Kesamaan Dua Vektor, Vektor Sejajar dan Segaris

         Blog Koma - Seperti yang telah kita bahas pada materi "pengertian vektor dan penulisannya", vektor memiliki besar (panjangnya) dan arah. Hal ini sangat berkaitan erat dengan materi kesamaan dua vektor yang akan kita bahas pada artikel kali ini yaitu materi Kesamaan Dua Vektor, Vektor Sejajar dan Segaris. Hal pertama yang akan kita bahas adalah pengertian kesamaan dua vektor, yang dilanjutkan dengan pembahasan vektor-vektor yang sejajar dan terakhir adalah titik-titik yang segaris (kolinear). Untuk memudahkan mempelajari materi Kesamaan Dua Vektor, Vektor Sejajar dan Segaris, teman-teman harus menguasai beberapa materi vektor sebelumnya seperti "pengertian vektor", "panjang vektor" dan "vektor basis". Untuk sub-materi beberapa vektor yang sejajar dan sub-materi titik yang segaris (kolinear) sebenarnya memeiliki konsep yang sama yaitu menitikberatkan pada konsep kesejajaran pada vektor. Berikut penjelasan masing-masing secara lebih lengkap.

Kesamaan Dua Vektor
       Pengertian kesamaan dua buah vektor atau lebih dapar kita tinjau dari dua hal yaitu :
$\spadesuit \, $ Secara Geometri
     Dua buah vektor dikatakan sama jika kedua vektor memiliki besar (panjangnya) dan arah yang sama. Misalkan vektor $ \vec{AB} $ sama dengan vektor $ \vec{CD} $ atau kita tulis $ \vec{AB} = \vec{CD} $ seperti ilustrasi berikut ini.

$ \clubsuit \, $ Secara Aljabar
     Dua buah vektor dikatakan sama jika unsur-unsur yang bersesuaian besarnya sama (nilainya sama).
*). Vektor di R$^2 $
Misalkan $ \vec{a} = (a_1, \, a_2 ) $ dan $ \vec{b} = (b_1, \, b_2) $.
Jika $ \vec{a} = \vec{b} $ , maka $ a_1 = b_1 $ dan $ a_2 = b_2 $
*). Vektor di R$^3$
Misalkan $ \vec{a} = (a_1, \, a_2, \, a_3 ) $ dan $ \vec{b} = (b_1, \, b_2, \, b_3) $.
Jika $ \vec{a} = \vec{b} $ , maka $ a_1 = b_1 $, $ a_2 = b_2 $ dan $ a_3 = b_ 3 $

Catatan :
Secara Geometri, dua vektor meskipun tidak berimpit asalkan memiliki arah dan panjang yang sama, maka kita sebut kedua vektor tersebut sama.

Contoh soal Kesamaan Dua Vektor :

1). DIketahui titik $ A(2,-1,1) $ , $ B(1,0,3) $ , $ C(p, 1, 3) $ dan $ D(-1, q, r) $. Jika $ \vec{AB} = \vec{CD} $ , maka tentukan :
a). Koordinat titik C dan D ,
b). Nilai $ p + q + r $
Penyelesaian :
a). Koordinat titik C dan D ,
$ \begin{align} \vec{AB}& = \vec{CD} \\ B - A & = D - C \\ \left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 3 \end{matrix} \right) - \left( \begin{matrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} -1 \\ q \\ r \end{matrix} \right) - \left( \begin{matrix} p \\ 1 \\ 3 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} 1 - 2 \\ 0 - (-1) \\ 3 - 1 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} -1 - p \\ q - 1 \\ r - 3 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} -1 \\ 1 \\ 2 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} -1 - p \\ q - 1 \\ r - 3 \end{matrix} \right) \end{align} $
Dari kesamaan dua vektor, maka kita peroleh persamaan :
$ -1 = -1 - p \rightarrow p = 0 $
$ 1 = q - 1 \rightarrow q = 2 $
$ 2 = r - 3 \rightarrow r = 5 $
Sehingga koordinat titik C dan D adalah
$ C(p,1,3) = (0,1,3) $ dan $ D(-1,q,r) = (-1,2,5) $.

b). Nilai $ p + q + r $
$ p + q + r = 0 + 2 + 5 = 7 $
Jadi, nilai $ p + q + r = 7 $.

