Penjumlahan dan pengurangan vektor secara Aljabar
Secara aljabar, penjumlahan dan pengurangan dua vektor dilakukan dengan menjumlahkan unsur-unsur yang seletak.
$ \spadesuit \, $ vektor di dimensi dua (R$^2$)
Misalkan terdapat vektor $ \vec{a} = (a_1, \, a_2) $ dan $ \vec{b} = (b_1, \, b_2) $, maka
$ \vec{a} + \vec{b} = (a_1 + b_1, \, a_2 + b_2) $ dan $ \vec{a} - \vec{b} = (a_1 - b_1, \, a_2 - b_2) $
$ \clubsuit \, $ vektor di dimensi tiga (R$^3$)
Misalkan terdapat vektor $ \vec{a} = (a_1, \, a_2, \, a_3) $ dan $ \vec{b} = (b_1, \, b_2, \, b_3) $, maka
$ \vec{a} + \vec{b} = (a_1 + b_1, \, a_2 + b_2 , \, a_3 + b_3) $ dan
$ \vec{a} - \vec{b} = (a_1 - b_1, \, a_2 - b_2, \, a_3 - b_3) $
$ \spadesuit \, $ vektor di dimensi dua (R$^2$)
Misalkan terdapat vektor $ \vec{a} = (a_1, \, a_2) $ dan $ \vec{b} = (b_1, \, b_2) $, maka
$ \vec{a} + \vec{b} = (a_1 + b_1, \, a_2 + b_2) $ dan $ \vec{a} - \vec{b} = (a_1 - b_1, \, a_2 - b_2) $
$ \clubsuit \, $ vektor di dimensi tiga (R$^3$)
Misalkan terdapat vektor $ \vec{a} = (a_1, \, a_2, \, a_3) $ dan $ \vec{b} = (b_1, \, b_2, \, b_3) $, maka
$ \vec{a} + \vec{b} = (a_1 + b_1, \, a_2 + b_2 , \, a_3 + b_3) $ dan
$ \vec{a} - \vec{b} = (a_1 - b_1, \, a_2 - b_2, \, a_3 - b_3) $
Contoh Soal Penjumlahan dan pengurangan vektor secara Aljabar
1). Diketahui vektor $ \vec{p} = \left( \begin{matrix} 2 \\ -1 \\ -3 \end{matrix} \right) $ , $ \vec{q} = \left( \begin{matrix} -1 \\ 0 \\ 5 \end{matrix} \right) $ dan $ \vec{r} = \left( \begin{matrix} -2 \\ 3 \\ -1 \end{matrix} \right) $. Tentukan :
a). $ \vec{p} + \vec{q} $
b). $ \vec{p} - \vec{q} $
c). $ \vec{p} + \vec{q} + \vec{r} $
d). $ \vec{p} - \vec{q} - \vec{r} $
Penyelesaian :
a). Menentukan $ \vec{p} + \vec{q} $
$ \begin{align} \vec{p} + \vec{q} & = \left( \begin{matrix} 2 \\ -1 \\ -3 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} -1 \\ 0 \\ 5 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 2 + (-1) \\ -1 + 0 \\ -3 + 5 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{matrix} \right) \end{align} $
b). Menentukan $ \vec{p} - \vec{q} $
$ \begin{align} \vec{p} - \vec{q} & = \left( \begin{matrix} 2 \\ -1 \\ -3 \end{matrix} \right) - \left( \begin{matrix} -1 \\ 0 \\ 5 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 2 - (-1) \\ -1 - 0 \\ -3 - 5 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 3 \\ -1 \\ -8 \end{matrix} \right) \end{align} $
c). Menentukan $ \vec{p} + \vec{q} + \vec{r} $
