalian Silang Dua Vektor memiliki aplikasi yang cukup luas diantaranya menentukan jarak titik ke garis, menentukan luas bangun datar, volume bangun ruang, dan jarak dua garis bersilangan. Hal-hal yang harus kita kuasai untuk memudahkan mempelajari materi Perkalian Silang (Cross Product) Dua Vektor ini yaitu pengertian vektor dan penulisannya, panjang vektor dan vektor satuan, determinan matriks $ 3 \times 3 $ cara Sarrus, dan Penerapan trigonometri pada segitiga (luasnya). Perkalian Silang Dua Vektor hanya berlaku pada vektor di R$^3$ saja.

Definisi Perkalian Silang Dua Vektor (Cross Product)

       Perhatikan ilustrasi gambar di atas. Jika $ \vec{a} \neq 0 $ dan $ \vec{b} \neq 0 $ dalam ruang dapat diputar tanpa mengubah besar atau arah masing-masing sehingga titik pangkalnya berimpit, dengan kaidah tangan kanan (ulir kanan) didefinisikan bahwa:
$ \, \, \, \, \, \, \, \, \vec{a} \times \vec{b} = \vec{e} |\vec{a}||\vec{b}| \sin \theta , \, 0 \leq \theta \leq \pi $
dengan :
$ \vec{e} = \, $ vektor satuan yang tegak lurus $ \vec{a} $ dan $ \vec{b} $
$ \theta = \, $ sudut antara vektor $ \vec{a} $ dan vektor $ \vec{b} $
$ \vec{a} \times \vec{b} \, $ dibaca "vektor $ \vec{a} $ kros vektor $ \vec{b} $ " atau cukup " $ \vec{a} $ kros $ \vec{b} $ "
(Thomas, 1986 : 727 - 730)

Menentukan Hasil Perkalian Silang Dua Vektor

       Mislkan terdapat vektor $ \vec{a} = (a_1, a_2,a_3) $ dan $ \vec{b} = (b_1,b_2,b_3) $ , hasil perkalian silang kedua vektor dapat kita tentukan dengan cara :
$ \vec{a} \times \vec{b} = (a_2b_3 - a_3b_2 , a_3b_1 - a_1b_3 , a_1b_2 - a_2b_1 ) \, $ atau
$ \vec{a} \times \vec{b} = (a_2b_3 - a_3b_2)\vec{i} + (a_3b_1 - a_1b_3)\vec{j} + (a_1b_2 - a_2b_1 )\vec{k} $

Bentuk penghitungan di atas dapat kita tuliskan dengan bentuk lainnya yang kita namakan "rumus determinan cross vektor" sebagai berikut :
$ \begin{align} \vec{a} \times \vec{b} & = \left| \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{matrix} \right| \\ & = (a_2b_3 - a_3b_2)\vec{i} + (a_3b_1 - a_1b_3)\vec{j} + (a_1b_2 - a_2b_1 )\vec{k} \end{align} $

Cara penghitungan "rumus determinan cross vektor" adalah sama dengan determinan matriks ordo $ 3 \times 3 $, silahkan baca aritikelnya pada "Determinan dan Invers Matriks".

Rumus panjang Hasil Perkalian Silang Dua Vektor

       Dari "definisi Perkalian Silang Dua Vektor" di atas, maka kita peroleh rumus panjang hasil Perkalian Silang Dua Vektor yaitu :
$ \, \, \, \, \, \, |\vec{a} \times \vec{b} | = |\vec{a}||\vec{b}| \sin \theta $

Contoh Soal Perkalian Silang Dua Vektor (Cross Product) :

1). Diketahui vektor $ \vec{a} = 2\vec{i}-\vec{j}+3\vec{k} $ dan $ \vec{b} = \vec{i} + 2\vec{j} - 2\vec{k} $ . Tentukan hasil perkalian silang antara vektor $ \vec{a} $ dan $ \vec{b} $ !
Penyelesaian :
*). Menentukan hasil perkalian silang (Metode Sarrus) :
$ \begin{align} \vec{a} \times \vec{b} & = \left| \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & -1 & 3 \\ 1 & 2 & -2 \end{matrix} \right| \\ & = \left| \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} & | & \vec{i} & \vec{j} \\ 2 & -1 & 3 & | & 2 & -1 \\ 1 & 2 & -2 & | & 1 & 2 \end{matrix} \right| \\ & = (-1.-2\vec{i} + 1.3\vec{j} + 2.2\vec{k}) - (2.3\vec{i} + 2.(-2)\vec{j} + 1.(-1)\vec{k}) \\ & = (2\vec{i} + 3\vec{j} + 4\vec{k}) - (6\vec{i} -4\vec{j} -\vec{k}) \\ & = 2\vec{i} + 3\vec{j} + 4\vec{k} - 6\vec{i} + 4\vec{j} + \vec{k} \\ & = -4\vec{i} + 7\vec{j} + 5\vec{k} \end{align} $
Jadi, hasil dari $ \vec{a} \times \vec{b} = -4\vec{i} + 7\vec{j} + 5\vec{k} $.

