Pada artikel Besar Bilangan Euler ($e$) dengan Binomial Newton ini, kita tidak membahas asal-usul keberadaan bilangan euler tersebut namun kita akan lebih menekankan tentang cara menemukan besarnya bilangan Euler ($e$) dengan salah satunya pendekatan menggunakan konsep binomial newton. Hal-hal mendasar yang harus kita kuasai terlebih dahulu untuk memudahkan dalam mempelajari Cara menemukan Besar Bilangan Euler (e) dengan Binomial Newton yaitu : "limit tak hingga fungsi khusus", "konsep binomial newton", "bentuk faktorial", "notasi sigma", "kombinasi", dan "penyelesaian limit tak hingga fungsi aljabar".
Kesetaraan Bilangan Euler ($e$)
Seperti yang ada dalam pembahasan materi "Limit Tak hingga Fungsi Khusus", nilai bilangan euler setara dengan
beberapa bentuk limit tak hingga fungsi khusus yaitu :
$ e = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^x \, $ dan $ e = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \left( 1 + x\right)^\frac{1}{x} $
Bentuk $ e = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^x \, $ inilah yang akan kita hitung sebagai pendekatan untuk nilai konstanta $ e $.
$ e = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^x \, $ dan $ e = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \left( 1 + x\right)^\frac{1}{x} $
Bentuk $ e = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^x \, $ inilah yang akan kita hitung sebagai pendekatan untuk nilai konstanta $ e $.
Langkah-langkah Menentukan besarnya nilai bilangan euler ($e$) :
*). Konsep Binomial newton :
$(a+b)^n = \displaystyle \sum_{r=0}^n C_r^n a^{n-r}b^r \, \, $ atau
$ (a+b)^n = C_0^n a^n + C_1^n a^{n-1}b + ... + C_{n-1}^nab^{n-1} + C_n^nb^n $
dengan $ n, \, r \, $ adalah bilangan asli dan $ C_r^n = \frac{n!}{(n-r)!.r!} $
serta $ n! = n.(n-1).(n-2).(n-3)...3.2.1$
Contoh : $ 5! = 5.4.3.2.1 = 120 \, $ dan $ 0! = 1 $
*). Perhatikan bentuk $ \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^x $ , dengan memisalkan $ a = 1 , b = \frac{1}{x} $ dan $ n = x $ , maka bentuk $ \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^x $ dapat kita jabarkan (ekspansi) dengan konsep binomial Newton menjadi :
$ \begin{align} (a+b)^n & = C_0^n a^n + C_1^n a^{n-1}b + C_2^n a^{n-2}b^2 + C_3^n a^{n-3}b^3 + ... + C_n^nb^n \\ \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^x & = C_0^x 1^x + C_1^x 1^{x-1}.\left( \frac{1}{x} \right) + C_2^x 1^{x-2}.\left( \frac{1}{x} \right)^2 \\ & \, \, \, \, \, \, + C_3^x 1^{x-3}.\left( \frac{1}{x} \right)^3 + ... + C_x^x.\left( \frac{1}{x} \right)^x \\ & = C_0^x + C_1^x.\left( \frac{1}{x} \right) + C_2^x .\left( \frac{1}{x} \right)^2 + C_3^x .\left( \frac{1}{x} \right)^3 + ... + C_x^x.\left( \frac{1}{x} \right)^n \\ & = \frac{x!}{(x-0)!.0!} + \frac{x!}{(x-1)!1!}.\left( \frac{1}{x} \right) + \frac{x!}{(x-2)!2!} .\left( \frac{1}{x} \right)^2 \\ & \, \, \, \, \, \, + \frac{x!}{(x-3)!3!} .\left( \frac{1}{x} \right)^3 + ... + \frac{x!}{(x-x)!x!}.\left( \frac{1}{x} \right)^x \\ & = \frac{x!}{x!} . 1 + \frac{x.(x-1)!}{(x-1)!. 1!}.\left( \frac{1}{x} \right) + \frac{x.(x-1).(x-2)!}{(x-2)!2!} .\left( \frac{1}{x^2} \right) \\ & \, \, \, \, \, \, + \frac{x.(x-1).(x-2).(x-3)!}{(x-3)!3!} .