$ \begin{align} \vec{p} + \vec{q} & = \left( \begin{matrix} 2 \\ -1 \\ -3 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} -1 \\ 0 \\ 5 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} -2 \\ 3 \\ -1 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 2 + (-1) + (-2) \\ -1 + 0 + 3 \\ -3 + 5 + (-1) \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -1 \\ 2 \\ 1 \end{matrix} \right) \end{align} $
d). Menentukan $ \vec{p} - \vec{q} - \vec{r} $
$ \begin{align} \vec{p} - \vec{q} - \vec{r} & = \left( \begin{matrix} 2 \\ -1 \\ -3 \end{matrix} \right) - \left( \begin{matrix} -1 \\ 0 \\ 5 \end{matrix} \right) - \left( \begin{matrix} -2 \\ 3 \\ -1 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 2 - (-1) - (-2) \\ -1 - 0 - 3 \\ -3 - 5 - (-1) \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 5 \\ -4 \\ -7 \end{matrix} \right) \end{align} $
2). Diketahui vektor $ \vec{a} = \left( \begin{matrix} 1 \\ -3 \\ 2 \end{matrix} \right) $ dan $ \vec{b} = \left( \begin{matrix} 2 \\ -2 \\ -5 \end{matrix} \right) $. Tentukan :
a). $ \vec{a} + \vec{b} $
b). panjang vektor $ \vec{a} + \vec{b} $
c). vektor satuan dari $ \vec{a} + \vec{b} $
d). tuliskan $ \vec{a} + \vec{b} $ dalam vektor basis
e). nilai $ |\vec{a}| + |\vec{b}| $
f). nilai $ |\vec{a}| - |\vec{b}| $
Penyelesaian :
a). Menentukan penjumlahan $ \vec{a} + \vec{b} $
$ \begin{align} \vec{a} + \vec{b} & = \left( \begin{matrix} 1 \\ -3 \\ 2 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 2 \\ -2 \\ -5 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 1 + 2 \\ -3 + (-2) \\ 2 + (-5) \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 3 \\ -5 \\ -3 \end{matrix} \right) \end{align} $
b). panjang vektor $ \vec{a} + \vec{b} $
$ \begin{align} | \vec{a} + \vec{b} | & = \sqrt{3^2 + (-5)^2 + (-3)^2} \\ & = \sqrt{9 + 25 + 9} \\ & = \sqrt{43} \end{align} $
Jadi, panjang vektor $ \vec{a} + \vec{b} $ adalah $ \sqrt{43} $.
c). vektor satuan dari $ \vec{a} + \vec{b} $
$ \begin{align} \vec{e} & = \frac{1}{| \vec{a} + \vec{b} | } (\vec{a} + \vec{b} ) \\ & = \frac{1}{\sqrt{43}} \left( \begin{matrix} 3 \\ -5 \\ -3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} \frac{3}{\sqrt{43}} \\ -\frac{5}{\sqrt{43}} \\ -\frac{3}{\sqrt{43}} \end{matrix} \right) \end{align} $
Jadi, vektor satuannya adalah $ \left( \begin{matrix} \frac{3}{\sqrt{43}} \\ -\frac{5}{\sqrt{43}} \\ -\frac{3}{\sqrt{43}} \end{matrix} \right) $.
