Cara Melengkapkan Kuadrat Sempurna

         Blog Koma - Hallow teman-teman, Bagaimana kabarnya hari ini? Mudah-mudahan baik-baik saja. Pada artikel ini kita akan membahas tentang Cara Melengkapkan Kuadrat Sempurna. Materi Cara Melengkapkan Kuadrat Sempurna ini sangat penting karena banyak kita pakai dalam pembelajaran matematika, seperti persamaan kuadrat, persamaan lingkaran, persamaan parabola, persamaan elips, persamaan hiperbola dan materi lain yang terkait dengan bentuk kuadrat. Untuk mempermudah dalam mempelajari materi Cara Melengkapkan Kuadrat Sempurna ini, teman-teman harus menguasai materi dasar berhitung seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian serta ketelitian dalam menghitung. Langsung saja berikut ringkasan materi Cara Melengkapkan Kuadrat Sempurna.

Rumus Melengkapkan Kuadrat Sempurna

       Rumus sederhana Cara Melengkapkan Kuadrat Sempurna yaitu :
$ x^2 + bx = \left( x + \frac{b}{2} \right)^2 - \left( \frac{b}{2} \right)^2 $
$ x^2 - bx = \left( x - \frac{b}{2} \right)^2 - \left( \frac{b}{2} \right)^2 $

Catatan :
Koefisien $ x^2 $ harus 1, jika tidak maka bagi dulu sehingga nilainya 1 atau bisa juga dengan distributif.

Pembuktian Rumus dasar Cara Melengkapkan Kuadrat Sempurna di atas :
Rumus Pertama :
$ \begin{align} x^2 + bx & = \left( x + \frac{b}{2} \right)^2 - \left( \frac{b}{2} \right)^2 \\ & = \left( x^2 + bx + \left( \frac{b}{2} \right)^2 \right) - \left( \frac{b}{2} \right)^2 \\ & = x^2 + bx + \left( \frac{b}{2} \right)^2 - \left( \frac{b}{2} \right)^2 \\ & = x^2 + bx \, \, \, \, \, \text{(Benar Sama)} \end{align} $
Rumus Kedua :
$ \begin{align} x^2 - bx & = \left( x - \frac{b}{2} \right)^2 - \left( \frac{b}{2} \right)^2 \\ & = \left( x^2 - bx + \left( \frac{b}{2} \right)^2 \right) - \left( \frac{b}{2} \right)^2 \\ & = x^2 - bx + \left( \frac{b}{2} \right)^2 - \left( \frac{b}{2} \right)^2 \\ & = x^2 - bx \, \, \, \, \, \text{(Benar Sama)} \end{align} $

Contoh Soal Cara Melengkapkan Kuadrat Sempurna :
1). Tentukan Bentuk Kuadrat Sempurna dari :
a). $ x^2 + 4x -1 $
b). $ x^2 - 6x + 7 $
c). $ x^2 + 5x - 3 $
Penyelesaian :
a). Dengan Cara melengkapkan kuadrat sempurna :
Rumus Dasar : $ x^2 + bx = \left( x + \frac{b}{2} \right)^2 - \left( \frac{b}{2} \right)^2 $
$ \begin{align} x^2 + 4x -1 & = (x + \frac{4}{2})^2 - (\frac{4}{2})^2 -1 \\ & = (x + 2)^2 - (2)^2 -1 \\ & = (x + 2)^2 - 4 -1 \\ & = (x + 2)^2 -5 \end{align} $
Jadi, bentuk $ x^2 + 4x -1 = (x+2)^2 - 1 $

b). $ x^2 - 6x + 7 $
Rumus Dasar : $ x^2 - bx = \left( x - \frac{b}{2} \right)^2 - \left( \frac{b}{2} \right)^2 $
$ \begin{align} x^2 - 6x + 7 & = (x - \frac{6}{2})^2 - (\frac{6}{2})^2 + 7 \\ & = (x - 3)^2 - (3)^2 + 7 \\ & = (x - 3)^2 - 9 + 7 \\ & = (x - 3)^2 -2 \end{align} $
Jadi, bentuk $ x^2 - 6x + 7 = (x - 3)^2 - 2$

c). Dengan Cara melengkapkan kuadrat sempurna :
Rumus Dasar : $ x^2 + bx = \left( x + \frac{b}{2} \right)^2 - \left( \frac{b}{2} \right)^2 $
$ \begin{align} x^2 + 5x - 3 & = (x + \frac{5}{2})^2 - (\frac{5}{2})^2 -3 \\ & = (x + \frac{5}{2})^2 - \frac{25}{4} -3 \\ & = (x + \frac{5}{2})^2 - \frac{25}{4} - \frac{12}{4} \\ & = (x + \frac{5}{2})^2 - \frac{37}{4} \end{align} $
Jadi, bentuk $ x^2 + 5x - 3 = (x + \frac{5}{2})^2 - \frac{37}{4} $

