Komponen Vektor yang Tegak Lurus terhadap Vektor

         Blog Koma - Setelah mempelajari materi "proyeksi ortogonal vektor pada vektor", pada artikel ini kita lanjutkan dengan pembahasan materi Komponen Vektor yang Tegak Lurus terhadap Vektor. Materi Komponen Vektor yang Tegak Lurus terhadap Vektor ini sangat terkait dengan proyeksi vektor karena pengerjaannya melibatkan bentuk proyeksi vektor. Pada proyeksi vektor $ \vec{a} $ pada vektor $ \vec{b} $ menghasilkan vektor $ \vec{c} $ dimana vektor $ \vec{c} $ adalah "komponen vektor $ \vec{a} $ yang sejajar terhadap vektor $ \vec{b} $". Namun pada artikel ini kita lebih fokus pada komponen yang tegak lurus. Untuk memudahkan mempelajari materi Komponen Vektor yang Tegak Lurus terhadap Vektor, teman-teman harus menguasai materi "penjumlahan dan pengurangan vektor", "perkalian vektor dengan skalar", "perkalian dot dua vektor", "panjang vektor", dan tentunya materi "proyeksi vektor".

         Dalam mempelajari Komponen Vektor yang Tegak Lurus terhadap Vektor, perhatikan gambar berikut. Misalkan terdapat vektor $ \vec{a} $ dan $ \vec{b} $ di R$^2$ atau R$^3$ seperti tampak pada ilustrasi gambar berikut ini.
Komponen Vektor $ \vec{a} $ yang Tegak Lurus terhadap Vektor $ \vec{b} $ ditunjukkan oleh vektor $ \vec{p} $ (hasilnya adalah vektor $ \vec{p}$). Vektor $ \vec{c} $ adalah vektor proyeksi $ \vec{a} $ terhadap $ \vec{b} $ yang kita sebut sebagai komponen sejajar $ \vec{a} $ terhadap $ \vec{b} $.

Menentukan Komponen Vektor $ \vec{a} $ yang Tegak Lurus terhadap Vektor $ \vec{b} $
       Perhatikan ilustrasi gambar di atas, kita peroleh rumus :
$ \spadesuit, $ komponen yang sejajar
       Komponen yang sejajar adalah vektor $ \vec{c} $
$ \clubsuit \, $ Komponen yang tegak lurus
       Komponen vektor $ \vec{a} $ yang tegak lurus vektor $ \vec{b} $ adalah vektor $ \vec{c} $ yang dapat kita cari dengan cara :
              $ \begin{align} \vec{p} = \vec{a} - \vec{c} = \vec{a} - \left( \frac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{b}|^2} \right) \vec{b} \end{align} $.

Contoh Soal Komponen Vektor yang Tegak Lurus terhadap Vektor :

1). Diketahui vektor $ \vec{a} = (1, -2, 3) $ dan $ \vec{b} = (-3, 1, 2) $. Tentukan :
a). Komponen vektor $ \vec{a} $ yang tegak lurus terhadap vektor $ \vec{b} $
b). Komponen vektor $ \vec{b} $ yang tegak lurus terhadap vektor $ \vec{a} $
Penyelesaian :
*). Menentukan perkalian dot dan panjang vektor :
$ \vec{a}.\vec{b} = \vec{b}.\vec{a} = 1.(-3) + -2.1 + 3.1 = -3 -2 + 6 = 1 $
$ |\vec{a}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14} $
$ |\vec{b}| = \sqrt{(-3)^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 1 + 4} = \sqrt{14} $
a). Komponen vektor $ \vec{a} $ yang tegak lurus terhadap vektor $ \vec{b} $
Misalkan hasilnya vektor $ \vec{p} $ :
$ \begin{align} \vec{p} & = \vec{a} - \vec{c} = \vec{a} - \left( \frac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{b}|^2} \right) \vec{b} \\ & = (1, -2, 3) - \left( \frac{1}{(\sqrt{14})^2} \right) (-3, 1, 2) \\ & = (1, -2, 3) - \left( \frac{1}{14} \right) (-3, 1, 2) \\ & = (1, -2, 3) - \left( -\frac{3}{14}, \frac{1}{14}, \frac{2}{14} \right) \\ & = \left( \frac{14}{14}, -\frac{28}{14}, \frac{42}{14} \right) - \left( -\frac{3}{14}, \frac{1}{14}, \frac{2}{14} \right) \\ & = \left( \frac{17}{14}, -\frac{29}{14}, \frac{40}{14} \right) \end{align} $
Sehingga Komponen vektor $ \vec{a} $ yang tegak lurus terhadap vektor $ \vec{b} $ adalah $ \left( \frac{17}{14}, -\frac{29}{14}, \frac{40}{14} \right) $.