d). tuliskan $ \vec{a} + \vec{b} $ dalam vektor basis
Penulisannya adalah :
$ \vec{a} + \vec{b} = 3\vec{i} -5\vec{j}-\vec{3} $
e). nilai $ |\vec{a}| + |\vec{b}| $
$ \begin{align} |\vec{a}| + |\vec{b}| & = \sqrt{1^2+(-3)^2+2^2} + \sqrt{2^2+(-2)^2+(-5)^2} \\ & = \sqrt{1 + 9 + 4} + \sqrt{4 + 4 + 25} \\ & = \sqrt{14} + \sqrt{33} \end{align} $
f). nilai $ |\vec{a}| - |\vec{b}| $
$ \begin{align} |\vec{a}| - |\vec{b}| & = \sqrt{1^2+(-3)^2+2^2} - \sqrt{2^2+(-2)^2+(-5)^2} \\ & = \sqrt{1 + 9 + 4} - \sqrt{4 + 4 + 25} \\ & = \sqrt{14} - \sqrt{33} \end{align} $
3). Diketahui vektor-vektor $ \vec{a} = \left( \begin{matrix} -1 \\ 1 \\ 2 \end{matrix} \right) $ , $ \vec{b} =\left( \begin{matrix} -3 \\ -2 \\ 1 \end{matrix} \right) $ dan $ \vec{c}=\left( \begin{matrix} x-1 \\ y-3 \\ z + 1 \end{matrix} \right) $. Jika vektor-vektor tersebut memenuhi $ \vec{a} + \vec{c} = \vec{b} - \vec{a} $ , tentukanlah :
a). vektor $ \vec{c} $,
b). nilai $ x + y + z $
c). panjang vektor $ \vec{c} $
Penyelesaian :
a). vektor $ \vec{c} $,
Menentukan vektor $ \vec{c} $ dengan operasi penjumlahan dan pengurangan vektor
$ \begin{align} \vec{a} + \vec{c} & = \vec{b} - \vec{a} \\ \vec{c} & = \vec{b} - \vec{a} - \vec{a} \\ & = \left( \begin{matrix} -3 \\ -2 \\ 1 \end{matrix} \right) - \left( \begin{matrix} -1 \\ 1 \\ 2 \end{matrix} \right) - \left( \begin{matrix} -1 \\ 1 \\ 2 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -3-(-1)-(-1) \\ -2-1-1 \\ 1-2-2 \end{matrix} \right) \\ \vec{c} & = \left( \begin{matrix} -1 \\ -4 \\ -3 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x-1 \\ y-3 \\ z + 1 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} -1 \\ -4 \\ -3 \end{matrix} \right) \end{align} $
Kita peroleh vektor $ \vec{c} = \left( \begin{matrix} -1 \\ -4 \\ -3 \end{matrix} \right) $
b). nilai $ x + y + z $
dari kesamaan vektor bagian (a), kita peroleh :
$ x-1 = -1 \rightarrow x = 0 $
$ y - 3 = -4 \rightarrow y = -1 $
$ z + 1 = -3 \rightarrow z = - 4 $.
Sehingga nilai
$ x + y + z = 0 + (-1) + (-4) = -5 $.
c). panjang vektor $ \vec{c} $
$ |\vec{c}| = \sqrt{(-1)^2 + (-4)^2 + (-3)^2} = \sqrt{1 + 16 + 9 } = \sqrt{26} $.
4). Dengan konsep penjumlahan dan pengurangan vektor, tentukan nilai $ x^{-y} + y^x - 16 $ jika diketahui vektor-vektor $ \vec{p} = \left( \begin{matrix} x-1 \\ 3 \end{matrix} \right) $ , $ \vec{q} = \left( \begin{matrix} y \\ x - y \end{matrix} \right) $, $ \vec{r} = \left( \begin{matrix} 7 \\ -7 \end{matrix} \right) $ dan memenuhi $ \vec{p} - \vec{q} = \vec{r} + \vec{q} $!
Penyelesaian :
*). Menentukan nilai $ x $ dan $ y $ berdasarkan kesamaan dua vektor :
$ \begin{align} \vec{p} - \vec{q} & = \vec{r} + \vec{q} \\ \left( \begin{matrix} x-1 \\ 3 \end{matrix} \right) - \left( \begin{matrix} y \\ x - y \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 7 \\ -7 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} y \\ x - y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x-1 - y \\ 3 - (x - y) \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 7 + y \\ -7 + x - y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x-1 - y \\ -x + y + 3 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 7 + y \\ -7 + x - y \end{matrix} \right) \end{align} $
*). Dari kesamaan dua vektor di atas kita peroleh :
$ x - 1 - y = 7 + y \rightarrow x - 2y = 8 \, \, $ ....pers(i)
$ -x + y + 3 = -7 + x - y \rightarrow -2x + 2y = -10 \, \, $ ....pers(ii)
*). Eliminasi pers(i) dan pers(ii) untuk menentukan nilai $ x $ dan $ y $ :
$ \begin{array}{cc} x - 2y = 8 & \\ -2x + 2y = -10 & + \\ \hline -x = -2 & \\ x = 2 & \end{array} $
Pers(ii) : $ -2x + 2y = -10 \rightarrow -2.2 + 2y = -10 \rightarrow y = -3 $
Kita peroleh nilai $ x = 2 $ dan $ y = -3 $.