2). Jika hasil perkalian silang antara vektor $ \vec{a} = (p, 2, r) $ dan $ \vec{b} = (-1, 4, 3 ) $ adalah $ ( 2 , 5, -6) $ , maka tentukan nilai $ ( p + r)^{2017} + 2 $ !
Penyelesaian :
*). Diketahui $ \vec{a} \times \vec{b} = ( 2 , 5, -6) $
*). Menentukan $ \vec{a} \times \vec{b} $ :
$ \begin{align} \vec{a} \times \vec{b} & = \left| \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ p & 2 & r \\ -1 & 4 & 3 \end{matrix} \right| \\ & = ( 6\vec{i} -r\vec{j} + 4p\vec{k} ) - ( 4r\vec{i} + 3p\vec{j} - 2\vec{k}) \\ & = (6 - 4r)\vec{i} - ( r + 3p)\vec{j} + (4p + 2)\vec{k} \\ & = ( 6 - 4r , -r - 3p , 4p + 2 ) \end{align} $
*). Kedua hasil dari $ \vec{a} \times \vec{b} $ sama yaitu :
$ ( 2 , 5, -6) = ( 6 - 4r , -r - 3p , 4p + 2 ) $
Sehingga :
$ 2 = 6 - 4r \rightarrow 4r = 4 \rightarrow r = 1 $
$ -6 = 4p + 2 \rightarrow 4p = -8 \rightarrow p = -2 $.
*). Menentukan hasil $ ( p + r)^{2017} + 2 $ :
$ ( p + r)^{2017} + 2 = ( -2 + 1)^{2017} + 2 $
$ = (-1)^{2017} + 2 = -1 + 2 = 1 $
Jadi, hasil dari $ ( p + r)^{2017} + 2 = 1 $.

3). Sudut antara vektor $ \vec{p} $ dan $ \vec{q} $ adalah $ 30^\circ $. Jika $ |\vec{p}| = 4 $ dan $ |\vec{q}| = 5 $ , maka tentukan $ |\vec{p} \times \vec{q}| $ !
Penyelesaian :
*). Menentukan hasil $ |\vec{p} \times \vec{q}| $ :
$ \begin{align} |\vec{p} \times \vec{q}| & = |\vec{p} | |\vec{q}| \sin \theta \\ & = 4 \times 5 \sin 30^\circ \\ & = 20 \times \frac{1}{2} \\ & = 10 \end{align} $
Jadi, hasil dari $ |\vec{p} \times \vec{q}| = 10 $.

4). Diketahui vektor $ \vec{p} = (-1, 1, -1) $ dan $ \vec{q} = (2, -1 ,1) $ . Jika vektor $ \vec{a} $ yang panjangnya satu tegak lurus dengan vektor $ \vec{p} $ dan tegak lurus vektor $ \vec{q} $ , maka tentukan vektor $ 3\sqrt{2}\vec{a} $ !
Penyelesaian :
*). Vektor $ \vec{b} $ tegak lurus dengan vektor $ \vec{p} $ dan $ \vec{q} $ , artinya vektor $ \vec{b} $ adalah hasil perkalian silang antara vektor $ \vec{p} $ dan $ \vec{q} $, yaitu :
$ \begin{align} \vec{b} & = \vec{p} \times \vec{q} \\ & = \left| \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -1 & 1 & -1 \\ 2 & -1 & 1 \end{matrix} \right| \\ & = (\vec{i} -2\vec{j} + \vec{k}) - ( \vec{i} - \vec{j} + 2\vec{k}) \\ & = \vec{i} -2\vec{j} + \vec{k} - \vec{i} + \vec{j} - 2\vec{k} \\ & = -\vec{j} - \vec{k} \\ & = (0 , -1, -1) \end{align} $
*). Vektor $ \vec{a} $ adalah vektor satuan dari vektor $ \vec{b} $ :
$ \begin{align} \vec{a} & = \left( \frac{1}{|\vec{b}|} \right) \vec{b} \\ & = \left( \frac{1}{\sqrt{0^2 + (-1)^2 + (-1)^2}} \right) ( 0, -1, -1) \\ & = \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) ( 0, -1, -1) \\ & = ( 0, -\frac{1}{\sqrt{2}} , -\frac{1}{\sqrt{2}} ) \end{align} $
*). Menentukan hasil $ 3\sqrt{2}\vec{a} $ :
$ \begin{align} 3\sqrt{2}\vec{a} & = 3\sqrt{2}( 0, -\frac{1}{\sqrt{2}} , -\frac{1}{\sqrt{2}} ) \\ & = ( 0, -3 , -3 ) \end{align} $
Jadi, hasil dari $ 3\sqrt{2}\vec{a} = ( 0, -3 , -3 ) $ .

