Sifat Operasi Penjumlahan dan Pengurangan Vektor

         Blog Koma - Setelah mempelajari materi "penjumlahan dan pengurangan pada vektor" dan "perkalian vektor dengan skalar", pada artikel ini kita lanjutkan dengan pembahasan materi Sifat Operasi Penjumlahan dan Pengurangan Vektor. Pada penjumlahan dua buah vektor atau pengurangan dua buah vektor apakah berlaku kebalikannya (disebut komutatif)? atau operasi penjumlahan dan pengurangan vektor yang melibatkan lebih dari dua vektor, apakah berlaku komutatif, asosiatif, dan distributif? Kemudian berlakukan sifat identitas penjumlahan dan pengurangan? Inilah yang akan kita bahas pada materi Sifat Operasi Penjumlahan dan Pengurangan Vektor. Terkadang juga soal-soal tertentu seperti SBMPTN mengujikan materi yang terkait sifat-sifat operasi hitung vektor dimana kita diminta untuk memilih manakah sifat yang benar. Sifat Operasi Penjumlahan dan Pengurangan Vektor juga akan membantu kita dalam perhitungan pada operasi penjumlahan vektor. Sifat Operasi Penjumlahan dan Pengurangan Vektor melibatkan vektor dan melibatkan bentuk skalar. Pada artikel ini juga kita sajikan pembuktian Sifat Operasi Penjumlahan dan Pengurangan Vektor.

Sifat-sifat Operasi Penjumlahan dan Pengurangan Vektor

       Jika $ \vec{a} $ , $ \vec{b} $ , dan $ \vec{c} $ adalah vektor-vektor di R$^2$ atau R$^3$, serta terdapat skalar $ k $ dan $ l $ tak nol, maka berlaku hubungan berikut ini :
1). $ \vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a} \, $ (komutatif)
2). $ (\vec{a}+\vec{b})+\vec{c} = \vec{a} + (\vec{b}+\vec{c}) \, $ (asosiatif)
3). $ \vec{a} + \vec{o} = \vec{o} + \vec{a} = \vec{a} \, $ (identitas)
4). $ \vec{a} + (-\vec{a}) = \vec{o} \, $
5). $ k(l\vec{a}) = (kl)\vec{a} $
6). $ k(\vec{a} + \vec{b}) = k\vec{a} + k\vec{b} \, $ (distributif terhadap skalar)
7). $ (k + l)\vec{a} = k\vec{a} + l\vec{a} \, $ (distributif terhadap skalar)
8). $ 1\vec{a} = \vec{a} $
9). $ k(\vec{a} - \vec{b}) = k\vec{a} - k\vec{b} \, $
10). $ (k - l)\vec{a} = k\vec{a} - l\vec{a} \, $
11). $ \vec{a} - \vec{b} \neq \vec{b} - \vec{a} \, $
namun berlaku $ \vec{a} - \vec{b} = -( \vec{b} - \vec{a}) $
12). $ (\vec{a} - \vec{b}) - \vec{c} \neq \vec{a} - (\vec{b}-\vec{c}) $
namun berlaku $ (\vec{a} - \vec{b}) - \vec{c} = \vec{a} - (\vec{b}+\vec{c}) $

Contoh soal Sifat Operasi Penjumlahan dan Pengurangan Vektor :

1). Perhatikan sifat-sifat hitung vektor berikut ini,
a). $ (\vec{a} - \vec{b}) - \vec{c} = \vec{a} - (\vec{b}-\vec{c}) $
b). $ \vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a} $
c). $ \vec{a} + (-\vec{a}) = \vec{o} $
d). $ k(\vec{a} + \vec{b}) = k\vec{a} + \vec{b} $
e). $ \vec{a} - \vec{b} \neq \vec{b} - \vec{a} $
Dari sifat-sifat di atas, manakah sifat-sifat operasi hitung yang benar?
Penyelesaian :
*). Berdasarkan sifat-sifat operasi hitung penjumlahan dan pengurangan di atas, maka :
-). Sifat yang benar adalah bagian (b), (c) dan (e).
-). Sifat yang salah adalah bagian (a) dan (d).