2). Perhatikan gambar jajar genjang berikut ini,
Dari gambar tersebut, tentukan :
a). Panjang vektor $ \vec{SR} $ dan vektor $ \vec{PS} $ ,
b). Koordinat titik S.
Penyelesaian :
a). Panjang vektor $ \vec{SR} $ dan vektor $ \vec{PS} $ ,
*). Panjang vektor $ \vec{SR} $ ,
Perhatikan gambar, karena PQRS adalah jajar genjang, maka panjang SR = panjang PQ. Dilain pihak, vektor $ \vec{SR} $ memiliki arah yang sama dengan vektor $ \vec{PQ} $ , sehingga vektor $ \vec{SR} = \vec{PQ} $. Panjang vektor $ \vec{SR} $ sama dengan panjang vektor $ \vec{PQ} $.
$ |\vec{SR} | = |\vec{PQ}| = \sqrt{(3-1)^2+(1-(-2))^2+(-2-0)^2)} $
$ = \sqrt{4 + 9 + 4} =\sqrt{17} $
*). Panjang vektor $ \vec{PS} $ ,
Dengan alasan yang sama seperti vektor $ \vec{SR} $, maka $ \vec{PS} = \vec{QR} $ ,
$ |\vec{PS}| = |\vec{QR}| = \sqrt{(5-3)^2+(7-1)^2+(1-(-2))^2} $
$ = \sqrt{4 + 36 + 9} = \sqrt{49} = 7 $

b). Koordinat titik S.
Pada bagian (a) di atas, kita peroleh $ \vec{SR} = \vec{PQ} $ dan $ \vec{PS} = \vec{QR} $, sehingga koordinat titik S bisa kita tentukan :
$ \begin{align} \vec{SR} & = \vec{PQ} \\ R - S & = Q - P \\ S & = R - Q + P \\ & = \left( \begin{matrix} 5 \\ 7 \\ 1 \end{matrix} \right) - \left( \begin{matrix} 3 \\ 1 \\ -2 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 1 \\ -2 \\ 0 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 5- 3 + 1 \\ 7 - 1 + (-2) \\ 1 - (-2) + 0 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 3 \\ 4 \\ 3 \end{matrix} \right) \end{align} $
Jadi, koordinat titik S adalah $ S(3, 4, 3) $.
Kita juga bisa menggunakan kesamaan $ \vec{PS} = \vec{QR} $, juga memberikan hasil yang sama yaitu koordinat titik S adalah $ S(3, 4, 3) $.

3). Diketahui vektor $ \vec{u} = \left( \begin{matrix} \frac{1}{2}m - 1 \\ -5 \end{matrix} \right) $ dan $ \vec{v} = \left( \begin{matrix} -2 \\ 3-2n \end{matrix} \right) $. Jika $ \vec{u} = \vec{v} $ , maka tentukan :
a). Nilai $ m - n $!
b). vektor $ \vec{u} $ dan $ \vec{v} $
c). nilai $ |\vec{u}| + |\vec{v}| $
d). nilai $ | \vec{u} + \vec{v}| $
Penyelesaian :
a). Nilai $ m - n $!
$ \begin{align} \vec{u} & = \vec{v} \\ \left( \begin{matrix} \frac{1}{2}m - 1 \\ -5 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} -2 \\ 3-2n \end{matrix} \right) \end{align} $
terbentuk persamaan :
$ \frac{1}{2}m - 1 = -2 \rightarrow \frac{1}{2}m = -1 \rightarrow m = -2 $
$ -5 = 3 - 2n \rightarrow 2n = 8 \rightarrow n = 4 $.
Sehingga nilai $ m - n = -2 - 4 = -6 $

b). vektor $ \vec{u} $ dan $ \vec{v} $
Karena $ \vec{u} = \vec{v} $ , maka kita gunakan salah satu saja.
$ \vec{u} = \vec{v} = \left( \begin{matrix} -2 \\ 3-2n \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} -2 \\ -5 \end{matrix} \right) $

c). nilai $ |\vec{u}| + |\vec{v}| $
Karena $ \vec{u} = \vec{v} $ , maka panjang kedua vektor juga sama yaitu :
$|\vec{u}| + |\vec{v}| = 2|\vec{u}|=2\sqrt{(-2)^2 + (-5)^2} = 2\sqrt{4 + 25} = 2\sqrt{29} $.

d). nilai $ | \vec{u} + \vec{v}| $
Karena $ \vec{u} = \vec{v} $ , maka
$ \vec{u} + \vec{v} = 2\vec{u} = 2 \left( \begin{matrix} -2 \\ -5 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} -4 \\ -10 \end{matrix} \right) $
Sehingga :
$ \begin{align} | \vec{u} + \vec{v}| & = \sqrt{(-4)^2 + (-10)^2} \\ & = \sqrt{16 + 100} = \sqrt{116} \\ & = \sqrt{4 \times 29} = 2\sqrt{29} \end{align} $
Jadi, panjang $ | \vec{u} + \vec{v}| = 2\sqrt{29} $.

