Pembuktian Dalil Menelaus dan Ceva dengan Vektor

         Blog Koma - Setelah membahas salah satu aplikasi vektor yaitu "menentukan titik berat segitiga", pada artikel ini kita lanjutkan dengan aplikasi berikutnya yaitu Pembuktian Dalil Menelaus dan Ceva dengan Vektor. Sebenarnya dalil Menelaus dan Ceva sudah kita bahas pada artikel lainnya yaitu "Dalil Menelaus pada Segitiga dan Pembuktiannya" dan "Dalil Ceva pada Segitiga dan Pembuktiannya". Pada artikel tersebut, ada tiga cara untuk pembuktian dalil Menelaus yaitu menggunakan kesebangunan segitiga, luas segitiga, dan aturan sinus. Sementara pembuktian Dalil Ceva menggunakan dua cara yaitu dengan konsep luas segitiga dan dengan menerapkan dalil Menelaus. Ternyata untuk membutikan kedua dalil ini, bisa juga menggunakan konsep vektor yang akan kita jabarkan pada artikel Pembuktian Dalil Menelaus dan Ceva dengan Vektor ini. Hal-hal yang harus kita kuasai terlebih dulu agar memudahkan dalam mempelajari Pembuktian Dalil Menelaus dan Ceva dengan Vektor yaitu "pengertian vektor", "panjang vektor", "kesamaan dua vektor, sejajar, dan segaris", "penjumlahan dan pengurangan vektor", "perkalian vektor dengan skalar", dan "perbandingan vektor".

Konsep Dalil Menelaus pada Segitiga

       Diberikan sebuah segitiga ABC, titik D terletak pada garis AC dan titik E terletak pada garis BC. Kemudian titik D dan E dihubungkan membentuk garis DE. Garis AB dan DE diperpanjang sehingga keduanya berpotongan di titik F seperti nampak pada gambar berikut.

Dalil Menelaus berbunyi :
Titik D, E, dan F segaris (Kolinear)
jika dan hanya jika memenuhi $ \, \frac{BE}{EC}\times \frac{CD}{DA}\times \frac{AF}{BF} = 1 $.

$ \spadesuit \, $ Pembuktian Dalil Menelaus dengan Vektor
*). Kita akan membuktikan pernyataan dari kiri ke kanan saja yaitu
Jika titik D, E, dan F segaris (Kolinear), maka memenuhi $ \, \frac{BE}{EC}\times \frac{CD}{DA}\times \frac{AF}{BF} = 1 $.
Jika titik D, E, dan F segaris (Kolinear), maka memenuhi $ \, \frac{DE}{EF}\times \frac{FB}{BA}\times \frac{AC}{DC} = 1 $.

*). Perhatikan ilustrasi gambar berikut.

*). Kita tarik garis bantuan yaitu garis AE.
*). Untuk menentukan perbandingan garis yang diminta, kita akan kerjakan dengan menggunakan konsep perbandingan vektor.
*). Dengan konsep titik-titik segaris (kolinear) , kita peroleh perbandingan vektor :
Misalkan $ \vec{AC} = \vec{q} $ dan $ \vec{AF} = \vec{p} $.
-). Vektor $\vec{AD} $ segaris dengan $ \vec{AC} $ sehingga berlaku kelipatan :
$ \vec{AD} = x\vec{AC} \rightarrow \frac{\vec{AD}}{\vec{AC}} = \frac{x}{1} $ sehingga $ \frac{\vec{AD}}{\vec{DC}} = \frac{x}{1-x} $
-). Dengan cara yang serupa yaitu memanfaatkan bentuk segaris (kolinear), kita peroleh perbandingan vektor lainnya :
$ \vec{AB} = y\vec{AF} \rightarrow \frac{\vec{AB}}{\vec{BF}} = \frac{y}{1-y} $
$ \vec{DE} = n\vec{DF} \rightarrow \frac{\vec{DE}}{\vec{EF}} = \frac{n}{1-n} $
$ \vec{BE} = m\vec{BC} \rightarrow \frac{\vec{BE}}{\vec{EC}} = \frac{m}{1-m} $