2). Tentukan bentuk kuadrat sempurna dari persamaan :
a). $ x^2 + 8x -9 = 0 $
b). $ x^2 - 2x + 2y - 3 = 0 $
c). $ 2x^2 + 12x + 4y - 9 = 0 $
Penyelesaian :
a). $ x^2 + 8x -9 = 0 $
Rumus Dasar : $ x^2 + bx = \left( x + \frac{b}{2} \right)^2 - \left( \frac{b}{2} \right)^2 $
$ \begin{align} x^2 + 8x -9 & = 0 \\ x^2 + 8x & = 9 \\ (x + \frac{8}{2})^2 - (\frac{8}{2})^2 & = 9 \\ (x + 4)^2 - (4)^2 & = 9 \\ (x + 4)^2 - 16 & = 9 \\ (x + 4)^2 & = 9 + 16 \\ (x + 4)^2 & = 25 \end{align} $

b). $ x^2 - 2x + 2y - 3 = 0 $
Rumus Dasar : $ x^2 - bx = \left( x - \frac{b}{2} \right)^2 - \left( \frac{b}{2} \right)^2 $
$ \begin{align} x^2 - 2x + 2y - 3 & = 0 \\ x^2 - 2x & = -2y + 3 \\ (x - \frac{2}{2})^2 - (\frac{2}{2})^2 & = -2y + 3 \\ (x -1)^2 - (1)^2 & = -2y + 3 \\ (x -1)^2 - 1 & = -2y + 3 \\ (x -1)^2 & = -2y + 3 + 1 \\ (x -1)^2 & = -2y + 4 \end{align} $

c). $ 2x^2 + 12x + 4y - 9 = 0 $
Rumus Dasar : $ x^2 + bx = \left( x + \frac{b}{2} \right)^2 - \left( \frac{b}{2} \right)^2 $
$ \begin{align} 2x^2 + 12x + 4y - 9 & = 0 \\ 2x^2 + 12x & = -4y + 9 \\ 2(x^2 + 6x) & = -4y + 9 \\ 2\left( x^2 + 6x \right) & = -4y + 9 \\ 2\left( (x + \frac{6}{2})^2 - (\frac{6}{2})^2 \right) & = -4y + 9 \\ 2\left( (x + 3)^2 - (3)^2 \right) & = -4y + 9 \\ 2\left( (x + 3)^2 - 9 \right) & = -4y + 9 \\ 2 (x + 3)^2 - 18 & = -4y + 9 \\ 2 (x + 3)^2 & = -4y + 9 + 18 \\ 2 (x + 3)^2 & = -4y +27 \end{align} $

3). Tentukan bentuk kuadrat sempurna dari persamaan :
a). $ x^2 +y^2 - 4x + 2y -2 = 0 $
b). $ 3x^2 - y^2 + 6x + 8y - 1 = 0 $
Penyelesaian :
a). $ x^2 +y^2 - 4x + 2y -2 = 0 $
Rumus Dasar :
$ x^2 + bx = \left( x + \frac{b}{2} \right)^2 - \left( \frac{b}{2} \right)^2 $
$ x^2 - bx = \left( x - \frac{b}{2} \right)^2 - \left( \frac{b}{2} \right)^2 $
Melengkapkan Kuadrat sempurna :
$ \begin{align} x^2 +y^2 - 4x + 2y -2 & = 0 \\ x^2 - 4x +y^2 + 2y & = 2 \\ (x - \frac{4}{2})^2 - (\frac{4}{2})^2 + (y + \frac{2}{2})^2 - (\frac{2}{2})^2 & = 2 \\ (x - 2)^2 - (2)^2 + (y + 1)^2 - (1)^2 & = 2 \\ (x - 2)^2 - 4 + (y + 1)^2 - 1 & = 2 \\ (x - 2)^2 + (y + 1)^2 & = 2 + 4 + 1 \\ (x - 2)^2 + (y + 1)^2 & = 7 \end{align} $

b). $ 3x^2 - y^2 + 6x + 8y - 1 = 0 $
Rumus Dasar :
$ x^2 + bx = \left( x + \frac{b}{2} \right)^2 - \left( \frac{b}{2} \right)^2 $
$ x^2 - bx = \left( x - \frac{b}{2} \right)^2 - \left( \frac{b}{2} \right)^2 $
Melengkapkan Kuadrat sempurna :
$ \begin{align} 3x^2 - y^2 + 6x + 8y - 1 & = 0 \\ 3x^2 + 6x - y^2 + 8y & = 1 \\ 3(x^2 + 2x ) - ( y^2 - 8y) & = 1 \\ 3\left((x + \frac{2}{2} )^2 - (\frac{2}{2})^2 \right) - \left((y - \frac{8}{2} )^2 - (\frac{8}{2})^2 \right) & = 1 \\ 3\left((x + 1 )^2 - (1)^2 \right) - \left((y - 4 )^2 - (4)^2 \right) & = 1 \\ 3\left((x + 1 )^2 - 1 \right) - \left((y - 4 )^2 - 16 \right) & = 1 \\ 3(x + 1 )^2 - 3 -(y - 4 )^2 + 16 & = 1 \\ 3(x + 1 )^2 -(y - 4 )^2 & = 1 + 3 - 16 \\ 3(x + 1 )^2 -(y - 4 )^2 & = -12 \end{align} $

       Demikian pembahasan materi Cara Melengkapkan Kuadrat Sempurna dan contoh-contohnya. Semoga materi ini bisa membantu dan menunjang dalam pembelajaran matematika. Terimakasih.