2). Diketahui vektor $ \vec{a} = (x^2 - 1, y+2, z^3) $ dan $ \vec{a} + \vec{b} = (-10, 3, 1) $. Tentukan vektor $ \vec{b} + \vec{a} $!
Penyelesaian :
*). Jika kita tidak mengetahui sifat komutatif pada penjumlahan dua vektor, maka untuk soal ini pasti kita akan berusahan untuk menentukan nilai vektor $ \vec{b} $ terlebih dahulu dari $ \vec{a} + \vec{b} $ yang diketahui. Namun dengan sifat komutatif pada operasi penjumlahan, maka kita peroleh hasil :
$ \vec{b} + \vec{a} = \vec{a} + \vec{b} = (-10, 3, 1) $ .
Jadi, hasil dari $ \vec{b} + \vec{a} = (-10, 3, 1) $.

3). Diketahui vektor $ \vec{p} = (2, - 1, 4) $ , $ \vec{p} + \vec{q} = (-1, 1, 5) $ dan $ \vec{r} + \vec{q} = (3, -4, -3) $. Tentukan hasil penjumlahan vektor $ \vec{p} + 2\vec{q} + \vec{r} $ !
Penyelesian :
*). Dengan sifat komutatif dan asosiatif pada penjumlahan vektor, kita tidak perlu mencari vektor $ \vec{q} $ dan $ \vec{r} $ terlebih dahulu namun langsung menjumlahkannya dengan cara berikut ini :
$ \begin{align} \vec{p} + 2\vec{q} + \vec{r} & = \vec{p} + \vec{q} + \vec{q} + \vec{r} \\ & = (\vec{p} + \vec{q}) + (\vec{q} + \vec{r}) \\ & = (\vec{p} + \vec{q}) + (\vec{r} + \vec{q} ) \\ & = (-1, 1, 5) + (3, -4, -3) \\ & = (-1+ 3, 1+(-4), 5+(-3)) \\ & = (2, -3, 2) \end{align} $
Jadi, hasilnya $ \vec{p} + 2\vec{q} + \vec{r} = (2, -3, 2) $.

4). Diketahui vektor $ \vec{a} - \vec{c} = (1, -6, 2) $ dan $ \vec{b} + \vec{c} = (-2, 5, -1) $. Tentukan hasil penjumlahan $ \vec{a} + \vec{b} $!
Penyelesaian :
*). Dengan sifat identitas, invers dan komutatif, maka kita peroleh :
$ \begin{align} \vec{a} + \vec{b} & = \vec{a} + \vec{b} + \vec{o} \\ & = \vec{a} + \vec{o} + \vec{b} \\ & = \vec{a} + \vec{c} + (-\vec{c}) + \vec{b} \\ & = \vec{a} + (-\vec{c}) + \vec{c} + \vec{b} \\ & = \vec{a} + (-\vec{c}) + \vec{b} + \vec{c} \\ & = (\vec{a} -\vec{c}) + (\vec{b} + \vec{c} ) \\ & = (1, -6, 2) + (-2, 5, -1) \\ & = (1 + (-2), -6 + 5, 2 + (-1)) \\ & = (-1, -1, 1) \end{align} $
Jadi, hasil dari $ \vec{a} + \vec{b} = (-1, -1, 1) $

$ \spadesuit \, $ Pembuktian Sifat Operasi Penjumlahan dan Pengurangan Vektor

       Tanpa mengurangi keumuman, kita ambil sembarang $ \vec{a} = (a_1,a_2,a_3) $ , $ \vec{b}=(b_1,b_2,b_3) $ , $ \vec{c}=(c_1,c_2,c_3) $ , dan $ \vec{o}=(0 , 0, 0) $ dan sembarang skalar $ k $ dan $ l $.

-). Pembuktian sifat (1) :
$ \begin{align} \vec{a} + \vec{b} & = (a_1,a_2,a_3) + (b_1,b_2,b_3) \\ & = (a_1+b_1,a_2+b_2,a_3+b_3) \\ & = (b_1+a_1,b_2+a_2,b_3+a_3) \\ & = (b_1,b_2,b_3) + (a_1,a_2,a_3) \\ & = \vec{b} + \vec{a} \end{align} $
Jadi, terbukti $ \vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a} $.