*). Menentukan vektor $ \vec{AE} $ dengan konsep perbandingan vektor :
-). Menentukan vektor $ \vec{AE} $ dari $ \vec{DE}:\vec{EF} = n : 1-n $
$ \vec{AE} = \frac{n\vec{AF} + (1-n)\vec{AD}}{n + (1-n)} = \frac{n\vec{p} + (1-n).x\vec{q}}{1} = n\vec{p} + (x - xn) \vec{q} $.
-). Menentukan vektor $ \vec{AE} $ dari $ \vec{BE}:\vec{EC} = m : 1-m $
$ \vec{AE} = \frac{m\vec{AC} + (1-m)\vec{AB}}{m + (1-m)} = \frac{m\vec{q} + (1-m).y\vec{p}}{1} = m\vec{q} + (y-ym)\vec{p} $.
-). Kedua bentuk vektor $ \vec{AE} $ di atas sama yaitu :
$ \vec{AE} = n\vec{p} + (x - xn)\vec{q} \, $ .... (i)
$ \vec{AE} = (y - ym)\vec{p} + m\vec{q} \, $ .... (ii)
Sehingga kita peroleh kesamaan :
Koefisien $ \vec{p} \rightarrow n = (y - ym) \rightarrow n + ym = y \, $ ....(a)
Koefisien $ \vec{q} \rightarrow m = (x - xn) \rightarrow xn + m = x \, $ ....(b)

*). Menentukan $ n , m $ dalam bentuk $ x, y $ dengan menyelesaikan pers(a) dan pers(b) :
-). Eliminasi $ m $
$ \begin{array}{c|c|cc} n + ym = y & \times 1 & n + ym = y & \\ xn + m = x & \times y & xyn + ym = xy & - \\ \hline & & n(1 - xy) = y(1 - x) & \\ & & n = \frac{y(1 - x)}{(1 - xy)} & \end{array} $
Bentuk $ 1 - n = 1 - \frac{y(1 - x)}{(1 - xy)} = \frac{(1 - xy)}{(1 - xy)} - \frac{y(1 - x)}{(1 - xy)} = \frac{1 - y}{(1 - xy)} $
Sehingga perbandingan :
$ \vec{DE}:\vec{EF} = n : 1-n = \frac{y(1 - x)}{(1 - xy)} : \frac{1 - y}{(1 - xy)} = y(1-x) : (1 - y) $

-). Eliminasi $ n $
$ \begin{array}{c|c|cc} xn + m = x & \times 1 & xn + m = x & \\ n + ym = y & \times x & xn + xym = xy & - \\ \hline & & m(1 - xy) = x(1 - y) & \\ & & m = \frac{x(1 - y)}{(1 - xy)} & \end{array} $
Bentuk $ 1 - m = 1 - \frac{x(1 - y)}{(1 - xy)} = \frac{1 - xy}{(1 - xy)} - \frac{x(1 - y)}{(1 - xy)} = \frac{1 - x}{(1 - xy)} $
Sehingga perbandingan :
$ \vec{BE}:\vec{EC} = m : 1-m = \frac{x(1 - y)}{(1 - xy)} : \frac{1 - x}{(1 - xy)}= x(1-y) : (1 - x) $

*). Menentukan perbandingan dalil Menalaus :
-). Bentuk pertama :
$ \begin{align} \frac{BE}{EC}\times \frac{CD}{DA}\times \frac{AF}{BF} & = \frac{x(1-y)}{(1 - x)}\times \frac{1-x}{x}\times \frac{1}{1-y} = 1 \end{align} $
-). Bentuk Kedua :
$ \begin{align} \frac{DE}{EF}\times \frac{FB}{BA}\times \frac{AC}{DC} & = \frac{y(1-x)}{(1-y)}\times \frac{1-y}{y}\times \frac{1}{1-x} = 1 \end{align} $
Jadi, terbukti bahwa $ \frac{BE}{EC}\times \frac{CD}{DA}\times \frac{AF}{BF} = 1 $ dan $ \frac{DE}{EF}\times \frac{FB}{BA}\times \frac{AC}{DC} = 1 $.