b). Komponen vektor $ \vec{b} $ yang tegak lurus terhadap vektor $ \vec{a} $
Misalkan hasilnya vektor $ \vec{q} $ :
$ \begin{align} \vec{q} & = \vec{b} - \vec{c} = \vec{b} - \left( \frac{\vec{b}.\vec{a}}{|\vec{a}|^2} \right) \vec{a} \\ & = (-3, 1, 2) - \left( \frac{1}{(\sqrt{14})^2} \right) (1, -2, 3) \\ & = (-3, 1, 2) - \left( \frac{1}{14} \right) (1, -2, 3) \\ & = (-3, 1, 2) - \left( \frac{1}{14}, -\frac{2}{14}, \frac{3}{14} \right) \\ & = \left( -\frac{42}{14}, \frac{14}{14}, \frac{28}{14} \right) - \left( \frac{1}{14}, -\frac{2}{14}, \frac{3}{14} \right) \\ & = \left( -\frac{43}{14}, \frac{16}{14}, \frac{25}{14} \right) \end{align} $
Sehingga Komponen vektor $ \vec{b} $ yang tegak lurus terhadap vektor $ \vec{a} $ adalah $ \left( -\frac{43}{14}, \frac{16}{14}, \frac{25}{14} \right) $.

2). Diketahui $ \vec{ a} = ( x, 0 , 2) $, $ \vec{b} = (1, 1, -1) $ dan komponen vektor $ \vec{a} $ terhadap vektor $ \vec{b} $ adalah $ (0, 1, 1) $. Tentukan nilai $ x $!
Penyelesaian :
*). Misalkan komponen tegak lurusnya adalah $ \vec{p} = (0, 1,1) $.
*). Menentukan perkalian dot dan panjang vektor :
$ \vec{a}. \vec{b} = x. 1 + 0.1 + 2.(-1) = x - 2 $
$ |\vec{b}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3} $
*). Menentukan nilai $ x $ :
$ \begin{align} \vec{p} & = \vec{a} - \left( \frac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{b}|^2} \right) \vec{b} \\ (0, 1, 1) & = ( x, 0 , 2) - \left( \frac{x - 2}{(\sqrt{3})^2} \right) (1, 1, -1) \\ (0, 1, 1) & = ( x, 0 , 2) - \left( \frac{x - 2}{3} \right) (1, 1, -1) \\ (0, 1, 1) & = ( x, 0 , 2) - \left( \frac{x - 2}{3} , \frac{x - 2}{3} , -\frac{x - 2}{3} \right) \\ (0, 1, 1) & = \left( x - \frac{x - 2}{3} , 0 - \frac{x - 2}{3} , 2 + \frac{x - 2}{3} \right) \\ (0, 1, 1) & = \left( x - \frac{x - 2}{3} , - \frac{x - 2}{3} , 2 + \frac{x - 2}{3} \right) \end{align} $
Dari kesamaan dua vektor ini kita pilih yang termudah dihitung yaitu yang tengah :
$ 1 = - \frac{x - 2}{3} \rightarrow x-2 = -3 \rightarrow x = -1 $.
Jadi, nilai $ x = -1 $.

$ \clubsuit \, $ pembuktian Rumus Komponen Vektor yang Tegak Lurus terhadap Vektor :
Perhatikan ilustrasi gambar beriut,
-). Vektor $ \vec{c} $ adalah vektor proyeksi $ \vec{a} $ pada $ \vec{b} $
$ \, \, \, \, \, \, \vec{c} = \left( \frac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{b}|^2} \right) \vec{b} $ .
-). Perhatikan vektor $ \vec{a} $ , $ \vec{c} $ , dan $ \vec{p} $ . Berdasarkan aturan penjumlahan secara geometri yaitu aturan jajargenjang, maka kita peroleh :
$ \begin{align} \vec{a} & = \vec{c} + \vec{p} \\ \vec{p} & = \vec{a} - \vec{c} \\ \vec{p} & = \vec{a} - \left( \frac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{b}|^2} \right) \vec{b} \end{align} $
Jadi, terbukti bahwa komponen tegak lurusnya adalah $ \vec{p} = \vec{a} - \left( \frac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{b}|^2} \right) \vec{b} $.

       Demikian pembahasan materi Komponen Vektor yang Tegak Lurus terhadap Vektor dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan "Materi vektor tingkat SMA" yang ada pada setiap bagian akhir dari artikel. Terima kasih.

Tidak ada komentar:

Posting Komentar

Catatan: Hanya anggota dari blog ini yang dapat mengirim komentar.