*). Menentukan nilai $ x^{-y} + y^x $ :
$ \begin{align} x^{-y} + y^x - 16 & = 2^{-(-3)} + (-3)^2 - 16 \\ & = 2^3 + 3^2 -16 \\ & = 8 + 9 -16 = 1 \end{align} $.
Jadi, nilai $ x^{-y} + y^x - 16 = 1 . \, \heartsuit $
Penjumlahan dan pengurangan vektor secara Geometri
Penjumlahan dan pengurangan vektor secara geometri dapat kita lakukan dengan dua cara yaitu dengan
aturan segitiga dan aturan jajargenjang.
$\spadesuit \, $ Penjumlahan dua vektor
$\heartsuit \, $ Aturan Segitiga
Aturan segitiga adalah penyusunan vektor pertama sedemikian sehingga ujungnnya bertemu dengan pangkal vektor kedua, hasil penjumlahan kedua vektor adalah dari pangkal vektor pertama sampai ujung vektor kedua. Misalkan terdapat vektor $ \vec{a} $ dan vektor $ \vec{b} $ dengan hasil penjumlahannya adalah $ \vec{c} $ yang dapat kita tulis $ \vec{a} + \vec{b} = \vec{c} $ seperti ilustrasi gambar berikut ini :
$\heartsuit \, $ Aturan Jajargenjang
Aturan jajargenjang adalah penyusunan vektor pertama dan vektor kedua dimana kedua ujungnya bertemu, kemudian kita buat vektor $ \vec{a} $ yang sejajar dengan vektor $ \vec{b} $ dan vektor $ \vec{b} $ yang sejajar dengan $ \vec{a} $ yang kita susun sehingga membentuk bangun datar jajargenjang, hasil penjumlahannya adalah vektor dari titik pangkal kedua vektor kearah titik sudut yang berhadapan dengan titik pangkal kedua vektor tersebut. Berikut ilustrasinya :
$\clubsuit \, $ Pengurangan dua vektor
Pengurangan vektor pengerjaannya mirip dengan penjumlahan dan yang termudah kita gunakan aturan segitiga. Misalkan vektor $ \vec{a} $ dikurangkan vektor $ \vec{b} $ dapat kita tulis $ \vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b}) $ dengan $ -\vec{b} $ berlawanan arah dengan vektor $ \vec{b} $. Berikut ilustrasinya :
$\spadesuit \, $ Penjumlahan dua vektor
$\heartsuit \, $ Aturan Segitiga
Aturan segitiga adalah penyusunan vektor pertama sedemikian sehingga ujungnnya bertemu dengan pangkal vektor kedua, hasil penjumlahan kedua vektor adalah dari pangkal vektor pertama sampai ujung vektor kedua. Misalkan terdapat vektor $ \vec{a} $ dan vektor $ \vec{b} $ dengan hasil penjumlahannya adalah $ \vec{c} $ yang dapat kita tulis $ \vec{a} + \vec{b} = \vec{c} $ seperti ilustrasi gambar berikut ini :
$\heartsuit \, $ Aturan Jajargenjang