Dalil Ceva pada Segitiga

       Terdapat sebuah segitiga ABC, titik-titik D, E, dan F masing-masing terletak pada sisi BC, sisi AC, dan sisi AF seperti gambar berikut.

Dalil Ceva berbunyi :
Garis AD, BE, dan CF berpotongan di satu titik (konkuren)
jika dan hanya jika $ \, \, \frac{AF}{FB}.\frac{BD}{DC}.\frac{CE}{EA} = 1 $.

$ \spadesuit \, $ Pembuktian Dalil Ceva dengan Vektor
*). Kita akan membuktikan pernyataan dari kiri ke kanan saja yaitu
*). Perhatikan ilustrasi gambar berikut.

*). Kita ubah bentuk gambarnya menjadi di atas ini, hal ini kita lakukan karena pembuktiannya mirip dengan pembuktian dalil Menelaus di atasnya dan agar kita tidak banyak mengubah nama-nama vektornya, sehingga yang akan kita buktikan adalah
Jika Garis AG, CB, dan FD berpotongan di satu titik (konkuren), maka $ \, \, \frac{AB}{BF}.\frac{FG}{GC}.\frac{CD}{DA} = 1 $.
atau berlaku juga perbandingan dengan arah berlawanan,
Jika Garis AG, CB, dan FD berpotongan di satu titik (konkuren), maka $ \, \, \frac{AD}{DC}.\frac{CG}{GF}.\frac{FB}{BA} = 1 $.

*). Untuk menentukan perbandingan garis yang diminta, kita akan kerjakan dengan menggunakan konsep perbandingan vektor.
*). Dengan konsep titik-titik segaris (kolinear) , kita peroleh perbandingan vektor :
Misalkan $ \vec{AC} = \vec{q} $ dan $ \vec{AF} = \vec{p} $.
-). Vektor $\vec{AD} $ segaris dengan $ \vec{AC} $ sehingga berlaku kelipatan :
$ \vec{AD} = x\vec{AC} \rightarrow \frac{\vec{AD}}{\vec{AC}} = \frac{x}{1} $ sehingga $ \frac{\vec{AD}}{\vec{DC}} = \frac{x}{1-x} $
-). Dengan cara yang serupa yaitu memanfaatkan bentuk segaris (kolinear), kita peroleh perbandingan vektor lainnya :
$ \vec{AB} = y\vec{AF} \rightarrow \frac{\vec{AB}}{\vec{BF}} = \frac{y}{1-y} $
$ \vec{DE} = n\vec{DF} \rightarrow \frac{\vec{DE}}{\vec{EF}} = \frac{n}{1-n} $
$ \vec{BE} = m\vec{BC} \rightarrow \frac{\vec{BE}}{\vec{EC}} = \frac{m}{1-m} $
$ \vec{FG} = k\vec{FC} \rightarrow \frac{\vec{FG}}{\vec{GC}} = \frac{k}{1-k} $
$ \vec{AE} = z\vec{AG} $

*). Menentukan vektor $ \vec{AE} $ dengan konsep perbandingan vektor :
-). Menentukan vektor $ \vec{AE} $ dari $ \vec{DE}:\vec{EF} = n : 1-n $
$ \vec{AE} = \frac{n\vec{AF} + (1-n)\vec{AD}}{n + (1-n)} = \frac{n\vec{p} + (1-n).x\vec{q}}{1} = n\vec{p} + (x - xn) \vec{q} $.
-). Menentukan vektor $ \vec{AE} $ dari $ \vec{BE}:\vec{EC} = m : 1-m $
$ \vec{AE} = \frac{m\vec{AC} + (1-m)\vec{AB}}{m + (1-m)} = \frac{m\vec{q} + (1-m).y\vec{p}}{1} = m\vec{q} + (y-ym)\vec{p} $.
-). Menentukan vektor $ \vec{AE} $ dari $ \vec{FG}:\vec{GC} = k : 1-k $
$ \vec{AG} = \frac{k\vec{AC} + (1-k)\vec{AF}}{k + (1-k)} = \frac{k\vec{q} + (1-k)\vec{p}}{1} = k\vec{q} + (1-k)\vec{p} $.
$ \vec{AE} = z\vec{AG} = z (k\vec{q} + (1-k)\vec{p}) = kz\vec{q} + (1-k)z\vec{p} $.
-). Ketiga bentuk vektor $ \vec{AE} $ di atas sama yaitu :
$ \vec{AE} = n\vec{p} + (x - xn)\vec{q} \, $ .... (i)
$ \vec{AE} = (y - ym)\vec{p} + m\vec{q} \, $ .... (ii)
$ \vec{AE} = (1-k)z\vec{p} + kz\vec{q} \, $ .... (iii)
-). Pers(i) dan pers(ii) , kita peroleh kesamaan :
Koefisien $ \vec{p} \rightarrow n = (y - ym) \rightarrow n + ym = y \, $ ....(a)
Koefisien $ \vec{q} \rightarrow m = (x - xn) \rightarrow xn + m = x \, $ ....(b)

