Perkalian Vektor dengan Skalar

         Blog Koma - Setelah mempelajari materi "Penjumlahan dan pengurangan pada vektor", pada artikel ini kita lanjutkan dengan operasi pada vektor yang kedua yaitu Perkalian Vektor dengan Skalar. Secara umum bisa kita artikan Perkalian Vektor dengan Skalar atau Perkalian skalar dengan vektor adalah perubahan vektor awal dengan panjang yang sama atau bisa lebih panjang atau bisa lebih pendek dan sejajar dengan vektor awal dengan arah bisa berlawanan atau bisa juga searah dengan vektor awal yang juga bisa kita sebut sebagai kelipatan vektor. Pada operasi penjumlahan dan pengurangan vektor terkadang tidak hanya melibatkan dua vektor awalnya saja, tetapi terkadang melibatkan kelipatan-kelipatan vektor, sehingga penting bagi kita untuk mempelajari materi Perkalian Vektor dengan Skalar. Perkalian Vektor dengan Skalar kita bagi menjadi dua yaitu Perkalian Vektor dengan Skalar secara aljabar dan Perkalian Vektor dengan Skalar secara geometri. Untuk memudahkan, mempelajari materi dan contoh-contoh soalnya, sebaiknya teman-teman menguasai materi vektor sebelumnya yaitu "kesamaan dua vektor dan kesejajaran", "panjang vektor", "vektor basis", dan "penjumlahan dan pengurangan pada vektor".

Perkalian Vektor dengan skalar secara Aljabar
       Secara aljabar, perkalian vektor dengan skalar hasilnya adalah semua unsur pada vektor dikalikan dengan skalarnya. Misalkan vektor $ \vec{a} = (a_1, \, a_2) $ dan $ \vec{b} = (b_1, \, b_2, \, b_3) $ serta terdapat skalar $ k $, maka
$ k\vec{a} = (ka_1 , \, ka_2) \, $ dan $ k\vec{b} = (kb_1, \, kb_2, \, kb_3 ) $
Perkalian Vektor dengan skalar secara Geometri
       Misalkan terdapat skalar $ k $ yang merupakan anggota bilangan real dan terdapat vektor $ \vec{a} $. Hasil perkalian skalar $ k $ dengan vektor $ \vec{a} $ kita tulis $ k\vec{a} $ yang artinya suatu vektor yang panjangnya $ k $ kali panjang vektor $ \vec{a} $ dengan beberapa kemungkinan yaitu :
1). Jika $ k > 1 $, maka $ k\vec{a} $ searah dengan $ \vec{a} $ dan diperpanjang.
2). Jika $ k = 1 $, maka $ k\vec{a} $ sama dengan $ \vec{a} $.
3). Jika $ 0< k < 1 $, maka $ k\vec{a} $ searah dengan $ \vec{a} $ dan diperpendek.
4). Jika $ -1 < k < 0 $, maka $ k\vec{a} $ berlawanan arah dengan $ \vec{a} $ dan diperpendek.
5). Jika $ k = -1 $, maka $ k\vec{a} $ berlawanan arah dengan $ \vec{a} $ dan panjangnya sama.
6). Jika $ k < -1 $, maka $ k\vec{a} $ berlawanan arah dengan $ \vec{a} $ dan diperpanjnag.
Berikut ilustrasi gambarnya :

Contoh Soal Perkalian Vektor dengan Skalar :