-). Pembuktian sifat (2) :
$ \begin{align} (\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} & = [(a_1,a_2,a_3) + (b_1,b_2,b_3)] + (c_1,c_2,c_3) \\ & = (a_1+b_1,a_2+b_2,a_3+b_3) + (c_1,c_2,c_3) \\ & = (a_1+b_1+c_1,a_2+b_2+c_2,a_3+b_3+c_3) \\ & = (a_1+(b_1+c_1),a_2+(b_2+c_2),a_3+(b_3+c_3)) \\ & = (a_1,a_2,a_3) + (b_1+c_1 , b_2+c_2 , b_3+c_3) \\ & = (a_1,a_2,a_3) + ((b_1,b_2,b_3)] + (c_1,c_2,c_3) ) \\ & = \vec{a} + ( \vec{b} + \vec{c} ) \end{align} $
Jadi, terbukti $ (\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + ( \vec{b} + \vec{c} ) $.

-). Pembuktian sifat (3) :
$ \begin{align} \vec{a} + \vec{o} & = (a_1,a_2,a_3) + (0,0,0) \\ & = (a_1+0,a_2+0,a_3+0) \\ & = (0 + a_1 , 0+ a_2 , 0+ a_3 ) = (a_1,a_2,a_3) \\ & = (0,0,0) + (a_1,a_2,a_3) \\ & = \vec{o} + \vec{a} \\ & = (a_1,a_2,a_3) \\ & = \vec{a} \end{align} $
Jadi, terbukti $ \vec{a} + \vec{o} = \vec{o} + \vec{a} = \vec{a} $.

-). Pembuktian sifat (4) :
$ \begin{align} \vec{a} + (-\vec{a}) & = (a_1,a_2,a_3) + (-a_1,-a_2,-a_3) \\ & = (a_1-a_1,a_2-a_2,a_3-a_3) \\ & = (0,0,0) \\ & = \vec{o} \end{align} $
Jadi, terbukti $ \vec{a} + (-\vec{a}) = \vec{o} $.

-). Pembuktian sifat (5) :
$ \begin{align} k(l\vec{a}) & = k(la_1,la_2,la_3) \\ & = (kla_1,kla_2,kla_3) \\ & = (kl)(a_1,a_2,a_3) \\ & = (kl)\vec{a} \end{align} $
Jadi, terbukti $ k(l\vec{a}) = (kl)\vec{a} $.

-). Pembuktian sifat (6) :
$ \begin{align} k(\vec{a} + \vec{b}) & = k((a_1,a_2,a_3) + (b_1,b_2,b_3)) \\ & = k(a_1+b_1,a_2+b_2,a_3+b_3) \\ & = (k(a_1+b_1),k(a_2+b_2),k(a_3+b_3)) \\ & = (ka_1+kb_1,ka_2+kb_2,ka_3+kb_3) \\ & = (ka_1,ka_2,ka_3) + (kb_1,kb_2,kb_3) \\ & = k(a_1,a_2,a_3) + k(b_1,b_2,b_3)\\ & = k\vec{a} + k\vec{b} \end{align} $
Jadi, terbukti $ k(\vec{a} + \vec{b}) = k\vec{a} + k\vec{b} $.

-). Pembuktian sifat (7) :
$ \begin{align} (k + l)\vec{a} & = (k + l)(a_1,a_2,a_3) \\ & = ( (k + l)a_1, (k + l)a_2, (k + l)a_3) \\ & = (ka_1 + la_1,ka_2+la_2,ka_3+la_3) \\ & = (ka_1,ka_2,ka_3) + (la_1,la_2,la_3) \\ & = k(a_1,a_2,a_3) + l(a_1,a_2,a_3) \\ & = k\vec{a} + l\vec{a} \end{align} $
Jadi, terbukti $ (k + l)\vec{a} = k\vec{a} + l\vec{a} $.

-). Pembuktian sifat (8) :
$ \begin{align} 1\vec{a} & = 1(a_1,a_2,a_3) \\ & = ( 1.a_1, 1.a_2, 1.a_3) \\ & = (a_1,a_2,a_3) \\ & = \vec{a} \end{align} $
Jadi, terbukti $ 1\vec{a} = \vec{a} $.