Catatan :
Untuk contoh nomor 4 di atas, vektor $ \vec{a} $ yang panjangnya satu tegak lurus dengan vektor $ \vec{p} $ dan $ \vec{q} $ dapat kita tentukan dengan cara :
$ \, \, \, \, \, \, \, \vec{a} = \frac{\vec{p} \times \vec{q}}{|\vec{p} \times \vec{q}|} $
Silahkan teman-teman coba dengan rumus ini untuk mengerjakan kembali contoh soal nomor 4 di atas.

5). Sudut antara vektor $ \vec{u} $ dan $ \vec{v} $ adalah $ 30^\circ $ dengan $ \vec{u} = ( x, -2 , 1) $ . Jika $ |\vec{u} \times \vec{v}| = \sqrt{6} $ dan $ |\vec{v}| = \sqrt{2} $ , maka tentukan nilai $ \sqrt{x^2 + 2} - 3 $ !
Penyelesaian :
*). Menentukan nilai $ x^2 $ :
$ \begin{align} |\vec{u} \times \vec{v}| & = |\vec{u} | |\vec{v}| \sin \theta \\ \sqrt{6} & = \sqrt{x^2 + (-2)^2 + 1^2} \times \sqrt{2} \sin 30^\circ \\ \sqrt{3}. \sqrt{2} & = \sqrt{x^2 + 5} \times \sqrt{2} \times \frac{1}{2} \\ \sqrt{3} & = \sqrt{x^2 + 5} \times \frac{1}{2} \\ 2\sqrt{3} & = \sqrt{x^2 + 5} \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ 12 & = x^2 + 5 \\ x^2 & = 7 \end{align} $
*). Menentukan nilai $ \sqrt{x^2 + 2} - 3 $ :
$ \begin{align} \sqrt{x^2 + 2} - 3 & = \sqrt{7 + 2} - 3 \\ & = \sqrt{9} - 3 \\ & = 3 - 3 = 0 \end{align} $
Jadi, nilai $ \sqrt{x^2 + 2} - 3 = 0 $.

6). Diketahui vektor $ \vec{p} = (5, 0, 0) $ dan $ \vec{q} = (3,2,1) $. Tentukan luas jajar genjang yang dibentuk oleh vektor $ \vec{p} $ dan $ \vec{q} $!
Penyelesaian :
*). Ilustrasi gambar :

Dari vektor $ \vec{p} $ dan $ \vec{q} $ terbentuk jajargenjang ABCD seperti pada gambar di atas.
*). Luas segitiga ABD dengan aturan sinus pada segitga dan $ |\vec{p} \times \vec{q}| = |\vec{p}| |\vec{q}| \sin \theta $.
$ \begin{align} \text{Luas } \Delta ABC & = \frac{1}{2} AB \times AD \sin \theta \\ & = \frac{1}{2} |\vec{p}| |\vec{q}| \sin \theta \\ & = \frac{1}{2} |\vec{p} \times \vec{q}| \end{align} $
*). Luas jajargenjang ABCD adalah 2 kali luas ABD :
Luas ABCD $ = 2 \times \frac{1}{2} |\vec{p} \times \vec{q}| = |\vec{p} \times \vec{q}| $
*. Menentukan $ \vec{p} \times \vec{q} $ dan $ |\vec{p} \times \vec{q}| $ :
$ \begin{align} \vec{p} \times \vec{q} & = \left| \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 5 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 \end{matrix} \right| \\ & = (0 + 0 + 10\vec{k}) - ( 0 + 5\vec{j} +0) \\ & = -5\vec{j} + 10\vec{k} \\ & = (0 , -5, 10) \end{align} $
Nilai $ |\vec{p} \times \vec{q}| = \sqrt{0^2 + (-5)^2 + 10^2} = \sqrt{125} = 5\sqrt{5} $
Artinya luas ABCD $ = |\vec{p} \times \vec{q}| = 5\sqrt{5} $
Jadi, luas jajargenjangnya adalah $ 5\sqrt{5} \, $ satuan luas.