1). Diketahui vektor $ \vec{a} = (1, -3) $ , $ \vec{b} = \left( \begin{matrix} -2 \\ 1 \\ 5 \end{matrix} \right) $ dan $ \vec{c} = 3\vec{i}-2\vec{j}+\vec{k} $. Tentukanlah :
a). $ 2\vec{a} , \, -3\vec{b} , \, \frac{1}{2}\vec{c} $
b). Arah dan jenis kelipatannya.
Penyelesaian :
a). Menentukan $ 2\vec{a} , \, -3\vec{b} , \, \frac{1}{2}\vec{c} $
-). vektor $ 2\vec{a} = 2(1, -3) = (2.1, 2.(-3)) = (2, -6) $
-). vektor $-3\vec{b} = -3\left( \begin{matrix} -2 \\ 1 \\ 5 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} -3.(-2) \\ -3.1 \\ -3.5 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 6 \\ -3 \\ -15 \end{matrix} \right) $
-). vektor $ \frac{1}{2}\vec{c} = \frac{1}{2} 3\vec{i}-2\vec{j}+\vec{k} = \frac{1}{2}. 3\vec{i}-2.\frac{1}{2}\vec{j}+\frac{1}{2}\vec{k} = \frac{3}{2}\vec{i}-\vec{j}+\frac{1}{2}\vec{k} $

b). Arah dan jenis kelipatannya.
-). Vektor $ 2\vec{a} $ searah dengan $ \vec{a} $ dan diperpanjang,
-). Vektor $ -3\vec{b} $ berlawanan arah dengan $ \vec{b} $ dan diperpanjang,
-). Vektor $ \frac{1}{2}\vec{c} $ searah dengan $ \vec{c} $ dan diperpendek.

2). Perhatikan gambar vektor $ \vec{p} $ berikut,
Dari gambar vektor $ \vec{p} $ tersebut, tentukanlah :
a). $ 2\vec{p} , \, \frac{2}{3}\vec{p} $
b). $ -\vec{p}, \, -\frac{3}{2}\vec{p} , \, -\frac{1}{2} \vec{p} $.
Penyelesaian :
*). Berikut gambar jawaban masing-masing :

Catatan :
Sebenarnya dua contoh di atas sudah mewakili materi Perkalian Vektor dengan Skalar, hanya saja soal-soal tertentu tidak semudah dua contoh di atas, karena pasti ada pengembangan contoh soalnya. Misalkan materi Perkalian Vektor dengan Skalar pasti akan terkait langsung dengan materi penjumlahan dan pengurangan pada vektor. Untuk contoh soal berikut ini, kita akan bahas soal-soal lainnya.

3). Diketahui vektor $ \vec{p} = (2, -1 , 1) $ , $ \vec{q} = (0, 1, - 3) $ , tentukan :
a). vektor $ \vec{p} - 2\vec{q} $
b). Jika $ \vec{a} = 3\vec{p} + 2\vec{q} $, maka tentukan vektor $ \vec{a} $ dan panjangnnya.
Penyelesaian :
a). Menentukan vektor $ \vec{p} - 2\vec{q} $
$ \begin{align} \vec{p} - 2\vec{q} & = (2, -1 , 1) - 2(0, 1, - 3) \\ & = (2, -1 , 1) - (0, 2, - 6) \\ & = (2 - 0 , -1 - 2 , 1 - (-6)) \\ & = (2 , -3 , 7) \end{align} $
Jadi, vektor $ \vec{p} - 2\vec{q} = (2 , -3 , 7) $.

b). Jika $ \vec{a} = 3\vec{p} + 2\vec{q} $, maka tentukan vektor $ \vec{a} $ dan panjangnnya.
*). Menentukan vektor $ \vec{a} $ :
$ \begin{align} \vec{a} & = 3\vec{p} + 2\vec{q} \\ & = 3(2, -1 , 1) + 2(0, 1, - 3) \\ & = (6, -3 , 3) + (0, 2, - 6) \\ & = (6 + 0, -3 + 2 , 3 + (-6) ) \\ & = (6, -1 , -3) \end{align} $
Jadi, vektor $ \vec{a} = (6, -1 , -3) $
*). Menentukan panjang vektor $ \vec{a} $ :
$ |\vec{a}| = \sqrt{6^2 + (-1)^2 + (-3)^2} = \sqrt{36 + 1 + 9} = \sqrt{46} $
Jadi, panjang vektor $ \vec{a} $ adalah $ \sqrt{46} $.