Aturan jajargenjang adalah penyusunan vektor pertama dan vektor kedua dimana kedua ujungnya bertemu, kemudian kita buat vektor $ \vec{a} $ yang sejajar dengan vektor $ \vec{b} $ dan vektor $ \vec{b} $ yang sejajar dengan $ \vec{a} $ yang kita susun sehingga membentuk bangun datar jajargenjang, hasil penjumlahannya adalah vektor dari titik pangkal kedua vektor kearah titik sudut yang berhadapan dengan titik pangkal kedua vektor tersebut. Berikut ilustrasinya :
$\clubsuit \, $ Pengurangan dua vektor
Pengurangan vektor pengerjaannya mirip dengan penjumlahan dan yang termudah kita gunakan aturan segitiga. Misalkan vektor $ \vec{a} $ dikurangkan vektor $ \vec{b} $ dapat kita tulis $ \vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b}) $ dengan $ -\vec{b} $ berlawanan arah dengan vektor $ \vec{b} $. Berikut ilustrasinya :
Catatan :
*). Untuk memudahkan dalam menentukan hasil penjumlahan secara geometri yaitu pada intinya berangkat dari titik pangkal mengikuti arah vektor lain sehingga bertemu di titik ujung vektor yang kita cari hasilnya. Misalkan kita akan mencari vektor $ \vec{AF} $ , artinya kita berjalan dari titik pangkal A mengikuti arah vektor lain sehingga pada akhirnya bertemu di titik ujung F. Misalkan diketahui vektor-vektor lain seperti gambar berikut ini:
$ \vec{AF} = \vec{AB} +\vec{BC}+\vec{CD}+\vec{DE}+\vec{EF} $ atau
$ \vec{AF} = \vec{AB} + \vec{BF} $ atau
$ \vec{AF} = \vec{AB} +\vec{BD}+\vec{DF} $ atau
$ \vec{AF} = \vec{AB} +\vec{BE}+\vec{EF} $ atau
$ \vec{AF} = \vec{AC} +\vec{CE}+\vec{EF} $ atau
$ \vec{AF} = \vec{AC} +\vec{CD}+\vec{DF} $ atau
$ \vec{AF} = \vec{AC} +\vec{CD}+\vec{DE} + \vec{EF} $.
Hasilnya akan sama untuk memperoleh vektor $ \vec{AF} $.
Namun, teman-teman harus pilih jalur mana yang lebih efektif dan jalur mana yang diketahui untuk memudahkan dalam penghitungannya.
*). Dari operasi penjumlahan vektor dengan aturan segitiga ini maka sebenarnya bentuk $ \vec{AB} $ bukan langsung kita peroleh dari pengurangan antara dua titik, melainkan dari penguangan dua buah vektor posisi yaitu :
$ \begin{align} \vec{AB} & = \vec{AO} + \vec{OB} \\ \vec{AB} & = -\vec{OA} + \vec{OB} \\ \vec{AB} & = \vec{OB} -\vec{OA} \end{align} $
Contoh soal Penjumlahan dan pengurangan vektor secara Geometri
5). Perhatikan gambar vektor-vektor berikut
$ \vec{b} + \vec{c} , \, \vec{d} + \vec{e} , \, $ dan $ \vec{b} + \vec{d} + \vec{e} $ !
Penyelesaian :
*). Hasil penjumlahan masing-masing adalah dari titik awal berangkat sampai titik akhir berhenti. Sehingga kita peroleh hasil-hasil :
$ \vec{b} + \vec{c} = \vec{a} $
$ \vec{d} + \vec{e}= \vec{c} $
$ \vec{b} + \vec{d} + \vec{e} = \vec{a} $
6). Tentukan hasil penjumlahan vektor-vektor berikut berdasarkan gambar berikut ini.