$ \spadesuit \, $ Pembuktian Rumus penghitungan Perkalian Silang dua vektor
*). Definisi perkalian silang (cross product) :
$ \vec{a} \times \vec{b} = \vec{e} |\vec{a}||\vec{b}| \sin \theta , \, 0 \leq \theta \leq \pi $
*). Cara menghitung hasil perkalian silang dua vektor :
$ \vec{a} \times \vec{b} = (a_2b_3 - a_3b_2 , a_3b_1 - a_1b_3 , a_1b_2 - a_2b_1 ) $
*). Pembktiannya :
-). dari definisi perkalian silang, kita peroleh :
$ \vec{i} \times \vec{j} = \vec{k} $ , $ \vec{j} \times \vec{k} = \vec{i} $ , $ \vec{k} \times \vec{i} = \vec{j} $
$ \vec{j} \times \vec{i} = -\vec{k} $ , $ \vec{k} \times \vec{j} = -\vec{i} $ , $ \vec{i} \times \vec{k} = -\vec{j} $
$ \vec{i} \times \vec{i} = 0 $ , $ \vec{j} \times \vec{j} = 0 $ , $ \vec{k} \times \vec{k} = 0 $
-). hasil $ \vec{a} \times \vec{b} $ :
$ \begin{align} \vec{a} \times \vec{b} & = (a_1\vec{i} + a_2\vec{j} + a_3\vec{k}) \times (b_1\vec{i} + b_2\vec{j} + b_3\vec{k}) \\ & = a_1b_1\vec{i} \times \vec{i} + a_1b_2\vec{i} \times \vec{j}+a_1b_3\vec{i} \times \vec{k} + a_2b_1\vec{j} \times \vec{i} + a_2b_2\vec{j} \times \vec{j} \\ & \, \, \, \, + a_2b_3\vec{j} \times \vec{k} + a_3b_1\vec{k} \times \vec{i} + a_3b_2\vec{k} \times \vec{j}+a_3b_3\vec{k} \times \vec{k} \\ & = 0 + a_1b_2\vec{k} +a_1b_3(-\vec{j}) + a_2b_1(-\vec{k}) + 0 + a_2b_3\vec{i} + a_3b_1\vec{j} + a_3b_2(-\vec{i}) + 0 \\ & = a_1b_2\vec{k} - a_1b_3 \vec{j} - a_2b_1 \vec{k} + a_2b_3\vec{i} + a_3b_1\vec{j} - a_3b_2 \vec{i} \\ & = (a_2b_3 - a_3b_2)\vec{i} + (a_3b_1 - a_1b_3)\vec{j} + (a_1b_2 - a_2b_1 )\vec{k} \\ & = (a_2b_3 - a_3b_2 , a_3b_1 - a_1b_3 , a_1b_2 - a_2b_1 ) \end{align} $
Jadi, terbukti $ \vec{a} \times \vec{b} = (a_2b_3 - a_3b_2 , a_3b_1 - a_1b_3 , a_1b_2 - a_2b_1 ) $ .

$ \clubsuit \, $ Pembuktian Rumus panjang Perkalian Silang dua vektor
*). Rumus panjang hasil perkalian silang (cross product)
$ |\vec{a} \times \vec{b} | = |\vec{a}||\vec{b}| \sin \theta $
*). Pembuktiannya :
-). Dari definisi perkalian silangnya :
Panjang vektor satuannya satu : $ | \vec{e}| = 1 $
Nilai sinusnya : $ | \sin \theta | = \sin \theta \, $ untuk $ 0 \leq \theta \leq \pi $
$ \begin{align} \vec{a} \times \vec{b} & = \vec{e} |\vec{a}||\vec{b}| \sin \theta \\ |\vec{a} \times \vec{b}| & = |\vec{e} |\vec{a}||\vec{b}| \sin \theta | \\ & = |\vec{e} | |\vec{a}||\vec{b}| |\sin \theta | \\ & = 1. |\vec{a}||\vec{b}| \sin \theta \\ & = |\vec{a}||\vec{b}| \sin \theta \end{align} $
Jadi, terbukti $ |\vec{a} \times \vec{b} | = |\vec{a}||\vec{b}| \sin \theta $.

Untuk berikutnya silahkan bacar artikel "sifat operasi perkalian dot dan perkalian silang".

       Demikian pembahasan materi Perkalian Silang Dua Vektor dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan "materi vektor tingkat SMA" yaitu "Proyeksi Orthogonal Suatu Vektor ke Vektor Lain".