4). DIketahui vektor $ \vec{a} = (-2, 1, 3 ) $ , $ \vec{b} = (1, -1 , -1 ) $ dan $ \vec{c}=(-3, 1, 5 ) $. Jika skalar $ m $ dan $ n $ memenuhi bentuk $ m\vec{a} - n\vec{b} = \vec{c} $, maka tentukan nilai $ (m + n)^2017 - 1 $!
Penyelesaian :
*). Menyusun persamaan dengan aturan perkalian vektor dengan skalar dan operasi pengurangan vektor :
$ \begin{align} m\vec{a} - n\vec{b} & = \vec{c} \\ m(-2, 1, 3 )- n(1, -1 , -1 )& = (-3, 1, 5 ) \\ (-2m, m, 3m )- (n, -n , -n )& = (-3, 1, 5 ) \\ (-2m - n, m -(-n), 3m - (-n) ) & = (-3, 1, 5 ) \\ (-2m - n, m +n, 3m+n ) & = (-3, 1, 5 ) \end{align} $
Kita peroleh sistem persamaan :
$ -2m - n = -3 \, $ .....(i)
$ m +n = 1 \, $ .....(ii)
dan $ 3m + n = 5 \, $ .....(iii)
*). Untuk menentukan nilai $ m $ dan $ n $, kita bebas menyelesaikan persamaan manapun. Misalkan kita selesaikan pers (i) dan pers(ii) dengan eliminasi :
$ \begin{array}{cc} -2m - n = -3 & \\ m +n = 1 & + \\ \hline -m = -2 & \\ m = 2 & \end{array} $
pers(ii): $ m +n = 1 \rightarrow 2 +n = 1 \rightarrow n = -1 $.
Coba kita cek ke pers(ii) dengan nilai $ m = 2 $ dan $ n = -1 $
$ 3m + n = 5 \rightarrow 3.2 + (-1)= 5 \rightarrow 5 = 5 \, $ (BENAR).
*). Menentukan nilai $ (m + n)^2017 - 1 $
$ (m + n)^2017 - 1 = (2 + (-1))^2017 - 1 = (1)^2017 - 1 = 1 - 1 = 0 $
Jadi, nilai $ (m + n)^2017 - 1 = 0 $.

5). DIketahui vektor $ \vec{p}=(3x-3, 1-x,2x-2) $ dan $ \vec{q} = (3, -1, 2) $. Jika vektor $ \vec{p} $ kelipatan dari vektor $ \vec{q} $, searah dan diperpanjang, maka tentukan interval nilai $ x $ dimana $ x $ adalah skalar bilangan real!
Penyelesaian :
*). Karena $ \vec{p} $ kelipatna dari $ \vec{q} $ , maka dapat kita tulis $ \vec{p} = k\vec{q} $.
$ \begin{align} \vec{p} = k\vec{q} \\ (3x-3, 1-x,2x-2) & = k(3, -1, 2) \\ ((x-1).3, (x-1).(-1),(x-1).2) & = k(3, -1, 2) \\ (x-1)(3, -1,2) & = k(3, -1, 2) \end{align} $
Artinya kita peroleh $ k = x - 1 $.
*). Syarat searah dan diperpanjang adalah $ k > 1 $
Sehingga $ k > 1 \rightarrow x-1 > 1 \rightarrow x > 2 $.
Jadi, interval nilai $ x $ yang memenuhi adalah $ x > 2 $