\left( \frac{1}{x^3} \right) + ... + \frac{x!}{0!x!}.\left( \frac{1}{x^x} \right) \\ & = 1 + \frac{x}{ 1!}.\left( \frac{1}{x} \right) + \frac{x.(x-1)}{2!} .\left( \frac{1}{x^2} \right) \\ & \, \, \, \, \, \, + \frac{x.(x-1).(x-2)}{3!} .\left( \frac{1}{x^3} \right) + ... + \frac{x!}{x!}.\left( \frac{1}{x^x} \right) \\ & = 1 + \frac{1}{ 1!} + \frac{x^2 - x}{x^2} . \frac{1}{2!} + \frac{x^3-3x^2 + 2x}{x^3} . \frac{1}{3!} \\ & \, \, \, \, \, \, + \frac{x^4-6x^3 - 7x^2 - 6x}{x^4} . \frac{1}{4!} + ... + \frac{x.(x-1).(x-2)...(x-x)}{x^x}. \frac{1}{x!} \\ \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^x & = 1 + \frac{1}{ 1!} + \frac{x^2 - x}{x^2} . \frac{1}{2!} + \frac{x^3-3x^2 + 2x}{x^3} . \frac{1}{3!} \\ & \, \, \, \, \, \, + \frac{x^4-6x^3 - 7x^2 - 6x}{x^4} . \frac{1}{4!} + ... + \frac{x^x + c_{x-1}x^{x-1} + .... }{x^x}. \frac{1}{x!} \\ \end{align} $
*). Penyelesaian limit tak hingga :
Bentuk $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{ax^n + a_{n-1}x^{n-1} + ....}{bx^n + b_{n-1}x^{n-1} + ....} = \frac{a}{b} $
(hasilnya adalah pembagian koefisien pangkat tertinggi dari pembilang dan penyebutnya).
Sehingga kita peroleh hasil limit tak hingga berikut ini :
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{x^2 - x}{x^2} = \frac{1}{1} = 1 $
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{x^3-3x^2 + 2x}{x^3} = \frac{1}{1} = 1 $
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{x^4-6x^3 - 7x^2 - 6x}{x^4} = \frac{1}{1} = 1 $
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{x^x + c_{x-1}x^{x-1} + .... }{x^x} = \frac{1}{1} = 1 $
*). Bentuk limit tak hingga dari nilai $ e $ :
$ \begin{align} e & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^x \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, \, \, \, 1 + \frac{1}{ 1!} + \frac{x^2 - x}{x^2} . \frac{1}{2!} + \frac{x^3-3x^2 + 2x}{x^3} . \frac{1}{3!} \\ & \, \, \, \, \, \, + \frac{x^4-6x^3 - 7x^2 - 6x}{x^4} . \frac{1}{4!} + ... + \frac{x^x + c_{x-1}x^{x-1} + .... }{x^x}. \frac{1}{x!} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, \, \, \, \left( 1 + \frac{1}{ 1!} +1. \frac{1}{2!} + 1 . \frac{1}{3!} + 1. \frac{1}{4!} + ... + 1. \frac{1}{x!} \right) \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, \, \, \, \left( 1 + \frac{1}{ 1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} + ... + \frac{1}{x!} \right) \\ & = 1 + \frac{1}{ 1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} + \frac{1}{5!} + ... + \frac{1}{\infty} \\ & = 1 + \frac{1}{ 1} + \frac{1}{2.1} + \frac{1}{3.2.1} + \frac{1}{4.3.2.1} + \frac{1}{5.4.3.2.1} + ... + \frac{1}{\infty} \\ & = 1 + \frac{1}{ 1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{24} + \frac{1}{120} + ... + \frac{1}{\infty} \\ & = 1 + 1 + 0,5 + 0,166666... + 0,04166666... + 0,0083333.... + ... + 0 \\ & \approx 2,71828 18284 59045 23536 02874 71352.... \end{align} $
Kesimpulannya, kita peroleh nilai besar bilangan Euler ($e$) dengan pendekatan yaitu :
$ e \approx 2,71828 18284 59045 23536 02874 71352.... $
Demikian pembahasan materi Besar Bilangan Euler (e) dengan Binomial Newton sebagai salah satu kegunaan dari konsep binomial Newton dan materi lainnya. Semoga materi ini bermanfaat. Terimakasih.