b). $ \vec{b} + \vec{f} $
c). $ \vec{a} + \vec{e} + \vec{g} $
d). $ \vec{c} + \vec{i} - \vec{h} $
e). $ \vec{a} + \vec{h} - \vec{i} $
Penyelesaian :
*). Hasil penjumlahan dan pengurangan vektor caranya sama yaitu dari titik awal berangkat sampai titik akhir berhenti, hanya saja untuk pengurangan arah vektornya berlawanan dari arah semula. Berikut hasil masing-masing :
a). $ \vec{b} + \vec{d} = \vec{a} $
b). $ \vec{b} + \vec{f} = \vec{c} $
c). $ \vec{a} + \vec{e} + \vec{g} = \vec{c} $
d). $ \vec{c} + \vec{i} - \vec{h} = \vec{a} $
e). $ \vec{a} + \vec{h} - \vec{i} = \vec{c} $
7). Diketahui vektor-vektor :
a). $ \vec{a} + \vec{b} $
b). $ \vec{b} + \vec{a} $
c). $ \vec{b} + \vec{c} $
d). $ \vec{a} + \vec{c} $
e). $ \vec{a} - \vec{b} $
f). $ \vec{b} - \vec{a} $
g). $ \vec{b} - \vec{c} $
h). $ \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} $
i). $ \vec{a} + \vec{b} - \vec{c} $
j). $ \vec{a} - \vec{b} - \vec{c} $
Penyelesaian :
*). Untuk memudahkan dalam menjumlahkan atau mengurangkan vektor, sebaiknya kita gunakan aturan segitiga. Berikut hasil masing-masing.
8). Jika vektor $ \vec{AB} = \left( \begin{matrix} -2 \\ 1 \\ 3 \end{matrix} \right) $ dan $ \vec{AC} = \left( \begin{matrix} -1 \\ 3 \\ 1 \end{matrix} \right) $ serta koordinan titik $ B(1, 0, -2) $, maka tentukan vektor satuan dari $ \vec{BC} $!
Penyelesaian :
Cara I : Dengan definisi vektor,
*). Menentukan koordinat titik A :
$ \begin{align} \vec{AB} & = \left( \begin{matrix} -2 \\ 1 \\ 3 \end{matrix} \right) \\ \vec{OB} - \vec{OA} & = \left( \begin{matrix} -2 \\ 1 \\ 3 \end{matrix} \right) \\ \vec{OA} & = \vec{OB} - \left( \begin{matrix} -2 \\ 1 \\ 3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{matrix} \right) - \left( \begin{matrix} -2 \\ 1 \\ 3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 1 - (-2) \\ 0 - 1 \\ -2 - 3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 3 \\ - 1 \\ -5 \end{matrix} \right) \end{align} $
Koordinat titik $ A(3, -1 , -5 ) $.
*). Menentukan koordinat titik C
$ \begin{align} \vec{AC} & = \left( \begin{matrix} -1 \\ 3 \\ 1 \end{matrix} \right) \\ \vec{OC} - \vec{OA} & = \left( \begin{matrix} -1 \\ 3 \\ 1 \end{matrix} \right) \\ \vec{OC} & = \left( \begin{matrix} -1 \\ 3 \\ 1 \end{matrix} \right) + \vec{OA} \\ & = \left( \begin{matrix} -1 \\ 3 \\ 1 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 3 \\ - 1 \\ -5 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -1 + 3 \\ 3 + (-1) \\ 1 + (-5) \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 2 \\ 2 \\ -4 \end{matrix} \right) \end{align} $
Koordinat titik $ C(2,2,-4) $.
*). Menentukan vektor $ \vec{BC} $ :
$ \vec{BC} = \vec{OC} - \vec{OB} = \left( \begin{matrix} 2 \\ 2 \\ -4 \end{matrix} \right) - \left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ -2 \end{matrix} \right) $.
*). Menentukan vektor satuan dari vektor $ \vec{BC} $ :
$ \begin{align} \vec{e} & = \frac{1}{|\vec{BC}|} \vec{BC} \\ & = \frac{1}{\sqrt{1^2 + 2^2 + (-2)^2}} \left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ -2 \end{matrix} \right) \\ & = \frac{1}{\sqrt{1 +4 + 4}} \left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ -2 \end{matrix} \right) \\ & = \frac{1}{\sqrt{9}} \left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ -2 \end{matrix} \right) = \frac{1}{3} \left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ -2 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} \frac{1}{3} \\ \frac{2}{3} \\ -\frac{2}{3} \end{matrix} \right) \end{align} $
Jadi, vektor satuan dari $ \vec{BC} $ adalah $ \left( \begin{matrix} \frac{1}{3} \\ \frac{2}{3} \\ -\frac{2}{3} \end{matrix} \right) $.