6). Pada segienam beraturan ABCDEF, jika $ \vec{AB} = \vec{u} $ dan $ \vec{AF} = \vec{v} $ maka nyatakan penjumlahan vektor berikut dalam vektor $ \vec{u} $ dan $ \vec{v} $ :
a). $ \vec{AC} , \vec{AD}, \vec{AE} $
b). $ \vec{AC} + \vec{AD} + \vec{AE} $
c). $ \vec{FB} , \vec{DB} $
d). $ \vec{FB} + \vec{DB} $
e). $ \vec{FB} - \vec{DB} $
Penyelesaian :
*). Misalkan gambar segienam ABCDEF beraturan sebagai berikut :
*). Menentukan vektor masing-masing dalam vektor $ \vec{u} $ dan $ \vec{v} $ dengan konsep penjumlahan pada vektor yaitu berangkat dari titik pangkal dan berakhir di titik ujung vektor. Karena ABCDEF adalah segienam beraturan, maka semua panjang garis-garis sama sehingga tinggal melihat arah vektornya. Jika sejajar dan arahnya sama maka vektor tersebut sama. Perhatikan gambar (i).
a). $ \vec{AC} , \vec{AD}, \vec{AE} $
-). Menentukan $ \vec{AC} $ :
vektor $ \vec{FO} = \vec{OC} = \vec{AB} = \vec{u} $
$ \vec{AC} = \vec{AF}+\vec{FO}+\vec{OC} = \vec{v}+\vec{u}+\vec{u}=2\vec{u}+\vec{v} $
-). Menentukan $ \vec{AD} $ :
vektor $ \vec{FO} = \vec{AB} = \vec{u} $
$ \vec{AD} = 2\vec{AO} = 2(\vec{AF}+\vec{FO}) = 2(\vec{v}+\vec{u})=2\vec{u}+2\vec{v} $
-). Menentukan $ \vec{AE} $ :
vektor $ \vec{OE} = \vec{AF} = \vec{v} $
$ \vec{AE} = \vec{AO} + \vec{OE} = (\vec{AF}+\vec{FO}) + \vec{AF} = (\vec{v}+\vec{u}) + \vec{v} = \vec{u}+2\vec{v} $

b). Menentukan $ \vec{AC} + \vec{AD} + \vec{AE} $
$ \begin{align} & \vec{AC} + \vec{AD} + \vec{AE} \\ & = (2\vec{u}+\vec{v})+(2\vec{u}+2\vec{v})+(\vec{u}+2\vec{v}) \\ & = 5\vec{u} + 5\vec{v} \\ & = 5(\vec{u} + \vec{v} ) \end{align} $

Perhatikan gambar (ii) :
c). $ \vec{FB} $ dan $ \vec{DB} $
-). Menentukan $ \vec{FB} $ :
vektor $ \vec{FA} = -\vec{AF} = -\vec{v} $
$ \vec{FB} = \vec{FA}+\vec{AB}) = -\vec{v}+\vec{u} = \vec{u} - \vec{v} $
-). Menentukan $ \vec{DB} $ :
vektor $ \vec{DE} = -\vec{AB} = -\vec{u} $
vektor $ \vec{EO} = \vec{OB} = \vec{FA} = -\vec{v} $
$ \vec{DB} = \vec{DE}+2\vec{EO} = -\vec{u}+2(-\vec{v}) = -\vec{u} - 2\vec{v} $

d). Menentukan $ \vec{FB} + \vec{DB} $
$ \vec{FB} + \vec{DB} = (\vec{u} - \vec{v}) + (-\vec{u} - 2\vec{v}) = -3\vec{v} $

e). Menentukan $ \vec{FB} - \vec{DB} $
$ \vec{FB} - \vec{DB} = (\vec{u} - \vec{v}) - (-\vec{u} - 2\vec{v}) = 2\vec{u} + \vec{v} $

7). Diketahui segitiga ABC dengan titik P ditengah AC dan Q pada BC sehingga $ BQ = QC $. Jika $ \vec{AB} = \vec{c} $ , $ \vec{AC} = \vec{b} $ , dan $ \vec{BC} = \vec{a} $ , maka nyatakan vektor $ \vec{PQ} $ dalam $ \vec{a} $ , $ \vec{b} $ dan $ \vec{c} $.
Penyelesaian :
*). Perhatikan ilustrasi gambarnya berikut ini,
*). Untuk menyelesaikan soal nomor 7 ini, ada dua cara mudah yaitu :