Vektor-vektor yang sejajar
       Dua vektor atau lebih sejajar memiliki kemiringan vektor yang sama yaitu searah atau berlawanan arah antara vektor-vektor tersebut dimana panjang-panjang vektornya tidak harus sama. Dengan kata lain, jika dua vektor sejajar maka salah satu vektor adalah kelipatan dari vektor yang lainnya. Perhatikan ilustrasi berikut ini.

$ \spadesuit \, $ Definisi dua vektor sejajar
Vektor $ \vec{p} $ sejajar vektor $ \vec{q} $ ditulis $ \vec{p} // \vec{q} $ apabila $ \vec{p} = k\vec{q} \, $ , dengan $ k $ skalar , $ k \in R $. $ k $ kita sebut sebagai pengali atau kelipatan vektor yang lainnya.
Ada beberapa kemungkinan nilai $ k $ :
1). Jika $ k > 0 $ , maka $ \vec{p} $ searah dengan $ \vec{q} $ ,
2). Jika $ k < 0 $ , maka $ \vec{p} $ berlawanan arah dengan $ \vec{q} $ ,
3). Jika $ k = 1 $ , maka $ \vec{p} $ sama dengan $ \vec{q} $ ,
4). Jika $ k = -1 $ , maka panjang kedua vektor sama dan berlawan arah.

Contoh soal kesamaan dua vektor dan vektor sejajar.

4). Perhatikan gambar-gambar vektor di dimensi tiga berikut
Misalkan vektor $ \vec{AB} = \vec{p} $ , $ \vec{AD} = \vec{q} $ dan $ \vec{AE} = \vec{r} $. Tentukan vektor-vektor yang sama dan yang berlawanan arah!
Penyelesaian :
*). Vektor yang sama dengan $ \vec{p} $ adalah
$ \vec{DC} = \vec{EF} = \vec{p} $
*). Vektor yang berlawanan arah dengan $ \vec{p} $ adalah
$ \vec{GH} = -\vec{p} $
*). Vektor yang sama dengan $ \vec{q} $ adalah
$ \vec{BC} = \vec{FG} = \vec{q} $
*). Vektor yang berlawanan arah dengan $ \vec{p} $ adalah
$ \vec{HE} = -\vec{q} $
*). Vektor yang sama dengan $ \vec{r} $ tidak ada
*). Vektor yang berlawanan arah dengan $ \vec{r} $ adalah
$ \vec{FB} = \vec{GC} = \vec{HD} = -\vec{r} $

5). Diketaui vektor $ \vec{a} = -\vec{i} + 3\vec{j} + 2\vec{k} $ . Jika vektor $ \vec{b} $ berlawanan arah dengan vektor $ \vec{b} $ dan memiliki panjang yang sama, maka tentukan vektor $ \vec{b} $!
Penyelesaian :
*). Karena vektor $ \vec{b} $ berlawanan arah dengan vektor $ \vec{b} $ dan memiliki panjang yang sama maka berlaku $ \vec{b} = -\vec{a} $. Sehingga :
$ \begin{align} \vec{b} & = -\vec{a} \\ & = -(-\vec{i} + 3\vec{j} + 2\vec{k}) \\ & = \vec{i} - 3\vec{j} - 2\vec{k} \end{align} $
Jadi, vektor $ \vec{b} = \vec{i} - 3\vec{j} - 2\vec{k} $.