Cara II : Menggunakan operasi penjumlahan dan pengurangan vektor,
*). Menentukan vektor $ \vec{BA} $ :
Diketahui $ \vec{AB} = \left( \begin{matrix} -2 \\ 1 \\ 3 \end{matrix} \right) $ , sehingga
$ \vec{BA} = -\vec{AB} = -\left( \begin{matrix} -2 \\ 1 \\ 3 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 2 \\ -1 \\ -3 \end{matrix} \right) $
*). Menentukan vektor $ \vec{BC} $ dengan operasi penjumlahan vektor :
$ \begin{align} \vec{BC} & = \vec{BA} + \vec{AC} \\ & = \left( \begin{matrix} 2 \\ -1 \\ -3 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} -1 \\ 3 \\ 1 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 2 + (-1)\\ -1 + 3 \\ -3 + 1 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ -2 \end{matrix} \right) \end{align} $
Kita peroleh vektor $ \vec{BC} = \left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ -2 \end{matrix} \right) $ sama dengan cara I di atas. Selanjutnya untuk menentukan vektor satuan dari vektor $ \vec{BC} $ itu sama dengan cara I di atas.
9). Pada balok ABCD.EFGH, vetor $ \vec{p} $ mewakili garis AB, vektor $ \vec{q} $ mewakili garis AD dan vektor $ \vec{r} $ mewakili ruas garis AE. Tentukan vektor-vektor yang mewakili ruas garis berikut dalam vektor $ \vec{p} $ , $ \vec{q} $ , dan $ \vec{r} $
a). ruas garis AC,
b). ruas garis BD,
c). ruas garis BG,
d). ruas garis AG,
e). ruas garis HB.
Penyelesaian :
*). Perhatikan ilustrasi gambar baloknya,
$ \vec{DC} = \vec{EF} = \vec{HG} = \vec{p} $
$ \vec{BC} = \vec{EH} = \vec{FG} = \vec{q} $
$ \vec{BF} = \vec{CG} = \vec{DH} = \vec{r} $
*). Menentukan masing-masing vektor dengan operasi penjumlahan dan pengurangan vektor dan vektor yang sejajar :
a). ruas garis AC,
$ \vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{p} + \vec{q} $
b). ruas garis BD,
$ \vec{BD} = \vec{BA} + \vec{AD} = -\vec{p} +\vec{q} $
c). ruas garis BG,
$ \vec{BG} = \vec{BC} + \vec{CG} = \vec{q} + \vec{r} $
d). ruas garis AG,
$ \vec{AG} = \vec{AC} + \vec{CG} = (\vec{p}+\vec{q}) + \vec{r} = \vec{p}+\vec{q} + \vec{r} $
Atau bisa juga :
$ \vec{AG} = \vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CG} = \vec{p}+\vec{q} + \vec{r} $
e). ruas garis HB.
$ \vec{HB} = \vec{HF} + \vec{FB} = -\vec{BD} + (-\vec{EA}) $
$ = -(-\vec{p} +\vec{q}) + (-\vec{r}) = \vec{p} - \vec{q} - \vec{r} $.
Atau bisa juga :
$ \vec{HB} = \vec{HE} + \vec{EF} + \vec{FB} = -\vec{q} + \vec{p} - \vec{r} = \vec{p} -\vec{q} - \vec{r} $
Demikian pembahasan materi Penjumlahan dan Pengurangan pada Vektor dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan "Perkalian Vektor dengan Skalar" dan "sifat-sifat operasi penjumlahan dan pengurangan vektor".