Cara I :
*). DIketahui beberapa vektor :
$ \vec{AB} = \vec{AC} + \vec{CB} \rightarrow \vec{c} = \vec{b} + (-\vec{a}) $
$ \rightarrow \vec{c} = \vec{b} -\vec{a} $
$ \vec{PA} = \frac{1}{2}\vec{CA} = \frac{1}{2}(-\vec{b}) = -\frac{1}{2}\vec{b} $
$ \vec{BQ} = \frac{1}{2}\vec{BC} = \frac{1}{2}\vec{a} $
*). Menentukan vektor $ \vec{PQ} $ :
$ \begin{align} \vec{PQ} & = \vec{PA} + \vec{AB} + \vec{BQ} \\ & = -\frac{1}{2}\vec{b} + \vec{c} + \frac{1}{2}\vec{a} \\ & = -\frac{1}{2}\vec{b} + (\vec{b} -\vec{a}) + \frac{1}{2}\vec{a} \\ & = \frac{1}{2}\vec{b} - \frac{1}{2}\vec{a} \\ & = \frac{1}{2}( -\vec{a} + \vec{b} ) \end{align} $
Jadi, vektor $ \vec{PQ} = \frac{1}{2}( -\vec{a} + \vec{b} ) $.

Cara II :
*). Beberapa vektor diketahui :
$ \vec{PC} = \frac{1}{2}\vec{AC} = \frac{1}{2}\vec{b} $
$ \vec{CQ} = \frac{1}{2}\vec{CB} = \frac{1}{2}(-\vec{a}) = -\frac{1}{2}\vec{a} $
*). Menentukan vektor $ \vec{PQ} $ :
$ \begin{align} \vec{PQ } & = \vec{PC} + \vec{CQ} \\ & = \frac{1}{2}\vec{b} + ( -\frac{1}{2}\vec{a} ) \\ & = -\frac{1}{2}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b} \\ & = \frac{1}{2}( -\vec{a} + \vec{b} ) \end{align} $
Jadi, vektor $ \vec{PQ} = \frac{1}{2}( -\vec{a} + \vec{b} ) $.

8). Pada bidang empat OABC, N merupakan titik tengah BC. Jika vektor $ \vec{OA} $ , $ \vec{OB} $ , $ \vec{AC} $ berturut-turut dinyatakan dengan $ \vec{a} $ , $ \vec{b} $ , dan $ \vec{c} $, maka vektor $ \vec{NA} $ dapat dinyatakan sebagai?
Penyelesaian :
*). Perhatikan ilustrasi gambar berikut ini,
*). Menentukan beberapa vektor :
$ \vec{BA} = \vec{BO} + \vec{OA} = -\vec{b} + \vec{a} $
$ \vec{CB} = \vec{CO} + \vec{OB} = -\vec{c} + \vec{b} $
$ \vec{NB} = \frac{1}{2}\vec{CB} = \frac{1}{2}(-\vec{c} + \vec{b}) = -\frac{1}{2}\vec{c} + \frac{1}{2}\vec{b} $
*). Menentukan vektor $ \vec{NA} $ :
$ \begin{align} \vec{NA} & =\vec{NB} + \vec{BA} \\ & =-\frac{1}{2}\vec{c} + \frac{1}{2}\vec{b} + (-\vec{b} + \vec{a}) \\ & = \vec{a} -\frac{1}{2}\vec{b} -\frac{1}{2}\vec{c} \end{align} $
Jadi, kita peroleh $ \vec{NA} = \vec{a} -\frac{1}{2}\vec{b} -\frac{1}{2}\vec{c} $ .

       Demikian pembahasan materi Perkalian Vektor dengan Skalar dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan "sifat-sifat operasi penjumlahan dan pengurangan vektor".

Tidak ada komentar:

Posting Komentar