6). Diketahui $ \vec{m} = 6\vec{i}-2\vec{j} + 3\vec{k} $ dan $ \vec{n} $ vektor yang sejajar namun berlawanan arah dengan $ \vec{m} $. Jika panjang vektor $ \vec{n} $ adalah 21, maka tentukan vektor $ \vec{n} $!
Penyelesaian :
*). Karena vektor $ \vec{n} $ dan $ \vec{m} $ sejajar, maka berlaku $ \vec{n} = c\vec{m} $ dan nilai $ c < 0 $ untuk syarat berlawanan arah.
*). Menentukan vektor $ \vec{n} $ :
$ \vec{n} = c\vec{m} = c(6\vec{i}-2\vec{j} + 3\vec{k}) = 6c\vec{i}-2c\vec{j} + 3c\vec{k} $
*). Menentukan nilai $ c $ dengan $ |\vec{n}| = 21 $
$ \begin{align} |\vec{n}| & = 21 \\ \sqrt{(6c)^2 + (-2c)^2 + (3c)^2} & = 21 \\ \sqrt{36c^2 + 4c^2 + 9c^2} & = 21 \\ \sqrt{49c^2} & = 21 \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ 49c^2 & = 21^2 \\ c^2 & =\frac{21 \times 21}{49} \\ c^2 & = 9 \\ c & = \pm 3 \end{align} $
Karena berlawanan arah, maka $ c < 0 $ , sehingga $ c = -3 $ yang memenuhi.
Sehingga vektor $ \vec{n} $ adalah
$ \vec{n} = 6c\vec{i}-2c\vec{j} + 3c\vec{k} = -18\vec{i} +6\vec{j} -9\vec{k} $

7). Jika vektor $ \vec{p} = \left( \begin{matrix} x-1 \\ 4 \\ y - x \end{matrix} \right) $ dan $ \vec{q} = \left( \begin{matrix} -1 \\ 2 \\ 3x \end{matrix} \right) $ sejajar, maka tentukan nilai $ x + y + 9 $ !
Penyelesaian :
*). Karena kedua vektor sejajar, maka salah satu vektor adalah kelipatan dari vektor yang lainnya yang dapat kita tulis $ \vec{p} = k\vec{q} $.
*). Menentukan nilai $ k $ :
$ \begin{align} \vec{p} & = k\vec{q} \\ \left( \begin{matrix} x-1 \\ 4 \\ y - x \end{matrix} \right) & = k\left( \begin{matrix} -1 \\ 2 \\ 3x \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x-1 \\ 4 \\ y - x \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} -k \\ 2k \\ 3kx \end{matrix} \right) \end{align} $
Dari kesamaan dua vektor kita peroleh :
$ 4 = 2k \rightarrow k = 2 $
$ x - 1 = -k \rightarrow x - 1 = -2 \rightarrow x = -1 $
$ y - x = 3kx \rightarrow y - (-1) = 3.2.(-1) \rightarrow y + 1 = - 6 \rightarrow y = -7 $
Sehingga nilai :
$ x + y + 9 = -1 + (-7) + 9 = 1 $.
Jadi, nilai $ x + y + 9 = 1 $.

8). Diketahui vektor $ \vec{a} = (2, -3 , 1) $ , $ \vec{b} = ( 4, 1, -2) $ , $ \vec{c} = (-6, 9, -3) $ dan $ \vec{d} = (8,2,-1) $. Diantara keempat vektor tersebut, manakah pasangan vektor yang sejajar!
Penyelesaian :
*). Dua buah vektor sejajar memiliki syarat salah satu vektor adalah kelipatan dari vektor yang lainnya.
*). Pasangan vektor-vektor yang sejajar adalah :
-). vektor $ \vec{a} $ sejajar dengan $ \vec{c} $ karena $ \vec{c} = -3\vec{a} $
-). vektor $ \vec{b} $ sejajar dengan $ \vec{d} $ karena $ \vec{d} = 2\vec{b} $
*). Lalu bagaimana cara mengecek apakah dua vektor itu sejajar atau tidak? Untuk mengecek apakah sejajar atau tidak pada dua buah vektor, maka kita bentuk $ \vec{p} = k\vec{q} $ , lalu kita cari nilai $ k $ dari kesamaan vektor. Jika nilai $ k $ yang kita peroleh sama semua, maka kedua vektor sejajar. Jika nilai $ k $ yang kita peroleh tidak sama semua, maka kedua vektor tidak sejajar.
Berikut kita ambil beberapa contoh pengecekan:
-). Cek vektor $ \vec{a} $ dan $ \vec{c} $
$ \begin{align} \vec{a} & = k\vec{c} \\ \left( \begin{matrix} 2 \\ -3 \\ 1 \end{matrix} \right) & = k\left( \begin{matrix} -6 \\ 9 \\ -3 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} 2 \\ -3 \\ 1 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} -6k \\ 9k \\ -3k \end{matrix} \right) \\ \end{align} $
Dari kesamaan vektor kita peroleh :
$ 2 = -6k \rightarrow k = -\frac{1}{3} $
$ -3 = 9k \rightarrow k = -\frac{1}{3} $
$ 1 = -3k \rightarrow k = -\frac{1}{3} $
Karena semua nilai $ k $ sama yaitu $ k = -\frac{1}{3} $ , maka vektor $ \vec{a} $ dan $ \vec{c} $ sejajar, dimana dapat kita tuliskan sebagai kelipatan yaitu :
$ \begin{align} \vec{a} & = k\vec{c} \\ \vec{a} & = -\frac{1}{3}\vec{c} \\ -3\vec{a} & = \vec{c} \\ \vec{c} & = -3\vec{a} \end{align} $

