Dalam mempelajari Komponen Vektor yang Tegak Lurus terhadap Vektor, perhatikan gambar berikut. Misalkan terdapat vektor $ \vec{a} $ dan $ \vec{b} $ di R$^2$ atau R$^3$ seperti tampak pada ilustrasi gambar berikut ini.
Menentukan Komponen Vektor $ \vec{a} $ yang Tegak Lurus terhadap Vektor $ \vec{b} $
Perhatikan ilustrasi gambar di atas, kita peroleh rumus :
$ \spadesuit, $ komponen yang sejajar
Komponen yang sejajar adalah vektor $ \vec{c} $
$ \clubsuit \, $ Komponen yang tegak lurus
Komponen vektor $ \vec{a} $ yang tegak lurus vektor $ \vec{b} $ adalah vektor $ \vec{c} $ yang dapat kita cari dengan cara :
$ \begin{align} \vec{p} = \vec{a} - \vec{c} = \vec{a} - \left( \frac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{b}|^2} \right) \vec{b} \end{align} $.
$ \spadesuit, $ komponen yang sejajar
Komponen yang sejajar adalah vektor $ \vec{c} $
$ \clubsuit \, $ Komponen yang tegak lurus
Komponen vektor $ \vec{a} $ yang tegak lurus vektor $ \vec{b} $ adalah vektor $ \vec{c} $ yang dapat kita cari dengan cara :
$ \begin{align} \vec{p} = \vec{a} - \vec{c} = \vec{a} - \left( \frac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{b}|^2} \right) \vec{b} \end{align} $.
Contoh Soal Komponen Vektor yang Tegak Lurus terhadap Vektor :
1). Diketahui vektor $ \vec{a} = (1, -2, 3) $ dan $ \vec{b} = (-3, 1, 2) $. Tentukan :
a). Komponen vektor $ \vec{a} $ yang tegak lurus terhadap vektor $ \vec{b} $
b). Komponen vektor $ \vec{b} $ yang tegak lurus terhadap vektor $ \vec{a} $
Penyelesaian :
*). Menentukan perkalian dot dan panjang vektor :
$ \vec{a}.\vec{b} = \vec{b}.\vec{a} = 1.(-3) + -2.1 + 3.1 = -3 -2 + 6 = 1 $
$ |\vec{a}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14} $
$ |\vec{b}| = \sqrt{(-3)^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 1 + 4} = \sqrt{14} $
a). Komponen vektor $ \vec{a} $ yang tegak lurus terhadap vektor $ \vec{b} $
Misalkan hasilnya vektor $ \vec{p} $ :
$ \begin{align} \vec{p} & = \vec{a} - \vec{c} = \vec{a} - \left( \frac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{b}|^2} \right) \vec{b} \\ & = (1, -2, 3) - \left( \frac{1}{(\sqrt{14})^2} \right) (-3, 1, 2) \\ & = (1, -2, 3) - \left( \frac{1}{14} \right) (-3, 1, 2) \\ & = (1, -2, 3) - \left( -\frac{3}{14}, \frac{1}{14}, \frac{2}{14} \right) \\ & = \left( \frac{14}{14}, -\frac{28}{14}, \frac{42}{14} \right) - \left( -\frac{3}{14}, \frac{1}{14}, \frac{2}{14} \right) \\ & = \left( \frac{17}{14}, -\frac{29}{14}, \frac{40}{14} \right) \end{align} $
Sehingga Komponen vektor $ \vec{a} $ yang tegak lurus terhadap vektor $ \vec{b} $ adalah $ \left( \frac{17}{14}, -\frac{29}{14}, \frac{40}{14} \right) $.