*). Menentukan $ m $ dalam bentuk $ x, y $ dengan menyelesaikan pers(a) dan pers(b) dengan eliminasi :
$ \begin{array}{c|c|cc} xn + m = x & \times 1 & xn + m = x & \\ n + ym = y & \times x & xn + xym = xy & - \\ \hline & & m(1 - xy) = x(1 - y) & \\ & & m = \frac{x(1 - y)}{(1 - xy)} & \end{array} $
Bentuk $ 1 - m = 1 - \frac{x(1 - y)}{(1 - xy)} = \frac{1 - xy}{(1 - xy)} - \frac{x(1 - y)}{(1 - xy)} = \frac{1 - x}{(1 - xy)} $

*). Dari pers(ii) dan (iii) serta $ m = \frac{x(1 - y)}{(1 - xy)} $ dan $ 1 - m = \frac{1 - x}{(1 - xy)} $
-). Kita peroleh kesamaan :
$ kz = m \rightarrow z = \frac{m}{k} $
$ (y - ym) = (1-k)z \, $ .....(c)
-). Substitusi $ z = \frac{m}{k} ke bentuk (c) $
$ \begin{align} (y - ym) & = (1-k)z \\ (1 - m)y & = (1-k).\frac{m}{k} \\ (1 - m)yk & = (1-k)m \\ \frac{1 - x}{(1 - xy)} .yk & = (1-k) \frac{x(1 - y)}{(1 - xy)} \\ (1 - x) yk & = (1-k)x(1 - y) \\ \frac{k}{1-k} & = \frac{x(1 - y)}{(1 - x) y} \end{align} $

*). Menentukan perbandingan dalil Ceva :
-). Bentuk pertama :
$ \begin{align} \frac{AB}{BF}.\frac{FG}{GC}.\frac{CD}{DA} & = \frac{y}{1-y}.\frac{k}{1-k}.\frac{1-x}{x} \\ & = \frac{y}{1-y}.\frac{x(1 - y)}{(1 - x) y} .\frac{1-x}{x} \\ & = 1 \end{align} $
-). Bentuk Kedua :
$ \begin{align} \frac{AD}{DC}.\frac{CG}{GF}.\frac{FB}{BA} & = \frac{x}{1-x}.\frac{1-k}{k}.\frac{1-y}{y} \\ & = \frac{x}{1-x}.\frac{(1 - x) y}{x(1 - y)}.\frac{1-y}{y} \\ & = 1 \end{align} $
Jadi, terbukti bahwa $ \frac{AB}{BF}.\frac{FG}{GC}.\frac{CD}{DA} = 1 $ dan $ \frac{AD}{DC}.\frac{CG}{GF}.\frac{FB}{BA} = 1 $.

Untuk contoh soal yang berkaitan dengan "dalil Menelaus" dan "dalil Ceva", silahkan teman-teman baca pada artikel "Dalil Menelaus pada Segitiga dan Pembuktiannya" dan "Dalil Ceva pada Segitiga dan Pembuktiannya".

       Demikian pembahasan materi Pembuktian Dalil Menelaus dan Ceva dengan Vektor. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan "materi vektor tingkat SMA".