-). Cek vektor $ \vec{a} $ dan $ \vec{b} $
$ \begin{align} \vec{a} & = k\vec{b} \\ \left( \begin{matrix} 2 \\ -3 \\ 1 \end{matrix} \right) & = k\left( \begin{matrix} 4 \\ 1 \\ -2 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} 2 \\ -3 \\ 1 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 4k \\ k \\ -2k \end{matrix} \right) \\ \end{align} $
Dari kesamaan vektor kita peroleh :
$ 2 = 4k \rightarrow k = \frac{1}{2} $
$ -3 = k \rightarrow k = -3 $
$ 1 = -2k \rightarrow k = -\frac{1}{2} $
Karena semua nilai $ k $ tidak sama semua , maka vektor $ \vec{a} $ dan $ \vec{b} $ tidak sejajar.

9). Diketahui vektor $ \vec{p} = \left( \begin{matrix} 2x^2 - 4x - 30 \\ -x^2 + 2x + 15 \\ 3x^2 - 6x - 45 \end{matrix} \right) $ dan $ \vec{q} = \left( \begin{matrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{matrix} \right) $.
a). Apakah vektor $ \vec{p} $ dan $ \vec{q} $ sejajar?
b). Jika vektor $ \vec{p} $ dan $ \vec{q} $ sejajar, tentukan nilai $ x $ agar kedua vektor searah
c). Jika vektor $ \vec{p} $ dan $ \vec{q} $ sejajar, tentukan nilai $ x $ agar kedua vektor berlawan arah
Penyelesaian :
a). Apakah vektor $ \vec{p} $ dan $ \vec{q} $ sejajar?
Dua vektor sejajar jika vektor yang satu kelipatan dari vektor yang lainnya atau dapat kita tulis $ \vec{p} = k\vec{q} $.
$ \begin{align} \vec{p} & = \left( \begin{matrix} 2x^2 - 4x - 30 \\ -x^2 + 2x + 15 \\ 3x^2 - 6x - 45 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} (x^2 - 2x - 15).2 \\ (x^2 - 2x - 15). (-1) \\ (x^2 - 2x - 15).3 \end{matrix} \right) \\ & = (x^2 - 2x - 15) \left( \begin{matrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{matrix} \right) \\ \vec{p} & = (x^2 - 2x - 15) \vec{q} \\ \vec{p} & = k \vec{q} \end{align} $
Artinya vektor $ \vec{p} $ kelipatan dari vektor $ \vec{q} $ dengan $ k = x^2 - 2x - 15 $ sehingga vektor $ \vec{p} $ sejajar dengan vektor $ \vec{q} $.

b). Jika vektor $ \vec{p} $ dan $ \vec{q} $ sejajar, tentukan nilai $ x $ agar kedua vektor searah
Sesuai bagian (a), vektor $ \vec{p} $ sejajar dengan $ \vec{q} $. Agar kedua vektor searah, maka nilai $ k > 0 $.
*). Menentukan nilai $ x $ dengan syarat $ k > 0 $ dan menyelesaikan pertidaksamaannya.
$ \begin{align} k & > 0 \\ x^2 - 2x - 15 & > 0 \\ (x + 3)(x - 5) & > 0 \\ x = -3 \vee x & = 5 \end{align} $
Garis bilangannya :
Solusinya : $ x < -3 \vee x > 5 $.
Jadi, kedua vektor akan searah jika nilai $ x $ memenuhi $ x < - 3 \, $ atau $ x > 5 $.

c). Jika vektor $ \vec{p} $ dan $ \vec{q} $ sejajar, tentukan nilai $ x $ agar kedua vektor berlawan arah
Untuk solusi bagian (c) ini adalah kebalikan dari solusi bagian (b) yaitu syarat berlawanan arah adalah $ k < 0 $.
Jadi, kedua vektor akan berlawanan arah jika nilai $ x $ memenuhi $ -3 < x < 5 $.