b). Komponen vektor $ \vec{b} $ yang tegak lurus terhadap vektor $ \vec{a} $
Misalkan hasilnya vektor $ \vec{q} $ :
$ \begin{align} \vec{q} & = \vec{b} - \vec{c} = \vec{b} - \left( \frac{\vec{b}.\vec{a}}{|\vec{a}|^2} \right) \vec{a} \\ & = (-3, 1, 2) - \left( \frac{1}{(\sqrt{14})^2} \right) (1, -2, 3) \\ & = (-3, 1, 2) - \left( \frac{1}{14} \right) (1, -2, 3) \\ & = (-3, 1, 2) - \left( \frac{1}{14}, -\frac{2}{14}, \frac{3}{14} \right) \\ & = \left( -\frac{42}{14}, \frac{14}{14}, \frac{28}{14} \right) - \left( \frac{1}{14}, -\frac{2}{14}, \frac{3}{14} \right) \\ & = \left( -\frac{43}{14}, \frac{16}{14}, \frac{25}{14} \right) \end{align} $
Sehingga Komponen vektor $ \vec{b} $ yang tegak lurus terhadap vektor $ \vec{a} $ adalah $ \left( -\frac{43}{14}, \frac{16}{14}, \frac{25}{14} \right) $.
2). Diketahui $ \vec{ a} = ( x, 0 , 2) $, $ \vec{b} = (1, 1, -1) $ dan komponen vektor $ \vec{a} $ terhadap vektor $ \vec{b} $ adalah $ (0, 1, 1) $. Tentukan nilai $ x $!
Penyelesaian :
*). Misalkan komponen tegak lurusnya adalah $ \vec{p} = (0, 1,1) $.
*). Menentukan perkalian dot dan panjang vektor :
$ \vec{a}. \vec{b} = x. 1 + 0.1 + 2.(-1) = x - 2 $
$ |\vec{b}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3} $
*). Menentukan nilai $ x $ :
$ \begin{align} \vec{p} & = \vec{a} - \left( \frac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{b}|^2} \right) \vec{b} \\ (0, 1, 1) & = ( x, 0 , 2) - \left( \frac{x - 2}{(\sqrt{3})^2} \right) (1, 1, -1) \\ (0, 1, 1) & = ( x, 0 , 2) - \left( \frac{x - 2}{3} \right) (1, 1, -1) \\ (0, 1, 1) & = ( x, 0 , 2) - \left( \frac{x - 2}{3} , \frac{x - 2}{3} , -\frac{x - 2}{3} \right) \\ (0, 1, 1) & = \left( x - \frac{x - 2}{3} , 0 - \frac{x - 2}{3} , 2 + \frac{x - 2}{3} \right) \\ (0, 1, 1) & = \left( x - \frac{x - 2}{3} , - \frac{x - 2}{3} , 2 + \frac{x - 2}{3} \right) \end{align} $
Dari kesamaan dua vektor ini kita pilih yang termudah dihitung yaitu yang tengah :
$ 1 = - \frac{x - 2}{3} \rightarrow x-2 = -3 \rightarrow x = -1 $.
Jadi, nilai $ x = -1 $.
$ \clubsuit \, $ pembuktian Rumus Komponen Vektor yang Tegak Lurus terhadap Vektor :
Perhatikan ilustrasi gambar beriut,
$ \, \, \, \, \, \, \vec{c} = \left( \frac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{b}|^2} \right) \vec{b} $ .
-). Perhatikan vektor $ \vec{a} $ , $ \vec{c} $ , dan $ \vec{p} $ . Berdasarkan aturan penjumlahan secara geometri yaitu aturan jajargenjang, maka kita peroleh :
$ \begin{align} \vec{a} & = \vec{c} + \vec{p} \\ \vec{p} & = \vec{a} - \vec{c} \\ \vec{p} & = \vec{a} - \left( \frac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{b}|^2} \right) \vec{b} \end{align} $
Jadi, terbukti bahwa komponen tegak lurusnya adalah $ \vec{p} = \vec{a} - \left( \frac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{b}|^2} \right) \vec{b} $.
Demikian pembahasan materi Komponen Vektor yang Tegak Lurus terhadap Vektor dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan "Materi vektor tingkat SMA" yang ada pada setiap bagian akhir dari artikel. Terima kasih.