-). Pembuktian sifat (9) :
$ \begin{align} k(\vec{a} - \vec{b}) & = k((a_1,a_2,a_3) - (b_1,b_2,b_3)) \\ & = k(a_1-b_1,a_2-b_2,a_3-b_3) \\ & = (k(a_1-b_1),k(a_2-b_2),k(a_3-b_3)) \\ & = (ka_1-kb_1,ka_2-kb_2,ka_3-kb_3) \\ & = (ka_1+(-kb_1),ka_2+(-kb_2),ka_3+(-kb_3)) \\ & = (ka_1,ka_2,ka_3) + (-kb_1,-kb_2,-kb_3) \\ & = k(a_1,a_2,a_3) + (- k)(b_1,b_2,b_3)\\ & = k(a_1,a_2,a_3) - k(b_1,b_2,b_3)\\ & = k\vec{a} - k\vec{b} \end{align} $
Jadi, terbukti $ k(\vec{a} - \vec{b}) = k\vec{a} - k\vec{b} $.

-). Pembuktian sifat (10) :
$ \begin{align} (k - l)\vec{a} & = (k - l)(a_1,a_2,a_3) \\ & = ( (k - l)a_1, (k - l)a_2, (k - l)a_3) \\ & = (ka_1 - la_1,ka_2-la_2,ka_3-la_3) \\ & = (ka_1 +(- la_1),ka_2+(-la_2),ka_3+(-la_3)) \\ & = (ka_1,ka_2,ka_3) + (-la_1,-la_2,-la_3) \\ & = k(a_1,a_2,a_3) + (-l) l(a_1,a_2,a_3) \\ & = k(a_1,a_2,a_3) - l(a_1,a_2,a_3) \\ & = k\vec{a} - l\vec{a} \end{align} $
Jadi, terbukti $ (k - l)\vec{a} = k\vec{a} - l\vec{a} $.

-). Pembuktian sifat (11) :
$ \begin{align} \vec{a} - \vec{b} & = (a_1,a_2,a_3) - (b_1,b_2,b_3) \\ & = (a_1-b_1,a_2-b_2,a_3-b_3) \\ \vec{b} - \vec{a} & = (b_1,b_2,b_3) - (a_1,a_2,a_3) \\ & = (b_1 - a_1 , b_2 - a_2 , b_3 - a_3 ) \\ -(\vec{b} - \vec{a} ) & = -((b_1,b_2,b_3) - (a_1,a_2,a_3)) \\ & = -(b_1 - a_1 , b_2 - a_2 , b_3 - a_3 ) \\ & = (a_1-b_1,a_2-b_2,a_3-b_3) \end{align} $
Jadi, terbukti $ \vec{a} - \vec{b} \neq \vec{b} - \vec{a} $ dan $ \vec{a} - \vec{b} = -(\vec{b} - \vec{a} ) $ .

-). Pembuktian sifat (12) :
$ \begin{align} (\vec{a} - \vec{b}) - \vec{c} & = [(a_1,a_2,a_3) - (b_1,b_2,b_3)] - (c_1,c_2,c_3) \\ & = (a_1-b_1,a_2-b_2,a_3-b_3) - (c_1,c_2,c_3) \\ & = (a_1-b_1-c_1,a_2-b_2-c_2,a_3-b_3-c_3) \\ \vec{a} - ( \vec{b} - \vec{c} ) & = (a_1,a_2,a_3) - [(b_1,b_2,b_3) - (c_1,c_2,c_3)] \\ & = (a_1,a_2,a_3) - (b_1 - c_1, b_2 - c_2 , b_3 - c_3) \\ & = (a_1-(b_1-c_1),a_2-(b_2-c_2),a_3-(b_3-c_3)) \\ & = (a_1-b_1+c_1 ,a_2-b_2+c_2 ,a_3-b_3+c_3 ) \\ \vec{a} - ( \vec{b} + \vec{c} ) & = (a_1,a_2,a_3) - [(b_1,b_2,b_3) + (c_1,c_2,c_3)] \\ & = (a_1,a_2,a_3) - (b_1 + c_1, b_2 + c_2 , b_3 + c_3) \\ & = (a_1-(b_1+c_1),a_2-(b_2+c_2),a_3-(b_3+c_3)) \\ & = (a_1-b_1-c_1 ,a_2-b_2-c_2 ,a_3-b_3-c_3 ) \end{align} $
Jadi, terbukti $ (\vec{a} - \vec{b}) - \vec{c} \neq \vec{a} - ( \vec{b} - \vec{c} ) $ dan $ (\vec{a} - \vec{b}) - \vec{c} = \vec{a} - ( \vec{b} + \vec{c} ) $ .

       Demikian pembahasan materi Sifat Operasi Penjumlahan dan Pengurangan Vektor dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan "Perbandingan Vektor".