Titik-titik yang segaris (Kolinear)
       Jika diketahui beberapa titik segaris (lebih dari dua titik), maka dapat kita buat vektor dari masing-masing dua titik yang segaris (kolinear) juga. Karena vektor-vektor yang terbentuk segaris, maka otomatis semua vektor yang terbentuk adalah sejajar, sehingga langkah selanjutnya bisa kita terapkan konsep vektor-vektor yang sejajar seperti teori di atas sebelumnya.

       Misalkan terdapat titik A, B, dan C segaris, maka bisa kita bentuk vektor $ \vec{AB} $ , $ \vec{BA} $ , $ \vec{AC} $, $ \vec{CA} $ , $ \vec{BC} $ dan $ \vec{CB} $ yang segaris juga (mengakibatkan sejajar) dimana salah satu vektor adalah kelipatan dari vektor yang lainnya. Artinya dapat juga kita tulis $ \vec{AB} = k\vec{BC} $ atau $ \vec{AB} = n\vec{AC} $ dan lainnya asalkan vektornya melibatkan lebih dari dua titik.

Contoh soal beberapa titik segaris (kolinear) :

10). Diketahui tiga titik yaitu $ A (-3,-8,-3) $ , $ B(1, -2, -1) $ dan $ C(3,1,0) $. Coba selidiki, apakah titik A, B, dan C terletak pada satu garis (segaris/kolinear)?
Pembahasan :
*). Untuk menentukan segaris atau tidak, cukup kita bentuk dua vektor dari titik-titik yang ada dan kita cek apakah salah satu vektor adalah kelipatan dari vektor yang lain, jika ya maka ketiga titik segaris (dan berlaku sebaliknya).
*). Misal kita bentu vektor :
$ \vec{AB} = B - A = (1 - (-3), -2 - (-8), -1-(-3)) = (4, 6, 2) $
$ \vec{BC} = C - B = ( 3 - 1, 1 - (-2) , 0 - (-1) ) = ( 2, 3, 1 ) $ *). Terlihat bahwa $ \vec{AB} $ kelipatan dari vektor $ \vec{BC} $ yaitu $ \vec{AB} = 2\vec{BC} $.
Artinya dapa kita simpulkan bahwa ketiga titik A, B, dan C segaris (kolinear).

11). Agar titik $ A(2,y,-8) $ , $ B(x, 3y,-2) $ , dan $ C (5, 4y, z ) $ terletak pada satu garis lurus, maka nilai $ x + z = ....$ !
Penyelesaian :
*). Agar ketiga titik segaris(kolinear) , maka dua vektor yang terbentuk dari ketiga titik tersebut harus saling berkelipatan. Misalkan kita bentuk vektor $ \vec{AB} $ dan vektor $ \vec{BC} $, kita peroleh hubungan :
$ \begin{align} \vec{AB} & = k \vec{BC} \\ B - A & = k (C - B) \\ \left( \begin{matrix} x \\ 3y \\ -2 \end{matrix} \right) - \left( \begin{matrix} 2 \\ y \\ -8 \end{matrix} \right) & = k \left[ \left( \begin{matrix} 5 \\ 4y \\ z \end{matrix} \right) - \left( \begin{matrix} x \\ 3y \\ -2 \end{matrix} \right) \right] \\ \left( \begin{matrix} x - 2 \\ 2y \\ 6 \end{matrix} \right) & = k \left( \begin{matrix} 5 - x \\ y \\ z + 2 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x - 2 \\ 2y \\ 6 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} (5 - x)k \\ ky \\ (z + 2)k \end{matrix} \right) \end{align} $
Dari kesamaan dua vektor kita peroleh :
$ 2y = ky \rightarrow k = 2 $
$ x - 2 = (5 - x)k \rightarrow x - 2 = (5 - x).2 \rightarrow x = 4 $
$ 6 = (z + 2)k \rightarrow 6 = (z + 2). 2 \rightarrow z = 1 $
Sehingga nilai $ x + z = 4 + 1 = 5 $.
Jadi, nilai $ x + z = 5 $.

       Demikian pembahasan materi Kesamaan Dua Vektor, Vektor Sejajar dan Segaris dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan "Penjumlahan dan Pengurangan pada Vektor".

Tidak ada komentar:

Posting Komentar